Code coverage tests

This page documents the degree to which the PARI/GP source code is tested by our public test suite, distributed with the source distribution in directory src/test/. This is measured by the gcov utility; we then process gcov output using the lcov frond-end.

We test a few variants depending on Configure flags on the pari.math.u-bordeaux.fr machine (x86_64 architecture), and agregate them in the final report:

The target is to exceed 90% coverage for all mathematical modules (given that branches depending on DEBUGLEVEL or DEBUGMEM are not covered). This script is run to produce the results below.

LCOV - code coverage report
Current view: top level - basemath - elliptic.c (source / functions) Hit Total Coverage
Test: PARI/GP v2.16.2 lcov report (development 29367-59464ac63f) Lines: 4342 4647 93.4 %
Date: 2024-05-21 08:08:53 Functions: 388 396 98.0 %
Legend: Lines: hit not hit

          Line data    Source code
       1             : /* Copyright (C) 2000  The PARI group.
       2             : 
       3             : This file is part of the PARI/GP package.
       4             : 
       5             : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
       6             : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
       7             : Foundation; either version 2 of the License, or (at your option) any later
       8             : version. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
       9             : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
      10             : 
      11             : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
      12             : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
      13             : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
      14             : 
      15             : /********************************************************************/
      16             : /**                                                                **/
      17             : /**                       ELLIPTIC CURVES                          **/
      18             : /**                                                                **/
      19             : /********************************************************************/
      20             : #include "pari.h"
      21             : #include "paripriv.h"
      22             : 
      23             : #define DEBUGLEVEL DEBUGLEVEL_ell
      24             : 
      25             : #undef coordch
      26             : 
      27             : /* Transforms a curve E into short Weierstrass form E' modulo p.
      28             :    Returns a vector, the first two entries of which are a4' and a6'.
      29             :    The third entry is a vector describing the isomorphism E' \to E.
      30             : */
      31             : 
      32             : static ulong
      33     1274763 : Fl_c4_to_a4(ulong c4, ulong p)
      34     1274763 : { return Fl_neg(Fl_mul(c4, 27, p), p); }
      35             : static ulong
      36     1195443 : Fl_c6_to_a6(ulong c6, ulong p)
      37     1195443 : { return Fl_neg(Fl_mul(c6, 54, p), p); }
      38             : static void
      39     1194795 : Fl_c4c6_to_a4a6(ulong c4, ulong c6, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
      40             : {
      41     1194795 :   *a4 = Fl_c4_to_a4(c4, p);
      42     1194795 :   *a6 = Fl_c6_to_a6(c6, p);
      43     1194795 : }
      44             : static GEN
      45     2591028 : c4_to_a4(GEN c4, GEN p)
      46     2591028 : { return Fp_neg(Fp_mulu(c4, 27, p), p); }
      47             : static void
      48     2591024 : c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
      49             : {
      50     2591024 :   *a4 = c4_to_a4(c4, p);
      51     2591024 :   *a6 = Fp_neg(Fp_mulu(c6, 54, p), p);
      52     2590857 : }
      53             : static GEN
      54       93451 : Fq_c4_to_a4(GEN c4, GEN T, GEN p)
      55       93451 : { return Fq_neg(Fq_mulu(c4, 27, T,p), T,p); }
      56             : static void
      57       93450 : Fq_c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN T, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
      58             : {
      59       93450 :   *a4 = Fq_c4_to_a4(c4, T,p);
      60       93428 :   *a6 = Fq_neg(Fq_mulu(c6, 54, T,p), T,p);
      61       93431 : }
      62             : static void
      63     2590859 : ell_to_a4a6(GEN E, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
      64             : {
      65     2590859 :   GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
      66     2590873 :   GEN c6 = Rg_to_Fp(ell_get_c6(E),p);
      67     2590884 :   c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
      68     2590700 : }
      69             : static void
      70     1194795 : Fl_ell_to_a4a6(GEN E, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
      71             : {
      72     1194795 :   ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
      73     1194795 :   ulong c6 = Rg_to_Fl(ell_get_c6(E),p);
      74     1194795 :   Fl_c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
      75     1194795 : }
      76             : 
      77             : /* [6,3b2,3a1,108a3] */
      78             : static GEN
      79      150696 : a4a6_ch(GEN E, GEN p)
      80             : {
      81      150696 :   GEN a1 = Rg_to_Fp(ell_get_a1(E),p);
      82      150696 :   GEN a3 = Rg_to_Fp(ell_get_a3(E),p);
      83      150696 :   GEN b2 = Rg_to_Fp(ell_get_b2(E),p);
      84      150696 :   retmkvec4(modsi(6,p),Fp_mulu(b2,3,p),Fp_mulu(a1,3,p),Fp_mulu(a3,108,p));
      85             : }
      86             : static GEN
      87       91290 : a4a6_ch_Fl(GEN E, ulong p)
      88             : {
      89       91290 :   ulong a1 = Rg_to_Fl(ell_get_a1(E),p);
      90       91290 :   ulong a3 = Rg_to_Fl(ell_get_a3(E),p);
      91       91290 :   ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E),p);
      92       91290 :   return mkvecsmall4(6 % p,Fl_mul(b2,3,p),Fl_mul(a1,3,p),Fl_mul(a3,108,p));
      93             : }
      94             : 
      95             : static GEN
      96      150696 : ell_to_a4a6_bc(GEN E, GEN p)
      97             : {
      98             :   GEN A4, A6;
      99      150696 :   ell_to_a4a6(E, p, &A4, &A6);
     100      150696 :   retmkvec3(A4, A6, a4a6_ch(E,p));
     101             : }
     102             : GEN
     103           0 : point_to_a4a6(GEN E, GEN P, GEN p, GEN *pa4)
     104             : {
     105           0 :   GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
     106           0 :   *pa4 = c4_to_a4(c4, p);
     107           0 :   return FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p), a4a6_ch(E,p), p);
     108             : }
     109             : GEN
     110       64236 : point_to_a4a6_Fl(GEN E, GEN P, ulong p, ulong *pa4)
     111             : {
     112       64236 :   ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
     113       64236 :   *pa4 = Fl_c4_to_a4(c4, p);
     114       64236 :   return Fle_changepointinv(RgV_to_Flv(P,p), a4a6_ch_Fl(E,p), p);
     115             : }
     116             : 
     117             : /* shallow basistoalg */
     118             : static GEN
     119     1501269 : nftoalg(GEN nf, GEN x)
     120             : {
     121     1501269 :   switch(typ(x))
     122             :   {
     123     1298892 :     case t_INT: case t_FRAC: case t_POLMOD: return x;
     124      202377 :     default: return basistoalg(nf, x);
     125             :   }
     126             : }
     127             : 
     128             : void
     129      728523 : checkellpt(GEN z)
     130             : {
     131      728523 :   if (typ(z)!=t_VEC) pari_err_TYPE("checkellpt", z);
     132      728516 :   switch(lg(z))
     133             :   {
     134      723217 :     case 3: break;
     135        5299 :     case 2: if (isintzero(gel(z,1))) break;
     136             :     /* fall through */
     137           0 :     default: pari_err_TYPE("checkellpt", z);
     138             :   }
     139      728516 : }
     140             : void
     141      229551 : checkell5(GEN E)
     142             : {
     143      229551 :   long l = lg(E);
     144      229551 :   if (typ(E)!=t_VEC || (l != 17 && l != 6)) pari_err_TYPE("checkell5",E);
     145      229551 : }
     146             : void
     147     4381823 : checkell(GEN E)
     148     4381823 : { if (!checkell_i(E)) pari_err_TYPE("checkell",E); }
     149             : void
     150        3528 : checkellisog(GEN v)
     151        3528 : { if (typ(v)!=t_VEC || lg(v) != 4) pari_err_TYPE("checkellisog",v); }
     152             : 
     153             : void
     154        6069 : checkell_Q(GEN E)
     155             : {
     156        6069 :   if (!checkell_i(E) || ell_get_type(E)!=t_ELL_Q)
     157           7 :     pari_err_TYPE("checkell over Q",E);
     158        6062 : }
     159             : 
     160             : void
     161           0 : checkell_Qp(GEN E)
     162             : {
     163           0 :   if (!checkell_i(E) || ell_get_type(E)!=t_ELL_Qp)
     164           0 :     pari_err_TYPE("checkell over Qp",E);
     165           0 : }
     166             : 
     167             : static int
     168      505358 : ell_over_Fq(GEN E)
     169             : {
     170      505358 :   long t = ell_get_type(E);
     171      505358 :   return t==t_ELL_Fp || t==t_ELL_Fq;
     172             : }
     173             : 
     174             : void
     175      254086 : checkell_Fq(GEN E)
     176             : {
     177      254086 :   if (!checkell_i(E) || !ell_over_Fq(E)) pari_err_TYPE("checkell over Fq", E);
     178      254079 : }
     179             : 
     180             : GEN
     181      385702 : ellff_get_p(GEN E)
     182             : {
     183      385702 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
     184      385702 :   return typ(fg)==t_INT? fg: FF_p_i(fg);
     185             : }
     186             : 
     187             : int
     188       52753 : ell_is_integral(GEN E)
     189             : {
     190       52753 :   return typ(ell_get_a1(E)) == t_INT
     191       52711 :       && typ(ell_get_a2(E)) == t_INT
     192       52690 :       && typ(ell_get_a3(E)) == t_INT
     193       52690 :       && typ(ell_get_a4(E)) == t_INT
     194      105464 :       && typ(ell_get_a6(E)) == t_INT;
     195             : }
     196             : 
     197             : static void
     198      378225 : checkcoordch(GEN z)
     199      378225 : { if (typ(z)!=t_VEC || lg(z) != 5) pari_err_TYPE("checkcoordch",z); }
     200             : 
     201             : /* 4 X^3 + b2 X^2 + 2b4 X + b6 */
     202             : GEN
     203      222132 : ec_bmodel(GEN e, long v)
     204             : {
     205      222132 :   GEN b2 = ell_get_b2(e), b6 = ell_get_b6(e), b42 = gmul2n(ell_get_b4(e),1);
     206      222132 :   GEN P = mkpoln(4, utoipos(4), b2, b42, b6);
     207      222132 :   setvarn(P, v); return P;
     208             : }
     209             : 
     210             : /* X^4 - b4*X^2 - 2b6*X - b8 */
     211             : GEN
     212         105 : ec_phi2(GEN e, long v)
     213             : {
     214         105 :   GEN b4 = ell_get_b4(e), b6 = ell_get_b6(e), b8 = ell_get_b8(e);
     215         105 :   GEN P = mkpoln(5, gen_1, gen_0, gneg(b4), gmul2n(gneg(b6),1), gneg(b8));
     216         105 :   setvarn(P, v); return P;
     217             : }
     218             : 
     219             : static int
     220      205266 : invcmp(void *E, GEN x, GEN y) { (void)E; return -gcmp(x,y); }
     221             : 
     222             : /* prec = working precision, prec0 = target precision */
     223             : static GEN
     224      212689 : doellR_roots_i(GEN e, long prec, long prec0)
     225             : {
     226      212689 :   GEN d1, d2, d3, e1, e2, e3, R = cleanroots(ec_bmodel(e,0), prec);
     227      212689 :   long s = ellR_get_sign(e);
     228      212689 :   if (s > 0)
     229             :   { /* sort 3 real roots in decreasing order */
     230       68422 :     R = real_i(R);
     231       68422 :     gen_sort_inplace(R, NULL, &invcmp, NULL);
     232       68422 :     e1 = gel(R,1); e2 = gel(R,2); e3 = gel(R,3);
     233       68422 :     d3 = subrr(e1,e2);
     234       68422 :     d1 = subrr(e2,e3);
     235       68422 :     d2 = subrr(e1,e3);
     236       68422 :     if (realprec(d3) < prec0 || realprec(d1) < prec0) return NULL;
     237             :   } else {
     238      144267 :     e1 = gel(R,1); e2 = gel(R,2); e3 = gel(R,3);
     239      144267 :     if (s < 0)
     240             :     { /* make sure e1 is real, imag(e2) > 0 and imag(e3) < 0 */
     241       82198 :       e1 = real_i(e1);
     242       82198 :       if (signe(gel(e2,2)) < 0) swap(e2, e3);
     243       82198 :       d1 = mkcomplex(gen_0, gsub(gel(e2,2),gel(e3,2)));
     244             :     }
     245             :     else
     246       62069 :       d1 = gsub(e2,e3);
     247      144267 :     d3 = gsub(e1,e2);
     248      144267 :     d2 = gsub(e1,e3);
     249      144267 :     if (precision(d1) < prec0
     250      144254 :         || precision(d2) < prec0
     251      144267 :         || precision(d3) < prec0) return NULL;
     252             :   }
     253      212653 :   return mkcol6(e1,e2,e3,d1,d2,d3);
     254             : }
     255             : static GEN
     256      151452 : doellR_roots(GEN e, long prec0)
     257             : {
     258             :   long p;
     259      151488 :   for (p = prec0;; p = precdbl(p))
     260          36 :   {
     261      151488 :     GEN v = doellR_roots_i(e, p, prec0);
     262      151488 :     if (v) return v;
     263          36 :     if (DEBUGLEVEL) pari_warn(warnprec,"doellR_roots", p);
     264             :   }
     265             : }
     266             : static GEN
     267       83056 : ellR_root(GEN e, long prec) { return gel(ellR_roots(e,prec),1); }
     268             : 
     269             : /* Given E and the x-coordinate of a point Q = [xQ, yQ], return
     270             :  *   f(xQ) = xQ^3 + E.a2 * xQ^2 + E.a4 * xQ + E.a6
     271             :  * where E is given by y^2 + h(x)y = f(x). */
     272             : GEN
     273      782466 : ec_f_evalx(GEN E, GEN x)
     274             : {
     275      782466 :   pari_sp av = avma;
     276             :   GEN z;
     277      782466 :   z = gadd(ell_get_a2(E),x);
     278      782466 :   z = gadd(ell_get_a4(E), gmul(x,z));
     279      782466 :   z = gadd(ell_get_a6(E), gmul(x,z));
     280      782466 :   return gerepileupto(av, z); /* ((x + E.a2) * x + E.a4) * x + E.a6 */
     281             : }
     282             : 
     283             : /* a1 x + a3 */
     284             : GEN
     285     1175948 : ec_h_evalx(GEN e, GEN x)
     286             : {
     287     1175948 :   GEN a1 = ell_get_a1(e);
     288     1175948 :   GEN a3 = ell_get_a3(e);
     289     1175948 :   return gadd(a3, gmul(x,a1));
     290             : }
     291             : static GEN
     292      547463 : Zec_h_evalx(GEN e, GEN x)
     293             : {
     294      547463 :   GEN a1 = ell_get_a1(e);
     295      547463 :   GEN a3 = ell_get_a3(e);
     296      547463 :   return signe(a1)? addii(a3, mulii(x, a1)): a3;
     297             : }
     298             : /* y^2 + a1 xy + a3 y = y^2 + h(x)y */
     299             : static GEN
     300      129723 : ec_LHS_evalQ(GEN e, GEN Q)
     301             : {
     302      129723 :   GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
     303      129723 :   return gmul(y, gadd(y, ec_h_evalx(e,x)));
     304             : }
     305             : 
     306             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     307             :  *   3 * xQ^2 + 2 * E.a2 * xQ + E.a4 - E.a1 * yQ.
     308             :  * which is the derivative of the curve equation
     309             :  *   f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
     310             :  * wrt x evaluated at Q */
     311             : GEN
     312      130929 : ec_dFdx_evalQ(GEN E, GEN Q)
     313             : {
     314      130929 :   pari_sp av = avma;
     315      130929 :   GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
     316      130929 :   GEN a1 = ell_get_a1(E);
     317      130929 :   GEN a2 = ell_get_a2(E);
     318      130929 :   GEN a4 = ell_get_a4(E);
     319      130929 :   GEN tmp = gmul(gadd(gmulsg(3L,x), gmul2n(a2,1)), x);
     320      130929 :   return gerepileupto(av, gadd(tmp, gsub(a4, gmul(a1, y))));
     321             : }
     322             : 
     323             : /* 2y + a1 x + a3 = -ec_dFdy_evalQ */
     324             : GEN
     325      256042 : ec_dmFdy_evalQ(GEN e, GEN Q)
     326             : {
     327      256042 :   GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
     328      256042 :   return gadd(ec_h_evalx(e,x), gmul2n(y,1));
     329             : }
     330             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     331             :  *  -(2 * yQ + E.a1 * xQ + E.a3)
     332             :  * which is the derivative of the curve equation
     333             :  *  f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
     334             :  * wrt y evaluated at Q */
     335             : GEN
     336         532 : ec_dFdy_evalQ(GEN E, GEN Q)
     337             : {
     338         532 :   pari_sp av = avma;
     339         532 :   return gerepileupto(av, gneg(ec_dmFdy_evalQ(E,Q)));
     340             : }
     341             : 
     342             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     343             :  *   4 xQ^3 + E.b2 xQ^2 + 2 E.b4 xQ + E.b6
     344             :  * which is the 2-division polynomial of E evaluated at Q */
     345             : GEN
     346       29715 : ec_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
     347             : {
     348       29715 :   pari_sp av = avma;
     349       29715 :   GEN b2 = ell_get_b2(E), x4 = gmul2n(x,2), t1, t2;
     350       29715 :   GEN b42 = gmul2n(ell_get_b4(E), 1);
     351       29715 :   GEN b6 = ell_get_b6(E);
     352       29715 :   if (ell_get_type(E) == t_ELL_NF && typ(x)==t_COL)
     353           0 :   {
     354           0 :     GEN nf = ellnf_get_nf(E);
     355           0 :     t1 = nfmul(nf, nfadd(nf, x4, b2), x);
     356           0 :     t2 = nfadd(nf, t1, b42);
     357           0 :     t2 = nfadd(nf, nfmul(nf, t2, x), b6);
     358           0 :     t2 = nftoalg(nf, t2);
     359             :   }
     360             :   else
     361             :   {
     362       29715 :     t1 = gmul(gadd(x4, b2), x);
     363       29715 :     t2 = gadd(t1, b42);
     364       29715 :     t2 = gadd(gmul(t2, x), b6);
     365             :   }
     366       29715 :   return gerepileupto(av, t2);
     367             : }
     368             : 
     369             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     370             :  *   3 xQ^4 + E.b2 xQ^3 + 3 E.b4 xQ^2 + 3*E.b6 xQ + E.b8
     371             :  * which is the 3-division polynomial of E evaluated at Q */
     372             : GEN
     373       65276 : ec_3divpol_evalx(GEN E, GEN x)
     374             : {
     375       65276 :   pari_sp av = avma;
     376       65276 :   GEN b2 = ell_get_b2(E);
     377       65276 :   GEN b4 = ell_get_b4(E);
     378       65276 :   GEN b6 = ell_get_b6(E);
     379       65276 :   GEN b8 = ell_get_b8(E);
     380       65276 :   GEN x2 = gsqr(x);
     381       65276 :   GEN t1 = gadd(gadd(gmulsg(3L, x2), gmul(b2, x)), gmulsg(3L, b4));
     382       65276 :   GEN t2 = gadd(gmul(gmulsg(3L, b6), x), b8);
     383       65276 :   return gerepileupto(av, gadd(gmul(t1, x2), t2));
     384             : }
     385             : 
     386             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     387             :  *   6 xQ^2 + E.b2 xQ + E.b4
     388             :  * which, if f is the curve equation, is 2 dfdx - E.a1 dfdy evaluated at Q */
     389             : GEN
     390         812 : ec_half_deriv_2divpol(GEN E, long v)
     391         812 : { return deg2pol_shallow(utoi(6), ell_get_b2(E), ell_get_b4(E), v); }
     392             : 
     393             : GEN
     394         707 : ec_half_deriv_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
     395             : {
     396         707 :   pari_sp av = avma;
     397         707 :   GEN b2 = ell_get_b2(E);
     398         707 :   GEN b4 = ell_get_b4(E);
     399         707 :   GEN res = gadd(gmul(gadd(gmulsg(6L, x), b2), x), b4);
     400         707 :   return gerepileupto(av, res);
     401             : }
     402             : 
     403             : /* Return the characteristic of the ring over which E is defined. */
     404             : GEN
     405        3927 : ellbasechar(GEN E)
     406             : {
     407        3927 :   pari_sp av = avma;
     408        3927 :   GEN D = ell_get_disc(E);
     409        3927 :   return gerepileuptoint(av, characteristic(D));
     410             : }
     411             : 
     412             : /* Initialize basic elliptic struct y[1..12] for initsmall
     413             :  * (do not include j to allow for singular Weistrass model)
     414             :  * Also allocate room for n dynamic members. */
     415             : static GEN
     416      162582 : initsmall46(GEN a4, GEN a6, long n)
     417             : {
     418      162582 :   GEN y = obj_init(15, n);
     419      162582 :   gel(y,1) = gen_0;
     420      162582 :   gel(y,2) = gen_0;
     421      162582 :   gel(y,3) = gen_0;
     422      162582 :   gel(y,4) = a4;
     423      162582 :   gel(y,5) = a6;
     424      162582 :   gel(y,6) = gen_0;
     425      162582 :   gel(y,7) = gmul2n(a4,1);
     426      162582 :   gel(y,8) = gmul2n(a6,2);
     427      162582 :   gel(y,9) = gneg(gsqr(a4));
     428      162581 :   gel(y,10)= gmulgs(a4,-48);
     429      162582 :   gel(y,11)= gmulgs(a6,-864);
     430      162582 :   gel(y,12)= gadd(gmul(gmulgs(a4,-64), gsqr(a4)), gmulsg(-432,gsqr(a6)));
     431      162582 :   gel(y,16) = zerovec(n); return y;
     432             : }
     433             : /* [a1,a2,a3,a4,a6] */
     434             : static GEN
     435      935909 : initsmall5(GEN x, long n)
     436             : {
     437      935909 :   GEN a1 = gel(x,1), a2 = gel(x,2), a3 = gel(x,3);
     438      935909 :   GEN a4 = gel(x,4), a6 = gel(x,5);
     439             :   GEN y, b2, b4, b6, b8, c4, c6, D, a11, a13, a33, b22;
     440      935909 :   if (gequal0(a1) && gequal0(a2) && gequal0(a3)) return initsmall46(a4, a6, n);
     441      793564 :   a11= gsqr(a1);
     442      793564 :   b2 = gadd(a11, gmul2n(a2,2));
     443      793564 :   a13= gmul(a1, a3);
     444      793564 :   b4 = gadd(a13, gmul2n(a4,1));
     445      793564 :   a33= gsqr(a3);
     446      793564 :   b6 = gadd(a33, gmul2n(a6,2));
     447      793564 :   b8 = gsub(gadd(gmul(a11,a6), gmul(b6, a2)), gmul(a4, gadd(a4,a13)));
     448      793564 :   b22= gsqr(b2);
     449      793564 :   c4 = gadd(b22, gmulsg(-24,b4));
     450      793564 :   c6 = gadd(gmul(b2,gsub(gmulsg(36,b4),b22)), gmulsg(-216,b6));
     451      793564 :   D  = gsub(gmul(b4, gadd(gmulsg(9,gmul(b2,b6)),gmulsg(-8,gsqr(b4)))),
     452             :             gadd(gmul(b22,b8),gmulsg(27,gsqr(b6))));
     453      793564 :   y = obj_init(15, n);
     454      793564 :   gel(y,1) = a1;
     455      793564 :   gel(y,2) = a2;
     456      793564 :   gel(y,3) = a3;
     457      793564 :   gel(y,4) = a4;
     458      793564 :   gel(y,5) = a6;
     459      793564 :   gel(y,6) = b2; /* a1^2 + 4a2 */
     460      793564 :   gel(y,7) = b4; /* a1 a3 + 2a4 */
     461      793564 :   gel(y,8) = b6; /* a3^2 + 4 a6 */
     462      793564 :   gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
     463      793564 :   gel(y,10)= c4; /* b2^2 - 24 b4 */
     464      793564 :   gel(y,11)= c6; /* 36 b2 b4 - b2^3 - 216 b6 */
     465      793564 :   gel(y,12)= D;
     466      793564 :   gel(y,16) = zerovec(n); return y;
     467             : }
     468             : 
     469             : static GEN
     470      948124 : get_j(GEN c4, GEN D)
     471             : {
     472             :   GEN g, d, c;
     473      948124 :   if (typ(D) != t_POL || typ(c4) != t_POL || varn(D) != varn(c4))
     474      947788 :     return gdiv(gmul(gsqr(c4),c4), D);
     475             :   /* c4^3 / D, simplifying incrementally */
     476         336 :   g = RgX_gcd(D, c4);
     477         336 :   if (degpol(g) == 0) return gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c4), D);
     478          42 :   c = RgX_div(c4, g);
     479          42 :   D = RgX_div(D, g);
     480          42 :   g = RgX_gcd(D,c4);
     481          42 :   if (degpol(g) == 0) return gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c), D);
     482          35 :   D = RgX_div(D, g); d = RgX_div(c4, g);
     483          35 :   g = RgX_gcd(D,c4);
     484          35 :   if (degpol(g)) { D = RgX_div(D, g); c4 = RgX_div(c4, g); }
     485          35 :   return gred_rfrac_simple(gmul(gmul(c4, d),c), D);
     486             : }
     487             : 
     488             : /* return basic elliptic struct y[1..13], y[14] (domain type) and y[15]
     489             :  * (domain-specific data) are left uninitialized, from x[1], ..., x[5].
     490             :  * Also allocate room for n dynamic members (actually stored in the last
     491             :  * component y[16])*/
     492             : static GEN
     493      956125 : initsmall(GEN x, long n)
     494             : {
     495             :   GEN y, D;
     496             : 
     497      956125 :   switch(lg(x))
     498             :   {
     499         490 :     case 2: y = initsmall5(ellfromj(gel(x,1)), n); break;
     500       20237 :     case 3: y = initsmall46(gel(x,1), gel(x,2), n); break;
     501      935398 :     case 6:
     502      935398 :     case 17: y = initsmall5(x, n); break;
     503           0 :     default:
     504           0 :       pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",x);
     505             :       return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
     506             :   }
     507      956125 :   D = ell_get_disc(y); if (gequal0(D)) return NULL;
     508      948124 :   gel(y,13) = get_j(ell_get_c4(y), D); return y;
     509             : }
     510             : void
     511           0 : ellprint(GEN e)
     512             : {
     513           0 :   pari_sp av = avma;
     514             :   long vx, vy;
     515             :   GEN z;
     516           0 :   checkell5(e);
     517           0 :   vx = fetch_var(); name_var(vx, "X");
     518           0 :   vy = fetch_var(); name_var(vy, "Y"); z = mkvec2(pol_x(vx), pol_x(vy));
     519           0 :   err_printf("%Ps - (%Ps)\n", ec_LHS_evalQ(e, z), ec_f_evalx(e, pol_x(vx)));
     520           0 :   (void)delete_var();
     521           0 :   (void)delete_var(); set_avma(av);
     522           0 : }
     523             : 
     524             : /* compute a,b such that E1: y^2 = x(x-a)(x-b) ~ E */
     525             : static GEN
     526       58842 : doellR_ab(GEN E, long prec)
     527             : {
     528       58842 :   GEN b2 = ell_get_b2(E), R = ellR_roots(E, prec);
     529       58842 :   GEN e1 = gel(R,1), d2 = gel(R,5), d3 =  gel(R,6), a, b, t;
     530             : 
     531       58842 :   t = gmul2n(gadd(mulur(12,e1), b2), -4); /* = (12 e1 + b2) / 16 */
     532       58842 :   if (ellR_get_sign(E) > 0)
     533       26733 :     b = mulrr(d3,d2);
     534             :   else
     535       32109 :     b = cxnorm(d3);
     536       58842 :   b = sqrtr(b); /* = sqrt( (e1 - e2)(e1 - e3) ) */
     537       58842 :   if (gsigne(t) > 0) togglesign(b);
     538       58842 :   a = gsub(gmul2n(b,-1),t);
     539       58842 :   return mkvec2(a, b);
     540             : }
     541             : GEN
     542       83056 : ellR_ab(GEN E, long prec)
     543       83056 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_AB, &doellR_ab, prec); }
     544             : 
     545             : /* q a t_REAL*/
     546             : static long
     547          84 : real_prec(GEN q)
     548          84 : { return signe(q)? realprec(q): LONG_MAX; }
     549             : /* q a t_PADIC */
     550             : static long
     551         252 : padic_prec(GEN q)
     552         252 : { return signe(gel(q,4))? precp(q)+valp(q): valp(q); }
     553             : 
     554             : /* check whether moduli are consistent */
     555             : static void
     556       99610 : chk_p(GEN p, GEN p2)
     557       99610 : { if (!equalii(p, p2)) pari_err_MODULUS("ellinit", p,p2); }
     558             : 
     559             : static int
     560      230433 : fix_nftype(GEN *pp)
     561             : {
     562      230433 :   switch(nftyp(*pp))
     563             :   {
     564      230433 :     case typ_NF: case typ_BNF: break;
     565           0 :     case typ_BNR:*pp = bnr_get_bnf(*pp); break;
     566           0 :     default: return 0;
     567             :   }
     568      230433 :   return 1;
     569             : }
     570             : static long
     571      960528 : base_ring(GEN x, GEN *pp, long *prec)
     572             : {
     573      960528 :   long i, e = *prec, ep = LONG_MAX, imax = minss(lg(x), 6);
     574      960528 :   GEN p = NULL, pol = NULL;
     575      960528 :   long t = t_FRAC;
     576      960528 :   if (*pp) switch(t = typ(*pp))
     577             :   {
     578      491155 :     case t_INT:
     579      491155 :       if (cmpis(*pp,2) < 0) { t = t_FRAC; p = NULL; break; }
     580        2016 :       p = *pp;
     581        2016 :       t = t_INTMOD;
     582        2016 :       break;
     583         665 :     case t_INTMOD:
     584         665 :       p = gel(*pp, 1);
     585         665 :       break;
     586          28 :     case t_REAL:
     587          28 :       e = real_prec(*pp);
     588          28 :       p = NULL;
     589          28 :       break;
     590         231 :     case t_PADIC:
     591         231 :       ep = padic_prec(*pp);
     592         231 :       p = gel(*pp, 2);
     593         231 :       break;
     594        1820 :     case t_FFELT:
     595        1820 :       p = *pp;
     596        1820 :       break;
     597      230433 :     case t_VEC:
     598      230433 :       t = t_VEC; p = *pp;
     599      230433 :       if (fix_nftype(&p)) break;
     600             :     default:
     601           7 :       pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", *pp);
     602           0 :       return 0;
     603             :   }
     604      960521 :   if (t==t_VEC) pol = nf_get_pol(checknf(p));
     605             :   /* Possible cases:
     606             :    * t = t_VEC (p an nf or bnf)
     607             :    * t = t_FFELT (p t_FFELT)
     608             :    * t = t_INTMOD (p a prime)
     609             :    * t = t_PADIC (p a prime, ep = padic prec)
     610             :    * t = t_REAL (p = NULL, e = real prec)
     611             :    * t = t_FRAC (p = NULL) */
     612     5553735 :   for (i = 1; i < imax; i++)
     613             :   {
     614     4599395 :     GEN p2, q = gel(x,i);
     615     4599395 :     switch(typ(q)) {
     616          42 :       case t_PADIC:
     617          42 :         p2 = gel(q,2);
     618             :         switch(t)
     619             :         {
     620          21 :           case t_FRAC:  t = t_PADIC; p = p2; break;
     621           7 :           case t_PADIC: chk_p(p,p2); break;
     622          14 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     623             :         }
     624          21 :         ep = minss(ep, padic_prec(q));
     625          21 :         break;
     626      124551 :       case t_INTMOD:
     627      124551 :         p2 = gel(q,1);
     628             :         switch(t)
     629             :         {
     630       24962 :           case t_FRAC:  t = t_INTMOD; p = p2; break;
     631          49 :           case t_FFELT: chk_p(FF_p_i(p),p2); break;
     632       99526 :           case t_INTMOD:chk_p(p,p2); break;
     633          14 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     634             :         }
     635      124537 :         break;
     636      168576 :       case t_FFELT:
     637             :         switch(t)
     638             :         {
     639          14 :           case t_INTMOD: chk_p(p, FF_p_i(q)); /* fall through */
     640       85381 :           case t_FRAC:   t = t_FFELT; p = q; break;
     641       83188 :           case t_FFELT:
     642       83188 :             if (!FF_samefield(p,q) && FF_f(q)>1) pari_err_MODULUS("ellinit", p,q);
     643       83188 :             break;
     644           0 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     645             :         }
     646      168569 :         break;
     647             : 
     648     3978458 :       case t_INT: case t_FRAC: break;
     649          56 :       case t_REAL:
     650             :         switch(t)
     651             :         {
     652          35 :           case t_REAL: e = minss(e, real_prec(q)); break;
     653          21 :           case t_FRAC: e = real_prec(q); t = t_REAL; break;
     654           0 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     655             :         }
     656          56 :         break;
     657      326459 :       case t_POLMOD:
     658      326459 :         if (pol && !RgX_equal(pol, gel(q,1)))
     659           7 :           pari_err_MODULUS("ellinit",gel(q,1), pol);
     660             :       case t_COL:
     661             :       case t_POL:
     662      327691 :         if (t == t_VEC) break;
     663             :       default: /* base ring too general */
     664        6132 :         return t_COMPLEX;
     665             :     }
     666             :   }
     667      954340 :   *pp = p; *prec = (t == t_PADIC)? ep: e; return t;
     668             : }
     669             : 
     670             : /* s = 0 complex, else real;
     671             :  * if (s = 2) set s = sign(D), else accept s as is */
     672             : static GEN
     673       67361 : ellinit_Rg(GEN x, long s, long prec)
     674             : {
     675             :   GEN y;
     676       67361 :   if (lg(x) > 6) switch(ell_get_type(x))
     677             :   {
     678           7 :     case t_ELL_Rg:
     679           7 :     case t_ELL_Q: break;
     680           7 :     default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     681             :   }
     682       67354 :   if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
     683       67354 :   if (s == 2) s = gsigne(ell_get_disc(y));
     684       67354 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Rg);
     685       67354 :   gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec, s));
     686       67354 :   return y;
     687             : }
     688             : 
     689             : static GEN
     690         203 : ellinit_Qp(GEN x, GEN p, long prec)
     691             : {
     692             :   GEN y;
     693         203 :   if (lg(x) > 6)
     694             :   {
     695          28 :     switch(ell_get_type(x))
     696             :     { /* sanity checks */
     697          21 :       case t_ELL_Q: break;
     698           7 :       case t_ELL_Qp: chk_p(ellQp_get_p(x), p); break;
     699           0 :       default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     700             :     }
     701          21 :     x = vecslice(x,1,5);
     702             :   }
     703         196 :   x = QpV_to_QV(x); /* make entries rational */
     704         196 :   if (!(y = initsmall(x, 2))) return NULL;
     705         196 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Qp);
     706         196 :   gel(y,15) = mkvec(zeropadic(p, prec));
     707         196 :   return y;
     708             : }
     709             : 
     710             : static GEN
     711      535584 : ellinit_Q(GEN x, long prec)
     712             : {
     713             :   GEN y;
     714             :   long s;
     715      535584 :   if (!(y = initsmall(x, 8))) return NULL;
     716      535451 :   s = gsigne( ell_get_disc(y) );
     717      535451 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Q);
     718      535451 :   gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec, s));
     719      535451 :   return y;
     720             : }
     721             : 
     722             : static GEN
     723      567553 : nfVtoalg(GEN nf, GEN x) { pari_APPLY_same(nftoalg(nf,gel(x,i))); }
     724             : 
     725             : static GEN
     726       73395 : ellinit_nf(GEN x, GEN p)
     727             : {
     728             :   GEN y, nf;
     729       73395 :   if (lg(x) > 6) x = vecslice(x,1,5);
     730       73395 :   nf = checknf(p);
     731       73395 :   x = nfVtoalg(nf, x);
     732       73395 :   if (!(y = initsmall(x, 5))) return NULL;
     733       73395 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_NF);
     734       73395 :   gel(y,15) = mkvec(p);
     735       73395 :   return y;
     736             : }
     737             : 
     738             : /* FF_ellinit allows singular cubic, return NULL in that case */
     739             : static GEN
     740      121032 : FF_ellinit_ns(GEN x, GEN fg)
     741             : {
     742      121032 :   x = FF_ellinit(x,fg);
     743      121032 :   return FF_equal0(ell_get_disc(x))? NULL: x;
     744             : }
     745             : 
     746             : static GEN
     747     1959035 : to_mod(GEN x, GEN p) { return mkintmod(Rg_to_Fp(x,p), p); }
     748             : static GEN
     749      165116 : ellinit_Fp(GEN x, GEN p)
     750             : {
     751             :   long i;
     752             :   GEN y, disc;
     753      165116 :   if (lg(x) > 6) switch(ell_get_type(x))
     754             :   {
     755        2429 :     case t_ELL_Q: break;
     756           0 :     case t_ELL_Fp: chk_p(ellff_get_p(x),p); break;
     757           7 :     case t_ELL_Qp: chk_p(ellQp_get_p(x),p); break;
     758           0 :     default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     759             :   }
     760      165109 :   if (lg(x) == 2) x = ellfromj(to_mod(gel(x,1), p));
     761      165109 :   if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
     762             :   /* ell_to_a4a6_bc does not handle p<=3 */
     763      160167 :   if (abscmpiu(p, 3) <= 0) return FF_ellinit_ns(y,p_to_FF(p,0));
     764      150696 :   disc = Rg_to_Fp(ell_get_disc(y),p);
     765      150696 :   if (!signe(disc)) return NULL;
     766     2109626 :   for(i = 1; i <= 13; i++) gel(y,i) = to_mod(gel(y,i),p);
     767      150689 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Fp);
     768      150689 :   gel(y,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(y, p));
     769      150689 :   return y;
     770             : }
     771             : 
     772             : static GEN
     773      114487 : ellinit_Fq(GEN x, GEN fg)
     774             : {
     775             :   GEN y;
     776      114487 :   if (lg(x) == 2)
     777             :   {
     778       33418 :     GEN j = gel(x,1);
     779       33418 :     if (typ(j) != t_FFELT) j = Fq_to_FF(j, fg);
     780       33418 :     x = ellfromj(j);
     781             :   }
     782      114487 :   if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
     783      111561 :   return FF_ellinit_ns(y,fg);
     784             : }
     785             : 
     786             : static GEN
     787      137746 : ellnf_to_Fq(GEN nf, GEN x, GEN P, GEN *pp, GEN *pT)
     788             : {
     789      137746 :   GEN e = vecslice(x,1,5);
     790             :   GEN p, modP;
     791      137746 :   if (get_modpr(P))
     792             :   { /* modpr accept */
     793      108724 :     modP = P;
     794      108724 :     p = modpr_get_p(modP);
     795             :   }
     796             :   else
     797             :   { /* pr, initialize modpr */
     798       29022 :     GEN d = Q_denom(e);
     799       29022 :     p = pr_get_p(P);
     800       29022 :     modP = dvdii(d,p)? nfmodprinit(nf,P): zkmodprinit(nf,P);
     801             :   }
     802      137746 :   *pp = p;
     803      137746 :   *pT = modpr_get_T(modP);
     804      137746 :   return nfV_to_FqV(e, nf, modP);
     805             : }
     806             : static GEN
     807      137725 : ellinit_nf_to_Fq(GEN nf, GEN E, GEN P)
     808             : {
     809             :   GEN T,p;
     810      137725 :   E = ellnf_to_Fq(nf, E, P, &p, &T);
     811      137725 :   return T? ellinit_Fq(E,Tp_to_FF(T,p)): ellinit_Fp(E,p);
     812             : }
     813             : 
     814             : static GEN
     815      866728 : ellinit_i(GEN x, GEN D, long prec)
     816             : {
     817             :   GEN y;
     818             : 
     819      866728 :   switch(typ(x))
     820             :   {
     821           7 :     case t_STR: x = gel(ellsearchcurve(x),2); break;
     822      866721 :     case t_VEC:
     823      866721 :       switch(lg(x))
     824             :       {
     825      866714 :         case 2: case 3: case 6: case 17: break;
     826           7 :         default: pari_err_TYPE("ellinit",x);
     827             :       }
     828      866714 :       break;
     829           0 :     default: pari_err_TYPE("ellinit",x);
     830             :   }
     831      866721 :   if (D && get_prid(D))
     832             :   {
     833      137249 :     if (lg(x) == 6 || ell_get_type(x) != t_ELL_NF) pari_err_TYPE("ellinit",x);
     834      137249 :     return ellinit_nf_to_Fq(ellnf_get_nf(x), x, D);
     835             :   }
     836      729472 :   switch (base_ring(x, &D, &prec))
     837             :   {
     838         203 :   case t_PADIC:
     839         203 :     y = ellinit_Qp(x, D, prec);
     840         196 :     break;
     841       27615 :   case t_INTMOD:
     842       27615 :     y = ellinit_Fp(x, D);
     843       27608 :     break;
     844       87075 :   case t_FFELT:
     845       87075 :     y = ellinit_Fq(x, D);
     846       87075 :     break;
     847      535584 :   case t_FRAC:
     848      535584 :     y = ellinit_Q(x, prec);
     849      535584 :     break;
     850          28 :   case t_REAL:
     851          28 :     y = ellinit_Rg(x, 2, prec);
     852          21 :     break;
     853       72779 :   case t_VEC:
     854       72779 :     y = ellinit_nf(x, D);
     855       72779 :     break;
     856        6132 :   default:
     857        6132 :     y = ellinit_Rg(x, 0, prec);
     858             :   }
     859      729395 :   return y;
     860             : }
     861             : GEN
     862      865706 : ellinit(GEN x, GEN D, long prec)
     863             : {
     864      865706 :   pari_sp av = avma;
     865      865706 :   GEN y = ellinit_i(x, D, prec);
     866      865622 :   if (!y) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
     867      857607 :   return gerepilecopy(av,y);
     868             : }
     869             : 
     870             : /********************************************************************/
     871             : /**                                                                **/
     872             : /**                     COORDINATE CHANGE                          **/
     873             : /**  Apply [u,r,s,t]. All coordch_* functions update E[1..14] only **/
     874             : /**  and copy E[15] (type-specific data), E[16] (dynamic data)     **/
     875             : /**  verbatim                                                      **/
     876             : /**                                                                **/
     877             : /********************************************************************/
     878             : /* [1,0,0,0] */
     879             : static GEN
     880     2686929 : init_ch(void) { return mkvec4(gen_1,gen_0,gen_0,gen_0); }
     881             : static int
     882      488817 : is_trivial_change(GEN v)
     883             : {
     884             :   GEN u, r, s, t;
     885      488817 :   if (typ(v) == t_INT) return 1;
     886      488817 :   u = gel(v,1); r = gel(v,2); s = gel(v,3); t = gel(v,4);
     887      488817 :   return isint1(u) && isintzero(r) && isintzero(s) && isintzero(t);
     888             : }
     889             : 
     890             : /* Accumulate the effects of variable changes w o v, where
     891             :  * w = [u,r,s,t], *vtotal = v = [U,R,S,T]. No assumption on types */
     892             : static void
     893        1708 : gcomposev(GEN *vtotal, GEN w)
     894             : {
     895        1708 :   GEN v = *vtotal;
     896             :   GEN U2, U, R, S, T, u, r, s, t;
     897             : 
     898        1708 :   if (!v || typ(v) == t_INT) { *vtotal = w; return; }
     899        1680 :   U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
     900        1680 :   u = gel(w,1); r = gel(w,2); s = gel(w,3); t = gel(w,4);
     901        1680 :   U2 = NULL;
     902        1680 :   if (!gequal0(r))
     903             :   {
     904             :     GEN rU2;
     905         784 :     U2 = gsqr(U); rU2 = gmul(U2, r);
     906         784 :     R = gadd(R, rU2);
     907         784 :     T = gadd(T, gmul(S, rU2));
     908             :   }
     909        1680 :   if (!gequal0(s)) S = gadd(S, gmul(U, s));
     910        1680 :   if (!gequal0(t))
     911             :   {
     912         896 :     if (!U2) U2 = gsqr(U);
     913         896 :     T = gadd(T, gmul(gmul(U,U2), t));
     914             :   }
     915        1680 :   gel(v,1) = gmul(U, u);
     916        1680 :   gel(v,2) = R;
     917        1680 :   gel(v,3) = S;
     918        1680 :   gel(v,4) = T;
     919             : }
     920             : 
     921             : /* [u,r,s,t]^-1 = [ 1/u,-r/u^2,-s/u, (rs-t)/u^3 ] */
     922             : GEN
     923          70 : ellchangeinvert(GEN w)
     924             : {
     925             :   GEN u,r,s,t, u2,u3, U,R,S,T;
     926          70 :   if (typ(w) == t_INT) return w;
     927          70 :   u = gel(w,1);
     928          70 :   r = gel(w,2);
     929          70 :   s = gel(w,3);
     930          70 :   t = gel(w,4);
     931          70 :   u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u2,u);
     932          70 :   U = ginv(u);
     933          70 :   R = gdiv(gneg(r), u2);
     934          70 :   S = gdiv(gneg(s), u);
     935          70 :   T = gdiv(gsub(gmul(r,s), t), u3);
     936          70 :   return mkvec4(U,R,S,T);
     937             : }
     938             : 
     939             : static GEN
     940      181783 : ell_to_nfell10(GEN e)
     941             : {
     942             :   long i;
     943      181783 :   GEN nf = ellnf_get_nf(e);
     944      181783 :   GEN y = cgetg(11,t_VEC);
     945     1999613 :   for(i=1; i<=10; i++)
     946     1817830 :     gel(y, i) = nf_to_scalar_or_basis(nf, gel(e, i));
     947      181783 :   return y;
     948             : }
     949             : 
     950             : /* apply [u^(-1),0,0,0] */
     951             : static GEN
     952      444010 : nf_coordch_uinv(GEN nf, GEN e, GEN u)
     953             : {
     954             :   GEN y, u2, u3, u4, u6, u8;
     955             :   long lx;
     956      444010 :   if (gequal1(u)) return e;
     957      443541 :   y = cgetg_copy(e, &lx);
     958      443541 :   u2 = nfsqr(nf,u); u3 = nfmul(nf,u,u2); u4 = nfsqr(nf,u2);
     959      443541 :   u6 = nfsqr(nf,u3); u8 = nfsqr(nf,u4);
     960      443541 :   gel(y,1) = nfmul(nf,ell_get_a1(e),  u);
     961      443541 :   gel(y,2) = nfmul(nf,ell_get_a2(e), u2);
     962      443541 :   gel(y,3) = nfmul(nf,ell_get_a3(e), u3);
     963      443541 :   gel(y,4) = nfmul(nf,ell_get_a4(e), u4);
     964      443541 :   gel(y,5) = nfmul(nf,ell_get_a6(e), u6);
     965      443541 :   if (lx == 6) return y;
     966      443534 :   gel(y,6) = nfmul(nf,ell_get_b2(e), u2);
     967      443534 :   gel(y,7) = nfmul(nf,ell_get_b4(e), u4);
     968      443534 :   gel(y,8) = nfmul(nf,ell_get_b6(e), u6);
     969      443534 :   gel(y,9) = nfmul(nf,ell_get_b8(e), u8);
     970      443534 :   return y;
     971             : }
     972             : /* apply [1,r,0,0] */
     973             : static GEN
     974      499738 : nf_coordch_r(GEN nf, GEN e, GEN r)
     975             : {
     976             :   GEN a2, a4, b4, b6, y, p1, r2, b2r, rx3;
     977             :   long lx;
     978      499738 :   if (gequal0(r)) return e;
     979      420560 :   y = cgetg_copy(e, &lx);
     980      420560 :   a2 = ell_get_a2(e); a4 = ell_get_a4(e);
     981      420560 :   rx3 = gmulsg(3,r);
     982             : 
     983      420560 :   gel(y,1) = ell_get_a1(e);
     984             :   /* A2 = a2 + 3r */
     985      420560 :   gel(y,2) = nfadd(nf,a2,rx3);
     986             :   /* A3 = a1 r + a3 */
     987      420560 :   gel(y,3) = nfadd(nf,ell_get_a3(e), nfmul(nf,ell_get_a1(e),r));
     988             :   /* A4 = 3r^2 + 2a2 r + a4 */
     989      420560 :   gel(y,4) = nfadd(nf,a4, nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmul2n(a2,1),rx3)));
     990             :   /* A6 = r^3 + a2 r^2 + a4 r + a6 */
     991      420560 :   gel(y,5) = nfadd(nf,ell_get_a6(e),nfmul(nf,r,nfadd(nf, a4, nfmul(nf,r,nfadd(nf,a2, r)))));
     992      420560 :   if (lx == 6) return y;
     993             : 
     994      420553 :   b4 = ell_get_b4(e);
     995      420553 :   b6 = ell_get_b6(e);
     996             :   /* B2 = 12r + b2 */
     997      420553 :   gel(y,6) = nfadd(nf,ell_get_b2(e),gmul2n(rx3,2));
     998      420553 :   b2r = nfmul(nf,r, ell_get_b2(e));
     999      420553 :   r2 = nfsqr(nf,r);
    1000             :   /* B4 = 6r^2 + b2 r + b4 */
    1001      420553 :   gel(y,7) = nfadd(nf,b4,nfadd(nf,b2r, gmulsg(6,r2)));
    1002             :   /* B6 = 4r^3 + 2b2 r^2 + 2b4 r + b6 */
    1003      420553 :   gel(y,8) = nfadd(nf,b6,nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmul2n(b4,1), nfadd(nf,b2r,gmul2n(r2,2)))));
    1004             :   /* B8 = 3r^4 + b2 r^3 + 3b4 r^2 + 3b6 r + b8 */
    1005      420553 :   p1 = nfadd(nf,gmulsg(3,b4),nfadd(nf,b2r, gmulsg(3,r2)));
    1006      420553 :   gel(y,9) = nfadd(nf,ell_get_b8(e), nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmulsg(3,b6), nfmul(nf,r,p1))));
    1007      420553 :   return y;
    1008             : }
    1009             : 
    1010             : static GEN
    1011      184637 : nf_coordch_s(GEN nf, GEN e, GEN s)
    1012             : {
    1013             :   GEN a1, y;
    1014      184637 :   if (gequal0(s)) return e;
    1015      184637 :   a1 = ell_get_a1(e);
    1016      184637 :   y = leafcopy(e);
    1017             : 
    1018             :   /* A1 = a1 + 2s */
    1019      184637 :   gel(y,1) = nfadd(nf,a1,gmul2n(s,1));
    1020             :   /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
    1021      184637 :   gel(y,2) = nfsub(nf,ell_get_a2(e),nfmul(nf,s,nfadd(nf,a1,s)));
    1022             :   /* A4 = a4 - s a3 */
    1023      184637 :   gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e),nfmul(nf,s,ell_get_a3(e)));
    1024      184637 :   return y;
    1025             : }
    1026             : /* apply [1,0,0,t] */
    1027             : static GEN
    1028      407287 : nf_coordch_t(GEN nf, GEN e, GEN t)
    1029             : {
    1030             :   GEN a1, a3, y;
    1031      407287 :   if (gequal0(t)) return e;
    1032      406811 :   a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
    1033      406811 :   y = leafcopy(e);
    1034             :   /* A3 = 2t + a3 */
    1035      406811 :   gel(y,3) = nfadd(nf,a3, gmul2n(t,1));
    1036             :   /* A4 = a4 - a1 t */
    1037      406811 :   gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e), nfmul(nf,t,a1));
    1038             :   /* A6 = a6 - t(t + a3) */
    1039      406811 :   gel(y,5) = nfsub(nf,ell_get_a6(e), nfmul(nf,t,nfadd(nf,t, a3)));
    1040      406811 :   return y;
    1041             : }
    1042             : 
    1043             : /* apply [1,0,s,t] */
    1044             : static GEN
    1045       19378 : nf_coordch_st(GEN nf, GEN e, GEN s, GEN t)
    1046             : {
    1047             :   GEN y, a1, a3;
    1048       19378 :   if (gequal0(s)) return nf_coordch_t(nf, e, t);
    1049       18902 :   if (gequal0(t)) return nf_coordch_s(nf, e, s);
    1050       18902 :   a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
    1051       18902 :   y = leafcopy(e);
    1052             :   /* A1 = a1 + 2s */
    1053       18902 :   gel(y,1) = nfadd(nf,a1,gmul2n(s,1));
    1054             :   /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
    1055       18902 :   gel(y,2) = nfsub(nf,ell_get_a2(e),nfmul(nf,s,nfadd(nf,a1,s)));
    1056             :   /* A3 = 2t + a3 */
    1057       18902 :   gel(y,3) = nfadd(nf,a3,gmul2n(t,1));
    1058             :   /* A4 = a4 - (a1 t + s (2t + a3)) */
    1059       18902 :   gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e),nfadd(nf,nfmul(nf,t,a1),nfmul(nf,s,gel(y,3))));
    1060             :   /* A6 = a6 - t(t + a3) */
    1061       18902 :   gel(y,5) = nfsub(nf,ell_get_a6(e), nfmul(nf,t,nfadd(nf,t, a3)));
    1062       18902 :   return y;
    1063             : }
    1064             : 
    1065             : static GEN
    1066      301348 : nf_coordch_rt(GEN nf, GEN e, GEN r, GEN t)
    1067             : {
    1068      301348 :   e = nf_coordch_r(nf, e, r);
    1069      301348 :   return nf_coordch_t(nf, e, t);
    1070             : }
    1071             : 
    1072             : /* apply [1,r,s,t] */
    1073             : static GEN
    1074         476 : nf_coordch_rst(GEN nf, GEN e, GEN r, GEN s, GEN t)
    1075             : {
    1076         476 :   e = nf_coordch_r(nf, e, r);
    1077         476 :   return nf_coordch_st(nf, e, s, t);
    1078             : }
    1079             : /* apply w = [u,r,s,t] */
    1080             : static GEN
    1081         476 : nf_coordch(GEN nf, GEN e, GEN w)
    1082             : {
    1083         476 :   if (typ(w) == t_INT) return e;
    1084         476 :   e = nf_coordch_rst(nf, e, gel(w,2), gel(w,3), gel(w,4));
    1085         476 :   return nf_coordch_uinv(nf, e, nfinv(nf, gel(w,1)));
    1086             : }
    1087             : 
    1088             : /* apply [u^(-1),0,0,0] */
    1089             : static GEN
    1090      232638 : coordch_uinv(GEN e, GEN u)
    1091             : {
    1092             :   GEN y, u2, u3, u4, u6, u12, D, c4, c6;
    1093             :   long lx;
    1094      232638 :   if (gequal1(u)) return e;
    1095      210322 :   y = cgetg_copy(e, &lx);
    1096      210322 :   u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2); u4 = gsqr(u2); u6 = gsqr(u3);
    1097      210322 :   gel(y,1) = gmul(ell_get_a1(e),  u);
    1098      210322 :   gel(y,2) = gmul(ell_get_a2(e), u2);
    1099      210322 :   gel(y,3) = gmul(ell_get_a3(e), u3);
    1100      210322 :   gel(y,4) = gmul(ell_get_a4(e), u4);
    1101      210322 :   gel(y,5) = gmul(ell_get_a6(e), u6);
    1102      210322 :   if (lx == 6) return y;
    1103      210322 :   gel(y,6) = gmul(ell_get_b2(e), u2);
    1104      210322 :   gel(y,7) = gmul(ell_get_b4(e), u4);
    1105      210322 :   gel(y,8) = gmul(ell_get_b6(e), u6);
    1106      210322 :   gel(y,9) = gmul(ell_get_b8(e), gsqr(u4));
    1107      210322 :   u12 = gsqr(u6);
    1108      210322 :   D = ell_get_disc(e);
    1109      210322 :   c4 = ell_get_c4(e);
    1110      210322 :   c6 = ell_get_c6(e);
    1111      210322 :   c4 = gmul(c4, u4);
    1112      210322 :   c6 = gmul(c6, u6);
    1113      210322 :   D = gmul(D, u12);
    1114      210322 :   gel(y,10)= c4;
    1115      210322 :   gel(y,11)= c6;
    1116      210322 :   gel(y,12)= D;
    1117      210322 :   gel(y,13)= ell_get_j(e);
    1118      210322 :   gel(y,14)= gel(e,14);
    1119      210322 :   gel(y,15)= gel(e,15);
    1120      210322 :   gel(y,16)= gel(e,16);
    1121      210322 :   return y;
    1122             : }
    1123             : /* apply [1,r,0,0] */
    1124             : static GEN
    1125      769314 : coordch_r(GEN e, GEN r)
    1126             : {
    1127             :   GEN a2, b4, b6, y, p1, r2, b2r, rx3;
    1128      769314 :   if (gequal0(r)) return e;
    1129      649705 :   y = leafcopy(e);
    1130      649705 :   a2 = ell_get_a2(e);
    1131      649705 :   rx3 = gmulsg(3,r);
    1132             : 
    1133             :   /* A2 = a2 + 3r */
    1134      649705 :   gel(y,2) = gadd(a2,rx3);
    1135             :   /* A3 = a1 r + a3 */
    1136      649705 :   gel(y,3) = ec_h_evalx(e,r);
    1137             :   /* A4 = 3r^2 + 2a2 r + a4 */
    1138      649705 :   gel(y,4) = gadd(ell_get_a4(e), gmul(r,gadd(gmul2n(a2,1),rx3)));
    1139             :   /* A6 = r^3 + a2 r^2 + a4 r + a6 */
    1140      649705 :   gel(y,5) = ec_f_evalx(e,r);
    1141      649705 :   if (lg(y) == 6) return y;
    1142             : 
    1143      649698 :   b4 = ell_get_b4(e);
    1144      649698 :   b6 = ell_get_b6(e);
    1145             :   /* B2 = 12r + b2 */
    1146      649698 :   gel(y,6) = gadd(ell_get_b2(e),gmul2n(rx3,2));
    1147      649698 :   b2r = gmul(r, ell_get_b2(e));
    1148      649698 :   r2 = gsqr(r);
    1149             :   /* B4 = 6r^2 + b2 r + b4 */
    1150      649698 :   gel(y,7) = gadd(b4,gadd(b2r, gmulsg(6,r2)));
    1151             :   /* B6 = 4r^3 + 2b2 r^2 + 2b4 r + b6 */
    1152      649698 :   gel(y,8) = gadd(b6,gmul(r,gadd(gmul2n(b4,1), gadd(b2r,gmul2n(r2,2)))));
    1153             :   /* B8 = 3r^4 + b2 r^3 + 3b4 r^2 + 3b6 r + b8 */
    1154      649698 :   p1 = gadd(gmulsg(3,b4),gadd(b2r, gmulsg(3,r2)));
    1155      649698 :   gel(y,9) = gadd(ell_get_b8(e), gmul(r,gadd(gmulsg(3,b6), gmul(r,p1))));
    1156      649698 :   return y;
    1157             : }
    1158             : /* apply [1,0,s,0] */
    1159             : static GEN
    1160      118909 : coordch_s(GEN e, GEN s)
    1161             : {
    1162             :   GEN a1, y;
    1163      118909 :   if (gequal0(s)) return e;
    1164      118909 :   a1 = ell_get_a1(e);
    1165      118909 :   y = leafcopy(e);
    1166             : 
    1167             :   /* A1 = a1 + 2s */
    1168      118909 :   gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
    1169             :   /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
    1170      118909 :   gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
    1171             :   /* A4 = a4 - s a3 */
    1172      118909 :   gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gmul(s,ell_get_a3(e)));
    1173      118909 :   return y;
    1174             : }
    1175             : /* apply [1,0,0,t] */
    1176             : static GEN
    1177      369495 : coordch_t(GEN e, GEN t)
    1178             : {
    1179             :   GEN a1, a3, y;
    1180      369495 :   if (gequal0(t)) return e;
    1181      280007 :   a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
    1182      280007 :   y = leafcopy(e);
    1183             :   /* A3 = 2t + a3 */
    1184      280007 :   gel(y,3) = gadd(a3, gmul2n(t,1));
    1185             :   /* A4 = a4 - a1 t */
    1186      280007 :   gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e), gmul(t,a1));
    1187             :   /* A6 = a6 - t(t + a3) */
    1188      280007 :   gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
    1189      280007 :   return y;
    1190             : }
    1191             : /* apply [1,0,s,t] */
    1192             : static GEN
    1193      505603 : coordch_st(GEN e, GEN s, GEN t)
    1194             : {
    1195             :   GEN y, a1, a3;
    1196      505603 :   if (gequal0(s)) return coordch_t(e, t);
    1197      379638 :   if (gequal0(t)) return coordch_s(e, s);
    1198      260729 :   a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
    1199      260729 :   y = leafcopy(e);
    1200             :   /* A1 = a1 + 2s */
    1201      260729 :   gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
    1202             :   /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
    1203      260729 :   gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
    1204             :   /* A3 = 2t + a3 */
    1205      260729 :   gel(y,3) = gadd(a3,gmul2n(t,1));
    1206             :   /* A4 = a4 - (a1 t + s (2t + a3)) */
    1207      260729 :   gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gadd(gmul(t,a1),gmul(s,gel(y,3))));
    1208             :   /* A6 = a6 - t(t + a3) */
    1209      260729 :   gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
    1210      260729 :   return y;
    1211             : }
    1212             : /* apply [1,r,s,t] */
    1213             : static GEN
    1214      505603 : coordch_rst(GEN e, GEN r, GEN s, GEN t)
    1215             : {
    1216      505603 :   e = coordch_r(e, r);
    1217      505603 :   return coordch_st(e, s, t);
    1218             : }
    1219             : /* apply w = [u,r,s,t] */
    1220             : static GEN
    1221      230244 : coordch(GEN e, GEN w)
    1222             : {
    1223      230244 :   if (typ(w) == t_INT) return e;
    1224      230244 :   e = coordch_rst(e, gel(w,2), gel(w,3), gel(w,4));
    1225      230244 :   return coordch_uinv(e, ginv(gel(w,1)));
    1226             : }
    1227             : 
    1228             : /* the ch_* routines update E[14] (type), E[15] (type specific data), E[16]
    1229             :  * (dynamic data) */
    1230             : static GEN
    1231          35 : ch_Qp(GEN E, GEN e, GEN w)
    1232             : {
    1233          35 :   GEN S, p = ellQp_get_zero(E), u2 = NULL, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
    1234          35 :   long prec = valp(p);
    1235          35 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_PADIC) return ellinit(E, p, prec);
    1236          35 :   if ((S = obj_check(e, Qp_ROOT)))
    1237             :   {
    1238           7 :     if (!u2) u2 = gsqr(u);
    1239           7 :     obj_insert_shallow(E, Qp_ROOT, gdiv(gsub(S, r), u2));
    1240             :   }
    1241          35 :   if ((S = obj_check(e, Qp_TATE)))
    1242             :   {
    1243           7 :     GEN U2 = gel(S,1), U = gel(S,2), Q = gel(S,3), AB = gel(S,4), L = gel(S,5);
    1244           7 :     if (!u2) u2 = gsqr(u);
    1245           7 :     U2 = gmul(U2, u2);
    1246           7 :     U = gmul(U, u);
    1247           7 :     AB = gdiv(AB, u2);
    1248           7 :     obj_insert_shallow(E, Qp_TATE, mkvec5(U2,U,Q,AB,L));
    1249             :   }
    1250          35 :   return E;
    1251             : }
    1252             : 
    1253             : /* common to Q and Rg */
    1254             : static GEN
    1255       73241 : ch_R(GEN E, GEN e, GEN w)
    1256             : {
    1257       73241 :   GEN S, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
    1258       73241 :   if ((S = obj_check(e, R_PERIODS)))
    1259          35 :     obj_insert_shallow(E, R_PERIODS, gmul(S, u));
    1260       73241 :   if ((S = obj_check(e, R_ETA)))
    1261          28 :     obj_insert_shallow(E, R_ETA, gmul(S, u));
    1262       73241 :   if ((S = obj_check(e, R_ROOTS)))
    1263             :   {
    1264          35 :     GEN ro = cgetg(4, t_VEC), u2 = gsqr(u);
    1265             :     long i;
    1266         140 :     for (i = 1; i <= 3; i++) gel(ro,i) = gdiv(gsub(gel(S,i), r), u2);
    1267          35 :     obj_insert_shallow(E, R_ROOTS, ro);
    1268             :   }
    1269       73241 :   return E;
    1270             : }
    1271             : 
    1272             : static GEN
    1273           7 : ch_Rg(GEN E, GEN e, GEN w)
    1274             : {
    1275           7 :   GEN p = NULL;
    1276           7 :   long prec = ellR_get_prec(E);
    1277           7 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_REAL) return ellinit(E, p, prec);
    1278           7 :   ch_R(E, e, w); return E;
    1279             : }
    1280             : 
    1281             : static GEN
    1282      157647 : ch_NF(GEN E, GEN e, GEN w)
    1283             : {
    1284      157647 :   long prec = ellR_get_prec(E);
    1285      157647 :   GEN S, p = ellnf_get_nf(E);
    1286      157647 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_VEC) return ellinit(E, p, prec);
    1287      157647 :   if ((S = obj_check(e, NF_MINIMALMODEL)))
    1288             :   {
    1289          42 :     if (lg(S) == 1)
    1290             :     { /* model was minimal */
    1291           0 :       if (!is_trivial_change(w)) /* no longer minimal */
    1292           0 :         S = mkvec2(ellchangeinvert(w), e);
    1293             :     }
    1294          42 :     else if (lg(S)==3)
    1295             :     {
    1296          42 :       GEN v = gel(S,1);
    1297          42 :       if (gequal(v, w) || (is_trivial_change(v) && is_trivial_change(w)))
    1298           0 :         S = cgetg(1,t_VEC); /* now minimal */
    1299             :       else
    1300             :       {
    1301          42 :         w = ellchangeinvert(w);
    1302          42 :         gcomposev(&w, v);
    1303          42 :         S = mkvec2(w, gel(S,2));
    1304             :       }
    1305             :     }
    1306          42 :     (void)obj_insert_shallow(E, NF_MINIMALMODEL, S);
    1307             :   }
    1308      157647 :   if ((S = obj_check(e, NF_GLOBALRED)))
    1309          14 :     S = obj_insert_shallow(E, NF_GLOBALRED, S);
    1310      157647 :   if ((S = obj_check(e, NF_ROOTNO)))
    1311          14 :     S = obj_insert_shallow(E, NF_ROOTNO, S);
    1312      157647 :   if ((S = obj_check(e, NF_NF)))
    1313       86030 :     S = obj_insert_shallow(E, NF_NF, S);
    1314      157647 :   return E;
    1315             : }
    1316             : 
    1317             : 
    1318             : static GEN
    1319       73241 : ch_Q(GEN E, GEN e, GEN w)
    1320             : {
    1321       73241 :   long prec = ellR_get_prec(E);
    1322       73241 :   GEN S, p = NULL;
    1323       73241 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FRAC) return ellinit(E, p, prec);
    1324       73234 :   ch_R(E, e, w);
    1325       73234 :   if ((S = obj_check(e, Q_GROUPGEN)))
    1326           0 :     S = obj_insert_shallow(E, Q_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
    1327       73234 :   if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
    1328             :   {
    1329        1554 :     if (lg(S) == 2)
    1330             :     { /* model was minimal */
    1331           7 :       if (!is_trivial_change(w)) /* no longer minimal */
    1332           7 :         S = mkvec3(gel(S,1), ellchangeinvert(w), e);
    1333             :     }
    1334             :     else
    1335             :     {
    1336        1547 :       GEN v = gel(S,2);
    1337        1547 :       if (gequal(v, w) || (is_trivial_change(v) && is_trivial_change(w)))
    1338        1533 :         S = mkvec(gel(S,1)); /* now minimal */
    1339             :       else
    1340             :       {
    1341          14 :         w = ellchangeinvert(w);
    1342          14 :         gcomposev(&w, v);
    1343          14 :         S = leafcopy(S); /* don't modify S in place: would corrupt e */
    1344          14 :         gel(S,2) = w;
    1345             :       }
    1346             :     }
    1347        1554 :     (void)obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, S);
    1348             :   }
    1349       73234 :   if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
    1350          21 :     S = obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
    1351       73234 :   if ((S = obj_check(e, Q_ROOTNO)))
    1352           0 :     S = obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S);
    1353       73234 :   return E;
    1354             : }
    1355             : 
    1356             : static void
    1357         126 : ch_FF(GEN E, GEN e, GEN w)
    1358             : {
    1359             :   GEN S;
    1360         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_CARD)))
    1361          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_CARD, S);
    1362         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_GROUP)))
    1363          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_GROUP, S);
    1364         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_GROUPGEN)))
    1365          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
    1366         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_O)))
    1367          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_O, S);
    1368         126 : }
    1369             : 
    1370             : /* FF_CARD, FF_GROUP, FF_O are invariant */
    1371             : static GEN
    1372           7 : ch_Fp(GEN E, GEN e, GEN w)
    1373             : {
    1374           7 :   long prec = 0;
    1375           7 :   GEN p = ellff_get_field(E);
    1376           7 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_INTMOD) return ellinit(E, p, prec);
    1377           7 :   gel(E,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(E, p));
    1378           7 :   ch_FF(E, e, w); return E;
    1379             : }
    1380             : static GEN
    1381         119 : ch_Fq(GEN E, GEN e, GEN w)
    1382             : {
    1383         119 :   long prec = 0;
    1384         119 :   GEN p = ellff_get_field(E);
    1385         119 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FFELT) return ellinit(E, p, prec);
    1386         119 :   gel(E,15) = FF_elldata(E, p);
    1387         119 :   ch_FF(E, e, w); return E;
    1388             : }
    1389             : 
    1390             : static void
    1391      230482 : ell_reset(GEN E)
    1392      230482 : { gel(E,16) = zerovec(lg(gel(E,16))-1); }
    1393             : 
    1394             : GEN
    1395      229551 : ellchangecurve(GEN e, GEN w)
    1396             : {
    1397      229551 :   pari_sp av = avma;
    1398             :   GEN E;
    1399      229551 :   checkell5(e);
    1400      229551 :   if (equali1(w)) return gcopy(e);
    1401      229544 :   checkcoordch(w);
    1402      229544 :   E = coordch(leafcopy(e), w);
    1403      229544 :   if (lg(E) != 6)
    1404             :   {
    1405      229530 :     ell_reset(E);
    1406      229530 :     switch(ell_get_type(E))
    1407             :     {
    1408          35 :       case t_ELL_Qp: E = ch_Qp(E,e,w); break;
    1409           7 :       case t_ELL_Fp: E = ch_Fp(E,e,w); break;
    1410         119 :       case t_ELL_Fq: E = ch_Fq(E,e,w); break;
    1411       71715 :       case t_ELL_Q:  E = ch_Q(E,e,w);  break;
    1412           7 :       case t_ELL_Rg: E = ch_Rg(E,e,w); break;
    1413      157647 :       case t_ELL_NF: E = ch_NF(E,e,w); break;
    1414             :     }
    1415          14 :   }
    1416      229544 :   return gerepilecopy(av, E);
    1417             : }
    1418             : 
    1419             : static GEN
    1420           7 : ellQ_isisom(GEN E, GEN F)
    1421             : {
    1422           7 :   pari_sp av = avma;
    1423             :   GEN j, u, r, s, t, u2, u3;
    1424             :   GEN Ea1, Ea2, Ea3, Ec4, Ec6, Fa1, Fa2, Fa3, Fc4, Fc6;
    1425           7 :   j = ell_get_j(E);
    1426           7 :   if (!gequal(j, ell_get_j(F))) return gen_0;
    1427           7 :   Ec4  = ell_get_c4(E); Ec6 = ell_get_c6(E);
    1428           7 :   Fc4  = ell_get_c4(F); Fc6 = ell_get_c6(F);
    1429           7 :   if (gequal0(j))
    1430             :   {
    1431           0 :     if (!ispower(gdiv(Ec6, Fc6), utoi(6), &u))
    1432           0 :       return gc_const(av, gen_0);
    1433           7 :   } else if(gequalgs(j, 1728))
    1434             :   {
    1435           0 :     if (!ispower(gdiv(Ec4, Fc4), utoi(4), &u))
    1436           0 :       return gc_const(av, gen_0);
    1437             :   } else
    1438             :   {
    1439           7 :     if (!issquareall(gdiv(gmul(Fc4, Ec6),gmul(Fc6,Ec4)),&u))
    1440           0 :       return gc_const(av, gen_0);
    1441             :   }
    1442           7 :   Ea1 = ell_get_a1(E); Ea2 = ell_get_a2(E); Ea3 = ell_get_a3(E);
    1443           7 :   Fa1 = ell_get_a1(F); Fa2 = ell_get_a2(F); Fa3 = ell_get_a3(F);
    1444           7 :   u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2);
    1445           7 :   s = gdivgs(gsub(gmul(u, Fa1), Ea1), 2);
    1446           7 :   r = gdivgs(gadd(gsub(gadd(gmul(u2, Fa2), gmul(s, Ea1)), Ea2), gsqr(s)), 3);
    1447           7 :   t = gdivgs(gsub(gsub(gmul(u3, Fa3), gmul(r, Ea1)), Ea3), 2);
    1448           7 :   return gerepilecopy(av, mkvec4(u,r,s,t));
    1449             : }
    1450             : 
    1451             : static GEN
    1452           7 : ellnf_isisom(GEN nf, GEN E, GEN F)
    1453             : {
    1454           7 :   pari_sp av = avma;
    1455             :   GEN j, u, r, s, t, u2, u3;
    1456             :   GEN Ea1, Ea2, Ea3, Ec4, Ec6, Fa1, Fa2, Fa3, Fc4, Fc6;
    1457           7 :   j = basistoalg(nf, ell_get_j(E));
    1458           7 :   if (!gequal(j, basistoalg(nf, ell_get_j(F))))
    1459           0 :     return gc_const(av, gen_0);
    1460           7 :   Ec4  = ell_get_c4(E); Ec6 = ell_get_c6(E);
    1461           7 :   Fc4  = ell_get_c4(F); Fc6 = ell_get_c6(F);
    1462           7 :   if (gequal0(j))
    1463             :   {
    1464           0 :     if (!nfispower(nf, nfdiv(nf, Ec6, Fc6), 6, &u))
    1465           0 :       return gc_const(av, gen_0);
    1466           7 :   } else if(gequalgs(j, 1728))
    1467             :   {
    1468           0 :     if (!nfispower(nf, nfdiv(nf, Ec4, Fc4), 4, &u))
    1469           0 :       return gc_const(av, gen_0);
    1470             :   } else
    1471             :   {
    1472           7 :     if (!nfissquare(nf, nfdiv(nf, nfmul(nf, Fc4, Ec6), nfmul(nf, Fc6,Ec4)), &u))
    1473           0 :       return gc_const(av, gen_0);
    1474             :   }
    1475           7 :   Ea1 = ell_get_a1(E); Ea2 = ell_get_a2(E); Ea3 = ell_get_a3(E);
    1476           7 :   Fa1 = ell_get_a1(F); Fa2 = ell_get_a2(F); Fa3 = ell_get_a3(F);
    1477           7 :   u2 = nfsqr(nf,u); u3 = nfmul(nf,u,u2);
    1478           7 :   s = gdivgs(nfsub(nf, nfmul(nf, u, Fa1), Ea1),2);
    1479           7 :   r = gdivgs(nfadd(nf, nfsub(nf, nfadd(nf, nfmul(nf, u2, Fa2), nfmul(nf, s, Ea1)), Ea2), nfsqr(nf, s)), 3);
    1480           7 :   t = gdivgs(nfsub(nf, nfsub(nf, nfmul(nf, u3, Fa3), nfmul(nf, r, Ea1)), Ea3), 2);
    1481           7 :   u = basistoalg(nf, u); r = basistoalg(nf, r);
    1482           7 :   s = basistoalg(nf, s); t = basistoalg(nf, t);
    1483           7 :   return gerepilecopy(av, mkvec4(u,r,s,t));
    1484             : }
    1485             : 
    1486             : GEN
    1487          14 : ellisisom(GEN E, GEN F)
    1488             : {
    1489          14 :   checkell(E); checkell(F);
    1490          14 :   if (ell_get_type(E)!=ell_get_type(F))
    1491           0 :     pari_err_TYPE("ellisisom", mkvec2(E,F));
    1492          14 :   switch(ell_get_type(E))
    1493             :   {
    1494           7 :     case t_ELL_Q:
    1495           7 :       return ellQ_isisom(E, F);
    1496           7 :     case t_ELL_NF:
    1497           7 :       if (gequal(ellnf_get_nf(E), ellnf_get_nf(F)))
    1498           7 :         return ellnf_isisom(ellnf_get_nf(E), E, F);
    1499             :     default: /*FALL THROUGH*/
    1500           0 :       pari_err_TYPE("ellisisom", mkvec2(E,F));
    1501             :       return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    1502             :   }
    1503             : }
    1504             : 
    1505             : /* v o= [1,r,0,0] */
    1506             : static void
    1507      479230 : nf_compose_r(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN r)
    1508             : {
    1509      479230 :   GEN v = *vtotal;
    1510             :   GEN U2, R, S, T;
    1511      479230 :   if (gequal0(r)) return;
    1512      197914 :   *e = nf_coordch_r(nf, *e,r);
    1513      197914 :   U2 = nfsqr(nf,gel(v,1)); R = gel(v,2); S = gel(v, 3); T = gel(v, 4);
    1514      197914 :   gel(v,2) = nfadd(nf,R, nfmul(nf,U2, r));
    1515      197914 :   gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U2, nfmul(nf,S, r)));
    1516             : }
    1517             : /* v o= [1,0,s,0]; never used for s = 0 */
    1518             : static void
    1519      184637 : nf_compose_s(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN s)
    1520             : {
    1521      184637 :   GEN v = *vtotal;
    1522             :   GEN U, S;
    1523      184637 :   *e = nf_coordch_s(nf,*e,s);
    1524      184637 :   U = gel(v,1); S = gel(v,3);
    1525      184637 :   gel(v,3) = nfadd(nf, S, nfmul(nf, U, s));
    1526      184637 : }
    1527             : /* v o= [1,0,0,t] */
    1528             : static void
    1529      842954 : nf_compose_t(GEN nf ,GEN *vtotal, GEN *e, GEN t)
    1530             : {
    1531      842954 :   GEN v = *vtotal;
    1532             :   GEN U3, U, T;
    1533      842954 :   if (gequal0(t)) return;
    1534      105463 :   *e = nf_coordch_t(nf,*e,t);
    1535      105463 :   U = gel(v,1); U3 = nfmul(nf,U, nfsqr(nf,U)); T = gel(v,4);
    1536      105463 :   gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U3, t));
    1537             : }
    1538             : /* v o= [1,r,0,t] */
    1539             : static void
    1540      593824 : nf_compose_rt(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN r, GEN t)
    1541             : {
    1542      593824 :   GEN v = *vtotal;
    1543             :   GEN U2, U, R, S, T;
    1544      593824 :   if (gequal0(t)) { nf_compose_r(nf, vtotal, e, r); return; }
    1545      301348 :   *e = nf_coordch_rt(nf,*e,r,t);
    1546      301348 :   U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
    1547      301348 :   U2 = nfsqr(nf,U);
    1548      301348 :   gel(v,2) = nfadd(nf,R, nfmul(nf,U2, r));
    1549      301348 :   gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U2, nfadd(nf,nfmul(nf,U, t), nfmul(nf,S, r))));
    1550             : }
    1551             : /* v o= [1,0,s,t] */
    1552             : static void
    1553      496188 : nf_compose_st(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN s, GEN t)
    1554             : {
    1555      496188 :   GEN v = *vtotal;
    1556             :   GEN U3, U, S, T;
    1557      496188 :   if (gequal0(s)) { nf_compose_t(nf, vtotal, e, t); return; }
    1558      203539 :   if (gequal0(t)) { nf_compose_s(nf, vtotal, e, s); return; }
    1559       18902 :   *e = nf_coordch_st(nf, *e,s,t);
    1560       18902 :   U = gel(v,1); U3 = nfmul(nf,U,nfsqr(nf,U)); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
    1561       18902 :   gel(v,3) = nfadd(nf, S, nfmul(nf,U, s));
    1562       18902 :   gel(v,4) = nfadd(nf, T, nfmul(nf,U3, t));
    1563             : }
    1564             : 
    1565             : /* v o= [u,0,0,0] */
    1566             : static void
    1567      443534 : nf_compose_u(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN u, GEN uinv)
    1568             : {
    1569      443534 :   GEN v = *vtotal;
    1570      443534 :   *e = nf_coordch_uinv(nf, *e,uinv); gel(v,1) = nfmul(nf,gel(v,1), u);
    1571      443534 : }
    1572             : 
    1573             : /* X = (x-r)/u^2
    1574             :  * Y = (y - s(x-r) - t) / u^3 */
    1575             : static GEN
    1576      147680 : ellchangepoint0(GEN P, GEN v2, GEN v3, GEN r, GEN s, GEN t)
    1577             : {
    1578             :   GEN a, x, y;
    1579      147680 :   long l = lg(P);
    1580      147680 :   if (typ(P) != t_VEC || l == 1 || l > 4) pari_err_TYPE("ellchangepoint", P);
    1581      147673 :   if (ell_is_inf(P)) return P;
    1582      147659 :   x = gel(P,1); y = gel(P,2); a = gsub(x,r);
    1583      147659 :   retmkvec2(gmul(v2, a), gmul(v3, gsub(y, gadd(gmul(s,a),t))));
    1584             : }
    1585             : 
    1586             : GEN
    1587      147708 : ellchangepoint(GEN x, GEN ch)
    1588             : {
    1589             :   GEN y, v, v2, v3, r, s, t, u;
    1590      147708 :   long tx, i, lx = lg(x);
    1591      147708 :   pari_sp av = avma;
    1592             : 
    1593      147708 :   if (typ(x) != t_VEC) pari_err_TYPE("ellchangepoint",x);
    1594      147708 :   if (equali1(ch)) return gcopy(x);
    1595      147708 :   checkcoordch(ch);
    1596      147708 :   if (lx == 1) return cgetg(1, t_VEC);
    1597      147659 :   u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
    1598      147659 :   v = ginv(u); v2 = gsqr(v); v3 = gmul(v,v2);
    1599      147659 :   tx = typ(gel(x,1));
    1600      147659 :   if (is_matvec_t(tx))
    1601             :   {
    1602          77 :     y = cgetg(lx,tx);
    1603         168 :     for (i=1; i<lx; i++)
    1604          98 :       gel(y,i) = ellchangepoint0(gel(x,i),v2,v3,r,s,t);
    1605             :   }
    1606             :   else
    1607      147582 :     y = ellchangepoint0(x,v2,v3,r,s,t);
    1608      147652 :   return gerepilecopy(av,y);
    1609             : }
    1610             : 
    1611             : /* x = u^2*X + r
    1612             :  * y = u^3*Y + s*u^2*X + t */
    1613             : static GEN
    1614        4081 : ellchangepointinv0(GEN P, GEN u2, GEN u3, GEN r, GEN s, GEN t)
    1615             : {
    1616             :   GEN a, X, Y;
    1617        4081 :   if (ell_is_inf(P)) return P;
    1618        4081 :   X = gel(P,1); Y = gel(P,2); a = gmul(u2,X);
    1619        4081 :   return mkvec2(gadd(a, r), gadd(gmul(u3, Y), gadd(gmul(s, a), t)));
    1620             : }
    1621             : GEN
    1622         973 : ellchangepointinv(GEN x, GEN ch)
    1623             : {
    1624             :   GEN y, u, r, s, t, u2, u3;
    1625         973 :   long tx, i, lx = lg(x);
    1626         973 :   pari_sp av = avma;
    1627             : 
    1628         973 :   if (typ(x) != t_VEC) pari_err_TYPE("ellchangepointinv",x);
    1629         973 :   if (equali1(ch)) return gcopy(x);
    1630         973 :   checkcoordch(ch);
    1631         973 :   if (lx == 1) return cgetg(1, t_VEC);
    1632         756 :   u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
    1633         756 :   u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2);
    1634         756 :   tx = typ(gel(x,1));
    1635         756 :   if (is_matvec_t(tx))
    1636             :   {
    1637         602 :     y = cgetg(lx,tx);
    1638        4529 :     for (i=1; i<lx; i++)
    1639        3927 :       gel(y,i) = ellchangepointinv0(gel(x,i),u2,u3,r,s,t);
    1640             :   }
    1641             :   else
    1642         154 :     y = ellchangepointinv0(x,u2,u3,r,s,t);
    1643         756 :   return gerepilecopy(av,y);
    1644             : }
    1645             : 
    1646             : static GEN
    1647           0 : elltwist_card(GEN h, GEN q) { return subii(shifti(addiu(q, 1), 1), h); }
    1648             : GEN
    1649       28567 : elltwist(GEN E, GEN P)
    1650             : {
    1651       28567 :   pari_sp av = avma;
    1652       28567 :   GEN a1, a2, a3, a4, a6, a, b, c, ac, D, D2, V, DOM = NULL;
    1653       28567 :   long prec = DEFAULTPREC, isell = (lg(E) == 17);
    1654             : 
    1655       28567 :   if (typ(E) != t_VEC) pari_err_TYPE("elltwist",E);
    1656       28567 :   if (isell) switch(ell_get_type(E))
    1657             :   {
    1658        1316 :     case t_ELL_Q:
    1659        1316 :     case t_ELL_Rg: prec = ellR_get_prec(E); break;
    1660             :   }
    1661       28567 :   if (!P)
    1662             :   {
    1663             :     GEN Et, S, a4, a6, e, fg, q;
    1664       27195 :     if (!isell)
    1665             :     { /* Could avoid this ellinit. Don't bother. */
    1666           7 :       e = E; E = ellinit_i(E, NULL, prec);
    1667           7 :       if (!E) pari_err_TYPE("elltwist", e);
    1668             :     }
    1669       27188 :     switch (ell_get_type(E))
    1670             :     {
    1671           0 :       case t_ELL_Fp:
    1672           0 :         q = ellff_get_field(E);
    1673           0 :         e = ellff_get_a4a6(E);
    1674           0 :         Fp_elltwist(gel(e,1), gel(e,2), q, &a4, &a6);
    1675           0 :         Et = ellinit_Fp(mkvec2(a4,a6), q); break;
    1676       27188 :       case t_ELL_Fq:
    1677       27188 :         fg = ellff_get_field(E); q = FF_q(fg);
    1678       27188 :         Et = ellinit_Fq(FF_elltwist(E), fg); break;
    1679           0 :       default: pari_err_TYPE("elltwist [missing P]", E);
    1680             :         return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    1681             :     }
    1682       27188 :     if ((S = obj_check(E, FF_CARD)))
    1683           0 :       obj_insert_shallow(Et, FF_CARD, elltwist_card(S, q));
    1684       27188 :     return gerepilecopy(av, Et);
    1685             :   }
    1686        1372 :   if (isell && ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
    1687          14 :     if (!(DOM = ellnf_get_bnf(E))) DOM = ellnf_get_nf(E);
    1688        1372 :   if (typ(P) == t_INT)
    1689             :   {
    1690        1358 :     if (equali1(P)) return ellinit(E, DOM, prec);
    1691        1001 :     P = quadpoly(P);
    1692             :   }
    1693             :   else
    1694             :   {
    1695          14 :     if (typ(P) != t_POL) pari_err_TYPE("elltwist",P);
    1696          14 :     if (degpol(P) != 2 )
    1697           0 :       pari_err_DOMAIN("elltwist", "degree(P)", "!=", gen_2, P);
    1698             :   }
    1699        1015 :   switch(lg(E))
    1700             :   {
    1701           7 :     case 3:
    1702           7 :       a1 = a2 = a3 = gen_0;
    1703           7 :       a4 = gel(E,1);
    1704           7 :       a6 = gel(E,2); break;
    1705        1008 :     case 6: case 17:
    1706        1008 :       a1 = ell_get_a1(E);
    1707        1008 :       a2 = ell_get_a2(E);
    1708        1008 :       a3 = ell_get_a3(E);
    1709        1008 :       a4 = ell_get_a4(E);
    1710        1008 :       a6 = ell_get_a6(E); break;
    1711           0 :     default:
    1712           0 :       pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",E);
    1713             :       return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    1714             :   }
    1715        1015 :   a = gel(P,4); b = gel(P,3); c = gel(P,2); ac = gmul(a, c);
    1716        1015 :   D = gsub(gsqr(b), gmulsg(4, ac)); D2 = gsqr(D);
    1717        1015 :   if (gequal0(a1) && gequal0(a2) && gequal0(a3))
    1718         763 :     V = mkvec2(gmul(a4, D2), gmul(gmul(a6, D), D2));
    1719             :   else
    1720             :   {
    1721         252 :     GEN a3D = gmul(a3, D);
    1722         252 :     V = cgetg(6, t_VEC);
    1723         252 :     gel(V,1) = gmul(a1, b);
    1724         252 :     gel(V,2) = gsub(gmul(a2, D), gmul(gsqr(a1), ac));
    1725         252 :     gel(V,3) = gmul(a3D, b);
    1726         252 :     gel(V,4) = gsub(gmul(a4, D2), gmul(gmul(gmulsg(2, a3D), a1), ac));
    1727         252 :     gel(V,5) = gmul(gsub(gmul(a6, D), gmul(gsqr(a3), ac)), D2);
    1728             :   }
    1729        1015 :   E = ellinit_i(V, DOM, prec);
    1730        1015 :   if (!E) pari_err_TYPE("elltwist", V);
    1731        1015 :   return gerepilecopy(av, E);
    1732             : }
    1733             : 
    1734             : /********************************************************************/
    1735             : /**                      E/Q: MINIMAL TWIST                        **/
    1736             : /**      Cf Ian Connell, Elliptic Curve Handbook, chap. 5          **/
    1737             : /**                http://www.math.mcgill.ca/connell/              **/
    1738             : /********************************************************************/
    1739             : 
    1740             : static long
    1741       17472 : safe_Z_lval(GEN n, ulong p)
    1742       17472 : { return signe(n)==0? -1: Z_lval(n, p); }
    1743             : 
    1744             : /* Twist by d2 = 1,-4,-8,8, to get minimal discriminant at 2 after
    1745             :  * ellminimalmodel / ellQ_minimalu; assume vg = min(3*v4,2*v6,vD) >= 6.
    1746             :  * If nontrivial, v(d2) = 2 or 3 and let t = [(vg+6v(d2))/12].
    1747             :  * Good case if reduction in ellQ_minimalu i.e. t = 2 (v4 < 6 or v6 < 9 or
    1748             :  * vD < 18) or 3 and "d--" does not occur. Minimal model => t = 3 iff
    1749             :  * v4 = 6, v6 = 9 and vD >= 18. Total net effect is
    1750             :  *   v4 += 2v(d2) - 4t, v6 += 3v(d2) - 6t, vD += 6 v(d2) - 12t
    1751             :  * After rescaling in ellQ_minimalu (c4 >>= 4t, c6 >>= 6t) we need
    1752             :  *   c6 % 4 = 3 OR  (v4 >= 4 AND (v6 >= 5 or c6 % 32 = 8)) */
    1753             : static long
    1754         392 : twist2(GEN c4, GEN c6, GEN disc, long vg)
    1755             : { /* v4 >= 4, v6 >= 3 (and c6 = 0,8 mod 32). After twist + minimization,
    1756             :    * either same condition OR v(C4) = 0, C6 = 0,3 mod 4 */
    1757             :   long v4, v6, vD;
    1758             : 
    1759         392 :   if (vg == 18) /* v4=6, v6=9, vD>=18; only case with t = 3 */
    1760          56 :     return (umodi2n(c6, 11)>>9) == 1 ? -8: 8; /* need C6 % 4 = 3 */
    1761             : 
    1762             :   /* 100 = oo, any number >= 8 would do */
    1763         336 :   v4 = signe(c4)? vali(c4): 100; if (v4 == 5) return 1;
    1764             :   /* 100 = oo, any number > 9 would do */
    1765         329 :   v6 = signe(c6)? vali(c6): 100; if (v6 == 7) return 1;
    1766             : 
    1767             :   /* handle case v(DISC) = 0 or v(C4) = 0 after twist, only case with d2 = -4 */
    1768         329 :   if (vg == 12 && ((v4==4 && v6==6) || (v4>=8 && v6==9))) return -4;
    1769             : 
    1770             :   /* Now, d2 = 1 OR v(d2) = 3, t = 2 => v4 -= 2, v6 -= 3, vD -= 6 */
    1771         266 :   if (v4 < 6 || v6 < 6) return 1; /* v(C4) >= 4, v(C6) >= 3 */
    1772         175 :   vD = vali(disc);
    1773         175 :   if (v6==6 && vD==6 && (umodi2n(c6,8)>>6) == 1) return 8; /* C6 % 32 = 8 */
    1774         168 :   return -8;
    1775             : }
    1776             : 
    1777             : /* Return D such that E_D has minimal discriminant. It also has minimal
    1778             :  * conductor in Z[1/2] */
    1779             : GEN
    1780         665 : ellminimaltwist(GEN e)
    1781             : {
    1782         665 :   pari_sp av = avma;
    1783         665 :   GEN c4, c6, disc, g, N, M, F, E, D = gen_1;
    1784             :   long i, lF;
    1785         665 :   checkell_Q(e);
    1786         665 :   E = ellminimalmodel(e, NULL);
    1787         665 :   c4 = ell_get_c4(E);
    1788         665 :   c6 = ell_get_c6(E);
    1789         665 :   disc = ell_get_disc(E);
    1790         665 :   g = gcdii(disc, sqri(c6));
    1791         665 :   ellQ_get_Nfa(E, &N, &M);
    1792         665 :   F = gel(M, 1); lF = lg(F);
    1793             :   /* on twist by d, (c4,c6,D,g) -> (d^2 c4, d^3 c6, d^6 D, d^6 g),
    1794             :    * then apply ellQ_minimalu(). Since model is minimal, v(g) < 12 unless p=3
    1795             :    * and v(g) < 14 or p = 2 and v(g) <= 18 */
    1796        2436 :   for(i = 1; i < lF; i++)
    1797             :   {
    1798        1771 :     GEN p = gel(F, i);
    1799        1771 :     long vg = Z_pval(g,p), d2;
    1800        1771 :     if (vg < 6) continue;
    1801             :     /* twist by fund. discriminant d2; in ellQ_minimalu,
    1802             :      * we have v(g) = vg + 6*v(d2) */
    1803        1197 :     switch(itou_or_0(p))
    1804             :     {
    1805         441 :       default: /* p > 3, 6 <= v(g) < 12 => v(D) -= 6 */
    1806         441 :         D = mulii(D, (mod4(p)==1)? p: negi(p));
    1807         441 :         break;
    1808         364 :       case 3: /* bad case: v(final_c6) = 2 => no reduction; else v(D) -= 6 */
    1809         364 :         if (safe_Z_lval(c6,3) != 5) D = mulis(D, -3);
    1810         364 :         break;
    1811         392 :       case 2:
    1812         392 :         d2 = twist2(c4,c6,disc,vg);
    1813         392 :         if (d2 != 1) D = mulis(D,d2);
    1814         392 :         break;
    1815             :     }
    1816             :   }
    1817         665 :   obj_free(E);
    1818         665 :   return gerepileuptoleaf(av, D);
    1819             : }
    1820             : 
    1821             : /*
    1822             : Reference:
    1823             : William A. Stein and Mark Watkins
    1824             : A Database of Elliptic Curves-First Report
    1825             : ANTS 5
    1826             : <http://modular.math.washington.edu/papers/stein-watkins/ants.pdf>
    1827             : */
    1828             : static GEN localred_23(GEN e, long p);
    1829             : GEN
    1830         399 : ellminimaltwistcond(GEN e)
    1831             : {
    1832         399 :   pari_sp av = avma;
    1833         399 :   GEN D = ellminimaltwist(e), eD = elltwist(e, D);
    1834         399 :   GEN R = localred_23(ellintegralmodel_i(eD,NULL), 2);
    1835         399 :   long f = itos(gel(R,1)), v = vali(D);
    1836         399 :   if (f==4) D = negi(v==3 ? D: shifti(D, v==0? 2: -2));
    1837         385 :   else if (f==6)
    1838             :   {
    1839             :     long s, t;
    1840          21 :     if (v < 3) s = v==0? 3: 1;
    1841             :     else
    1842             :     {
    1843          14 :       t = (v==3 && mod32(D) == 8)? 1: -1;
    1844          14 :       s = signe(D)==t ? -3: -1;
    1845             :     }
    1846          21 :     D = shifti(D, s);
    1847             :   }
    1848         399 :   return gerepileuptoleaf(av, D);
    1849             : }
    1850             : 
    1851             : GEN
    1852         448 : ellminimaltwist0(GEN e, long flag)
    1853             : {
    1854         448 :   switch(flag)
    1855             :   {
    1856         266 :     case 0: return ellminimaltwist(e);
    1857         182 :     case 1: return ellminimaltwistcond(e);
    1858             :   }
    1859           0 :   pari_err_FLAG("ellminimaltwist");
    1860             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    1861             : }
    1862             : 
    1863             : static long
    1864           7 : ellexpo(GEN E)
    1865             : {
    1866           7 :   long i, f, e = -(long)HIGHEXPOBIT;
    1867          42 :   for (i=1; i<=5; i++)
    1868             :   {
    1869          35 :     f = gexpo(gel(E,i));
    1870          35 :     if (f > e) e = f;
    1871             :   }
    1872           7 :   return e;
    1873             : }
    1874             : 
    1875             : 
    1876             : static int
    1877        3855 : oncurve_exact(GEN e, GEN z)
    1878             : {
    1879        3855 :   pari_sp av = avma;
    1880        3855 :   GEN A = ec_LHS_evalQ(e,z), B = ec_f_evalx(e,gel(z,1));
    1881        3855 :   return gc_bool(av, gequal(A, B));
    1882             : }
    1883             : /* Exactness of lhs and rhs in the following depends in nonobvious ways
    1884             :  * on the coeffs of the curve as well as on the components of the point z.
    1885             :  * Thus if e is exact, with a1==0, and z has exact y coordinate only, the
    1886             :  * lhs will be exact but the rhs won't. */
    1887             : int
    1888      125945 : oncurve(GEN e, GEN z)
    1889             : {
    1890             :   GEN LHS, RHS, x;
    1891             :   long pl, pr, ex, expx;
    1892             :   pari_sp av;
    1893             : 
    1894      125945 :   checkellpt(z); if (ell_is_inf(z)) return 1; /* oo */
    1895      125868 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF) z = nfVtoalg(ellnf_get_nf(e), z);
    1896      125868 :   av = avma;
    1897      125868 :   LHS = ec_LHS_evalQ(e,z);
    1898      125868 :   RHS = ec_f_evalx(e,gel(z,1)); x = gsub(LHS,RHS);
    1899      125868 :   if (gequal0(x)) return gc_bool(av,1);
    1900          21 :   pl = precision(LHS);
    1901          21 :   pr = precision(RHS);
    1902          21 :   if (!pl && !pr) return gc_bool(av,0); /* both of LHS, RHS are exact */
    1903             :   /* at least one of LHS,RHS is inexact */
    1904           7 :   ex = pr? gexpo(RHS): gexpo(LHS); /* don't take exponent of exact 0 */
    1905           7 :   if (!pr || (pl && pl < pr)) pr = pl; /* min among nonzero elts of {pl,pr} */
    1906           7 :   expx = gexpo(x);
    1907          14 :   pr = (expx < ex - pr + 15
    1908           7 :      || expx < ellexpo(e) - pr + 5);
    1909           7 :   return gc_bool(av,pr);
    1910             : }
    1911             : 
    1912             : GEN
    1913       45899 : ellisoncurve(GEN e, GEN x)
    1914             : {
    1915       45899 :   long i, tx = typ(x), lx;
    1916             : 
    1917       45899 :   checkell(e);
    1918       45899 :   if (!is_vec_t(tx)) pari_err_TYPE("ellisoncurve [point]", x);
    1919       45899 :   lx = lg(x); if (lx==1) return cgetg(1,tx);
    1920       45899 :   tx = typ(gel(x,1));
    1921       45899 :   if (is_vec_t(tx))
    1922             :   {
    1923        1687 :     GEN z = cgetg(lx,tx);
    1924        3514 :     for (i=1; i<lx; i++) gel(z,i) = ellisoncurve(e,gel(x,i));
    1925        1687 :     return z;
    1926             :   }
    1927       44212 :   return oncurve(e, x)? gen_1: gen_0;
    1928             : }
    1929             : 
    1930             : /* y1 = y2 or -LHS0-y2 */
    1931             : static GEN
    1932       29184 : slope_samex(GEN e, GEN x, GEN y1, GEN y2)
    1933             : {
    1934             :   GEN dy,dx;
    1935       29184 :   if (y1 != y2)
    1936             :   {
    1937             :     int eq;
    1938         273 :     if (precision(y1) || precision(y2))
    1939           7 :       eq = (gexpo(gadd(ec_h_evalx(e,x),gadd(y1,y2))) >= gexpo(y1));
    1940             :     else
    1941         266 :       eq = gequal(y1,y2);
    1942         273 :     if (!eq) return NULL;
    1943             :   }
    1944       29177 :   dx = ec_dmFdy_evalQ(e,mkvec2(x,y1));
    1945       29177 :   if (gequal0(dx)) return NULL;
    1946       29135 :   dy = gadd(gsub(ell_get_a4(e),gmul(ell_get_a1(e),y1)),
    1947             :             gmul(x,gadd(gmul2n(ell_get_a2(e),1),gmulsg(3,x))));
    1948       29135 :   return gdiv(dy,dx);
    1949             : }
    1950             : 
    1951             : GEN
    1952       57457 : elladd(GEN e, GEN z1, GEN z2)
    1953             : {
    1954             :   GEN s, z, x, y, x1, x2, y1, y2;
    1955       57457 :   pari_sp av = avma;
    1956             : 
    1957       57457 :   checkell(e); checkellpt(z1); checkellpt(z2);
    1958       57457 :   if (ell_is_inf(z1)) return gcopy(z2);
    1959       55049 :   if (ell_is_inf(z2)) return gcopy(z1);
    1960             : 
    1961       53397 :   x1 = gel(z1,1); y1 = gel(z1,2);
    1962       53397 :   x2 = gel(z2,1); y2 = gel(z2,2);
    1963       53397 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
    1964             :   {
    1965         560 :     GEN nf = ellnf_get_nf(e);
    1966         560 :     x1 = nftoalg(nf, x1);
    1967         560 :     x2 = nftoalg(nf, x2);
    1968         560 :     y1 = nftoalg(nf, y1);
    1969         560 :     y2 = nftoalg(nf, y2);
    1970             :   }
    1971       53397 :   if (cx_approx_equal(x1,x2))
    1972             :   {
    1973       29184 :     s = slope_samex(e, x1, y1, y2);
    1974       29184 :     if (!s) { set_avma(av); return ellinf(); }
    1975             :   }
    1976             :   else
    1977       24213 :     s = gdiv(gsub(y2,y1), gsub(x2,x1));
    1978       53348 :   x = gsub(gmul(s,gadd(s,ell_get_a1(e))), gadd(gadd(x1,x2),ell_get_a2(e)));
    1979       53348 :   y = gadd(gadd(y1, ec_h_evalx(e,x)), gmul(s,gsub(x,x1)));
    1980       53348 :   z = cgetg(3,t_VEC);
    1981       53348 :   gel(z,1) = gcopy(x);
    1982       53348 :   gel(z,2) = gneg(y); return gerepileupto(av, z);
    1983             : }
    1984             : 
    1985             : static GEN
    1986          70 : ellneg_i(GEN e, GEN z)
    1987             : {
    1988             :   GEN t, x, y;
    1989          70 :   if (ell_is_inf(z)) return z;
    1990          70 :   x = gel(z,1);
    1991          70 :   y = gel(z,2);
    1992          70 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
    1993             :   {
    1994           0 :     GEN nf = ellnf_get_nf(e);
    1995           0 :     x = nftoalg(nf,x);
    1996           0 :     y = nftoalg(nf,y);
    1997             :   }
    1998          70 :   t = cgetg(3,t_VEC);
    1999          70 :   gel(t,1) = x;
    2000          70 :   gel(t,2) = gneg_i(gadd(y, ec_h_evalx(e,x)));
    2001          70 :   return t;
    2002             : }
    2003             : 
    2004             : GEN
    2005       82034 : ellneg(GEN e, GEN z)
    2006             : {
    2007             :   pari_sp av;
    2008             :   GEN t, y;
    2009       82034 :   checkell(e); checkellpt(z);
    2010       82034 :   if (ell_is_inf(z)) return z;
    2011       82034 :   t = cgetg(3,t_VEC);
    2012       82034 :   gel(t,1) = gcopy(gel(z,1));
    2013       82034 :   av = avma;
    2014       82034 :   y = gneg(gadd(gel(z,2), ec_h_evalx(e,gel(z,1))));
    2015       82034 :   gel(t,2) = gerepileupto(av, y);
    2016       82034 :   return t;
    2017             : }
    2018             : 
    2019             : GEN
    2020          49 : ellsub(GEN e, GEN z1, GEN z2)
    2021             : {
    2022          49 :   pari_sp av = avma;
    2023          49 :   checkell(e); checkellpt(z2);
    2024          49 :   return gerepileupto(av, elladd(e, z1, ellneg_i(e,z2)));
    2025             : }
    2026             : 
    2027             : /* E an ell, x a scalar */
    2028             : static GEN
    2029        2996 : ellordinate_i(GEN E, GEN x, long prec)
    2030             : {
    2031        2996 :   pari_sp av = avma;
    2032        2996 :   GEN a, b, D, d, y, p, nf = NULL;
    2033             : 
    2034        2996 :   if (ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
    2035             :   {
    2036         532 :     nf = ellnf_get_nf(E);
    2037         532 :     x = nftoalg(nf,x);
    2038             :   }
    2039        2996 :   a = ec_f_evalx(E,x);
    2040        2996 :   b = ec_h_evalx(E,x);
    2041        2996 :   D = gadd(gsqr(b), gmul2n(a,2));
    2042             :   /* solve y*(y+b) = a */
    2043        2996 :   if (gequal0(D)) {
    2044        1232 :     if (ell_get_type(E) == t_ELL_Fq && absequaliu(ellff_get_p(E),2))
    2045           0 :       retmkvec( FF_sqrt(a) );
    2046        1232 :     b = gneg_i(b); y = cgetg(2,t_VEC);
    2047        1232 :     gel(y,1) = gmul2n(b,-1);
    2048        1232 :     return gerepileupto(av,y);
    2049             :   }
    2050             :   /* D != 0 */
    2051        1764 :   switch(ell_get_type(E))
    2052             :   {
    2053          28 :     case t_ELL_Fp: /* imply p!=2 */
    2054          28 :       p = ellff_get_p(E);
    2055          28 :       D = gel(D,2);
    2056          28 :       if (kronecker(D, p) < 0) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
    2057           7 :       d = Fp_sqrt(D, p);
    2058           7 :       break;
    2059         217 :     case t_ELL_Fq:
    2060         217 :       if (absequaliu(ellff_get_p(E),2))
    2061             :       {
    2062          77 :         GEN F = FFX_roots(mkpoln(3, gen_1, b, a), D);
    2063          77 :         if (lg(F) == 1) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
    2064          28 :         return gerepileupto(av, F);
    2065             :       }
    2066         140 :       if (!FF_issquareall(D,&d)) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
    2067          56 :       break;
    2068         973 :     case t_ELL_Q:
    2069         973 :       if (typ(x) == t_COMPLEX) { d = gsqrt(D, prec); break; }
    2070         966 :       if (!issquareall(D,&d)) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
    2071         630 :       break;
    2072             : 
    2073         525 :     case t_ELL_NF:
    2074         525 :       if (!nfissquare(nf, D, &d)) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
    2075         511 :       d = nftoalg(nf, d);
    2076         511 :       break;
    2077             : 
    2078          14 :     case t_ELL_Qp:
    2079          14 :       p = ellQp_get_p(E);
    2080          14 :       D = cvtop(D, p, ellQp_get_prec(E));
    2081          14 :       if (!issquare(D)) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
    2082          14 :       d = Qp_sqrt(D);
    2083          14 :       break;
    2084             : 
    2085           7 :     default:
    2086           7 :       d = gsqrt(D,prec);
    2087             :   }
    2088        1232 :   a = gsub(d,b); y = cgetg(3,t_VEC);
    2089        1232 :   gel(y,1) = gmul2n(a, -1);
    2090        1232 :   gel(y,2) = gsub(gel(y,1),d);
    2091        1232 :   return gerepileupto(av,y);
    2092             : }
    2093             : 
    2094             : GEN
    2095        2996 : ellordinate(GEN e, GEN x, long prec)
    2096             : {
    2097        2996 :   checkell(e);
    2098        2996 :   if (is_matvec_t(typ(x)))
    2099             :   {
    2100             :     long i, lx;
    2101           0 :     GEN v = cgetg_copy(x, &lx);
    2102           0 :     for (i=1; i<lx; i++) gel(v,i) = ellordinate(e,gel(x,i),prec);
    2103           0 :     return v;
    2104             :   }
    2105        2996 :   return ellordinate_i(e, x, prec);
    2106             : }
    2107             : 
    2108             : GEN
    2109      245847 : ellrandom(GEN E)
    2110             : {
    2111             :   GEN fg;
    2112      245847 :   checkell_Fq(E);
    2113      245847 :   fg = ellff_get_field(E);
    2114      245847 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    2115      245819 :     return FF_ellrandom(E);
    2116             :   else
    2117             :   {
    2118          28 :     pari_sp av = avma;
    2119          28 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    2120          28 :     GEN P = random_FpE(gel(e,1),gel(e,2),p);
    2121          28 :     P = FpE_to_mod(FpE_changepoint(P,gel(e,3),p),p);
    2122          28 :     return gerepileupto(av, P);
    2123             :   }
    2124             : }
    2125             : 
    2126             : /* n t_QUAD or t_COMPLEX, P != [0] */
    2127             : static GEN
    2128          14 : ellmul_CM(GEN e, GEN P, GEN n)
    2129             : {
    2130          14 :   GEN p1p, q1p, x, y, p0, p1, q0, q1, z1, z2, grdx, b2ov12, N = gnorm(n);
    2131             :   long ln, vn;
    2132             : 
    2133          14 :   if (typ(N) != t_INT)
    2134           0 :     pari_err_TYPE("ellmul (non integral CM exponent)",N);
    2135          14 :   ln = itos_or_0(shifti(addiu(N, 1UL), 3));
    2136          14 :   if (!ln) pari_err_OVERFLOW("ellmul_CM [norm too large]");
    2137          14 :   vn = ((ln>>1)-4)>>2;
    2138          14 :   z1 = ellwpseries(e, 0, ln);
    2139          14 :   z2 = ser_unscale(z1, n);
    2140          14 :   p0 = gen_0; p1 = gen_1;
    2141          14 :   q0 = gen_1; q1 = gen_0;
    2142             :   do
    2143             :   {
    2144          21 :     GEN p2,q2, ss = gen_0;
    2145             :     do
    2146             :     {
    2147          28 :       long ep = (-valser(z2)) >> 1;
    2148          28 :       ss = gadd(ss, gmul(gel(z2,2), pol_xnall(ep, 0)));
    2149          28 :       z2 = gsub(z2, gmul(gel(z2,2), gpowgs(z1, ep)));
    2150             :     }
    2151          28 :     while (valser(z2) <= 0);
    2152          21 :     p2 = gadd(p0, gmul(ss,p1)); p0 = p1; p1 = p2;
    2153          21 :     q2 = gadd(q0, gmul(ss,q1)); q0 = q1; q1 = q2;
    2154          21 :     if (!signe(z2)) break;
    2155           7 :     z2 = ginv(z2);
    2156             :   }
    2157           7 :   while (degpol(p1) < vn);
    2158          14 :   if (degpol(p1) > vn || signe(z2))
    2159           0 :     pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]", n);
    2160          14 :   q1p = RgX_deriv(q1);
    2161          14 :   b2ov12 = gdivgu(ell_get_b2(e), 12);
    2162          14 :   grdx = gadd(gel(P,1), b2ov12); /* x(P) + b2/12 */
    2163          14 :   q1 = poleval(q1, grdx);
    2164          14 :   if (gequal0(q1)) return ellinf();
    2165             : 
    2166          14 :   p1p = RgX_deriv(p1);
    2167          14 :   p1 = poleval(p1, grdx);
    2168          14 :   p1p = poleval(p1p, grdx);
    2169          14 :   q1p = poleval(q1p, grdx);
    2170             : 
    2171          14 :   x = gdiv(p1,q1);
    2172          14 :   y = gdiv(gsub(gmul(p1p,q1), gmul(p1,q1p)), gmul(n,gsqr(q1)));
    2173          14 :   x = gsub(x, b2ov12);
    2174          14 :   y = gsub( gmul(ec_dmFdy_evalQ(e,P), y), ec_h_evalx(e,x));
    2175          14 :   return mkvec2(x, gmul2n(y,-1));
    2176             : }
    2177             : 
    2178             : static GEN
    2179        1190 : _sqr(void *e, GEN x) { return elladd((GEN)e, x, x); }
    2180             : static GEN
    2181         385 : _mul(void *e, GEN x, GEN y) { return elladd((GEN)e, x, y); }
    2182             : 
    2183             : static GEN
    2184      250264 : ellffmul(GEN E, GEN P, GEN n)
    2185             : {
    2186      250264 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    2187      250264 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    2188      249186 :     return FF_ellmul(E, P, n);
    2189             :   else
    2190             :   {
    2191        1078 :     pari_sp av = avma;
    2192        1078 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E), Q;
    2193        1078 :     GEN Pp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(P, p), gel(e,3), p);
    2194        1078 :     GEN Qp = FpE_mul(Pp, n, gel(e,1), p);
    2195        1022 :     Q = FpE_to_mod(FpE_changepoint(Qp, gel(e,3), p), p);
    2196        1022 :     return gerepileupto(av, Q);
    2197             :   }
    2198             : }
    2199             : /* [n] z, n integral */
    2200             : static GEN
    2201      251272 : ellmul_Z(GEN e, GEN z, GEN n)
    2202             : {
    2203             :   long s;
    2204      251272 :   if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
    2205      251272 :   if (ell_over_Fq(e)) return ellffmul(e,z,n);
    2206        1008 :   s = signe(n);
    2207        1008 :   if (!s) return ellinf();
    2208         959 :   if (s < 0) z = ellneg_i(e,z);
    2209         959 :   if (is_pm1(n)) return z;
    2210         721 :   return gen_pow(z, n, (void*)e, &_sqr, &_mul);
    2211             : }
    2212             : 
    2213             : /* x a t_REAL, try to round it to an integer */
    2214             : enum { OK, LOW_PREC, NO };
    2215             : static long
    2216          42 : myroundr(GEN *px)
    2217             : {
    2218          42 :   GEN x = *px;
    2219             :   long e;
    2220          42 :   if (bit_prec(x) - expo(x) < 5) return LOW_PREC;
    2221          42 :   *px = grndtoi(x, &e);
    2222          42 :   if (e >= -5) return NO;
    2223          42 :   return OK;
    2224             : }
    2225             : 
    2226             : /* E has CM by Q, t_COMPLEX or t_QUAD. Return q such that E has CM by Q/q
    2227             :  * or gen_1 (couldn't find q > 1)
    2228             :  * or NULL (doesn't have CM by Q) */
    2229             : static GEN
    2230          14 : CM_factor(GEN E, GEN Q)
    2231             : {
    2232             :   GEN w, tau, D, v, x, y, F, dF, q, r, fk, fkb, fkc;
    2233             :   long prec;
    2234             : 
    2235          14 :   if (ell_get_type(E) != t_ELL_Q) return gen_1;
    2236          14 :   switch(typ(Q))
    2237             :   {
    2238           0 :     case t_COMPLEX:
    2239           0 :       D = utoineg(4);
    2240           0 :       v = gel(Q,2);
    2241           0 :       break;
    2242          14 :     case t_QUAD:
    2243          14 :       D = quad_disc(Q);
    2244          14 :       v = gel(Q,3);
    2245          14 :       break;
    2246           0 :     default:
    2247           0 :       return NULL; /*-Wall*/
    2248             :   }
    2249             :   /* disc Q = v^2 D, D < 0 fundamental */
    2250          14 :   w = ellR_omega(E, DEFAULTPREC + nbits2extraprec(expi(D)));
    2251          14 :   tau = gdiv(gel(w,2), gel(w,1));
    2252          14 :   prec = precision(tau);
    2253             :   /* disc tau = -4 k^2 (Im tau)^2 for some integral k
    2254             :    * Assuming that E has CM by Q, then disc Q / disc tau = f^2 is a square.
    2255             :    * Compute f*k */
    2256          14 :   x = gel(tau,1);
    2257          14 :   y = gel(tau,2); /* tau = x + Iy */
    2258          14 :   fk = gmul(gdiv(v, gmul2n(y, 1)), sqrtr_abs(itor(D, prec)));
    2259          14 :   switch(myroundr(&fk))
    2260             :   {
    2261           0 :     case NO: return NULL;
    2262           0 :     case LOW_PREC: return gen_1;
    2263             :   }
    2264          14 :   fk = absi_shallow(fk);
    2265             : 
    2266          14 :   fkb = gmul(fk, gmul2n(x,1));
    2267          14 :   switch(myroundr(&fkb))
    2268             :   {
    2269           0 :     case NO: return NULL;
    2270           0 :     case LOW_PREC: return gen_1;
    2271             :   }
    2272             : 
    2273          14 :   fkc = gmul(fk, cxnorm(tau));
    2274          14 :   switch(myroundr(&fkc))
    2275             :   {
    2276           0 :     case NO: return NULL;
    2277           0 :     case LOW_PREC: return gen_1;
    2278             :   }
    2279             : 
    2280             :   /* tau is a root of fk (X^2 - b X + c) \in Z[X],  */
    2281          14 :   F = Q_primpart(mkvec3(fk, fkb, fkc));
    2282          14 :   dF = qfb_disc3(gel(F,1), gel(F,2), gel(F,3));
    2283             :   /* = disc tau, E has CM by orders of disc dF q^2, all q */
    2284          14 :   q = dvmdii(dF, D, &r);
    2285          14 :   if (r != gen_0 || !Z_issquareall(q, &q)) return NULL;
    2286             :   /* disc(Q) = disc(tau) (v / q)^2 */
    2287          14 :   v = dvmdii(absi_shallow(v), q, &r);
    2288          14 :   if (r != gen_0) return NULL;
    2289          14 :   return is_pm1(v)? gen_1: v; /* E has CM by Q/q: [Q] = [q] o [Q/q] */
    2290             : }
    2291             : 
    2292             : /* [a + w] z, a integral, w pure imaginary */
    2293             : static GEN
    2294          14 : ellmul_CM_aux(GEN e, GEN z, GEN a, GEN w)
    2295             : {
    2296             :   GEN A, B, q;
    2297          14 :   if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_Z",a);
    2298          14 :   q = CM_factor(e, w);
    2299          14 :   if (!q) pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]",w);
    2300          14 :   if (q != gen_1) w = gdiv(w, q);
    2301             :   /* compute [a + q w] z, z has CM by w */
    2302          14 :   if (typ(w) == t_QUAD && is_pm1(gel(gel(w,1), 3)))
    2303             :   { /* replace w by w - u, u in Z, so that N(w-u) is minimal
    2304             :      * N(w - u) = N w - Tr w u + u^2, minimal for u = Tr w / 2 */
    2305           7 :     GEN u = gtrace(w);
    2306           7 :     if (typ(u) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_CM",w);
    2307           7 :     u = shifti(u, -1);
    2308           7 :     if (signe(u))
    2309             :     {
    2310           0 :       w = gsub(w, u);
    2311           0 :       a = addii(a, mulii(q,u));
    2312             :     }
    2313             :     /* [a + w]z = [(a + qu)] z + [q] [(w - u)] z */
    2314             :   }
    2315          14 :   A = ellmul_Z(e,z,a);
    2316          14 :   B = ellmul_CM(e,z,w);
    2317          14 :   if (q != gen_1) B = ellmul_Z(e, B, q);
    2318          14 :   return elladd(e, A, B);
    2319             : }
    2320             : GEN
    2321      251391 : ellmul(GEN e, GEN z, GEN n)
    2322             : {
    2323      251391 :   pari_sp av = avma;
    2324             : 
    2325      251391 :   checkell(e); checkellpt(z);
    2326      251384 :   if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
    2327      251272 :   switch(typ(n))
    2328             :   {
    2329      251258 :     case t_INT: return gerepilecopy(av, ellmul_Z(e,z,n));
    2330          14 :     case t_QUAD: {
    2331          14 :       GEN pol = gel(n,1), a = gel(n,2), b = gel(n,3);
    2332          14 :       if (signe(gel(pol,2)) < 0) pari_err_TYPE("ellmul_CM",n); /* disc > 0 ? */
    2333          14 :       return gerepileupto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkquad(pol, gen_0,b)));
    2334             :     }
    2335           0 :     case t_COMPLEX: {
    2336           0 :       GEN a = gel(n,1), b = gel(n,2);
    2337           0 :       return gerepileupto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkcomplex(gen_0,b)));
    2338             :     }
    2339             :   }
    2340           0 :   pari_err_TYPE("ellmul (non integral, non CM exponent)",n);
    2341             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    2342             : }
    2343             : 
    2344             : /********************************************************************/
    2345             : /**                                                                **/
    2346             : /**                       Periods                                  **/
    2347             : /**                                                                **/
    2348             : /********************************************************************/
    2349             : 
    2350             : /* References:
    2351             :   The complex AGM, periods of elliptic curves over C and complex elliptic logarithms
    2352             :   John E. Cremona, Thotsaphon Thongjunthug, arXiv:1011.0914
    2353             : */
    2354             : 
    2355             : static GEN
    2356       33859 : ellomega_agm(GEN a, GEN b, GEN c, long prec)
    2357             : {
    2358       33859 :   GEN pi = mppi(prec), mIpi = mkcomplex(gen_0, negr(pi));
    2359       33859 :   GEN Mac = agm(a,c,prec), Mbc = agm(b,c,prec);
    2360       33859 :   retmkvec2(gdiv(pi, Mac), gdiv(mIpi, Mbc));
    2361             : }
    2362             : 
    2363             : static GEN
    2364       32245 : ellomega_cx(GEN E, long prec)
    2365             : {
    2366       32245 :   pari_sp av = avma;
    2367       32245 :   GEN roots = ellR_roots(E, prec + EXTRAPREC64);
    2368       32245 :   GEN d1=gel(roots,4), d2=gel(roots,5), d3=gel(roots,6);
    2369       32245 :   GEN a = gsqrt(d3,prec), b = gsqrt(d1,prec), c = gsqrt(d2,prec);
    2370       32245 :   return gerepileupto(av, ellomega_agm(a,b,c,prec));
    2371             : }
    2372             : 
    2373             : /* return [w1,w2] for E / R; w1 > 0 is real.
    2374             :  * If e.disc > 0, w2 = -I r; else w2 = w1/2 - I r, for some real r > 0.
    2375             :  * => tau = w1/w2 is in upper half plane */
    2376             : static GEN
    2377       33859 : doellR_omega(GEN E, long prec)
    2378             : {
    2379       33859 :   pari_sp av = avma;
    2380             :   GEN roots, d2, z, a, b, c;
    2381       33859 :   if (ellR_get_sign(E) >= 0) return ellomega_cx(E,prec);
    2382        1614 :   roots = ellR_roots(E,prec + EXTRAPREC64);
    2383        1614 :   d2 = gel(roots,5);
    2384        1614 :   z = gsqrt(d2,prec); /* imag(e1-e3) > 0, so that b > 0*/
    2385        1614 :   a = gel(z,1); /* >= 0 */
    2386        1614 :   b = gel(z,2);
    2387        1614 :   c = gabs(z, prec);
    2388        1614 :   z = ellomega_agm(a,b,c,prec);
    2389        1614 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(gel(z,1),gmul2n(gadd(gel(z,1),gel(z,2)),-1)));
    2390             : }
    2391             : static GEN
    2392          70 : doellR_eta(GEN E, long prec)
    2393          70 : { GEN w = ellR_omega(E, prec + EXTRAPREC64); return elleta(w, prec); }
    2394             : 
    2395             : GEN
    2396       64981 : ellR_omega(GEN E, long prec)
    2397       64981 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_PERIODS, &doellR_omega, prec); }
    2398             : GEN
    2399          84 : ellR_eta(GEN E, long prec)
    2400          84 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_ETA, &doellR_eta, prec); }
    2401             : GEN
    2402      204541 : ellR_roots(GEN E, long prec)
    2403      204541 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_ROOTS, &doellR_roots, prec); }
    2404             : 
    2405             : GEN
    2406        2646 : ellR_area(GEN E, long prec)
    2407             : {
    2408        2646 :   pari_sp av = avma;
    2409             :   GEN w, w1, w2, a,b,c,d;
    2410        2646 :   w = ellR_omega(E, prec);
    2411        2646 :   w1 = gel(w,1); a = real_i(w1); b = imag_i(w1);
    2412        2646 :   w2 = gel(w,2); c = real_i(w2); d = imag_i(w2);
    2413        2646 :   return gerepileupto(av, gabs(gsub(gmul(a,d),gmul(b,c)), prec));
    2414             : }
    2415             : 
    2416             : /********************************************************************/
    2417             : /**                                                                **/
    2418             : /**                       ELLIPTIC FUNCTIONS                       **/
    2419             : /**                                                                **/
    2420             : /********************************************************************/
    2421             : /* P = [x,0] is 2-torsion on y^2 = g(x). Return w1/2, (w1+w2)/2, or w2/2
    2422             :  * depending on whether x is closest to e1,e2, or e3, the 3 complex root of g */
    2423             : static GEN
    2424          14 : zell_closest_0(GEN om, GEN x, GEN ro)
    2425             : {
    2426          14 :   GEN e1 = gel(ro,1), e2 = gel(ro,2), e3 = gel(ro,3);
    2427          14 :   GEN d1 = gnorm(gsub(x,e1));
    2428          14 :   GEN d2 = gnorm(gsub(x,e2));
    2429          14 :   GEN d3 = gnorm(gsub(x,e3));
    2430          14 :   GEN z = gel(om,2);
    2431          14 :   if (gcmp(d1, d2) <= 0)
    2432           0 :   { if (gcmp(d1, d3) <= 0) z = gel(om,1); }
    2433             :   else
    2434          14 :   { if (gcmp(d2, d3)<=0) z = gadd(gel(om,1),gel(om,2)); }
    2435          14 :   return gmul2n(z, -1);
    2436             : }
    2437             : 
    2438             : static GEN
    2439       28735 : zellcx(GEN E, GEN P, long prec)
    2440             : {
    2441       28735 :   GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPREC64);
    2442       28735 :   GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
    2443       28735 :   if (gequal0(y0))
    2444           0 :     return zell_closest_0(ellomega_cx(E,prec),x0,R);
    2445             :   else
    2446             :   {
    2447       28735 :     GEN e2 = gel(R,2), e3 = gel(R,3), d2 = gel(R,5), d3 = gel(R,6);
    2448       28735 :     GEN a = gsqrt(d2,prec), b = gsqrt(d3,prec);
    2449       28735 :     GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
    2450       28735 :     GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
    2451       28735 :     GEN ar = real_i(a), br = real_i(b), ai = imag_i(a), bi = imag_i(b);
    2452             :     /* |a+b| < |a-b| */
    2453       28735 :     if (gcmp(gmul(ar,br), gneg(gmul(ai,bi))) < 0) b = gneg(b);
    2454       28735 :     return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
    2455             :   }
    2456             : }
    2457             : 
    2458             : /* Assume E/R, disc E < 0, and P \in E(R) ==> z \in R */
    2459             : static GEN
    2460           7 : zellrealneg(GEN E, GEN P, long prec)
    2461             : {
    2462           7 :   GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
    2463           0 :   if (gequal0(y0)) return gmul2n(gel(ellR_omega(E,prec),1),-1);
    2464             :   else
    2465             :   {
    2466           0 :     GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPREC64);
    2467           0 :     GEN d2 = gel(R,5), e3 = gel(R,3);
    2468           0 :     GEN a = gsqrt(d2,prec);
    2469           0 :     GEN z = gsqrt(gsub(x0,e3), prec);
    2470           0 :     GEN ar = real_i(a), zr = real_i(z), ai = imag_i(a), zi = imag_i(z);
    2471           0 :     GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gnorm(z),1));
    2472           0 :     GEN r2 = ginv(gsqrt(gaddsg(1,gdiv(gmul(ai,zi),gmul(ar,zr))),prec));
    2473           0 :     return zellagmcx(ar,gabs(a,prec),r2,gmul(t,r2),prec);
    2474             :   }
    2475             : }
    2476             : 
    2477             : /* Assume E/R, disc E > 0, and P \in E(R) */
    2478             : static GEN
    2479          28 : zellrealpos(GEN E, GEN P, long prec)
    2480             : {
    2481          28 :   GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPREC64);
    2482          28 :   GEN d2,d3,e1,e2,e3, a,b, x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
    2483          28 :   if (gequal0(y0)) return zell_closest_0(ellR_omega(E,prec), x0,R);
    2484          14 :   e1 = gel(R,1);
    2485          14 :   e2 = gel(R,2);
    2486          14 :   e3 = gel(R,3);
    2487          14 :   d2 = gel(R,5);
    2488          14 :   d3 = gel(R,6);
    2489          14 :   a = gsqrt(d2,prec);
    2490          14 :   b = gsqrt(d3,prec);
    2491          14 :   if (gcmp(x0,e1)>0) {
    2492           7 :     GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
    2493           7 :     GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
    2494           7 :     return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
    2495             :   } else {
    2496           7 :     GEN om = ellR_omega(E,prec);
    2497           7 :     GEN r = gdiv(a,gsqrt(gsub(e1,x0),prec));
    2498           7 :     GEN t = gdiv(gmul(r,y0),gmul2n(gsub(x0,e3),1));
    2499           7 :     return gsub(zellagmcx(a,b,r,t,prec),gmul2n(gel(om,2),-1));
    2500             :   }
    2501             : }
    2502             : 
    2503             : static void
    2504          21 : ellQp_P2t_err(GEN E, GEN z)
    2505             : {
    2506          21 :   if (typ(ellQp_u(E,1)) == t_POLMOD)
    2507          21 :     pari_err_IMPL("ellpointtoz when u not in Qp");
    2508           0 :   pari_err_DOMAIN("ellpointtoz", "point", "not on", strtoGENstr("E"),z);
    2509           0 : }
    2510             : static GEN
    2511         189 : get_r0(GEN E, long prec)
    2512             : {
    2513         189 :   GEN b2 = ell_get_b2(E), e1 = ellQp_root(E, prec);
    2514         189 :   return gadd(e1,gmul2n(b2,-2));
    2515             : }
    2516             : static GEN
    2517         140 : ellQp_P2t(GEN E, GEN P, long prec)
    2518             : {
    2519         140 :   pari_sp av = avma;
    2520             :   GEN a, b, ab, c0, r0, ar, r, x, delta, x1, y1, t, u, q;
    2521             :   long vq, vt, Q, R;
    2522         140 :   if (ell_is_inf(P)) return gen_1;
    2523         133 :   ab = ellQp_ab(E, prec); a = gel(ab,1); b = gel(ab,2);
    2524         133 :   u = ellQp_u(E, prec);
    2525         133 :   q = ellQp_q(E, prec);
    2526         133 :   x = gel(P,1);
    2527         133 :   r0 = get_r0(E, prec);
    2528         133 :   c0 = gadd(x, gmul2n(r0,-1));
    2529         133 :   if (typ(c0) != t_PADIC || !is_scalar_t(typ(gel(P,2))))
    2530          14 :     pari_err_TYPE("ellpointtoz",P);
    2531         119 :   r = gsub(a,b);
    2532         119 :   ar = gmul(a, r);
    2533         119 :   if (gequal0(c0))
    2534             :   {
    2535           7 :     x1 = Qp_sqrt(gneg(ar));
    2536           7 :     if (!x1) ellQp_P2t_err(E,P);
    2537             :   }
    2538             :   else
    2539             :   {
    2540         112 :     delta = gdiv(ar, gsqr(c0));
    2541         112 :     t = Qp_sqrt(gsubsg(1,gmul2n(delta,2)));
    2542         112 :     if (!t) ellQp_P2t_err(E,P);
    2543         105 :     x1 = gmul(gmul2n(c0,-1), gaddsg(1,t));
    2544             :   }
    2545         112 :   y1 = gsubsg(1, gdiv(ar, gsqr(x1)));
    2546         112 :   if (gequal0(y1))
    2547             :   {
    2548          14 :     y1 = Qp_sqrt(gmul(x1, gmul(gadd(x1, a), gadd(x1, r))));
    2549          14 :     if (!y1) ellQp_P2t_err(E,P);
    2550             :   }
    2551             :   else
    2552          98 :     y1 = gdiv(gmul2n(ec_dmFdy_evalQ(E,P), -1), y1);
    2553          98 :   Qp_descending_Landen(ellQp_AGM(E,prec), &x1,&y1);
    2554             : 
    2555          98 :   t = gmul(u, gmul2n(y1,1)); /* 2u y_oo */
    2556          98 :   t = gdiv(gsub(t, x1), gadd(t, x1));
    2557             :   /* Reduce mod q^Z: we want 0 <= v(t) < v(q) */
    2558          98 :   if (typ(t) == t_PADIC)
    2559          56 :     vt = valp(t);
    2560             :   else
    2561          42 :     vt = valp(gnorm(t)) / 2; /* v(t) = v(Nt) / (e*f) */
    2562          98 :   vq = valp(q); /* > 0 */
    2563          98 :   Q = vt / vq; R = vt % vq; if (R < 0) Q--;
    2564          98 :   if (Q) t = gdiv(t, gpowgs(q,Q));
    2565          98 :   if (padicprec_relative(t) > prec) t = gprec(t, prec);
    2566          98 :   return gerepileupto(av, t);
    2567             : }
    2568             : 
    2569             : static GEN
    2570          56 : ellQp_t2P(GEN E, GEN t, long prec)
    2571             : {
    2572          56 :   pari_sp av = avma;
    2573             :   GEN AB, A, R, x0,x1, y0,y1, u, u2, r0, s0, ar;
    2574             :   long v;
    2575          56 :   if (gequal1(t)) return ellinf();
    2576             : 
    2577          56 :   AB = ellQp_AGM(E,prec); A = gel(AB,1); R = gel(AB,3); v = itos(gel(AB,4));
    2578          56 :   u = ellQp_u(E,prec);
    2579          56 :   u2= ellQp_u2(E,prec);
    2580          56 :   x1 = gdiv(t, gmul(u2, gsqr(gsubsg(1,t))));
    2581          56 :   y1 = gdiv(gmul(x1,gaddsg(1,t)), gmul(gmul2n(u,1),gsubsg(1,t)));
    2582          56 :   Qp_ascending_Landen(AB, &x1,&y1);
    2583          56 :   r0 = get_r0(E, prec);
    2584             : 
    2585          56 :   ar = gmul(gel(A,1), gel(R,1)); setvalp(ar, valp(ar)+v);
    2586          56 :   x0 = gsub(gadd(x1, gdiv(ar, x1)), gmul2n(r0,-1));
    2587          56 :   s0 = gmul2n(ec_h_evalx(E, x0), -1);
    2588          56 :   y0 = gsub(gmul(y1, gsubsg(1, gdiv(ar,gsqr(x1)))), s0);
    2589          56 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(x0,y0));
    2590             : }
    2591             : 
    2592             : static GEN
    2593       28770 : zell_i(GEN e, GEN z, long prec)
    2594             : {
    2595             :   GEN t;
    2596             :   long s;
    2597       28770 :   (void)ellR_omega(e, prec); /* type checking */
    2598       28770 :   if (ell_is_inf(z)) return gen_0;
    2599       28770 :   s = ellR_get_sign(e);
    2600       28770 :   if (s && typ(gel(z,1))!=t_COMPLEX && typ(gel(z,2))!=t_COMPLEX)
    2601          35 :     t = (s < 0)? zellrealneg(e,z,prec): zellrealpos(e,z,prec);
    2602             :   else
    2603       28735 :     t = zellcx(e,z,prec);
    2604       28763 :   return t;
    2605             : }
    2606             : static GEN ellnfembed(GEN E, long prec);
    2607             : static GEN ellpointnfembed(GEN E, GEN P, long prec);
    2608             : static void ellnfembed_free(GEN L);
    2609             : GEN
    2610       28903 : zell(GEN E, GEN P, long prec)
    2611             : {
    2612       28903 :   pari_sp av = avma;
    2613       28903 :   checkell(E); checkellpt(P);
    2614       28903 :   switch(ell_get_type(E))
    2615             :   {
    2616         140 :     case t_ELL_Qp:
    2617         140 :       prec = minss(ellQp_get_prec(E), padicprec_relative(P));
    2618         140 :       return ellQp_P2t(E, P, prec);
    2619           7 :     case t_ELL_NF:
    2620             :     {
    2621           7 :       GEN Ee = ellnfembed(E, prec), Pe = ellpointnfembed(E, P, prec);
    2622           7 :       long i, l = lg(Pe);
    2623          21 :       for (i = 1; i < l; i++) gel(Pe,i) = zell_i(gel(Ee,i), gel(Pe,i), prec);
    2624           7 :       ellnfembed_free(Ee); return gerepilecopy(av, Pe);
    2625             :     }
    2626          21 :     case t_ELL_Q: break;
    2627       28735 :     case t_ELL_Rg: break;
    2628           0 :     default: pari_err_TYPE("ellpointtoz", E);
    2629             :   }
    2630       28756 :   return gerepileupto(av, zell_i(E, P, prec));
    2631             : }
    2632             : 
    2633             : enum period_type { t_PER_W, t_PER_WETA, t_PER_ELL };
    2634             : /* normalization / argument reduction for ellptic functions */
    2635             : typedef struct {
    2636             :   enum period_type type;
    2637             :   GEN in; /* original input */
    2638             :   GEN w1,w2,tau; /* original basis for L = <w1,w2> = w2 <1,tau> */
    2639             :   GEN W1,W2,Tau; /* new basis for L = <W1,W2> = W2 <1,tau> */
    2640             :   GEN a,b,c,d; /* t_INT; tau in F = h/Sl2, tau = g.t, g=[a,b;c,d] in SL(2,Z) */
    2641             :   GEN z,Z; /* z/w2 defined mod <1,tau>, Z = z/w2 + x*tau+y reduced mod <1,tau>*/
    2642             :   GEN x,y; /* t_INT */
    2643             :   int swap; /* 1 if we swapped w1 and w2 */
    2644             :   int some_q_is_real; /* exp(2iPi g.tau) for some g \in SL(2,Z) */
    2645             :   int some_z_is_real; /* z + xw1 + yw2 is real for some x,y \in Z */
    2646             :   int some_z_is_pure_imag; /* z + xw1 + yw2 in i*R */
    2647             :   int q_is_real; /* exp(2iPi tau) \in R */
    2648             :   int abs_u_is_1; /* |exp(2iPi Z)| = 1 */
    2649             :   long prec; /* precision(Z) */
    2650             :   long prec0; /* required precision for result */
    2651             : } ellred_t;
    2652             : 
    2653             : /* compute g in SL_2(Z), g.t is in the usual
    2654             :    fundamental domain. Internal function no check, no garbage. */
    2655             : static void
    2656      110796 : set_gamma(GEN *pt, GEN *pa, GEN *pb, GEN *pc, GEN *pd)
    2657             : {
    2658      110796 :   GEN a, b, c, d, t, t0 = *pt, run = dbltor(1. - 1e-8);
    2659      110796 :   long e = gexpo(gel(t0,2));
    2660      110796 :   if (e < 0) t0 = gprec_wensure(t0, precision(t0)+nbits2extraprec(-e));
    2661      110796 :   t = t0;
    2662      110796 :   a = d = gen_1;
    2663      110796 :   b = c = gen_0;
    2664             :   for(;;)
    2665       37212 :   {
    2666      148008 :     GEN m, n = ground(gel(t,1));
    2667      148008 :     if (signe(n))
    2668             :     { /* apply T^n */
    2669       47271 :       t = gsub(t,n);
    2670       47271 :       a = subii(a, mulii(n,c));
    2671       47271 :       b = subii(b, mulii(n,d));
    2672             :     }
    2673      148008 :     m = cxnorm(t); if (gcmp(m,run) > 0) break;
    2674       37212 :     t = gneg_i(gdiv(conj_i(t), m)); /* apply S */
    2675       37212 :     togglesign_safe(&c); swap(a,c);
    2676       37212 :     togglesign_safe(&d); swap(b,d);
    2677             :   }
    2678      110796 :   if (e < 0 && (signe(b) || signe(c))) *pt = t0;
    2679      110796 :   *pa = a; *pb = b; *pc = c; *pd = d;
    2680      110796 : }
    2681             : /* Im z > 0. Return U.z in PSl2(Z)'s standard fundamental domain.
    2682             :  * Set *pU to U. */
    2683             : GEN
    2684       37863 : cxredsl2_i(GEN z, GEN *pU, GEN *czd)
    2685             : {
    2686             :   GEN a,b,c,d;
    2687       37863 :   set_gamma(&z, &a, &b, &c, &d);
    2688       37863 :   *pU = mkmat2(mkcol2(a,c), mkcol2(b,d));
    2689       37863 :   *czd = gadd(gmul(c,z), d);
    2690       37863 :   return gdiv(gadd(gmul(a,z), b), *czd);
    2691             : }
    2692             : GEN
    2693       37828 : cxredsl2(GEN t, GEN *pU)
    2694             : {
    2695       37828 :   pari_sp av = avma;
    2696             :   GEN czd;
    2697       37828 :   t = cxredsl2_i(t, pU, &czd);
    2698       37828 :   return gc_all(av, 2, &t, pU);
    2699             : }
    2700             : 
    2701             : /* swap w1, w2 so that Im(t := w1/w2) > 0. Set tau = representative of t in
    2702             :  * the standard fundamental domain, and g in Sl_2, such that tau = g.t */
    2703             : static void
    2704       72933 : red_modSL2(ellred_t *T, long prec)
    2705             : {
    2706             :   long s, p;
    2707       72933 :   T->tau = gdiv(T->w1,T->w2);
    2708       72933 :   if (isintzero(real_i(T->tau))) T->some_q_is_real = 1;
    2709       72933 :   s = gsigne(imag_i(T->tau));
    2710       72933 :   if (!s) pari_err_DOMAIN("elliptic function", "det(w1,w2)", "=", gen_0,
    2711             :                           mkvec2(T->w1,T->w2));
    2712       72933 :   T->swap = (s < 0);
    2713       72933 :   if (T->swap) { swap(T->w1, T->w2); T->tau = ginv(T->tau); }
    2714       72933 :   p = precision(T->tau); T->prec0 = p? p: prec;
    2715       72933 :   set_gamma(&T->tau, &T->a, &T->b, &T->c, &T->d);
    2716             :   /* update lattice */
    2717       72933 :   p = precision(T->tau);
    2718       72933 :   if (p)
    2719             :   {
    2720       72555 :     T->w1 = gprec_wensure(T->w1, p);
    2721       72555 :     T->w2 = gprec_wensure(T->w2, p);
    2722             :   }
    2723       72933 :   T->W1 = gadd(gmul(T->a,T->w1), gmul(T->b,T->w2));
    2724       72933 :   T->W2 = gadd(gmul(T->c,T->w1), gmul(T->d,T->w2));
    2725       72933 :   T->Tau = gdiv(T->W1, T->W2);
    2726       72933 :   if (isintzero(real_i(T->Tau))) T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
    2727       72933 :   p = precision(T->Tau); T->prec = p? p: prec;
    2728       72933 : }
    2729             : /* is z real or pure imaginary ? */
    2730             : static void
    2731       82446 : check_complex(GEN z, int *real, int *imag)
    2732             : {
    2733       82446 :   if (typ(z) != t_COMPLEX)      { *real = 1; *imag = 0; }
    2734       69573 :   else if (isintzero(gel(z,1))) { *real = 0; *imag = 1; }
    2735       62706 :   else *real = *imag = 0;
    2736       82446 : }
    2737             : static void
    2738       39557 : reduce_z(GEN z, ellred_t *T)
    2739             : {
    2740             :   GEN x, Z;
    2741             :   long p, e;
    2742       39557 :   switch(typ(z))
    2743             :   {
    2744       39557 :     case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_COMPLEX: break;
    2745           0 :     case t_QUAD:
    2746           0 :       z = isexactzero(gel(z,2))? gel(z,1): quadtofp(z, T->prec);
    2747           0 :       break;
    2748           0 :     default: pari_err_TYPE("reduction mod 2-dim lattice (reduce_z)", z);
    2749             :   }
    2750       39557 :   Z = gdiv(z, T->W2);
    2751       39557 :   T->z = z;
    2752       39557 :   x = gdiv(imag_i(Z), imag_i(T->Tau));
    2753       39557 :   T->x = grndtoi(x, &e); /* |Im(Z - x*Tau)| <= Im(Tau)/2 */
    2754             :   /* Avoid Im(Z) << 0; take 0 <= Im(Z - x*Tau) < Im(Tau) instead.
    2755             :    * Leave round when Im(Z - x*Tau) ~ 0 to allow detecting Z in <1,Tau>
    2756             :    * at the end */
    2757       39557 :   if (e > -10) T->x = gfloor(x);
    2758       39557 :   if (signe(T->x)) Z = gsub(Z, gmul(T->x,T->Tau));
    2759       39557 :   T->y = ground(real_i(Z));/* |Re(Z - y)| <= 1/2 */
    2760       39557 :   if (signe(T->y)) Z = gsub(Z, T->y);
    2761       39557 :   T->abs_u_is_1 = (typ(Z) != t_COMPLEX);
    2762             :   /* Z = - y - x tau + z/W2, x,y integers */
    2763       39557 :   check_complex(z, &(T->some_z_is_real), &(T->some_z_is_pure_imag));
    2764       39557 :   if (!T->some_z_is_real && !T->some_z_is_pure_imag)
    2765             :   {
    2766             :     int W2real, W2imag;
    2767       31346 :     check_complex(T->W2,&W2real,&W2imag);
    2768       31346 :     if (W2real)
    2769        4725 :       check_complex(Z, &(T->some_z_is_real), &(T->some_z_is_pure_imag));
    2770       26621 :     else if (W2imag)
    2771        6748 :       check_complex(Z, &(T->some_z_is_pure_imag), &(T->some_z_is_real));
    2772             :   }
    2773       39557 :   p = precision(Z);
    2774       39557 :   if (gequal0(Z) || (p && gexpo(Z) < 5 - p)) Z = NULL; /*z in L*/
    2775       39557 :   if (p && p < T->prec) T->prec = p;
    2776       39557 :   T->Z = Z;
    2777       39557 : }
    2778             : /* return x.eta1 + y.eta2 */
    2779             : static GEN
    2780       37618 : eta_correction(ellred_t *T, GEN eta)
    2781             : {
    2782       37618 :   GEN y1 = NULL, y2 = NULL;
    2783       37618 :   if (signe(T->x)) y1 = gmul(T->x, gel(eta,1));
    2784       37618 :   if (signe(T->y)) y2 = gmul(T->y, gel(eta,2));
    2785       37618 :   if (!y1) return y2? y2: gen_0;
    2786       14080 :   return y2? gadd(y1, y2): y1;
    2787             : }
    2788             : /* e is either
    2789             :  * - [w1,w2]
    2790             :  * - [[w1,w2],[eta1,eta2]]
    2791             :  * - an ellinit structure */
    2792             : static void
    2793       72933 : compute_periods(ellred_t *T, GEN z, long prec)
    2794             : {
    2795             :   GEN w, e;
    2796       72933 :   T->q_is_real = 0;
    2797       72933 :   T->some_q_is_real = 0;
    2798       72933 :   switch(T->type)
    2799             :   {
    2800       30688 :     case t_PER_ELL:
    2801             :     {
    2802       30688 :       long pr, p = prec;
    2803       30688 :       if (z && (pr = precision(z))) p = pr;
    2804       30688 :       e = T->in;
    2805       30688 :       w = ellR_omega(e, p);
    2806       30688 :       T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
    2807       30688 :       break;
    2808             :     }
    2809       13363 :     case t_PER_W:
    2810       13363 :       w = T->in; break;
    2811       28882 :     default: /*t_PER_WETA*/
    2812       28882 :       w = gel(T->in,1); break;
    2813             :   }
    2814       72933 :   T->w1 = gel(w,1);
    2815       72933 :   T->w2 = gel(w,2);
    2816       72933 :   red_modSL2(T, prec);
    2817       72933 :   if (z) reduce_z(z, T);
    2818       72933 : }
    2819             : static int
    2820       72940 : check_periods(GEN e, ellred_t *T)
    2821             : {
    2822             :   GEN w1;
    2823       72940 :   if (typ(e) != t_VEC) return 0;
    2824       72940 :   T->in = e;
    2825       72940 :   switch(lg(e))
    2826             :   {
    2827       30695 :     case 17:
    2828       30695 :       T->type = t_PER_ELL;
    2829       30695 :       break;
    2830       42245 :     case 3:
    2831       42245 :       w1 = gel(e,1);
    2832       42245 :       if (typ(w1) != t_VEC)
    2833       13363 :         T->type = t_PER_W;
    2834             :       else
    2835             :       {
    2836       28882 :         if (lg(w1) != 3) return 0;
    2837       28882 :         T->type = t_PER_WETA;
    2838             :       }
    2839       42245 :       break;
    2840           0 :     default: return 0;
    2841             :   }
    2842       72940 :   return 1;
    2843             : }
    2844             : static int
    2845       72856 : get_periods(GEN e, GEN z, ellred_t *T, long prec)
    2846             : {
    2847       72856 :   if (!check_periods(e, T)) return 0;
    2848       72856 :   compute_periods(T, z, prec); return 1;
    2849             : }
    2850             : 
    2851             : /* 2iPi/x, more efficient when x pure imaginary */
    2852             : static GEN
    2853      139314 : PiI2div(GEN x, long prec) { return gdiv(Pi2n(1, prec), mulcxmI(x)); }
    2854             : /* (2iPi/W2)^k E_k(W1/W2) */
    2855             : static GEN
    2856       70994 : _elleisnum(ellred_t *T, long k)
    2857             : {
    2858       70994 :   GEN z = gmul(cxEk(T->Tau, k, T->prec), gpowgs(PiI2div(T->W2, T->prec), k));
    2859       70994 :   return cxtoreal(z);
    2860             : }
    2861             : 
    2862             : /* Return (2iPi)^k E_k(L) = (2iPi/w2)^k E_k(tau), with L = <w1,w2>, k > 0 even
    2863             :  * E_k(tau) = 1 + 2/zeta(1-k) * sum(n>=1, n^(k-1) q^n/(1-q^n))
    2864             :  * If flag is != 0 and k=4 or 6, compute g2 = E4/12 or g3 = -E6/216 resp. */
    2865             : GEN
    2866        4459 : elleisnum(GEN om, long k, long flag, long prec)
    2867             : {
    2868        4459 :   pari_sp av = avma;
    2869             :   GEN y;
    2870             :   ellred_t T;
    2871             : 
    2872        4459 :   if (k<=0) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k", "<=", gen_0, stoi(k));
    2873        4459 :   if (k&1) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k % 2", "!=", gen_0, stoi(k));
    2874        4459 :   if (!get_periods(om, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("elleisnum",om);
    2875        4459 :   y = _elleisnum(&T, k);
    2876        4459 :   if (k==2 && signe(T.c))
    2877        4011 :   {
    2878        4011 :     GEN a = gmul(Pi2n(1,T.prec), mului(12, T.c));
    2879        4011 :     y = gsub(y, mulcxI(gdiv(a, gmul(T.w2, T.W2))));
    2880             :   }
    2881         448 :   else if (k==4 && flag) y = gdivgu(y,  12);
    2882         420 :   else if (k==6 && flag) y = gdivgs(y,-216);
    2883        4459 :   return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y, T.prec0));
    2884             : }
    2885             : 
    2886             : /* return quasi-periods attached to [T->W1,T->W2] */
    2887             : static GEN
    2888       66353 : _elleta(ellred_t *T)
    2889             : {
    2890       66353 :   GEN y1, y2, e2 = gdivgs(_elleisnum(T,2), -12);
    2891       66353 :   y2 = gmul(T->W2, e2);
    2892       66353 :   y1 = gsub(gmul(T->W1,e2), PiI2div(T->W2, T->prec));
    2893       66353 :   retmkvec2(y1, y2);
    2894             : }
    2895             : 
    2896             : /* compute eta1, eta2 */
    2897             : GEN
    2898          84 : elleta(GEN om, long prec)
    2899             : {
    2900          84 :   pari_sp av = avma;
    2901             :   GEN y1, y2, E2, pi;
    2902             :   ellred_t T;
    2903             : 
    2904          84 :   if (!check_periods(om, &T))
    2905             :   {
    2906           0 :     pari_err_TYPE("elleta",om);
    2907             :     return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    2908             :   }
    2909          84 :   if (T.type == t_PER_ELL) return ellR_eta(om, prec);
    2910             : 
    2911          77 :   compute_periods(&T, NULL, prec);
    2912          77 :   prec = T.prec;
    2913          77 :   pi = mppi(prec);
    2914          77 :   E2 = cxEk(T.Tau, 2, prec); /* E_2(Tau) */
    2915          77 :   if (signe(T.c))
    2916             :   {
    2917          21 :     GEN u = gdiv(T.w2, T.W2);
    2918             :     /* E2 := u^2 E2 + 6iuc/pi = E_2(tau) */
    2919          21 :     E2 = gadd(gmul(gsqr(u), E2), mulcxI(gdiv(gmul(mului(6,T.c), u), pi)));
    2920             :   }
    2921          77 :   y2 = gdiv(gmul(E2, sqrr(pi)), gmulsg(3, T.w2));
    2922          77 :   if (T.swap)
    2923             :   {
    2924           7 :     y1 = y2;
    2925           7 :     y2 = gadd(gmul(T.tau,y1), PiI2div(T.w2, prec));
    2926             :   }
    2927             :   else
    2928          70 :     y1 = gsub(gmul(T.tau,y2), PiI2div(T.w2, prec));
    2929          77 :   switch(typ(T.w1))
    2930             :   {
    2931          49 :     case t_INT: case t_FRAC: case t_REAL:
    2932          49 :       y1 = real_i(y1);
    2933             :   }
    2934          77 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(y1,y2));
    2935             : }
    2936             : GEN
    2937       28749 : ellperiods(GEN w, long flag, long prec)
    2938             : {
    2939       28749 :   pari_sp av = avma;
    2940             :   ellred_t T;
    2941       28749 :   if (!get_periods(w, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellperiods",w);
    2942       28749 :   switch(flag)
    2943             :   {
    2944          14 :     case 0: return gerepilecopy(av, mkvec2(T.W1, T.W2));
    2945       28735 :     case 1: return gerepilecopy(av, mkvec2(mkvec2(T.W1, T.W2), _elleta(&T)));
    2946           0 :     default: pari_err_FLAG("ellperiods");
    2947             :              return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    2948             :   }
    2949             : }
    2950             : 
    2951             : /* 2Pi Im(z)/log(2) */
    2952             : static double
    2953       39417 : get_toadd(GEN z) { return (2*M_PI/M_LN2)*gtodouble(imag_i(z)); }
    2954             : 
    2955             : /* computes the numerical value of wp(z | L), L = om1 Z + om2 Z
    2956             :  * return NULL if z in L.  If flall=1, compute also wp' */
    2957             : static GEN
    2958        1911 : ellwpnum_all(GEN e, GEN z, long flall, long prec)
    2959             : {
    2960             :   long toadd;
    2961        1911 :   pari_sp av = avma, av1;
    2962             :   GEN q, u, y, yp, u1, u2, qn;
    2963             :   ellred_t T;
    2964             :   int simple_case;
    2965             : 
    2966        1911 :   if (!get_periods(e, z, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellwp",e);
    2967        1911 :   if (!T.Z) return NULL;
    2968        1890 :   prec = T.prec;
    2969             : 
    2970             :   /* Now L,Z normalized to <1,tau>. Z in fund. domain of <1, tau> */
    2971        1890 :   q = expIPiC(gmul2n(T.Tau,1), prec);
    2972        1890 :   u = expIPiC(gmul2n(T.Z,1), prec);
    2973        1890 :   u1 = gsubsg(1,u);
    2974        1890 :   u2 = gsqr(u1); /* (1-u)^2 = -4u sin^2(Pi Z) */
    2975        1890 :   if (gequal0(gnorm(u2))) return NULL; /* possible if loss of accuracy */
    2976        1890 :   y = gdiv(u,u2); /* -1/4(sin^2(Pi Z)) */
    2977        1890 :   if (T.abs_u_is_1) y = real_i(y);
    2978        1890 :   simple_case = T.abs_u_is_1 && T.q_is_real;
    2979        1890 :   y = gadd(mkfrac(gen_1, utoipos(12)), y);
    2980        1890 :   yp = flall? gen_0: NULL;
    2981        1890 :   toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
    2982             : 
    2983        1890 :   av1 = avma; qn = q;
    2984             :   for(;;)
    2985       24448 :   { /* y += u q^n [ 1/(1-q^n u)^2 + 1/(q^n-u)^2 ] - 2q^n /(1-q^n)^2 */
    2986             :     /* analogous formula for yp */
    2987       26338 :     GEN yadd, ypadd = NULL;
    2988       26338 :     GEN qnu = gmul(qn,u); /* q^n u */
    2989       26338 :     GEN a = gsubsg(1,qnu);/* 1 - q^n u */
    2990       26338 :     GEN a2 = gsqr(a);     /* (1 - q^n u)^2 */
    2991       26338 :     if (yp) ypadd = gdiv(gaddsg(1,qnu),gmul(a,a2));
    2992       26338 :     if (simple_case) /* conj(u) = 1/u: formula simplifies */
    2993         415 :       yadd = gmul2n(real_i(gdiv(u,a2)), 1);
    2994             :     else
    2995             :     {
    2996       25923 :       GEN b = gsub(qn,u);/* q^n - u */
    2997       25923 :       GEN b2 = gsqr(b);  /* (q^n - u)^2 */
    2998       25923 :       yadd = gmul(u, gadd(ginv(a2),ginv(b2)));
    2999       25923 :       if (yp) ypadd = gadd(ypadd, gdiv(gadd(qn,u),gmul(b,b2)));
    3000             :     }
    3001       26338 :     yadd = gsub(yadd, gmul2n(ginv(gsqr(gsubsg(1,qn))), 1));
    3002       26338 :     y = gadd(y, gmul(qn,yadd));
    3003       26338 :     if (yp) yp = gadd(yp, gmul(qn,ypadd));
    3004             : 
    3005       26338 :     qn = gmul(q,qn);
    3006       26338 :     if (gexpo(qn) <= - prec - 5 - toadd) break;
    3007       24448 :     if (gc_needed(av1,1))
    3008             :     {
    3009           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellwp");
    3010           0 :       gerepileall(av1, flall? 3: 2, &y, &qn, &yp);
    3011             :     }
    3012             :   }
    3013        1890 :   if (yp)
    3014             :   {
    3015        1827 :     if (simple_case) yp = gsub(yp, conj_i(gmul(yp,gsqr(u))));
    3016        1827 :     yp = gadd(yp, gdiv(gaddsg(1,u), gmul(u1,u2)));
    3017             :   }
    3018             : 
    3019        1890 :   u1 = PiI2div(T.W2, prec);
    3020        1890 :   u2 = gsqr(u1);
    3021        1890 :   y = gmul(u2,y); /* y *= (2i pi / w2)^2 */
    3022        1890 :   if (T.some_q_is_real && (T.some_z_is_real || T.some_z_is_pure_imag))
    3023        1029 :     y = real_i(y);
    3024        1890 :   if (yp)
    3025             :   {
    3026        1827 :     yp = gmul(u, gmul(gmul(u1,u2),yp));/* yp *= u (2i pi / w2)^3 */
    3027        1827 :     if (T.some_q_is_real)
    3028             :     {
    3029        1827 :       if (T.some_z_is_real) yp = real_i(yp);
    3030         847 :       else if (T.some_z_is_pure_imag) yp = mkcomplex(gen_0, imag_i(yp));
    3031             :     }
    3032        1827 :     y = mkvec2(y, yp);
    3033             :   }
    3034        1890 :   return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y, T.prec0));
    3035             : }
    3036             : static GEN
    3037         301 : ellwpseries_aux(GEN c4, GEN c6, long v, long PRECDL)
    3038             : {
    3039             :   long i, k, l;
    3040             :   pari_sp av;
    3041         301 :   GEN _1, t, res = cgetg(PRECDL+2,t_SER), *P = (GEN*)(res + 2);
    3042             : 
    3043         301 :   res[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(-2) | evalvarn(v);
    3044         301 :   if (!PRECDL) { setsigne(res,0); return res; }
    3045             : 
    3046        2520 :   for (i=1; i<PRECDL; i+=2) P[i]= gen_0;
    3047         301 :   _1 = Rg_get_1(c4);
    3048         301 :   switch(PRECDL)
    3049             :   {
    3050         301 :     default:P[6] = gdivgu(c6,6048);
    3051         301 :     case 6:
    3052         301 :     case 5: P[4] = gdivgu(c4, 240);
    3053         301 :     case 4:
    3054         301 :     case 3: P[2] = gmul(_1,gen_0);
    3055         301 :     case 2:
    3056         301 :     case 1: P[0] = _1;
    3057             :   }
    3058         301 :   if (PRECDL <= 8) return res;
    3059         301 :   av = avma;
    3060         301 :   P[8] = gerepileupto(av, gdivgu(gsqr(P[4]), 3));
    3061        1085 :   for (k=5; (k<<1) < PRECDL; k++)
    3062             :   {
    3063         784 :     av = avma;
    3064         784 :     t = gmul(P[4], P[(k-2)<<1]);
    3065        1239 :     for (l=3; (l<<1) < k; l++) t = gadd(t, gmul(P[l<<1], P[(k-l)<<1]));
    3066         784 :     t = gmul2n(t, 1);
    3067         784 :     if ((k & 1) == 0) t = gadd(gsqr(P[k]), t);
    3068         784 :     if (k % 3 == 2)
    3069         273 :       t = gdivgu(gmulsg(3, t), (k-3)*(2*k+1));
    3070             :     else /* same value, more efficient */
    3071         511 :       t = gdivgu(t, ((k-3)*(2*k+1)) / 3);
    3072         784 :     P[k<<1] = gerepileupto(av, t);
    3073             :   }
    3074         301 :   return res;
    3075             : }
    3076             : 
    3077             : static int
    3078         294 : get_c4c6(GEN w, GEN *c4, GEN *c6, long prec)
    3079             : {
    3080         294 :   if (typ(w) == t_VEC) switch(lg(w))
    3081             :   {
    3082         203 :     case 17:
    3083         203 :       *c4 = ell_get_c4(w);
    3084         203 :       *c6 = ell_get_c6(w);
    3085         203 :       return 1;
    3086          91 :     case 3:
    3087             :     {
    3088             :       ellred_t T;
    3089          91 :       if (!get_periods(w,NULL,&T, prec)) break;
    3090          91 :       *c4 = _elleisnum(&T, 4);
    3091          91 :       *c6 = gneg(_elleisnum(&T, 6));
    3092          91 :       return 1;
    3093             :     }
    3094             :   }
    3095           0 :   *c4 = *c6 = NULL;
    3096           0 :   return 0;
    3097             : }
    3098             : 
    3099             : GEN
    3100          14 : ellwpseries(GEN e, long v, long PRECDL)
    3101             : {
    3102             :   GEN c4, c6;
    3103          14 :   checkell(e);
    3104          14 :   c4 = ell_get_c4(e);
    3105          14 :   c6 = ell_get_c6(e); return ellwpseries_aux(c4,c6,v,PRECDL);
    3106             : }
    3107             : 
    3108             : GEN
    3109           0 : ellwp(GEN w, GEN z, long prec)
    3110           0 : { return ellwp0(w,z,0,prec); }
    3111             : 
    3112             : GEN
    3113         182 : ellwp0(GEN w, GEN z, long flag, long prec)
    3114             : {
    3115         182 :   pari_sp av = avma;
    3116             :   GEN y;
    3117             : 
    3118         182 :   if (flag && flag != 1) pari_err_FLAG("ellwp");
    3119         182 :   if (!z) z = pol_x(0);
    3120         182 :   y = toser_i(z);
    3121         182 :   if (y)
    3122             :   {
    3123         105 :     long vy = varn(y), v = valser(y);
    3124             :     GEN P, Q, c4,c6;
    3125         105 :     if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec)) pari_err_TYPE("ellwp",w);
    3126         105 :     if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellwp(t_SER) away from 0");
    3127         105 :     if (gequal0(y)) {
    3128           0 :       set_avma(av);
    3129           0 :       if (!flag) return zeroser(vy, -2*v);
    3130           0 :       retmkvec2(zeroser(vy, -2*v), zeroser(vy, -3*v));
    3131             :     }
    3132         105 :     P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
    3133         105 :     Q = gsubst(P, varn(P), y);
    3134         105 :     if (!flag)
    3135         105 :       return gerepileupto(av, Q);
    3136             :     else
    3137             :     {
    3138           0 :       GEN R = mkvec2(Q, gdiv(derivser(Q), derivser(y)));
    3139           0 :       return gerepilecopy(av, R);
    3140             :     }
    3141             :   }
    3142          77 :   y = ellwpnum_all(w,z,flag,prec);
    3143          77 :   if (!y) pari_err_DOMAIN("ellwp", "argument","=", gen_0,z);
    3144          70 :   return gerepileupto(av, y);
    3145             : }
    3146             : 
    3147             : GEN
    3148         161 : ellzeta(GEN w, GEN z, long prec0)
    3149             : {
    3150             :   long prec;
    3151         161 :   pari_sp av = avma;
    3152         161 :   GEN pi2, q, y, et = NULL;
    3153             :   ellred_t T;
    3154             : 
    3155         161 :   if (!z) z = pol_x(0);
    3156         161 :   y = toser_i(z);
    3157         161 :   if (y)
    3158             :   {
    3159          91 :     long vy = varn(y), v = valser(y);
    3160             :     GEN P, Q, c4,c6;
    3161          91 :     if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta",w);
    3162          91 :     if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellzeta(t_SER) away from 0");
    3163          91 :     if (gequal0(y)) { set_avma(av); return zeroser(vy, -v); }
    3164          91 :     P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
    3165          91 :     P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
    3166          91 :     Q = gsubst(P, varn(P), y);
    3167          91 :     return gerepileupto(av, Q);
    3168             :   }
    3169          70 :   if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta", w);
    3170          70 :   if (!T.Z) pari_err_DOMAIN("ellzeta", "z", "=", gen_0, z);
    3171          70 :   prec = T.prec;
    3172          70 :   if (signe(T.x) || signe(T.y)) et = eta_correction(&T, _elleta(&T));
    3173             : 
    3174          70 :   pi2 = Pi2n(1, prec);
    3175          70 :   q = expIPiC(gmul2n(T.Tau,1), prec);
    3176          70 :   y = mulcxI(gmul(cxEk(T.Tau,2,prec), gmul(T.Z,divrs(pi2,-12))));
    3177          70 :   if (!T.abs_u_is_1 || (!gequal(T.Z,ghalf) && !gequal(T.Z,gneg(ghalf))))
    3178             :   { /* else u = -1 and this vanishes */
    3179          70 :     long toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
    3180          70 :     GEN qn, u, v, S = gen_0;
    3181             :     pari_sp av1;
    3182          70 :     u = expIPiC(gmul2n(T.Z,1), prec);
    3183          70 :     v = gadd(ghalf, ginv(gsubgs(u, 1)));
    3184          70 :     if (T.abs_u_is_1) gel(v,1) = gen_0; /*v = (u+1)/2(u-1), pure imaginary*/
    3185          70 :     y = gadd(y, v);
    3186             :     /* add sum_n q^n ( u/(u*q^n - 1) + 1/(u - q^n) )
    3187             :      *     = (u^2 - 1) sum_n q^n / (uq^n - 1)(u - q^n) */
    3188          70 :     av1 = avma;
    3189          70 :     for (qn = q;;)
    3190             :     {
    3191         863 :       S = gadd(S, gdiv(qn, gmul(gsubgs(gmul(qn,u),1), gsub(u,qn))));
    3192         863 :       qn = gmul(q,qn);
    3193         863 :       if (gexpo(qn) <= - prec - 5 - toadd) break;
    3194         793 :       if (gc_needed(av1,1))
    3195             :       {
    3196           0 :         if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellzeta");
    3197           0 :         gerepileall(av1,2, &S,&qn);
    3198             :       }
    3199             :     }
    3200          70 :     y = gadd(y, gmul(gsubgs(gsqr(u),1), S));
    3201             :   }
    3202          70 :   y = mulcxI(gmul(gdiv(pi2,T.W2), y));
    3203          70 :   if (T.some_q_is_real)
    3204             :   {
    3205          70 :     if (T.some_z_is_real)
    3206             :     {
    3207          28 :       if (!et || typ(et) != t_COMPLEX) y = real_i(y);
    3208             :     }
    3209          42 :     else if (T.some_z_is_pure_imag)
    3210             :     {
    3211          21 :       if (!et || (typ(et) == t_COMPLEX && isintzero(gel(et,1))))
    3212          21 :         gel(y,1) = gen_0;
    3213             :     }
    3214             :   }
    3215          70 :   if (et) y = gadd(y, et);
    3216          70 :   return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y, T.prec0));
    3217             : }
    3218             : 
    3219             : /* if flag=0, return ellsigma, otherwise return log(ellsigma) */
    3220             : GEN
    3221       37674 : ellsigma(GEN w, GEN z, long flag, long prec0)
    3222             : {
    3223             :   long toadd, prec, n;
    3224       37674 :   pari_sp av = avma, av1;
    3225             :   GEN u, urn, urninv, z0, pi, pi2, q, q8, qn2, qn, y, y1, uinv, et, etnew;
    3226             :   ellred_t T;
    3227             : 
    3228       37674 :   if (flag < 0 || flag > 1) pari_err_FLAG("ellsigma");
    3229             : 
    3230       37674 :   if (!z) z = pol_x(0);
    3231       37674 :   y = toser_i(z);
    3232       37674 :   if (y)
    3233             :   {
    3234          98 :     long vy = varn(y), v = valser(y);
    3235             :     GEN P, Q, c4,c6;
    3236          98 :     if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
    3237          98 :     if (v <= 0) pari_err_IMPL("ellsigma(t_SER) away from 0");
    3238          98 :     if (flag) pari_err_TYPE("log(ellsigma)",y);
    3239          91 :     if (gequal0(y)) { set_avma(av); return zeroser(vy, -v); }
    3240          91 :     P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
    3241          91 :     P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
    3242             :     /* (log \sigma)' = \zeta; remove log-singularity first */
    3243          91 :     P = integser(serchop0(P));
    3244          91 :     P = gexp(P, prec0);
    3245          91 :     setvalser(P, valser(P)+1);
    3246          91 :     Q = gsubst(P, varn(P), y);
    3247          91 :     return gerepileupto(av, Q);
    3248             :   }
    3249       37576 :   if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
    3250       37576 :   if (!T.Z)
    3251             :   {
    3252           7 :     if (!flag) return gen_0;
    3253           7 :     pari_err_DOMAIN("log(ellsigma)", "argument","=",gen_0,z);
    3254             :   }
    3255       37569 :   prec = T.prec;
    3256       37569 :   pi2 = Pi2n(1,prec);
    3257       37569 :   pi  = mppi(prec);
    3258             : 
    3259       37569 :   urninv = uinv = NULL;
    3260       37569 :   if (typ(T.Z) == t_FRAC && equaliu(gel(T.Z,2), 2) && equalim1(gel(T.Z,1)))
    3261             :   {
    3262         112 :     toadd = 0;
    3263         112 :     urn = mkcomplex(gen_0, gen_m1); /* Z = -1/2 => urn = -I */
    3264         112 :     u = gen_1;
    3265             :   }
    3266             :   else
    3267             :   {
    3268       37457 :     toadd = (long)ceil(fabs( get_toadd(T.Z) ));
    3269       37457 :     urn = expIPiC(T.Z, prec); /* exp(i Pi Z) */
    3270       37457 :     u = gneg_i(gsqr(urn));
    3271       37457 :     if (!T.abs_u_is_1) { urninv = ginv(urn); uinv = gneg_i(gsqr(urninv)); }
    3272             :   }
    3273       37569 :   q8 = expIPiC(gmul2n(T.Tau, -2), prec);
    3274       37569 :   q = gpowgs(q8,8); av1 = avma;
    3275       37569 :   y = gen_0; qn = q; qn2 = gen_1;
    3276      238974 :   for(n=0;;n++)
    3277             :   { /* qn = q^(n+1), qn2 = q^(n(n+1)/2), urn = u^((n+1)/2)
    3278             :      * if |u| = 1, will multiply by 2*I at the end ! */
    3279      238974 :     y = gadd(y, gmul(qn2, uinv? gsub(urn,urninv): imag_i(urn)));
    3280      238974 :     qn2 = gmul(qn,qn2);
    3281      238974 :     if (gexpo(qn2) + n*toadd <= - prec - 5) break;
    3282      201405 :     qn  = gmul(q,qn);
    3283      201405 :     urn = gmul(urn,u);
    3284      201405 :     if (uinv) urninv = gmul(urninv,uinv);
    3285      201405 :     if (gc_needed(av1,1))
    3286             :     {
    3287           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellsigma");
    3288           0 :       gerepileall(av1,urninv? 5: 4, &y,&qn,&qn2,&urn,&urninv);
    3289             :     }
    3290             :   }
    3291       37569 :   y = gmul(y, gdiv(q8, gmul(pi2, gpowgs(trueeta(T.Tau,prec),3))));
    3292       37569 :   y = gmul(y, T.abs_u_is_1? gmul2n(T.W2,1): mulcxmI(T.W2));
    3293             : 
    3294       37569 :   et = _elleta(&T);
    3295       37569 :   z0 = gmul(T.Z,T.W2);
    3296       37569 :   y1 = gadd(z0, gmul2n(gadd(gmul(T.x,T.W1), gmul(T.y,T.W2)),-1));
    3297       37569 :   etnew = gmul(eta_correction(&T, et), y1);
    3298       37569 :   y1 = gadd(etnew, gmul2n(gmul(gmul(T.Z,z0),gel(et,2)),-1));
    3299       37569 :   if (flag)
    3300             :   {
    3301       37499 :     y = gadd(y1, glog(y,prec));
    3302       37499 :     if (mpodd(T.x) || mpodd(T.y)) y = gadd(y, mulcxI(pi));
    3303             :     /* log(real number): im(y) = 0 or Pi */
    3304       37499 :     if (T.some_q_is_real && isintzero(imag_i(z)) && gexpo(imag_i(y)) < 1)
    3305         273 :       y = real_i(y);
    3306             :   }
    3307             :   else
    3308             :   {
    3309          70 :     y = gmul(y, gexp(y1,prec));
    3310          70 :     if (mpodd(T.x) || mpodd(T.y)) y = gneg_i(y);
    3311          70 :     if (T.some_q_is_real)
    3312             :     {
    3313             :       int re, cx;
    3314          70 :       check_complex(z,&re,&cx);
    3315          70 :       if (re) y = real_i(y);
    3316          49 :       else if (cx && typ(y) == t_COMPLEX) gel(y,1) = gen_0;
    3317             :     }
    3318             :   }
    3319       37569 :   return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y, T.prec0));
    3320             : }
    3321             : 
    3322             : GEN
    3323        1890 : pointell(GEN e, GEN z, long prec)
    3324             : {
    3325        1890 :   pari_sp av = avma;
    3326             :   GEN v;
    3327             : 
    3328        1890 :   checkell(e);
    3329        1890 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_Qp)
    3330             :   {
    3331          56 :     prec = minss(ellQp_get_prec(e), padicprec_relative(z));
    3332          56 :     return ellQp_t2P(e, z, prec);
    3333             :   }
    3334        1834 :   v = ellwpnum_all(e,z,1,prec);
    3335        1834 :   if (!v) { set_avma(av); return ellinf(); }
    3336        1820 :   gel(v,1) = gsub(gel(v,1), gdivgu(ell_get_b2(e),12));
    3337        1820 :   gel(v,2) = gmul2n(gsub(gel(v,2), ec_h_evalx(e,gel(v,1))),-1);
    3338        1820 :   return gerepilecopy(av, v);
    3339             : }
    3340             : 
    3341             : /********************************************************************/
    3342             : /**                                                                **/
    3343             : /**                 Tate's algorithm e (cf Anvers IV)              **/
    3344             : /**               Kodaira types, global minimal model              **/
    3345             : /**                                                                **/
    3346             : /********************************************************************/
    3347             : /* structure to hold incremental computation of standard minimal model/Q */
    3348             : typedef struct {
    3349             :   long a1; /*{0,1}*/
    3350             :   long a2; /*{-1,0,1}*/
    3351             :   long a3; /*{0,1}*/
    3352             :   long b2; /* centermod(-c6, 12), in [-5,6] */
    3353             :   GEN u, u2, u3, u4, u6;
    3354             :   GEN a4, a6, b4, b6, b8, c4, c6, D;
    3355             : } ellmin_t;
    3356             : 
    3357             : /* u from [u,r,s,t] */
    3358             : static void
    3359      547785 : min_set_u(ellmin_t *M, GEN u)
    3360             : {
    3361      547785 :   M->u = u;
    3362      547785 :   if (is_pm1(u))
    3363      469497 :     M->u2 = M->u3 = M->u4 = M->u6 = gen_1;
    3364             :   else
    3365             :   {
    3366       78288 :     M->u2 = sqri(u);
    3367       78288 :     M->u3 = mulii(M->u2, u);
    3368       78288 :     M->u4 = sqri(M->u2);
    3369       78288 :     M->u6 = sqri(M->u3);
    3370             :   }
    3371      547785 : }
    3372             : /* E = original curve */
    3373             : static void
    3374      547785 : min_set_c(ellmin_t *M, GEN E)
    3375             : {
    3376      547785 :   GEN c4 = ell_get_c4(E), c6 = ell_get_c6(E);
    3377      547785 :   if (!is_pm1(M->u4)) {
    3378       78288 :     c4 = diviiexact(c4, M->u4);
    3379       78288 :     c6 = diviiexact(c6, M->u6);
    3380             :   }
    3381      547785 :   M->c4 = c4;
    3382      547785 :   M->c6 = c6;
    3383      547785 : }
    3384             : static void
    3385      547477 : min_set_D(ellmin_t *M, GEN E)
    3386             : {
    3387      547477 :   GEN D = ell_get_disc(E);
    3388      547477 :   if (!is_pm1(M->u6)) D = diviiexact(D, sqri(M->u6));
    3389      547477 :   M->D = D;
    3390      547477 : }
    3391             : static void
    3392      547638 : min_set_b(ellmin_t *M)
    3393             : {
    3394             :   long b22, b2;
    3395      547638 :   M->b2 = b2 = Fl_center(12 - umodiu(M->c6,12), 12, 6);
    3396      547638 :   b22 = b2 * b2; /* in [0,36] */
    3397      547638 :   M->b4 = diviuexact(subui(b22, M->c4), 24);
    3398      547638 :   M->b6 = diviuexact(subii(mulsi(b2, subiu(mului(36,M->b4),b22)), M->c6), 216);
    3399      547638 : }
    3400             : static void
    3401      547498 : min_set_a(ellmin_t *M)
    3402             : {
    3403      547498 :   long a1, a2, a3, a13, b2 = M->b2;
    3404      547498 :   GEN b4 = M->b4, b6 = M->b6;
    3405      547498 :   if (odd(b2))
    3406             :   {
    3407      274085 :     a1 = 1;
    3408      274085 :     a2 = (b2 - 1) >> 2;
    3409             :   }
    3410             :   else
    3411             :   {
    3412      273413 :     a1 = 0;
    3413      273413 :     a2 = b2 >> 2;
    3414             :   }
    3415      547498 :   M->a1 = a1;
    3416      547498 :   M->a2 = a2;
    3417      547498 :   M->a3 = a3 = Mod2(b6)? 1: 0;
    3418      547498 :   a13 = a1 & a3; /* a1 * a3 */
    3419      547498 :   M->a4 = shifti(subiu(b4, a13), -1);
    3420      547498 :   M->a6 = shifti(subiu(b6, a3), -2);
    3421      547498 : }
    3422             : static void
    3423      547463 : min_set_all(ellmin_t *M, GEN E, GEN u)
    3424             : {
    3425      547463 :   min_set_u(M, u);
    3426      547463 :   min_set_c(M, E);
    3427      547463 :   min_set_D(M, E);
    3428      547463 :   min_set_b(M);
    3429      547463 :   min_set_a(M);
    3430      547463 : }
    3431             : static GEN
    3432      534380 : min_to_ell(ellmin_t *M, GEN E)
    3433             : {
    3434      534380 :   GEN b8, y = obj_init(15, 8);
    3435             :   long a11, a13;
    3436      534380 :   gel(y,1) = M->a1? gen_1: gen_0;
    3437      534380 :   gel(y,2) = stoi(M->a2);
    3438      534380 :   gel(y,3) = M->a3? gen_1: gen_0;
    3439      534380 :   gel(y,4) = M->a4;
    3440      534380 :   gel(y,5) = M->a6;
    3441      534380 :   gel(y,6) = stoi(M->b2);
    3442      534380 :   gel(y,7) = M->b4;
    3443      534380 :   gel(y,8) = M->b6;
    3444      534380 :   a11 = M->a1;
    3445      534380 :   a13 = M->a1 & M->a3;
    3446      534380 :   b8 = subii(addii(mului(a11,M->a6), mulis(M->b6, M->a2)),
    3447             :              mulii(M->a4, addiu(M->a4,a13)));
    3448      534380 :   gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
    3449      534380 :   gel(y,10)= M->c4;
    3450      534380 :   gel(y,11)= M->c6;
    3451      534380 :   gel(y,12)= M->D;
    3452      534380 :   gel(y,13)= gel(E,13);
    3453      534380 :   gel(y,14)= gel(E,14);
    3454      534380 :   gel(y,15)= gel(E,15);
    3455      534380 :   return y;
    3456             : }
    3457             : static GEN
    3458      547463 : min_get_v(ellmin_t *M, GEN E)
    3459             : {
    3460             :   GEN r, s, t;
    3461      547463 :   r = diviuexact(subii(mulis(M->u2,M->b2), ell_get_b2(E)), 12);
    3462      547463 :   s = shifti(subii(M->a1? M->u: gen_0, ell_get_a1(E)), -1);
    3463      547463 :   t = shifti(subii(M->a3? M->u3: gen_0, Zec_h_evalx(E,r)), -1);
    3464      547463 :   return mkvec4(M->u,r,s,t);
    3465             : }
    3466             : 
    3467             : /* return v_p(u), where [u,r,s,t] is the variable change to minimal model */
    3468             : static long
    3469     1687003 : get_vp_u_small(GEN E, ulong p, long *pv6, long *pvD)
    3470             : {
    3471     1687003 :   GEN c6 = ell_get_c6(E);
    3472     1687003 :   long d, v6, vD = Z_lval(ell_get_disc(E), p);
    3473     1687003 :   if (!signe(c6))
    3474             :   {
    3475        2933 :     d = vD / 12;
    3476        2933 :     if (d)
    3477             :     {
    3478        1071 :       if (p == 2)
    3479             :       {
    3480         819 :         GEN c4 = ell_get_c4(E);
    3481         819 :         long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
    3482         819 :         if (a) d--;
    3483             :       }
    3484        1071 :       if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
    3485             :     }
    3486        2933 :     v6 = 12; /* +oo */
    3487             :   }
    3488             :   else
    3489             :   {
    3490     1684070 :     v6 = Z_lval(c6,p);
    3491     1684070 :     d = minss(2*v6, vD) / 12;
    3492     1684070 :     if (d) {
    3493      181174 :       if (p == 2) {
    3494      109746 :         GEN c4 = ell_get_c4(E);
    3495      109746 :         long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
    3496      109746 :         long b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
    3497      109746 :         if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) d--;
    3498       71428 :       } else if (p == 3) {
    3499       45199 :         if (v6 == 6*d+2) d--;
    3500             :       }
    3501      181174 :       if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
    3502             :     }
    3503             :   }
    3504     1687003 :   *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
    3505             : }
    3506             : static long
    3507      879487 : get_vp_u(GEN E, GEN p, long *pv6, long *pvD)
    3508             : {
    3509             :   GEN c6;
    3510             :   long d, v6, vD;
    3511      879487 :   if (lgefint(p) == 3) return get_vp_u_small(E, p[2], pv6, pvD);
    3512          39 :   c6 = ell_get_c6(E);
    3513          39 :   vD = Z_pval(ell_get_disc(E), p);
    3514          39 :   if (!signe(c6))
    3515             :   {
    3516           0 :     d = vD / 12;
    3517           0 :     if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
    3518           0 :     v6 = 12; /* +oo */
    3519             :   }
    3520             :   else
    3521             :   {
    3522          39 :     v6 = Z_pval(c6,p);
    3523          39 :     d = minss(2*v6, vD) / 12;
    3524          39 :     if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
    3525             :   }
    3526          39 :   *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
    3527             : }
    3528             : 
    3529             : /* Given an integral elliptic curve in ellinit form, and a prime p, returns the
    3530             :   type of the fiber at p of the Neron model, as well as the change of variables
    3531             :   in the form [f, kod, v, c].
    3532             : 
    3533             :   * The integer f is the conductor's exponent.
    3534             : 
    3535             :   * The integer kod is the Kodaira type using the following notation:
    3536             :     II , III , IV  -->  2, 3, 4
    3537             :     I0  -->  1
    3538             :     Inu --> 4+nu for nu > 0
    3539             :   A '*' negates the code (e.g I* --> -2)
    3540             : 
    3541             :   * v is a quadruple [u, r, s, t] yielding a minimal model
    3542             : 
    3543             :   * c is the Tamagawa number.
    3544             : 
    3545             :   Uses Tate's algorithm (Anvers IV). Given the remarks at the bottom of
    3546             :   page 46, the "long" algorithm is used for p = 2,3 only. */
    3547             : static GEN
    3548     1894837 : localred_result(long f, long kod, long c, GEN v)
    3549             : {
    3550     1894837 :   GEN z = cgetg(5, t_VEC);
    3551     1894837 :   gel(z,1) = stoi(f);
    3552     1894837 :   gel(z,2) = stoi(kod);
    3553     1894837 :   gel(z,3) = gcopy(v);
    3554     1894837 :   gel(z,4) = stoi(c); return z;
    3555             : }
    3556             : static GEN
    3557           0 : localredbug(GEN p, const char *s)
    3558             : {
    3559           0 :   if (BPSW_psp(p)) pari_err_BUG(s);
    3560           0 :   pari_err_PRIME("localred",p);
    3561             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    3562             : }
    3563             : 
    3564             : /* v_p( denom(j(E)) ) >= 0 */
    3565             : static long
    3566      880880 : j_pval(GEN E, GEN p) { return Z_pval(Q_denom(ell_get_j(E)), p); }
    3567             : 
    3568             : /* p > 3, e integral */
    3569             : static GEN
    3570      879487 : localred_p(GEN e, GEN p)
    3571             : {
    3572             :   long k, f, kod, c, nuj, nuD, nu6;
    3573      879487 :   GEN p2, v, tri, c4, c6, D = ell_get_disc(e);
    3574             : 
    3575      879487 :   c4 = ell_get_c4(e);
    3576      879487 :   c6 = ell_get_c6(e);
    3577      879487 :   nuj = j_pval(e, p);
    3578      879487 :   nuD = Z_pval(D, p);
    3579      879487 :   k = get_vp_u(e, p, &nu6, &nuD);
    3580      879487 :   if (!k) v = init_ch();
    3581             :   else
    3582             :   { /* model not minimal */
    3583             :     ellmin_t M;
    3584       13097 :     min_set_all(&M, e, powiu(p,k));
    3585       13097 :     v = min_get_v(&M, e);
    3586       13097 :     c4 = M.c4; c6 = M.c6; D = M.D;
    3587             :   }
    3588             : 
    3589      879487 :   if (nuj > 0) switch(nuD - nuj)
    3590             :   {
    3591      761278 :     case 0: f = 1; kod = 4+nuj; /* Inu */
    3592      761278 :       switch(kronecker(negi(c6),p))
    3593             :       {
    3594      392483 :         case  1: c = nuD; break;
    3595      368795 :         case -1: c = odd(nuD)? 1: 2; break;
    3596           0 :         default: return localredbug(p,"localred (p | c6)");
    3597             :       }
    3598      761278 :       break;
    3599       45703 :     case 6:
    3600             :     {
    3601       45703 :       GEN d = Fp_red(diviiexact(D, powiu(p, 6+nuj)), p);
    3602       45703 :       if (nuj & 1) d = Fp_mul(d, diviiexact(c6, powiu(p,3)), p);
    3603       45703 :       f = 2; kod = -4-nuj; c = 3 + kronecker(d, p); /* Inu* */
    3604       45703 :       break;
    3605             :     }
    3606           0 :     default: return localredbug(p,"localred (nu_D - nu_j != 0,6)");
    3607             :   }
    3608       72506 :   else switch(nuD)
    3609             :   {
    3610         539 :     case  0: f = 0; kod = 1; c = 1; break; /* I0, regular */
    3611       11697 :     case  2: f = 2; kod = 2; c = 1; break; /* II   */
    3612       10332 :     case  3: f = 2; kod = 3; c = 2; break; /* III  */
    3613        5642 :     case  4: f = 2; kod = 4; /* IV   */
    3614        5642 :       c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6,sqri(p)), p);
    3615        5642 :       break;
    3616       16856 :     case  6: f = 2; kod = -1; /* I0*  */
    3617       16856 :       p2 = sqri(p);
    3618             :       /* x^3 - 3c4/p^2 x - 2c6/p^3 */
    3619       16856 :       tri = mkpoln(4, gen_1, gen_0,
    3620             :                             negi(mului(3, diviiexact(c4, p2))),
    3621             :                             negi(shifti(diviiexact(c6, mulii(p2,p)), 1)));
    3622       16856 :       c = 1 + FpX_nbroots(tri, p);
    3623       16856 :       break;
    3624       11620 :     case  8: f = 2; kod = -4; /* IV*  */
    3625       11620 :       c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6, sqri(sqri(p))), p);
    3626       11620 :       break;
    3627       10227 :     case  9: f = 2; kod = -3; c = 2; break; /* III* */
    3628        5593 :     case 10: f = 2; kod = -2; c = 1; break; /* II*  */
    3629           0 :     default: return localredbug(p,"localred");
    3630             :   }
    3631      879487 :   return localred_result(f, kod, c, v);
    3632             : }
    3633             : 
    3634             : /* return a_{ k,l } in Tate's notation, pl = p^l */
    3635             : static ulong
    3636      888965 : aux(GEN ak, ulong q, ulong pl)
    3637      888965 : { return umodiu(ak, q) / pl; }
    3638             : 
    3639             : static ulong
    3640     1421966 : aux2(GEN ak, ulong p, GEN pl)
    3641     1421966 : { pari_sp av = avma; return gc_ulong(av, umodiu(diviiexact(ak, pl), p)); }
    3642             : 
    3643             : /* number of distinct roots of X^3 + aX^2 + bX + c modulo p = 2 or 3
    3644             :  * assume a,b,c in {0, 1} [ p = 2 ] or {0, 1, 2} [ p = 3 ]
    3645             :  * if there's a multiple root, put it in *mult */
    3646             : static long
    3647      244335 : numroots3(long a, long b, long c, long p, long *mult)
    3648             : {
    3649      244335 :   if (p == 2)
    3650             :   {
    3651      141169 :     if (odd(c + a * b)) return 3;
    3652      122451 :     *mult = b; return odd(a + b)? 2: 1;
    3653             :   }
    3654             :   /* p = 3 */
    3655      103166 :   if (!a) { *mult = -c; return b? 3: 1; }
    3656       69041 :   *mult = a * b;
    3657       69041 :   if (b == 2)
    3658       22974 :     return (a + c) == 3 ? 2 : 3;
    3659             :   else
    3660       46067 :     return c ? 3 : 2;
    3661             : }
    3662             : 
    3663             : /* same for aX^2 +bX + c */
    3664             : static long
    3665      788963 : numroots2(long a, long b, long c, long p, long *mult)
    3666             : {
    3667      788963 :   if (p == 2) { *mult = c; return odd(b)? 2: 1; }
    3668             :   /* p = 3 */
    3669      301112 :   *mult = a * b; return (b * b - a * c) % 3 ? 2 : 1;
    3670             : }
    3671             : 
    3672             : /* p = 2 or 3 */
    3673             : static GEN
    3674      704445 : localred_23(GEN e, long p)
    3675             : {
    3676             :   long c, nu, nu6, nuD, r, s, t;
    3677             :   long k, theroot, p2, p3, p4, p5, a21, a42, a63, a32, a64;
    3678             :   GEN v;
    3679             : 
    3680      704445 :   k = get_vp_u_small(e, p, &nu6, &nuD);
    3681      704445 :   if (!k) v = init_ch();
    3682             :   else
    3683             :   {
    3684             :     ellmin_t M;
    3685       48776 :     min_set_all(&M, e, powuu(p, k));
    3686       48776 :     v = min_get_v(&M, e);
    3687       48776 :     e = min_to_ell(&M, e);
    3688             :   }
    3689             :   /* model is minimal */
    3690      704445 :   nuD = Z_lval(ell_get_disc(e), (ulong)p);
    3691      704445 :   if (!nuD) return localred_result(0, 1, 1, v); /* I0 */
    3692      702954 :   if (p == 2) { p2 = 4; p3 = 8;  p4 = 16; p5 = 32; }
    3693      321699 :   else        { p2 = 9; p3 = 27; p4 = 81; p5 =243; }
    3694             : 
    3695      702954 :   if (umodiu(ell_get_b2(e), p)) /* p \nmid b2 */
    3696             :   {
    3697      386162 :     if (umodiu(negi(ell_get_c6(e)), p == 2 ? 8 : 3) == 1)
    3698      196056 :       c = nuD;
    3699             :     else
    3700      190106 :       c = odd(nuD)? 1: 2;
    3701      386162 :     return localred_result(1, 4 + nuD, c, v); /* Inu */
    3702             :   }
    3703      316792 :   if (p == 2)
    3704             :   {
    3705      185941 :     r = umodiu(ell_get_a4(e), 2);
    3706      185941 :     s = umodiu(ell_get_a2(e), 2);
    3707      185941 :     t = umodiu(ell_get_a6(e), 2);
    3708      185941 :     if (r) { t = (s + t) & 1; s = (s + 1) & 1; }
    3709             :   }
    3710             :   else /* p == 3 */
    3711             :   {
    3712      130851 :     r = - umodiu(ell_get_b6(e), 3);
    3713      130851 :     s = umodiu(ell_get_a1(e), 3);
    3714      130851 :     t = umodiu(ell_get_a3(e), 3);
    3715      130851 :     if (s) { t  = (t + r*s) % 3; if (t < 0) t += 3; }
    3716             :   }
    3717             :   /* p | (a1, a2, a3, a4, a6) */
    3718      316792 :   if (r || s || t) e = coordch_rst(e, stoi(r), stoi(s), stoi(t));
    3719      316792 :   if (umodiu(ell_get_a6(e), p2))
    3720       22295 :     return localred_result(nuD, 2, 1, v); /* II */
    3721      294497 :   if (umodiu(ell_get_b8(e), p3))
    3722       27650 :     return localred_result(nuD - 1, 3, 2, v); /* III */
    3723      266847 :   if (umodiu(ell_get_b6(e), p3))
    3724             :   {
    3725       22512 :     if (umodiu(ell_get_b6(e), (p==2)? 32: 27) == (ulong)p2)
    3726       11529 :       c = 3;
    3727             :     else
    3728       10983 :       c = 1;
    3729       22512 :     return localred_result(nuD - 2, 4, c, v); /* IV */
    3730             :   }
    3731             : 
    3732      244335 :   if (umodiu(ell_get_a6(e), p3))
    3733       91084 :     e = coordch_t(e, p == 2? gen_2: modis(ell_get_a3(e), 9));
    3734             :       /* p | a1, a2; p^2  | a3, a4; p^3 | a6 */
    3735      244335 :   a21 = aux(ell_get_a2(e), p2, p);
    3736      244335 :   a42 = aux(ell_get_a4(e), p3, p2);
    3737      244335 :   a63 = aux(ell_get_a6(e), p4, p3);
    3738      244335 :   switch (numroots3(a21, a42, a63, p, &theroot))
    3739             :   {
    3740       35987 :     case 3:
    3741       35987 :       c = a63 ? 1: 2;
    3742       35987 :       if (p == 2)
    3743       18718 :         c += ((a21 + a42 + a63) & 1);
    3744             :       else {
    3745       17269 :         if (((1 + a21 + a42 + a63) % 3) == 0) c++;
    3746       17269 :         if (((1 - a21 + a42 - a63) % 3) == 0) c++;
    3747             :       }
    3748       35987 :       return localred_result(nuD - 4, -1, c, v); /* I0* */
    3749      130368 :     case 2:
    3750             :     { /* compute nu */
    3751             :       GEN pk, pk1, p2k;
    3752             :       long al, be, ga;
    3753      130368 :       if (theroot) e = coordch_r(e, stoi(theroot * p));
    3754             :           /* p | a1; p^2  | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
    3755      130368 :       nu = 1;
    3756      130368 :       pk  = utoipos(p2);
    3757      130368 :       p2k = utoipos(p4);
    3758             :       for(;;)
    3759             :       {
    3760      387723 :         be =  aux2(ell_get_a3(e), p, pk);
    3761      387723 :         ga = -aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
    3762      387723 :         al = 1;
    3763      387723 :         if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
    3764      323260 :         if (theroot) e = coordch_t(e, mulsi(theroot,pk));
    3765      323260 :         pk1 = pk;
    3766      323260 :         pk  = mului(p, pk);
    3767      323260 :         p2k = mului(p, p2k); nu++;
    3768             : 
    3769      323260 :         al = a21;
    3770      323260 :         be = aux2(ell_get_a4(e), p, pk);
    3771      323260 :         ga = aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
    3772      323260 :         if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
    3773      257355 :         if (theroot) e = coordch_r(e, mulsi(theroot, pk1));
    3774      257355 :         p2k = mului(p, p2k); nu++;
    3775             :       }
    3776      130368 :       if (p == 2)
    3777       72268 :         c = odd(ga)? 2: 4;
    3778             :       else
    3779       58100 :         c = 3 + kross(be * be - al * ga, 3);
    3780      130368 :       return localred_result(nuD - 4 - nu, -4 - nu, c, v); /* Inu* */
    3781             :     }
    3782       77980 :     case 1:
    3783       77980 :       if (theroot) e = coordch_r(e, stoi(theroot*p));
    3784             :           /* p | a1; p^2  | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
    3785       77980 :       a32 = aux(ell_get_a3(e), p3, p2);
    3786       77980 :       a64 = aux(ell_get_a6(e), p5, p4);
    3787       77980 :       if (numroots2(1, a32, -a64, p, &theroot) == 2)
    3788             :       {
    3789       29813 :         if (p == 2)
    3790       20356 :           c = 3 - 2 * a64;
    3791             :         else
    3792        9457 :           c = 2 + kross(a32 * a32 + a64, 3);
    3793       29813 :         return localred_result(nuD - 6, -4, c, v); /* IV* */
    3794             :       }
    3795       48167 :       if (theroot) e = coordch_t(e, stoi(theroot*p2));
    3796             :           /* p | a1; p^2 | a2; p^3 | a3, a4; p^5 | a6 */
    3797       48167 :       if (umodiu(ell_get_a4(e), p4))
    3798       28966 :         return localred_result(nuD - 7, -3, 2, v); /* III* */
    3799             : 
    3800             :       /* p^6 \nmid a6, otherwise wouldn't be minimal */
    3801       19201 :       return localred_result(nuD - 8, -2, 1, v); /* II* */
    3802             :   }
    3803             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    3804             : }
    3805             : 
    3806             : /* e is integral */
    3807             : static GEN
    3808     1583512 : localred(GEN e, GEN p)
    3809             : {
    3810     1583512 :   if (abscmpiu(p, 3) > 0) /* p != 2,3 */
    3811      879487 :     return localred_p(e,p);
    3812             :   else
    3813             :   {
    3814      704025 :     long l = itos(p);
    3815      704025 :     if (l < 2) pari_err_PRIME("localred",p);
    3816      704025 :     return localred_23(e, l);
    3817             :   }
    3818             : }
    3819             : 
    3820             : /* Given J an ideal in HNF coprime to 2 and z algebraic integer,
    3821             :  * return b algebraic integer such that z + 2b in  J */
    3822             : static GEN
    3823      140616 : approx_mod2(GEN J, GEN z)
    3824             : {
    3825      140616 :   GEN b = z;
    3826             :   long i;
    3827      140616 :   if (typ(b) == t_INT)
    3828             :   {
    3829      140525 :     if (mpodd(b)) b = addii(b, gcoeff(J,1,1));
    3830      140525 :     return shifti(negi(b),-1);
    3831             :   }
    3832         273 :   for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
    3833             :   {
    3834         182 :     if (mpodd(gel(b,i))) b = ZC_add(b, gel(J,i));
    3835             :   }
    3836          91 :   return gshift(ZC_neg(b), -1);
    3837             : }
    3838             : 
    3839             : /* Given J an ideal in HNF coprime to 3 and z algebraic integer,
    3840             :  * return b algebraic integer such that z + 3b in  J */
    3841             : static GEN
    3842       70308 : approx_mod3(GEN J, GEN z)
    3843             : {
    3844       70308 :   GEN b = z;
    3845             :   long i;
    3846       70308 :   if (typ(b) == t_INT)
    3847             :   {
    3848       70259 :     long s = smodis(b,3);
    3849       70259 :     if (s)
    3850             :     {
    3851           0 :       GEN Jz = gcoeff(J,1,1);
    3852           0 :       if (smodis(Jz, 3) == s)
    3853           0 :         b = subii(b, Jz);
    3854             :       else
    3855           0 :         b = addii(b, Jz);
    3856             :     }
    3857       70259 :     return diviiexact(b, stoi(-3));
    3858             :   }
    3859         147 :   for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
    3860             :   {
    3861          98 :     long s = smodis(gel(b,i), 3);
    3862          98 :     if (!s) continue;
    3863          49 :     if (smodis(gcoeff(J,i,i), 3) == s)
    3864          21 :       b = ZC_sub(b, gel(J,i));
    3865             :     else
    3866          28 :       b = ZC_add(b, gel(J,i));
    3867             :   }
    3868          49 :   return ZC_Z_divexact(b, stoi(-3));
    3869             : }
    3870             : 
    3871             : /* return a such that v_P(a) = -1, integral elsewhere */
    3872             : static GEN
    3873      157913 : get_piinv(GEN P)
    3874             : {
    3875      157913 :   GEN z = pr_get_tau(P);
    3876      157913 :   if (typ(z) == t_MAT) z = gel(z,1);
    3877      157913 :   return gdiv(z, pr_get_p(P));
    3878             : }
    3879             : /* pi = local uniformizer, pv = 1/pi */
    3880             : static void
    3881      310905 : get_uniformizers(GEN nf, GEN P, GEN *pi, GEN *pv)
    3882             : {
    3883      310905 :   if (pr_is_inert(P))
    3884             :   {
    3885      153034 :     *pi = pr_get_p(P);
    3886      153034 :     *pv = mkfrac(gen_1, *pi);
    3887             :   }
    3888             :   else
    3889             :   {
    3890      157871 :     *pv = get_piinv(P);
    3891      157871 :     *pi = nfinv(nf, *pv);
    3892             :   }
    3893      310905 : }
    3894             : /* x^2+E.a1*x-E.a2 */
    3895             : static GEN
    3896      579397 : pola1a2(GEN e, GEN nf, GEN modP)
    3897             : {
    3898      579397 :   GEN a1 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a1(e), modP);
    3899      579397 :   GEN a2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a2(e), modP);
    3900      579397 :   return mkpoln(3, gen_1, a1, gneg(a2));
    3901             : }
    3902             : 
    3903             : /* x^2+E.a3*pv3*x-E.a6*pv6 */
    3904             : static GEN
    3905     1069803 : pola3a6(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pv3, GEN pv6)
    3906             : {
    3907     1069803 :   GEN a3 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a3(e), pv3), modP);
    3908     1069803 :   GEN a6 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a6(e), pv6), modP);
    3909     1069803 :   return mkpoln(3, gen_1, a3, gneg(a6));
    3910             : }
    3911             : 
    3912             : /* E.a2*pv2*x^2 + E.a4*pv4*x + E.a6*pv6 */
    3913             : 
    3914             : static GEN
    3915      592746 : pola2a4a6(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pv2, GEN pv4, GEN pv6)
    3916             : {
    3917      592746 :   GEN a2 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a2(e), pv2), modP);
    3918      592746 :   GEN a4 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a4(e), pv4), modP);
    3919      592746 :   GEN a6 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a6(e), pv6), modP);
    3920      592746 :   return mkpoln(3, a2, a4, a6);
    3921             : }
    3922             : 
    3923             : static GEN
    3924     1626562 : pol2sqrt_23(GEN modP, GEN Q)
    3925             : {
    3926     1626562 :   GEN p = modpr_get_p(modP), T = modpr_get_T(modP);
    3927     1626562 :   GEN r = absequaliu(p,2) ? gel(Q,2): gel(Q,3);
    3928     1626562 :   if (!gequal1(gel(Q,4))) r = Fq_div(r, gel(Q,4), T, p);
    3929     1626562 :   if (absequaliu(p,2)) r = Fq_sqrt(r,T,p);
    3930     1626562 :   return Fq_to_nf(r, modP);
    3931             : }
    3932             : 
    3933             : static GEN
    3934       27524 : nflocalred_section7(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pi, GEN pv, long vD, GEN ch)
    3935             : {
    3936       27524 :   GEN p = modpr_get_p(modP), T = modpr_get_T(modP);
    3937       27524 :   GEN pi3 = nfsqr(nf,pi);
    3938       27524 :   GEN pv3 = nfsqr(nf,pv), pv4 = nfmul(nf,pv,pv3), pv6 = nfsqr(nf,pv3);
    3939       27524 :   long n = 1;
    3940             :   while(1)
    3941       83881 :   {
    3942      111405 :     GEN Q = pola3a6(e, nf, modP, pv3, pv6);
    3943             :     GEN gama;
    3944      111405 :     if (FqX_is_squarefree(Q, T, p))
    3945             :     {
    3946       14847 :       long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
    3947       14847 :       return localred_result(vD-n-4,-4-n,nr+2,ch);
    3948             :     }
    3949       96558 :     gama = pol2sqrt_23(modP, Q);
    3950       96558 :     nf_compose_t(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama,pi3));
    3951       96558 :     pv6 = nfmul(nf,pv,pv6); n++;
    3952       96558 :     Q = pola2a4a6(e, nf, modP, pv, pv4, pv6);
    3953       96558 :     if (FqX_is_squarefree(Q, T, p))
    3954             :     {
    3955       12677 :       long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
    3956       12677 :       return localred_result(vD-n-4,-4-n,nr+2,ch);
    3957             :     }
    3958       83881 :     gama = pol2sqrt_23(modP, Q);
    3959       83881 :     nf_compose_r(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama, pi3));
    3960       83881 :     pi3 = nfmul(nf,pi, pi3);
    3961       83881 :     pv3 = pv4; pv4 = nfmul(nf,pv,pv4); pv6 = nfmul(nf,pv,pv6); n++;
    3962             :   }
    3963             : }
    3964             : 
    3965             : /* Tate algorithm, following J.H. Silverman GTM 151, chapt. IV, algo 9.4 */
    3966             : /* Dedicated to John Tate for his kind words */
    3967             : 
    3968             : static GEN
    3969      181783 : nflocalred_23(GEN nf, GEN e, GEN D, GEN P, long *ap)
    3970             : {
    3971             :   GEN T, p, modP;
    3972             :   long vD;
    3973             :   GEN ch, pv, pv2, pv4, pi, pol;
    3974      181783 :   modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
    3975      181783 :   get_uniformizers(nf,P, &pi, &pv);
    3976      181783 :   ch = init_ch();
    3977      181783 :   vD = nfval(nf,D,P);
    3978      181783 :   *ap = 0;
    3979             :   while(1)
    3980             :   {
    3981      625317 :     if (vD==0)
    3982       31493 :       return localred_result(0,1,1,ch);
    3983             :     else
    3984             :     {
    3985      593824 :       GEN a1 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a1(e), modP);
    3986      593824 :       GEN a2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a2(e), modP);
    3987      593824 :       GEN a3 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a3(e), modP);
    3988      593824 :       GEN a4 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a4(e), modP);
    3989      593824 :       GEN a6 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a6(e), modP);
    3990             :       GEN x0, y0;
    3991      593824 :       if (absequaliu(p,2))
    3992             :       {
    3993             :         GEN x02, y02;
    3994      385133 :         if (signe(a1))
    3995             :         {
    3996       43589 :           x0 = Fq_div(a3, a1, T, p);
    3997       43589 :           x02 = Fq_sqr(x0,T,p);
    3998       43589 :           y02 = Fq_add(Fq_mul(x02,Fq_add(x0,a2,T,p),T,p),Fq_add(Fq_mul(a4,x0,T,p),a6,T,p),T,p);
    3999             :         }
    4000             :         else
    4001             :         {
    4002      341544 :           x0 = Fq_sqrt(a4, T, p);
    4003      341544 :           y02 = Fq_add(Fq_mul(a4,a2,T,p),a6,T,p);
    4004             :         }
    4005      385133 :         y0 = Fq_sqrt(y02,T,p);
    4006             :       }
    4007             :       else
    4008             :       {
    4009      208691 :         GEN a12 = Fq_add(Fq_sqr(a1,T,p),a2,T,p);
    4010      208691 :         if (signe(a12))
    4011       39620 :           x0 = Fq_div(Fq_sub(a4,Fq_mul(a3,a1,T,p),T,p),a12,T,p);
    4012             :         else
    4013      169071 :           x0 = Fq_sqrtn(Fq_neg(Fq_add(Fq_sqr(a3,T,p),a6,T,p),T,p),p,T,p,NULL);
    4014      208691 :         y0 = Fq_add(Fq_mul(a1, x0, T, p), a3, T, p);
    4015             :       }
    4016      593824 :       x0 = Fq_to_nf(x0, modP);
    4017      593824 :       y0 = Fq_to_nf(y0, modP);
    4018      593824 :       nf_compose_rt(nf, &ch, &e, x0, y0);
    4019             :     }
    4020             :     /* 2 */
    4021             :     {
    4022      593824 :       GEN b2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_b2(e), modP);
    4023      593824 :       if (signe(b2) != 0)
    4024             :       {
    4025       83209 :         GEN Q = pola1a2(e, nf, modP);
    4026       83209 :         long nr = FqX_nbroots(Q, T, p);
    4027       83209 :         if (nr==2) { *ap =  1; return localred_result(1,vD+4,vD,ch); /* Inu */ }
    4028       41804 :         else       { *ap = -1; return localred_result(1,vD+4,odd(vD)?1:2,ch);  }
    4029             :       }
    4030             :     }
    4031             :     /* 3 */
    4032             :     {
    4033      510615 :       long va6 = nfval(nf,ell_get_a6(e),P);
    4034      510615 :       if (va6 <= 1) return localred_result(vD,2,1,ch); /* II */
    4035             :     }
    4036             :     /* 4 */
    4037             :     {
    4038      506716 :       long vb8 = nfval(nf,ell_get_b8(e),P);
    4039      506716 :       if (vb8 <= 2) return localred_result(vD-1,3,2,ch);/* III */
    4040             :     }
    4041             :     /* 5 */
    4042      499583 :     pv2 = nfsqr(nf,pv);
    4043             :     {
    4044      499583 :       long vb6 = nfval(nf,ell_get_b6(e),P);
    4045      499583 :       if (vb6<=2)
    4046             :       {
    4047        3395 :         GEN Q = pola3a6(e, nf, modP, pv, pv2);
    4048        3395 :         long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
    4049        3395 :         return localred_result(vD-2,4,1+nr,ch);/* IV */
    4050             :       }
    4051             :     }
    4052             :     /* 6 */
    4053             :     {
    4054      496188 :       GEN pv3 = nfmul(nf,pv, pv2);
    4055      496188 :       GEN alpha = pol2sqrt_23(modP, pola1a2(e, nf, modP));
    4056      496188 :       GEN beta  = pol2sqrt_23(modP, pola3a6(e, nf, modP, pv, pv2));
    4057             :       GEN po2, E, F, mr;
    4058             :       long i, lE;
    4059      496188 :       nf_compose_st(nf, &ch, &e, alpha, nfmul(nf, beta, pi));
    4060      496188 :       po2 = pola2a4a6(e, nf, modP, pv, pv2, pv3);
    4061      496188 :       if (signe(po2)) /* po2 = 0 is frequent when nonminimal */
    4062             :       {
    4063      123999 :         pol = RgX_add(pol_xn(3,0), po2);
    4064      123999 :         F = FqX_factor(pol, T, p); E = gel(F,2);
    4065      123999 :         lE = lg(E);
    4066      123999 :         if (E[1] == 1 && (lE == 2 || E[2] == 1))
    4067             :         { /* T squarefree, degree pattern is (3), (12) or (111) */
    4068             :           long c; /* 1 + number of roots */
    4069        9849 :           switch(lE)
    4070             :           {
    4071        2534 :             case 2: c = 1; break;
    4072        6643 :             case 3: c = 2; break;
    4073         672 :             default: c = 4; break;
    4074             :           }
    4075        9849 :           return localred_result(vD-4,-1,c,ch);/* I0* */
    4076             :         }
    4077             :       /* 7 */
    4078      114150 :         i = (lE == 2 || E[1] == 2)? 1: 2; /* index of multiple root */
    4079      114150 :         mr = constant_coeff(gmael(F,1,i)); /* - multiple root */
    4080      114150 :         if (!gequal0(mr))
    4081             :         { /* not so frequent */
    4082      102873 :           GEN gama = Fq_to_nf(Fq_neg(mr, T, p), modP);
    4083      102873 :           nf_compose_r(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama,pi));
    4084             :         }
    4085      114150 :         if (lE == 3)
    4086       27524 :           return nflocalred_section7(e, nf, modP, pi, pv, vD, ch); /* Inu* */
    4087             :       }
    4088             :     }
    4089      458815 :     pv4 = nfsqr(nf,pv2);
    4090      458815 :     pol = pola3a6(e, nf, modP, pv2, pv4);
    4091             :     /*  8 */
    4092      458815 :     if (FqX_is_squarefree(pol,T,p))
    4093             :     {
    4094        5068 :       long nr = FqX_nbroots(pol, T, p);
    4095        5068 :       return localred_result(vD-6,-4,1+nr,ch); /* IV* */
    4096             :     }
    4097             :     /*  9 */
    4098             :     {
    4099      453747 :       GEN alpha = pol2sqrt_23(modP, pol);
    4100      453747 :       nf_compose_t(nf, &ch, &e, nfmul(nf, alpha, nfsqr(nf,pi)));
    4101      453747 :       if (nfval(nf, ell_get_a4(e), P) == 3)
    4102        7658 :         return localred_result(vD-7,-3,2,ch); /* III* */
    4103             :     }
    4104             :     /* 10 */
    4105      446089 :     if (nfval(nf, ell_get_a6(e), P) == 5)
    4106        2555 :       return localred_result(vD-8,-2,1,ch); /* II* */
    4107             :     /* 11 */
    4108      443534 :     nf_compose_u(nf, &ch, &e, pi, pv);
    4109      443534 :     vD -= 12;
    4110             :   }
    4111             : }
    4112             : 
    4113             : /* Local reduction, residual characteristic >= 5. E/nf, P prid
    4114             : * Output: f, kod, [u,r,s,t], c */
    4115             : static GEN
    4116      129122 : nflocalred_p(GEN e, GEN P)
    4117             : {
    4118      129122 :   GEN nf = ellnf_get_nf(e), T,p, modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
    4119             :   long c, f, vD, nuj, kod, m;
    4120             :   GEN ch, c4, c6, D, z, pi, piinv;
    4121             : 
    4122      129122 :   c4 = ell_get_c4(e);
    4123      129122 :   c6 = ell_get_c6(e);
    4124      129122 :   D = ell_get_disc(e);
    4125      129122 :   vD = nfval(nf,D,P);
    4126      129122 :   nuj = nfval(nf,ell_get_j(e),P);
    4127      129122 :   nuj = nuj >= 0? 0: -nuj; /* v_P(denom(j)) */
    4128      129122 :   m = (vD - nuj)/12;
    4129      129122 :   get_uniformizers(nf,P, &pi, &piinv);
    4130             : 
    4131      129122 :   if(m <= 0) ch = init_ch();
    4132             :   else
    4133             :   { /* model not minimal */
    4134             :     GEN r,s,t, a1,a2,a3, u,ui,ui2,ui4,ui6,ui12;
    4135       70308 :     u = nfpow_u(nf,pi,m);
    4136       70308 :     ui = nfpow_u(nf,piinv,m);
    4137       70308 :     ui2 = nfsqr(nf,ui);
    4138       70308 :     ui4 = nfsqr(nf,ui2);
    4139       70308 :     ui6 = nfmul(nf,ui2,ui4);
    4140       70308 :     ui12 = nfsqr(nf,ui6);
    4141       70308 :     c4 = nfmul(nf,c4,ui4);
    4142       70308 :     c6 = nfmul(nf,c6,ui6);
    4143       70308 :     D = nfmul(nf,D,ui12);  vD -= 12*m;
    4144       70308 :     a1 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a1(e));
    4145       70308 :     a2 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a2(e));
    4146       70308 :     a3 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a3(e));
    4147       70308 :     s = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(m)),   a1);
    4148       70308 :     r = gsub(a2, nfmul(nf,s,gadd(a1,s)));
    4149       70308 :     r = approx_mod3(idealpow(nf,P,stoi(2*m)), r);
    4150       70308 :     t = gadd(a3, nfmul(nf,r,a1));
    4151       70308 :     t = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(3*m)), t);
    4152       70308 :     ch = mkvec4(u,r,s,t);
    4153             :   }
    4154             : 
    4155      129122 :   kod = 1; c = 1;
    4156             :   /* minimal at P */
    4157      129122 :   if (nuj > 0)
    4158             :   { /* v(j) < 0 */
    4159       80423 :     if (vD == nuj)
    4160             :     { /* v(c4) = v(c6) = 0, multiplicative reduction */
    4161       73150 :       f = 1; kod = 4+vD;
    4162       73150 :       z = Fq_neg(nf_to_Fq(nf,c6,modP), T,p);
    4163       73150 :       if (Fq_issquare(z,T,p))
    4164       45367 :         c = vD;/* split */
    4165             :       else
    4166       27783 :         c = odd(vD)?1 : 2; /* nonsplit */
    4167             :     }
    4168             :     else
    4169             :     { /* v(c4) = 2, v(c6) = 3, potentially multiplicative */
    4170             :       GEN Du;
    4171        7273 :       f = 2; kod = 2-vD;
    4172        7273 :       (void)nfvalrem(nf, D, P, &Du);
    4173        7273 :       z = nf_to_Fq(nf, Du, modP);
    4174        7273 :       if(odd(vD))
    4175             :       {
    4176             :         GEN c6u;
    4177        4172 :         (void)nfvalrem(nf, c6, P, &c6u);
    4178        4172 :         c6u = nf_to_Fq(nf, c6u, modP);
    4179        4172 :         z = Fq_mul(z, c6u, T,p);
    4180             :       }
    4181        7273 :       c = Fq_issquare(z,T,p)? 4: 2;
    4182             :     }
    4183             :   }
    4184             :   else
    4185             :   { /* v(j) >= 0 */
    4186       48699 :     f = vD? 2: 0;
    4187       48699 :     switch(vD)
    4188             :     {
    4189             :       GEN piinv2, piinv3, piinv4, w;
    4190       37541 :       case 0: kod = 1; c = 1; break;
    4191        1932 :       case 2: kod = 2; c = 1; break;
    4192        2345 :       case 3: kod = 3; c = 2; break;
    4193        1141 :       case 4: kod = 4;
    4194        1141 :         z = nfmul(nf,c6,nfsqr(nf,piinv));
    4195        1141 :         z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
    4196        1141 :         z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
    4197        1141 :         c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
    4198        1141 :         break;
    4199        2632 :       case 6: kod = -1;
    4200        2632 :         piinv2 = nfsqr(nf,piinv);
    4201        2632 :         piinv3 = nfmul(nf,piinv,piinv2);
    4202        2632 :         z = nfmul(nf,c4,piinv2); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
    4203        2632 :         z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-3), T,p);
    4204        2632 :         w = nfmul(nf,c6,piinv3); w = nf_to_Fq(nf, w, modP);
    4205        2632 :         w = Fq_Fp_mul(w,gen_m2, T,p);
    4206        2632 :         c = 1 + FqX_nbroots(mkpoln(4, gen_1,gen_0,z,w), T,p);
    4207        2632 :         break;
    4208        1526 :       case 8: kod = -4;
    4209        1526 :         piinv4 = nfpow_u(nf,piinv,4);
    4210        1526 :         z = nfmul(nf,c6,piinv4); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
    4211        1526 :         z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
    4212        1526 :         c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
    4213        1526 :         break;
    4214        1281 :       case 9: kod = -3; c = 2; break;
    4215         301 :       case 10: kod = -2; c = 1; break;
    4216             :     }
    4217      129122 :   }
    4218      129122 :   return localred_result(f,kod,c,ch);
    4219             : }
    4220             : /* E is integral */
    4221             : static GEN
    4222      261758 : nflocalred(GEN E, GEN pr)
    4223             : {
    4224      261758 :   GEN p = pr_get_p(pr), q, v, nf = ellnf_get_nf(E);
    4225             :   long i;
    4226      261758 :   if (abscmpiu(p, 3) <= 0)
    4227             :   {
    4228             :     long ap, vu;
    4229      132636 :     GEN e = ell_to_nfell10(E), D = ell_get_disc(E), u;
    4230      132636 :     q = nflocalred_23(nf,e,D,pr,&ap); v = gel(q,3); u = gel(v,1);
    4231             :     /* do nothing if already minimal or equation was not pr-integral */
    4232      132636 :     vu = nfval(nf, u, pr);
    4233      132636 :     if (vu > 0)
    4234             :     { /* remove denominators in r,s,t on nf.zk */
    4235      119371 :       GEN D, r = gel(v,2), s = gel(v,3), t = gel(v,4);
    4236      119371 :       D = Q_denom(mkvec3(r, s, t));
    4237      119371 :       if (!equali1(D))
    4238             :       { /* Beware: D may not be coprime to pr */
    4239             :         GEN a;
    4240         567 :         (void)nfvalrem(nf, D, pr, &D);
    4241             :         /* a in D/p^oo, = 1 mod (u^6) locally */
    4242         567 :         a = idealaddtoone_i(nf, D, idealpows(nf, pr, 6*vu));
    4243         567 :         gel(v,2) = nfmul(nf, r, a);
    4244         567 :         gel(v,3) = nfmul(nf, s, a);
    4245         567 :         gel(v,4) = nfmul(nf, t, a);
    4246             :       }
    4247             :     }
    4248             :   } else
    4249      129122 :     q = nflocalred_p(E,pr);
    4250      261758 :   v = gel(q,3);
    4251     1308790 :   for(i=1; i <= 4; i++) gel(v,i) = nftoalg(nf, gel(v,i));
    4252      261758 :   return q;
    4253             : }
    4254             : 
    4255             : static GEN
    4256     3110318 : checkellp(GEN *pE, GEN p, GEN *pv, const char *s)
    4257             : {
    4258     3110318 :   GEN q, E = *pE;
    4259             :   long tE;
    4260     3110318 :   checkell(E); tE = ell_get_type(E);
    4261     3110299 :   if (pv) *pv = NULL;
    4262     3110299 :   if (p) switch(typ(p))
    4263             :   {
    4264     2639500 :     case t_INT:
    4265     2639500 :       if (cmpis(p, 2) < 0) pari_err_DOMAIN(s,"p", "<", gen_2, p);
    4266     2639495 :       break;
    4267      205772 :     case t_VEC:
    4268      205772 :       q = get_prid(p);
    4269      205772 :       if (q && tE == t_ELL_NF)
    4270             :       {
    4271      205772 :         *pE = ellintegralmodel_i(E, pv);
    4272      205772 :         return q;
    4273             :       }
    4274           6 :     default: pari_err_TYPE(s,p);
    4275             :   }
    4276     2904517 :   switch(tE)
    4277             :   {
    4278      385331 :     case t_ELL_Fp:
    4279      385331 :     case t_ELL_Fq: q = ellff_get_p(E); break;
    4280         273 :     case t_ELL_Qp: q = ellQp_get_p(E); break;
    4281     2518916 :     case t_ELL_Q: if (p) { q = p; p = NULL; break; }
    4282             :     default:
    4283          12 :       pari_err_TYPE(stack_strcat(s," [can't determine p]"), E);
    4284             :       return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    4285             :   }
    4286     2904505 :   if (p && !equalii(p, q)) pari_err_MODULUS(s, p,q);
    4287     2904470 :   if (tE == t_ELL_Q || tE == t_ELL_Qp || tE == t_ELL_NF)
    4288     2519139 :     *pE = ellintegralmodel_i(E, pv);
    4289     2904493 :   return q;
    4290             : }
    4291             : 
    4292             : GEN
    4293      197085 : elllocalred(GEN E, GEN p)
    4294             : {
    4295      197085 :   pari_sp av = avma;
    4296             :   GEN v, q;
    4297      197085 :   checkell(E);
    4298      197085 :   p = checkellp(&E, p, &v, "elllocalred");
    4299      197071 :   switch(ell_get_type(E))
    4300             :   {
    4301       99477 :     case t_ELL_Qp:
    4302       99477 :     case t_ELL_Q:  q = localred(E, p); break;
    4303       97594 :     case t_ELL_NF: q = nflocalred(E, p); break;
    4304           0 :     default: pari_err_TYPE("elllocalred", E);
    4305             :       return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    4306             :   }
    4307      197071 :   if (v)
    4308             :   { /* compose local change of variables with v */
    4309          28 :     GEN u = gel(v,1), w = gel(q,3);
    4310          28 :     if (is_trivial_change(w))
    4311          21 :       gel(q,3) = mkvec4(u,gen_0,gen_0,gen_0);
    4312             :     else
    4313           7 :       gel(w,1) = gmul(u, gel(w,1));
    4314             :   }
    4315      197071 :   return gerepilecopy(av, q);
    4316             : }
    4317             : 
    4318             : /* typ(c) = t_INT or t_FRAC */
    4319             : static GEN
    4320       41216 : handle_Q(GEN c, GEN *pd)
    4321             : {
    4322       41216 :   *pd = (typ(c) == t_INT)? NULL: gel(c,2);
    4323       41216 :   return c;
    4324             : }
    4325             : static GEN
    4326    16377877 : handle_coeff(GEN nf, GEN c, GEN *pd)
    4327             : {
    4328    16377877 :   *pd = NULL;
    4329    16377877 :   switch(typ(c))
    4330             :   {
    4331    16332887 :     case t_INT: *pd = NULL; return c;
    4332        3773 :     case t_FRAC: *pd = gel(c,2); return c;
    4333       41216 :     case t_POL: case t_POLMOD: case t_COL:
    4334       41216 :       if (nf)
    4335             :       {
    4336       41216 :         c = nf_to_scalar_or_basis(nf,c);
    4337       41216 :         return handle_Q(Q_content(c), pd);
    4338             :       }
    4339           1 :     default: pari_err_TYPE("ellintegralmodel",c);
    4340             :       return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    4341             :   }
    4342             : }
    4343             : /* Return an integral model for e / nf, Q. Set v = NULL (already integral)
    4344             :  * or the variable change [u,0,0,0], u = 1/t, t > 1 integer making e integral */
    4345             : GEN
    4346     3275634 : ellintegralmodel_i(GEN e, GEN *pv)
    4347             : {
    4348             :   GEN a, t, u, L, nf;
    4349             :   long i, l, k;
    4350             : 
    4351     3275634 :   if (pv) *pv = NULL;
    4352             :   /* t_ELL_Qp is also possible */
    4353     3275634 :   nf = (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)?ellnf_get_nf(e): NULL;
    4354     3275617 :   L = cgetg(1, t_VEC); a = cgetg(6, t_VEC);
    4355    19653506 :   for (i = 1; i < 6; i++)
    4356             :   {
    4357             :     GEN d;
    4358    16377851 :     gel(a,i) = handle_coeff(nf, gel(e,i), &d);
    4359    16377903 :     if (d) /* partial factorization of denominator */
    4360        4795 :       L = shallowconcat(L, gel(Z_factor_limit(d, 0),1));
    4361             :   }
    4362             :   /* a = [a1, a2, a3, a4, a6] */
    4363     3275655 :   l = lg(L); if (l == 1) return e;
    4364        2392 :   L = ZV_sort_uniq_shallow(L);
    4365        2394 :   l = lg(L);
    4366             : 
    4367        2394 :   t = gen_1;
    4368        6265 :   for (k = 1; k < l; k++)
    4369             :   {
    4370        3871 :     GEN p = gel(L,k);
    4371        3871 :     long n = 0, m;
    4372       23226 :     for (i = 1; i < 6; i++)
    4373       19355 :       if (!gequal0(gel(a,i)))
    4374             :       {
    4375        8939 :         long r = (i == 5)? 6: i; /* a5 is missing */
    4376        8939 :         m = r * n + Q_pval(gel(a,i), p);
    4377       13328 :         while (m < 0) { n++; m += r; }
    4378             :       }
    4379        3871 :     t = mulii(t, powiu(p, n));
    4380             :   }
    4381        2394 :   u = ginv(t);
    4382        2394 :   if (pv) *pv = mkvec4(u,gen_0,gen_0,gen_0);
    4383        2394 :   return coordch_uinv(e, t);
    4384             : }
    4385             : GEN
    4386         336 : ellintegralmodel(GEN e, GEN *pv)
    4387             : {
    4388         336 :   pari_sp av = avma;
    4389         336 :   checkell(e);
    4390         336 :   switch(ell_get_type(e))
    4391             :   {
    4392         336 :     case t_ELL_Q:
    4393             :     case t_ELL_Qp:
    4394         336 :     case t_ELL_NF: break;
    4395           0 :     default: pari_err_TYPE("ellintegralmodel",e);
    4396             :   }
    4397         336 :   e = ellintegralmodel_i(e, pv);
    4398         336 :   if (pv && *pv) return gc_all(av, 2, &e, pv);
    4399         315 :   e = gerepilecopy(av, e);
    4400         315 :   if (pv) *pv = init_ch();
    4401         315 :   return e;
    4402             : }
    4403             : 
    4404             : /* return an integral model with a1 = a3 = 0 */
    4405             : GEN
    4406           0 : ellintegralbmodel(GEN e, GEN *pv)
    4407             : {
    4408           0 :   pari_sp av = avma;
    4409             :   GEN f, a1, a3;
    4410             : 
    4411           0 :   checkell(e); f = ellintegralmodel_i(e, pv);
    4412           0 :   a1 = ell_get_a1(f);
    4413           0 :   a3 = ell_get_a3(f);
    4414           0 :   if (!signe(a1) && !signe(a3))
    4415           0 :   { if (!*pv) *pv = init_ch(); }
    4416             :   else
    4417             :   {
    4418           0 :     GEN v = mkvec4(mpodd(a1) || mpodd(a3) ? ghalf : gen_1,
    4419             :                    gen_0, gdivgs(a1,-2), gdivgs(a3,-2));
    4420           0 :     gcomposev(pv, v); f = coordch(f, v);
    4421             :   }
    4422           0 :   if (f != e) ell_reset(f);
    4423           0 :   return gc_all(av, 2, &f, pv);
    4424             : }
    4425             : 
    4426             : static long
    4427        2555 : F2_card(ulong a1, ulong a2, ulong a3, ulong a4, ulong a6)
    4428             : {
    4429        2555 :   long N = 1; /* oo */
    4430        2555 :   if (!a3) N ++; /* x = 0, y=0 or 1 */
    4431        2415 :   else if (!a6) N += 2; /* x = 0, y arbitrary */
    4432        2555 :   if ((a3 ^ a1) == 0) N++; /* x = 1, y = 0 or 1 */
    4433        2121 :   else if (a2 ^ a4 ^ a6) N += 2; /* x = 1, y arbitrary */
    4434        2555 :   return N;
    4435             : }
    4436             : static long
    4437        3619 : F3_card(ulong b2, ulong b4, ulong b6)
    4438             : {
    4439        3619 :   ulong Po = 1+2*b4, Pe = b2+b6;
    4440             :   /* kro(x,3)+1 = (x+1)%3, N = 4 + sum(kro) = 1+ sum(1+kro) */
    4441        3619 :   return 1+(b6+1)%3+(Po+Pe+1)%3+(2*Po+Pe+1)%3;
    4442             : }
    4443             : static long
    4444        2534 : cardmod2(GEN e)
    4445             : { /* solve y(1 + a1x + a3) = x (1 + a2 + a4) + a6 */
    4446        2534 :   ulong a1 = Rg_to_F2(ell_get_a1(e));
    4447        2534 :   ulong a2 = Rg_to_F2(ell_get_a2(e));
    4448        2534 :   ulong a3 = Rg_to_F2(ell_get_a3(e));
    4449        2534 :   ulong a4 = Rg_to_F2(ell_get_a4(e));
    4450        2534 :   ulong a6 = Rg_to_F2(ell_get_a6(e));
    4451        2534 :   return F2_card(a1,a2,a3,a4,a6);
    4452             : }
    4453             : static long
    4454        3479 : cardmod3(GEN e)
    4455             : {
    4456        3479 :   ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(e), 3);
    4457        3479 :   ulong b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(e), 3);
    4458        3479 :   ulong b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(e), 3);
    4459        3479 :   return F3_card(b2,b4,b6);
    4460             : }
    4461             : 
    4462             : static ulong
    4463         378 : ZtoF2(GEN x) { return (ulong)mpodd(x); }
    4464             : 
    4465             : /* complete local reduction at 2, u = 2^d */
    4466             : static void
    4467          35 : min_set_2(ellmin_t *M, GEN E, long d)
    4468             : {
    4469          35 :   min_set_u(M, int2n(d));
    4470          35 :   min_set_c(M, E);
    4471          35 :   min_set_b(M);
    4472          35 :   min_set_a(M);
    4473          35 : }
    4474             : /* local reduction at 3, u = 3^d, don't compute the a_i */
    4475             : static void
    4476         140 : min_set_3(ellmin_t *M, GEN E, long d)
    4477             : {
    4478         140 :   min_set_u(M, powuu(3, d));
    4479         140 :   min_set_c(M, E);
    4480         140 :   min_set_b(M);
    4481         140 : }
    4482             : 
    4483             : static long
    4484      102424 : ellQap_u(GEN E, ulong p, int *good_red)
    4485             : {
    4486      102424 :   long vc6, vD, d = get_vp_u_small(E, p, &vc6, &vD);
    4487      102424 :   if (vD) /* bad reduction */
    4488             :   {
    4489             :     GEN c6;
    4490             :     long s;
    4491      102116 :     *good_red = 0;
    4492      102116 :     if (vc6) return 0;
    4493       75166 :     c6 = ell_get_c6(E);
    4494       75166 :     if (d) c6 = diviiexact(c6, powuu(p, 6*d));
    4495       75166 :     s = kroiu(c6,p);
    4496       75166 :     if ((p & 3) == 3) s = -s;
    4497       75166 :     return s;
    4498             :   }
    4499         308 :   *good_red = 1;
    4500         308 :   if (p == 2)
    4501             :   {
    4502             :     ellmin_t M;
    4503          21 :     if (!d) return 3 - cardmod2(E);
    4504          21 :     min_set_2(&M, E, d);
    4505          21 :     return 3 - F2_card(M.a1, M.a2 & 1, M.a3, ZtoF2(M.a4), ZtoF2(M.a6));
    4506             :   }
    4507         287 :   else if (p == 3)
    4508             :   {
    4509             :     ellmin_t M;
    4510         140 :     if (!d) return 4 - cardmod3(E);
    4511         140 :     min_set_3(&M, E, d);
    4512         140 :     return 4 - F3_card(M.b2, umodiu(M.b4,3), umodiu(M.b6,3));
    4513             :   }
    4514             :   else
    4515             :   {
    4516             :     ellmin_t M;
    4517         147 :     GEN a4, a6, pp = utoipos(p);
    4518         147 :     min_set_u(&M, powuu(p,d));
    4519         147 :     min_set_c(&M, E);
    4520         147 :     c4c6_to_a4a6(M.c4, M.c6, pp, &a4,&a6);
    4521         147 :     return itos( subui(p+1, Fp_ellcard(a4, a6, pp)) );
    4522             :   }
    4523             : }
    4524             : 
    4525             : static GEN
    4526       98567 : ellQap(GEN E, GEN p, int *good_red)
    4527             : {
    4528             :   GEN a4,a6, c4, c6, D;
    4529             :   long vc6, vD, d;
    4530       98567 :   if (lgefint(p) == 3) return stoi( ellQap_u(E, p[2], good_red) );
    4531           0 :   c6 = ell_get_c6(E);
    4532           0 :   D = ell_get_disc(E);
    4533           0 :   vc6 = Z_pval(c6,p); vD = Z_pval(D,p);
    4534           0 :   d = minss(2*vc6, vD) / 12;
    4535           0 :   if (d) { vc6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
    4536           0 :   if (vD) /* bad reduction */
    4537             :   {
    4538             :     long s;
    4539           0 :     *good_red = 0;
    4540           0 :     if (vc6) return gen_0;
    4541           0 :     if (d) c6 = diviiexact(c6, powiu(p, 6*d));
    4542           0 :     s = kronecker(c6,p);
    4543           0 :     if (mod4(p) == 3) s = -s;
    4544           0 :     return s < 0? gen_m1: gen_1;
    4545             :   }
    4546           0 :   *good_red = 1;
    4547           0 :   c4 = ell_get_c4(E);
    4548           0 :   if (d)
    4549             :   {
    4550           0 :     GEN u2 = powiu(p, 2*d), u4 = sqri(u2), u6 = mulii(u2,u4);
    4551           0 :     c4 = diviiexact(c4, u4);
    4552           0 :     c6 = diviiexact(c6, u6);
    4553             :   }
    4554           0 :   c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, &a4,&a6);
    4555           0 :   return subii(addiu(p,1), Fp_ellcard(a4, a6, p));
    4556             : }
    4557             : 
    4558             : static GEN
    4559      223428 : doellcard(GEN E)
    4560             : {
    4561      223428 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    4562      223428 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    4563      102923 :     return FF_ellcard(E);
    4564             :   else
    4565             :   {
    4566      120505 :     GEN e = ellff_get_a4a6(E);
    4567      120505 :     return Fp_ellcard(gel(e,1),gel(e,2),fg);
    4568             :   }
    4569             : }
    4570             : 
    4571             : static GEN
    4572      191756 : ellnfap(GEN E, GEN P, int *good_red)
    4573             : {
    4574      191756 :   GEN a4,a6, card, nf = ellnf_get_nf(E);
    4575      191750 :   GEN T,p, modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
    4576      191763 :   if (abscmpiu(p, 3) <= 0)
    4577             :   {
    4578             :     long ap;
    4579       49147 :     GEN nf = ellnf_get_nf(E), e = ell_to_nfell10(E), D = ell_get_disc(E);
    4580       49147 :     GEN L = nflocalred_23(nf, e,D,P,&ap), kod = gel(L,2);
    4581       49147 :     if (!equali1(kod)) { *good_red = 0; return stoi(ap); }
    4582         476 :     *good_red = 1;
    4583         476 :     E = nf_coordch(nf, vecslice(e,1,5), gel(L,3));
    4584         476 :     E = ellinit_nf_to_Fq(nf, E, modP);
    4585         476 :     card = FF_ellcard(E);
    4586             :   }
    4587             :   else
    4588             :   {
    4589      142614 :     GEN c6 = ell_get_c6(E), c4 = ell_get_c4(E);
    4590      142610 :     long vD = nfval(nf, ell_get_disc(E), P);
    4591      142557 :     if (vD)
    4592             :     {
    4593             :       GEN c6new;
    4594       49175 :       long d, vc6 = nfvalrem(nf,c6,P, &c6new);
    4595       49175 :       d = ((vc6 == LONG_MAX)? vD: minss(vD,2*vc6)) / 12;
    4596       49175 :       if (vD > 12*d)
    4597             :       { /* bad reduction */
    4598       49133 :         *good_red = 0;
    4599       92911 :         if (vc6 != 6*d) return gen_0;
    4600       43778 :         c6 = nf_to_Fq(nf, c6new, modP);
    4601       43778 :         return Fq_issquare(gneg(c6),T,p)? gen_1: gen_m1;
    4602             :       }
    4603          42 :       if (d)
    4604             :       { /* model not minimal at P */
    4605          42 :         GEN piinv = get_piinv(P);
    4606          42 :         GEN ui2 = nfpow(nf, piinv, stoi(2*d));
    4607          42 :         GEN ui4 = nfsqr(nf, ui2);
    4608          42 :         GEN ui6 = nfmul(nf, ui2, ui4);
    4609          42 :         c4 = nfmul(nf, c4, ui4);
    4610          42 :         c6 = nfmul(nf, c6, ui6);
    4611             :       }
    4612             :     }
    4613       93424 :     *good_red = 1;
    4614       93424 :     c4 = nf_to_Fq(nf, c4, modP);
    4615       93443 :     c6 = nf_to_Fq(nf, c6, modP);
    4616       93451 :     Fq_c4c6_to_a4a6(c4, c6, T,p, &a4,&a6);
    4617       93444 :     card = T? FpXQ_ellcard(Fq_to_FpXQ(a4,T,p),Fq_to_FpXQ(a6,T,p),T,p)
    4618       93430 :             : Fp_ellcard(a4,a6,p);
    4619             :   }
    4620       93920 :   return subii(addiu(pr_norm(P),1), card);
    4621             : }
    4622             : 
    4623             : /* a, b not both 0; sorted list of primes dividing gcd(a,b), using coprime
    4624             :  * basis */
    4625             : static GEN
    4626      515207 : Z_gcd_primes(GEN a, GEN b)
    4627             : {
    4628             :   GEN P;
    4629      515207 :   if (!signe(a))
    4630        2345 :     P = gel(absZ_factor(b), 1);
    4631      512862 :   else if (!signe(b))
    4632        1302 :     P = gel(absZ_factor(a), 1);
    4633             :   else
    4634             :   {
    4635      511560 :     GEN A, B, v = Z_ppio(a,b), d = gel(v,1); /* = gcd(a,b) */
    4636             :     long k, l;
    4637      511560 :     if (is_pm1(d)) return cgetg(1, t_COL);
    4638      394758 :     A = gel(v,2); /* gcd(a, b^oo) */
    4639      394758 :     B = diviiexact(b, Z_ppo(b, d)); /* gcd(b, a^oo) */
    4640             :     /* d = gcd(A,B) */
    4641      394758 :     P = Z_cba(A, B); /* use coprime basis to help as much as possible */
    4642      394758 :     l = lg(P);
    4643      937692 :     for (k = 1; k < l; k++) gel(P,k) = gel(Z_factor(gel(P,k)), 1);
    4644      394758 :     P = shallowconcat1(P);
    4645      394758 :     ZV_sort_inplace(P);
    4646             :   }
    4647      398405 :   settyp(P, t_VEC); return P;
    4648             : }
    4649             : /* E/Q, integral model, Laska-Kraus-Connell algorithm. Set *pDP to a list
    4650             :  * of known prime divisors of minimal discriminant */
    4651             : static GEN
    4652      485604 : ellQ_minimalu(GEN E, GEN *pDP)
    4653             : {
    4654             :   pari_sp av;
    4655      485604 :   GEN D = ell_get_disc(E);
    4656      485604 :   GEN c4 = ell_get_c4(E);
    4657      485604 :   GEN c6 = ell_get_c6(E), g, u, P, DP;
    4658             :   long l, k;
    4659             : 
    4660      485604 :   P = Z_gcd_primes(c4, c6);
    4661      485604 :   l = lg(P); if (l == 1) { if(pDP) *pDP = P; return gen_1; }
    4662      373009 :   DP = coltrunc_init(l);
    4663      373009 :   av = avma;
    4664      373009 :   g = gcdii(sqri(c6), D);
    4665      373009 :   u = gen_1;
    4666      940597 :   for (k = 1; k < l; k++)
    4667             :   {
    4668      567588 :     GEN p = gel(P, k);
    4669      567588 :     long vg = Z_pval(g, p), d = vg / 12, r = vg % 12;
    4670      567588 :     if (d) switch(itou_or_0(p))
    4671             :     {
    4672       73479 :       case 2:
    4673             :       {
    4674             :         long a, b;
    4675       73479 :         a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
    4676       73479 :         b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
    4677       73479 :         if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) { d--; r += 12; }
    4678       73479 :         break;
    4679             :       }
    4680       17108 :       case 3:
    4681       17108 :         if (safe_Z_lval(c6,3) == 6*d+2) { d--; r += 12; }
    4682       17108 :         break;
    4683             :     }
    4684      567588 :     if (r) vectrunc_append(DP, p);
    4685      567588 :     if (d) u = mulii(u, powiu(p, d));
    4686             :   }
    4687      373009 :   if (pDP) *pDP = DP;
    4688      373009 :   return gerepileuptoint(av, u);
    4689             : }
    4690             : 
    4691             : /* Ensure a1 and a3 are 2-restricted and a2 is 3-restricted */
    4692             : static GEN
    4693          42 : nfrestrict23(GEN nf, GEN E)
    4694             : {
    4695          42 :   GEN a1 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a1(E)), A1, A2, A3, r, s, t;
    4696          42 :   GEN a2 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a2(E));
    4697          42 :   GEN a3 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a3(E));
    4698             : 
    4699          42 :   A1 = gmodgs(a1,2);
    4700          42 :   s = gshift(gsub(A1,a1), -1);
    4701          42 :   s = lift_if_rational(basistoalg(nf, s));
    4702          42 :   A2 = nfsub(nf, a2, nfmul(nf,s, nfadd(nf,a1,s)));
    4703          42 :   r = gdivgu(gsub(gmodgs(A2,3), A2), 3);
    4704          42 :   r = lift_if_rational(basistoalg(nf, r));
    4705          42 :   A3 = nfadd(nf, a3, nfmul(nf,r,A1));
    4706          42 :   t = nfadd(nf, nfmul(nf, r,s), gshift(gsub(gmodgs(A3,2), A3), -1));
    4707          42 :   t = lift_if_rational(basistoalg(nf, t));
    4708          42 :   return mkvec4(gen_1, r, s, t);
    4709             : }
    4710             : 
    4711             : static GEN
    4712       60144 : zk_capZ(GEN nf, GEN x)
    4713             : {
    4714       60144 :   GEN mx = zk_scalar_or_multable(nf, x);
    4715       60144 :   return (typ(mx) == t_INT)? mx: zkmultable_capZ(mx);
    4716             : }
    4717             : static GEN
    4718       29603 : ellnf_c4c6_primes(GEN E)
    4719             : {
    4720       29603 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    4721       29603 :   GEN c4Z = zk_capZ(nf, ell_get_c4(E));
    4722       29603 :   GEN c6Z = zk_capZ(nf, ell_get_c6(E));
    4723       29603 :   return Z_gcd_primes(c4Z, c6Z); /* primes dividing (c4,c6) \cap Z */
    4724             : }
    4725             : static GEN
    4726         938 : ellnf_D_primes(GEN E)
    4727             : {
    4728         938 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    4729         938 :   GEN P = ellnf_c4c6_primes(E);
    4730         938 :   GEN DZ = zk_capZ(nf, ell_get_disc(E));
    4731         938 :   long k, l = lg(P);
    4732        2478 :   for (k = 1; k < l; k++) (void)Z_pvalrem(DZ, gel(P,k), &DZ);
    4733         938 :   if (!is_pm1(DZ))
    4734             :   {
    4735         770 :     GEN Q = gel(absZ_factor(DZ),1);
    4736         770 :     settyp(Q, t_VEC); P = shallowconcat(P, Q); ZV_sort_inplace(P);
    4737             :   }
    4738         938 :   return P;
    4739             : }
    4740             : 
    4741             : /* convert vector of localreds to NF_MINIMALPRIMES */
    4742             : static GEN
    4743       29512 : Q_to_minimalprimes(GEN nf, GEN P, GEN Q)
    4744             : {
    4745             :   GEN L, Lr, Ls, Lt, U;
    4746       29512 :   long k, l = lg(P);
    4747       29512 :   Lr = vectrunc_init(l);
    4748       29512 :   Ls = vectrunc_init(l);
    4749       29512 :   Lt = vectrunc_init(l);
    4750       29512 :   L = vectrunc_init(l); settyp(L,t_COL);
    4751       29512 :   U = vectrunc_init(l); settyp(U,t_COL);
    4752      107429 :   for (k = 1; k < l; k++)
    4753             :   {
    4754       77917 :     GEN pr = gel(P, k), q = gel(Q, k), v, u;
    4755             :     long vu;
    4756       77917 :     v = gel(q,3);
    4757       77917 :     u = gel(v,1);
    4758       77917 :     vu = nfval(nf, u, pr);
    4759       77917 :     if (!vu) continue;
    4760       64225 :     vectrunc_append(Lr, gel(v,2));
    4761       64225 :     vectrunc_append(Ls, gel(v,3));
    4762       64225 :     vectrunc_append(Lt, gel(v,4));
    4763       64225 :     vectrunc_append(L, pr);
    4764       64225 :     vectrunc_append(U, stoi(vu));
    4765             :   }
    4766       29512 :   return mkvec5(L, U, Lr, Ls, Lt);
    4767             : }
    4768             : /* E integral */
    4769             : static GEN
    4770       58618 : ellminimalprimes(GEN E)
    4771             : {
    4772             :   GEN S, nf, c4, c6, P, Q;
    4773             :   long j, k, l;
    4774             : 
    4775       58618 :   if ((S = obj_check(E, NF_MINIMALPRIMES))) return S;
    4776       28665 :   nf = ellnf_get_nf(E);
    4777       28665 :   c4 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_c4(E));
    4778       28665 :   c6 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_c6(E));
    4779       28665 :   if (typ(c4) == t_INT) c4 = NULL;
    4780       28665 :   if (typ(c6) == t_INT) c6 = NULL;
    4781       28665 :   P = nf_pV_to_prV(nf, ellnf_c4c6_primes(E));
    4782       28665 :   Q = cgetg_copy(P, &l);
    4783      103068 :   for (k = j = 1; k < l; k++)
    4784             :   {
    4785       74403 :     GEN pr = gel(P, k);
    4786       74403 :     if (c4 && !ZC_prdvd(c4,pr)) continue;
    4787       74333 :     if (c6 && !ZC_prdvd(c6,pr)) continue;
    4788       74319 :     gel(Q,j) = nflocalred(E, pr); /* pr | (c4,c6) */
    4789       74319 :     gel(P,j++) = pr;
    4790             :   }
    4791       28665 :   setlg(P,j); setlg(Q,j);
    4792       28665 :   return obj_insert(E, NF_MINIMALPRIMES, Q_to_minimalprimes(nf,P,Q));
    4793             : }
    4794             : static GEN
    4795       29680 : ellnf_minimalnormu(GEN E0)
    4796             : {
    4797       29680 :   GEN E, S, L, U, P, v, Nu = NULL, nf = ellnf_get_nf(E0);
    4798             :   long i, l;
    4799       29680 :   E = ellintegralmodel_i(E0, &v);
    4800       29680 :   S = ellminimalprimes(E);
    4801       29680 :   L = gel(S,1);
    4802       29680 :   U = gel(S,2);
    4803       29680 :   if (v) Nu = idealnorm(nf, gel(v,1));
    4804       29680 :   P = cgetg_copy(L, &l);
    4805       94227 :   for (i = 1; i < l; i++) gel(P,i) = pr_norm(gel(L,i));
    4806       29680 :   P = factorback2(P, U);
    4807       29680 :   if (Nu) P = gmul(Nu, P);
    4808       29680 :   return P;
    4809             : }
    4810             : /* E integral model; return change of variable to minimal model (t_VEC)
    4811             :  * or (nontrivial) Weierstrass class (t_COL) */
    4812             : static GEN
    4813          63 : bnf_get_v(GEN E)
    4814             : {
    4815          63 :   GEN bnf = ellnf_get_bnf(E);
    4816             :   GEN nf, L, Lr, Ls, Lt, F, C, U, R, S, T;
    4817             : 
    4818          63 :   if (!bnf) pari_err_TYPE("ellminimalmodel (need a bnf)", ellnf_get_nf(E));
    4819          63 :   S = ellminimalprimes(E);
    4820          63 :   L = gel(S,1);
    4821          63 :   U = gel(S,2);
    4822          63 :   Lr = gel(S,3);
    4823          63 :   Ls = gel(S,4);
    4824          63 :   Lt = gel(S,5);
    4825          63 :   F = isprincipalfact(bnf, NULL, L, U, nf_GEN);
    4826          63 :   if (!gequal0(gel(F,1))) return gel(F,1);
    4827          42 :   nf = bnf_get_nf(bnf);
    4828          42 :   C = idealchinese(nf, mkmat2(L, ZC_z_mul(U,6)), NULL);
    4829          42 :   U = basistoalg(nf, gel(F,2));
    4830          42 :   R = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Lr));
    4831          42 :   S = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Ls));
    4832          42 :   T = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Lt));
    4833          42 :   return lift_if_rational(mkvec4(U,R,S,T));
    4834             : }
    4835             : 
    4836             : GEN
    4837          70 : ellminimaldisc(GEN E)
    4838             : {
    4839          70 :   pari_sp av = avma;
    4840          70 :   checkell(E);
    4841          70 :   switch(ell_get_type(E))
    4842             :   {
    4843           7 :     case t_ELL_Q:
    4844           7 :       E = ellminimalmodel(E,NULL);
    4845           7 :       return gerepileuptoint(av, absi_shallow(ell_get_disc(E)));
    4846          63 :     case t_ELL_NF:
    4847             :     {
    4848          63 :       GEN nf = ellnf_get_nf(E), S, L, U, D;
    4849          63 :       E = ellintegralmodel_i(E,NULL);
    4850          63 :       S = ellminimalprimes(E);
    4851          63 :       L = gel(S,1);
    4852          63 :       U = ZC_z_mul(gel(S,2), 12);
    4853          63 :       D = idealfactorback(nf, L, U, 0);
    4854          63 :       return gerepileupto(av, idealdiv(nf, ell_get_disc(E), D));
    4855             :     }
    4856           0 :     default: pari_err_TYPE("ellminimaldisc (E / number field)", E);
    4857             :              return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    4858             :   }
    4859             : }
    4860             : 
    4861             : /* update Q_MINIMALMODEL entry in E, but don't update type-specific data on
    4862             :  * ellminimalmodel(E) */
    4863             : static GEN
    4864      487074 : ellminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv, GEN *pS)
    4865             : {
    4866             :   GEN S, y, e, v, v0, u, DP;
    4867             :   ellmin_t M;
    4868      487074 :   if ((S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL)))
    4869             :   {
    4870        1484 :     if (lg(S) != 2)
    4871             :     {
    4872          70 :       E = gel(S,3);
    4873          70 :       v = gel(S,2);
    4874             :     }
    4875             :     else
    4876        1414 :       v = init_ch();
    4877        1484 :     if (ptv) *ptv = v;
    4878        1484 :     if (pS) *pS = S;
    4879        1484 :     return gcopy(E);
    4880             :   }
    4881      485590 :   e = ellintegralmodel_i(E, &v0);
    4882      485590 :   u = ellQ_minimalu(e, &DP);
    4883      485590 :   min_set_all(&M, e, u);
    4884      485590 :   v = min_get_v(&M, e);
    4885      485590 :   y = min_to_ell(&M, e);
    4886      485590 :   if (v0) { gcomposev(&v0, v); v = v0; }
    4887      485590 :   if (is_trivial_change(v))
    4888             :   {
    4889      469245 :     v = init_ch();
    4890      469245 :     S = mkvec(DP);
    4891             :   }
    4892             :   else
    4893       16345 :     S = mkvec3(DP, v, y);
    4894      485590 :   obj_insert(E, Q_MINIMALMODEL, S);
    4895      485590 :   if (pS) *pS = S;
    4896      485590 :   if (ptv) *ptv = v; return y;
    4897             : }
    4898             : 
    4899             : static GEN
    4900        3045 : ellQminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
    4901             : {
    4902        3045 :   pari_sp av = avma;
    4903        3045 :   GEN S, DP, v, y = ellminimalmodel_i(E, &v, &S);
    4904        3045 :   if (!is_trivial_change(v)) ch_Q(y, E, v);
    4905        3045 :   DP = gel(S,1);
    4906        3045 :   obj_insert_shallow(y, Q_MINIMALMODEL, mkvec(DP));
    4907        3045 :   if (!ptv) return gerepilecopy(av, y);
    4908        1036 :   *ptv = v; return gc_all(av, 2, &y, ptv);
    4909             : }
    4910             : 
    4911             : static GEN
    4912          63 : ellnfminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv)
    4913             : {
    4914             :   GEN S, y, v, v2;
    4915          63 :   if ((S = obj_check(E, NF_MINIMALMODEL)))
    4916             :   {
    4917           0 :     switch(lg(S))
    4918             :     {
    4919           0 :       case 1: v = init_ch(); break;
    4920           0 :       case 2: v = NULL; E = gel(S,1); break;
    4921           0 :       default: E = gel(S,2); v = gel(S,1); break;
    4922             :     }
    4923           0 :     *ptv = v;
    4924           0 :     return gcopy(E);
    4925             :   }
    4926          63 :   *ptv = NULL;
    4927          63 :   y = ellintegralmodel_i(E, &v);
    4928          63 :   v2 = bnf_get_v(y);
    4929          63 :   if (typ(v2) == t_COL)
    4930             :   {
    4931          21 :     obj_insert(E, NF_MINIMALMODEL, mkvec(v2));
    4932          21 :     return v2; /* nontrivial Weierstrass class */
    4933             :   }
    4934          42 :   y = coordch(y, v2);
    4935          42 :   gcomposev(&v, v2);
    4936          42 :   v2 = nfrestrict23(ellnf_get_nf(E), y);
    4937          42 :   y = coordch(y, v2);
    4938             :   /* copy to avoid inserting twice in y = E */
    4939          42 :   y = obj_reinit(y);
    4940          42 :   gcomposev(&v, v2);
    4941          42 :   if (is_trivial_change(v))
    4942             :   {
    4943           7 :     v = init_ch();
    4944           7 :     S = cgetg(1,t_VEC);
    4945             :   }
    4946             :   else
    4947             :   {
    4948          35 :     v = lift_if_rational(v);
    4949          35 :     S = mkvec2(v, y);
    4950             :   }
    4951          42 :   obj_insert(E, NF_MINIMALMODEL, S);
    4952          42 :   *ptv = v; return y;
    4953             : }
    4954             : static GEN
    4955          63 : ellnfminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
    4956             : {
    4957          63 :   pari_sp av = avma;
    4958          63 :   GEN v, y = ellnfminimalmodel_i(E, &v);
    4959          63 :   if (v) obj_insert_shallow(y, NF_MINIMALMODEL, cgetg(1,t_VEC));
    4960          63 :   if (!v || !ptv) return gerepilecopy(av, y);
    4961          35 :   *ptv = v; return gc_all(av, 2, &y, ptv);
    4962             : }
    4963             : GEN
    4964        3115 : ellminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
    4965             : {
    4966        3115 :   checkell(E);
    4967        3115 :   switch(ell_get_type(E))
    4968             :   {
    4969        3045 :     case t_ELL_Q: return ellQminimalmodel(E, ptv);
    4970          63 :     case t_ELL_NF: return ellnfminimalmodel(E, ptv);
    4971           7 :     default: pari_err_TYPE("ellminimalmodel (E / number field)", E);
    4972             :              return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    4973             :   }
    4974             : }
    4975             : 
    4976             : /* return a model minimal among b models */
    4977             : GEN
    4978         952 : ellminimalbmodel(GEN e, GEN *pv)
    4979             : {
    4980         952 :   pari_sp av = avma;
    4981             :   GEN f, a1, a3;
    4982             : 
    4983         952 :   checkell(e); f = ellminimalmodel(e, pv);
    4984         952 :   a1 = ell_get_a1(f);
    4985         952 :   a3 = ell_get_a3(f);
    4986         952 :   if (!signe(a1) && !signe(a3))
    4987         336 :   { if (!*pv) *pv = init_ch(); }
    4988             :   else
    4989             :   {
    4990         616 :     GEN v = mkvec4(mpodd(a1) || mpodd(a3) ? ghalf : gen_1,
    4991             :                    gen_0, gdivgs(a1,-2), gdivgs(a3,-2));
    4992         616 :     gcomposev(pv, v); f = coordch(f, v);
    4993             :   }
    4994         952 :   if (f != e) ell_reset(f);
    4995         952 :   return gc_all(av, 2, &f, pv);
    4996             : }
    4997             : 
    4998             : /* Reduction of a rational curve E to its standard minimal model, don't
    4999             :  * update type-dependant components.
    5000             :  * Set v = [u, r, s, t] = change of variable E -> minimal model, with u > 0
    5001             :  * Set gr = [N, [u,r,s,t], c, fa, L], where
    5002             :  *   N = arithmetic conductor of E
    5003             :  *   c = product of the local Tamagawa numbers cp
    5004             :  *   fa = factorization of N
    5005             :  *   L = list of localred(E,p) for p | N. */
    5006             : static GEN
    5007      454566 : ellQ_globalred(GEN e)
    5008             : {
    5009             :   long k, l, iN;
    5010             :   GEN S, c, E, L, P, NP, NE, D;
    5011             : 
    5012      454566 :   E = ellminimalmodel_i(e, NULL, &S);
    5013      454566 :   P = gel(S,1); l = lg(P); /* some known prime divisors of D */
    5014      454566 :   D  = ell_get_disc(E);
    5015      863373 :   for (k = 1; k < l; k++) (void)Z_pvalrem(D, gel(P,k), &D);
    5016      454566 :   if (!is_pm1(D))
    5017             :   {
    5018      436842 :     P = shallowconcat(P, gel(absZ_factor(D),1));
    5019      436842 :     ZV_sort_inplace(P);
    5020             :   }
    5021      454566 :   l = lg(P); c = gen_1;
    5022      454566 :   iN = 1;
    5023      454566 :   NP = cgetg(l, t_COL);
    5024      454566 :   NE = cgetg(l, t_COL);
    5025      454566 :   L = cgetg(l, t_VEC);
    5026     1938587 :   for (k = 1; k < l; k++)
    5027             :   {
    5028     1484021 :     GEN p = gel(P,k), q = localred(E, p), ex = gel(q,1);
    5029     1484021 :     if (!signe(ex)) continue;
    5030     1484021 :     gel(NP, iN) = p;
    5031     1484021 :     gel(NE, iN) = ex;
    5032     1484021 :     gel(L, iN) = q; iN++;
    5033     1484021 :     gel(q,3) = gen_0; /*delete variable change*/
    5034     1484021 :     c = mulii(c, gel(q,4));
    5035             :   }
    5036      454566 :   setlg(L, iN);
    5037      454566 :   setlg(NP, iN);
    5038      454566 :   setlg(NE, iN);
    5039      454566 :   return mkvec4(factorback2(NP,NE), c, mkmat2(NP,NE), L);
    5040             : }
    5041             : static GEN
    5042      461160 : ellglobalred_i(GEN E)
    5043      461160 : { return obj_checkbuild(E, Q_GLOBALRED, &ellQ_globalred); }
    5044             : 
    5045             : static GEN
    5046         938 : Q_to_globalred(GEN nf, GEN P, GEN Q, GEN v)
    5047             : {
    5048             :   GEN c, L, NP, NE;
    5049         938 :   long j, k, l = lg(P);
    5050         938 :   c = gen_1;
    5051         938 :   NP = cgetg(l, t_COL);
    5052         938 :   NE = cgetg(l, t_COL);
    5053         938 :   L = cgetg(l, t_VEC);
    5054        4774 :   for (k = j = 1; k < l; k++)
    5055             :   {
    5056        3836 :     GEN p = gel(P,k), q = gel(Q,k), ex;
    5057        3836 :     ex = gel(q,1);
    5058        3836 :     if (!signe(ex)) continue;
    5059        3605 :     gel(NP, j) = p;
    5060        3605 :     gel(NE, j) = ex;
    5061        3605 :     gel(L, j) = q; j++;
    5062        3605 :     c = mulii(c, gel(q,4));
    5063             :   }
    5064         938 :   setlg(L, j); setlg(NP, j); setlg(NE, j);
    5065         938 :   return mkvec5(idealfactorback(nf,NP,NE,0), v, c, mkmat2(NP,NE), L);
    5066             : }
    5067             : 
    5068             : static GEN
    5069         938 : ellnfglobalred(GEN E0)
    5070             : {
    5071             :   GEN E, P, Q, D, nf, v;
    5072             :   long j, k, l;
    5073             : 
    5074         938 :   E = ellintegralmodel_i(E0, &v);
    5075         938 :   if (!v) v = init_ch();
    5076         938 :   nf = ellnf_get_nf(E);
    5077         938 :   P = nf_pV_to_prV(nf, ellnf_D_primes(E));
    5078         938 :   D = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_disc(E));
    5079         938 :   if (typ(D) == t_INT) D = NULL;
    5080         938 :   Q = cgetg_copy(P, &l);
    5081        7322 :   for (k = j = 1; k < l; k++)
    5082             :   {
    5083        6384 :     GEN p = gel(P,k);
    5084        6384 :     if (D && !ZC_prdvd(D, p)) continue;
    5085        3836 :     gel(Q,j) = nflocalred(E, p);
    5086        3836 :     gel(P,j++) = p;
    5087             :   }
    5088         938 :   setlg(P,j); setlg(Q,j);
    5089         938 :   if (!obj_check(E0, NF_MINIMALPRIMES))
    5090         847 :     (void)obj_insert(E0, NF_MINIMALPRIMES, Q_to_minimalprimes(nf,P,Q));
    5091         938 :   return Q_to_globalred(nf,P,Q,v);
    5092             : }
    5093             : 
    5094             : GEN
    5095      454181 : ellglobalred(GEN E)
    5096             : {
    5097      454181 :   pari_sp av = avma;
    5098             :   GEN S, gr, v;
    5099      454181 :   checkell(E);
    5100      454181 :   switch(ell_get_type(E))
    5101             :   {
    5102           0 :     default: pari_err_TYPE("ellglobalred",E);
    5103      452949 :     case t_ELL_Q:
    5104      452949 :       gr = ellglobalred_i(E);
    5105      452949 :       S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
    5106      452949 :       v = (lg(S) == 2)? init_ch(): gel(S,2);
    5107      452949 :       v = mkvec5(gel(gr,1), v, gel(gr,2),gel(gr,3),gel(gr,4));
    5108      452949 :       break;
    5109        1232 :     case t_ELL_NF:
    5110        1232 :       v = obj_checkbuild(E, NF_GLOBALRED, &ellnfglobalred);
    5111        1232 :       break;
    5112             :   }
    5113      454181 :   return gerepilecopy(av, v);
    5114             : }
    5115             : 
    5116             : static GEN doellrootno(GEN e);
    5117             : /* Return E = ellminimalmodel(e), but only update E[1..14].
    5118             :  * insert MINIMALMODEL, GLOBALRED, ROOTNO in both e (regular insertion)
    5119             :  * and E (shallow insert) */
    5120             : GEN
    5121        2401 : ellanal_globalred(GEN e, GEN *ch)
    5122             : {
    5123        2401 :   GEN E, S, v = NULL;
    5124        2401 :   checkell_Q(e);
    5125        2401 :   if (!(S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
    5126             :   {
    5127         406 :     E = ellminimalmodel_i(e, &v, &S);
    5128         406 :     obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
    5129             :   }
    5130        1995 :   else if (lg(S) == 2) /* trivial change */
    5131        1981 :     E = e;
    5132             :   else
    5133             :   {
    5134          14 :     v = gel(S,2);
    5135          14 :     E = gcopy(gel(S,3));
    5136          14 :     obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
    5137             :   }
    5138        2401 :   if (ch) *ch = v;
    5139        2401 :   S = ellglobalred_i(e);
    5140        2401 :   if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
    5141        2401 :   S = obj_check(e, Q_ROOTNO);
    5142        2401 :   if (!S)
    5143             :   {
    5144        1106 :     S = doellrootno(E);
    5145        1106 :     obj_insert(e, Q_ROOTNO, S); /* insert in e */
    5146             :   }
    5147        2401 :   if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S); /* ... and in E */
    5148        2401 :   return E;
    5149             : }
    5150             : 
    5151             : static long
    5152         462 : nb_real_components(GEN E) { return gsigne(ell_get_disc(E)) > 0? 2: 1; }
    5153             : /* E minimal, \Omega_E^s in "La constante de Manin et le degre modulaire
    5154             :  * d'une courbe elliptique" */
    5155             : GEN
    5156        1407 : ellQtwist_bsdperiod(GEN E, long s)
    5157             : {
    5158        1407 :   GEN w = ellR_omega(E,DEFAULTPREC);
    5159        1407 :   if (s == 1)
    5160         994 :     w = gel(w,1);
    5161         413 :   else if (nb_real_components(E) == 2)
    5162         147 :     w = gneg(gel(w,2));
    5163             :   else
    5164         266 :     w = mkcomplex(gen_0, gneg(gmul2n(imag_i(gel(w,2)), 1)));
    5165        1407 :   return w;
    5166             : }
    5167             : 
    5168             : static GEN
    5169          49 : ellQ_tamagawa(GEN e)
    5170             : {
    5171          49 :   GEN red = ellglobalred(e), tam = gel(red,3);
    5172          49 :   return muliu(tam, nb_real_components(e));
    5173             : }
    5174             : 
    5175             : static GEN
    5176         840 : ellnf_tamagawa(GEN e)
    5177             : {
    5178         840 :   GEN red = ellglobalred(e), tam = gel(red,3);
    5179         840 :   GEN nf  = ellnf_get_nf(e), s = nfsign(nf, ell_get_disc(e));
    5180             :   long r1, r2;
    5181         840 :   nf_get_sign(nf, &r1, &r2);
    5182         840 :   return shifti(tam, r2 + r1 - hammingweight(s));
    5183             : }
    5184             : 
    5185             : GEN
    5186          49 : elltamagawa(GEN E)
    5187             : {
    5188          49 :   pari_sp av = avma;
    5189             :   GEN v;
    5190          49 :   checkell(E);
    5191          49 :   switch(ell_get_type(E))
    5192             :   {
    5193           0 :     default: pari_err_TYPE("elltamagawa",E);
    5194          21 :     case t_ELL_Q:  v = ellQ_tamagawa(E);  break;
    5195          28 :     case t_ELL_NF: v = ellnf_tamagawa(E); break;
    5196             :   }
    5197          49 :   return gerepileuptoint(av, v);
    5198             : }
    5199             : 
    5200             : static GEN
    5201       58618 : ellnf_get_nf_prec(GEN E, long prec)
    5202             : {
    5203       58618 :   GEN S, nf = ellnf_get_nf(E);
    5204       58618 :   if (nf_get_prec(nf) >= prec) return nf;
    5205       46235 :   if ((S = obj_check(E, NF_NF)) && nf_get_prec(S) >= prec) return S;
    5206       29309 :   return obj_insert(E, NF_NF, nfnewprec_shallow(nf, prec));
    5207             : }
    5208             : /* true nf, use nf prec */
    5209             : static GEN
    5210      206633 : nfembedall(GEN nf, GEN x)
    5211             : {
    5212             :   long r1, r2;
    5213             :   GEN cx;
    5214      206633 :   nf_get_sign(nf,&r1,&r2);
    5215      206633 :   x = nf_to_scalar_or_basis(nf,x);
    5216      206633 :   if (typ(x) != t_COL) return const_vec(r1+r2, x);
    5217        3108 :   x = Q_primitive_part(x, &cx);
    5218        3108 :   x = RgM_RgC_mul(nf_get_M(nf), x);
    5219        3108 :   if (cx) x = RgC_Rg_mul(x,cx);
    5220        3108 :   return x;
    5221             : }
    5222             : static long
    5223       58618 : nfembed_extraprec(GEN x)
    5224       58618 : { long e = gexpo(x); return (e < 8)? 0: nbits2extraprec(e); }
    5225             : static GEN
    5226       29799 : ellnfembed(GEN E, long prec)
    5227             : {
    5228       29799 :   GEN E0, nf = ellnf_get_nf(E), Eb = cgetg(6,t_VEC), e = cgetg(6,t_VEC), L, sD;
    5229             :   long prec0, r1, r2, n, i;
    5230             : 
    5231       29799 :   nf_get_sign(nf, &r1, &r2); n = r1+r2;
    5232       29799 :   E0 = RgC_to_nfC(nf, vecslice(E,1,5));
    5233       29799 :   prec0 = prec + EXTRAPREC64;
    5234             :   /* need accuracy 3b for bmodel to ensure roots are correct to b bits */
    5235       29799 :   prec += (prec0-2)*3 + nfembed_extraprec(E0);
    5236       29799 :   L =  cgetg(n+1, t_VEC);
    5237       29799 :   sD = nfeltsign(nf, ell_get_disc(E), identity_perm(r1));
    5238             :   for(;;)
    5239             :   {
    5240       29799 :     nf = ellnf_get_nf_prec(E, prec);
    5241      178794 :     for (i=1; i<=5; i++) gel(Eb,i) = nfembedall(nf,gel(E0,i));
    5242       91000 :     for (i=1; i<=n; i++)
    5243             :     {
    5244             :       GEN Ei, r;
    5245             :       long j;
    5246      367206 :       for (j=1; j<=5; j++) gel(e,j) = gmael(Eb,j,i);
    5247       61201 :       gel(L,i) = Ei = ellinit_Rg(e, i<=r1? signe(gel(sD,i)): 0, prec);
    5248       61201 :       if (!Ei) break;
    5249       61201 :       r = doellR_roots_i(Ei, prec, prec0);
    5250       61201 :       if (!r) break;
    5251             :     }
    5252       29799 :     if (i > n) return L;
    5253           0 :     prec = precdbl(prec);
    5254           0 :     if (DEBUGLEVEL>1) pari_warn(warnprec,"ellnfembed", prec);
    5255             :   }
    5256             : }
    5257             : 
    5258             : static GEN
    5259       28819 : ellpointnfembed(GEN E, GEN P, long prec)
    5260             : {
    5261       28819 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E), Px, Py, L;
    5262             :   long i, l;
    5263       28819 :   P = RgC_to_nfC(nf, P);
    5264       28819 :   prec += nfembed_extraprec(P);
    5265       28819 :   nf = ellnf_get_nf_prec(E, prec);
    5266       28819 :   Px = nfembedall(nf, gel(P,1));
    5267       28819 :   Py = nfembedall(nf, gel(P,2));
    5268       28819 :   l = lg(Px); L =  cgetg(l, t_VEC);
    5269       86436 :   for(i = 1; i < l; i++) gel(L,i) = mkvec2(gel(Px,i), gel(Py,i));
    5270       28819 :   return L;
    5271             : }
    5272             : 
    5273             : static void
    5274         987 : ellnfembed_free(GEN L)
    5275             : {
    5276         987 :   long i, l = lg(L);
    5277        4585 :   for(i = 1; i < l; i++) obj_free(gel(L,i));
    5278         987 : }
    5279             : 
    5280             : static GEN
    5281         168 : ellnf_vec_wrap(GEN (*fun)(GEN, long), GEN E, long prec)
    5282             : {
    5283         168 :   pari_sp av = avma;
    5284         168 :   GEN V = ellnfembed(E, prec);
    5285         168 :   long i, l = lg(V);
    5286         168 :   GEN P = cgetg(l, t_VEC);
    5287         448 :   for(i=1; i<l; i++) gel(P,i) = fun(gel(V,i), prec);
    5288         168 :   ellnfembed_free(V);
    5289         168 :   return gerepilecopy(av, P);
    5290             : }
    5291             : 
    5292             : GEN
    5293          91 : ellnf_vecarea(GEN E, long prec)
    5294          91 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_area, E, prec); }
    5295             : 
    5296             : GEN
    5297          28 : ellnf_veceta(GEN E, long prec)
    5298          28 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_eta, E, prec); }
    5299             : 
    5300             : GEN
    5301          49 : ellnf_vecomega(GEN E, long prec)
    5302          49 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_omega, E, prec); }
    5303             : 
    5304             : static GEN
    5305         812 : ellnf_bsdperiod(GEN E, long prec)
    5306             : {
    5307         812 :   pari_sp av = avma;
    5308         812 :   GEN Eb = ellnfembed(E, prec), per = gtofp(ellnf_minimalnormu(E), prec);
    5309         812 :   long i, l = lg(Eb), r1 = nf_get_r1(ellnf_get_nf(E));
    5310        4116 :   for(i = 1; i < l; i++)
    5311             :   {
    5312        3304 :     GEN e = gel(Eb, i);
    5313        3304 :     GEN pi = (i <= r1)? gel(ellR_omega(e, prec),1): ellR_area(e, prec);
    5314        3304 :     per = mulrr(per, pi);
    5315             :   }
    5316         812 :   ellnfembed_free(Eb);
    5317         812 :   return gerepileuptoleaf(av, per);
    5318             : }
    5319             : static GEN
    5320         812 : ellnf_adelicvolume(GEN E, long prec)
    5321             : {
    5322         812 :   GEN t = ellnf_tamagawa(E);
    5323         812 :   return gmul(t, ellnf_bsdperiod(E, prec));
    5324             : }
    5325             : 
    5326             : static GEN
    5327          42 : ellnf_bsd(GEN E, long prec)
    5328             : {
    5329          42 :   GEN v = ellnf_adelicvolume(E, prec);
    5330          42 :   GEN tor = gel(elltors(E),1);
    5331          42 :   GEN D = itor(nf_get_disc(ellnf_get_nf(E)), prec);
    5332          42 :   return divrr(divri(v, sqri(tor)), sqrtr_abs(D));
    5333             : }
    5334             : 
    5335             : static GEN
    5336          28 : ellQ_bsd(GEN E, long prec)
    5337             : {
    5338          28 :   GEN per = gel(ellR_omega(E, prec),1);
    5339          28 :   GEN tam = ellQ_tamagawa(E);
    5340          28 :   GEN tor = gel(elltors(E),1);
    5341          28 :   GEN S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
    5342          28 :   if (lg(S) != 2)
    5343             :   { /* switch to minimal model if needed */
    5344          21 :     GEN v = gel(S,2), u = gel(v,1);
    5345          21 :     per = gmul(per,u);
    5346             :   }
    5347          28 :   return divri(mulri(per,tam), sqri(tor));
    5348             : }
    5349             : 
    5350             : GEN
    5351          70 : ellbsd(GEN E, long prec)
    5352             : {
    5353          70 :   pari_sp av = avma;
    5354             :   GEN v;
    5355          70 :   checkell(E);
    5356          70 :   switch(ell_get_type(E))
    5357             :   {
    5358           0 :     default: pari_err_TYPE("ellbsd",E);
    5359          28 :     case t_ELL_Q:  v = ellQ_bsd(E, prec);  break;
    5360          42 :     case t_ELL_NF: v = ellnf_bsd(E, prec); break;
    5361             :   }
    5362          70 :   return gerepileupto(av, v);
    5363             : }
    5364             : 
    5365             : static GEN
    5366       33680 : QE_to_ZJ(GEN P)
    5367             : {
    5368       33680 :   if (ell_is_inf(P))
    5369           0 :     return mkvec3(gen_1, gen_1, gen_0);
    5370             :   else
    5371             :   {
    5372       33680 :     pari_sp av = avma;
    5373       33680 :     GEN D1 = denom(gel(P,1)), D2 = denom(gel(P,2));
    5374       33680 :     GEN R  = diviiexact(D2, gcdii(D1,D2));
    5375       33680 :     GEN R2 = sqri(R), R3 = mulii(R2, R);
    5376       33680 :     GEN Q1 = gmul(gel(P,1),R2);
    5377       33680 :     GEN Q2 = gmul(gel(P,2),R3);
    5378       33680 :     GEN Z  = denom(mkvec2(Q1, Q2));
    5379       33680 :     GEN Z2 = sqri(Z), Z3 = mulii(Z, Z2);
    5380       33680 :     return gerepilecopy(av, mkvec3(gmul(Q1, Z2), gmul(Q2, Z3), mulii(Z, R)));
    5381             :   }
    5382             : }
    5383             : 
    5384             : static GEN
    5385        4460 : QEV_to_ZJV(GEN x)
    5386       38098 : { pari_APPLY_same(QE_to_ZJ(gel(x,i))) }
    5387             : 
    5388             : static GEN
    5389       15322 : FljV_changepointinv_pre(GEN x, GEN a4a6, ulong p, ulong pi)
    5390             : {
    5391      168280 :   pari_APPLY_same(Flj_changepointinv_pre(gel(x,i), a4a6, p, pi))
    5392             : }
    5393             : 
    5394             : static GEN
    5395       10789 : ellQ_factorback_filter(GEN A, GEN P, GEN *pQ)
    5396             : {
    5397       10789 :   long i, j, k, l = lg(A);
    5398             :   GEN B, Q;
    5399       34026 :   for (i = k = 1; i < l; i++)
    5400       23237 :     if (!ell_is_inf(gel(A,i))) k++;
    5401       10789 :   if (k == 1 || k == l) { *pQ = P; return A; }
    5402         155 :   B = cgetg(k, t_VEC);
    5403         155 :   Q = cgetg(k, typ(P));
    5404         735 :   for (i = j = 1; i < l; i++)
    5405         580 :     if (!ell_is_inf(gel(A,i))) { gel(B,j) = gel(A,i); Q[j] = P[i]; j++; }
    5406         155 :   *pQ = Q; return B;
    5407             : }
    5408             : 
    5409             : static GEN
    5410        5332 : ellQ_factorback_chinese(GEN A, GEN P, GEN *mod)
    5411             : {
    5412        5332 :   GEN Q, B = ellQ_factorback_filter(A, P, &Q);
    5413        5332 :   return ncV_chinese_center(B, Q, mod);
    5414             : }
    5415             : 
    5416             : static GEN
    5417       15732 : ellQ_factorback1(GEN A, GEN L, ulong l, GEN E, long CM, ulong p)
    5418             : {
    5419       15732 :   pari_sp av = avma;
    5420       15732 :   ulong pi = get_Fl_red(p);
    5421       15732 :   GEN c4 = ell_get_c4(E);
    5422       15732 :   ulong a4 = Fl_c4_to_a4(Rg_to_Fl(c4, p), p);
    5423             :   GEN a4a6, a, Hp;
    5424       15732 :   ulong d = 1;
    5425       15732 :   if (l != 1)
    5426             :   {
    5427         648 :     GEN c6 = ell_get_c6(E);
    5428         648 :     ulong a6 = Fl_c6_to_a6(Rg_to_Fl(c6, p), p);
    5429         648 :     ulong c = p + 1 - Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
    5430         648 :     d = Fl_invsafe(l % c, c);
    5431         648 :     if (!d) return NULL;
    5432             :   }
    5433       15322 :   a4a6 = a4a6_ch_Fl(E,p);
    5434       15322 :   a = FljV_changepointinv_pre(A, a4a6, p, pi);
    5435       15322 :   Hp = FljV_factorback_pre(a, L, a4, p, pi);
    5436       15322 :   if (d != 1)
    5437         238 :     Hp = Flj_mulu_pre(Hp, d, a4, p, pi);
    5438       15322 :   Hp = Flj_to_Fle_pre(Hp, p, pi);
    5439       15322 :   Hp = Fle_changepoint(Hp, a4a6, p);
    5440       15322 :   return gerepileuptoleaf(av, Hp);
    5441             : }
    5442             : 
    5443             : static GEN
    5444        8741 : ellQ_factorback_slice(GEN A, GEN L, ulong l, GEN E, GEN P, GEN *mod)
    5445             : {
    5446        8741 :   pari_sp av = avma;
    5447        8741 :   long i, n = lg(P)-1;
    5448        8741 :   long CM = ellQ_get_CM(E);
    5449             :   GEN H, T, B, Q;
    5450        8741 :   if (n == 1)
    5451             :   {
    5452        3284 :     ulong p = uel(P,1);
    5453        3284 :     GEN Hp = ellQ_factorback1(ZM_to_Flm(A, p), L, l, E, CM, p);
    5454        3284 :     if (!Hp) { *mod = gen_1; return ellinf(); }
    5455        3260 :     *mod = utoi(p);
    5456        3260 :     return Flv_to_ZV(Hp);
    5457             :   }
    5458        5457 :   T = ZV_producttree(P);
    5459        5457 :   A = ZM_nv_mod_tree(A, P, T);
    5460        5457 :   H = cgetg(n+1, t_VEC);
    5461       17905 :   for(i=1; i <= n; i++)
    5462             :   {
    5463       12448 :     gel(H,i) = ellQ_factorback1(gel(A,i), L, l, E, CM, uel(P,i));
    5464       12448 :     if (gel(H,i)==NULL) { gel(H,i) = ellinf(); uel(P,i) = 1; }
    5465             :   }
    5466        5457 :   B = ellQ_factorback_filter(H, P, &Q);
    5467        5457 :   if (lg(Q) != lg(P)) T = ZV_producttree(Q);
    5468        5457 :   H = ncV_chinese_center_tree(B, Q, T, ZV_chinesetree(Q,T));
    5469        5457 :   *mod = gmael(T, lg(T)-1, 1); return gc_all(av, 2, &H, mod);
    5470             : }
    5471             : 
    5472             : GEN
    5473        8741 : ellQ_factorback_worker(GEN P, GEN E, GEN A, GEN L, ulong l)
    5474             : {
    5475        8741 :   GEN V = cgetg(3, t_VEC);
    5476        8741 :   gel(V,1) = ellQ_factorback_slice(A, L, l, E, P, &gel(V,2));
    5477        8741 :   return V;
    5478             : }
    5479             : 
    5480             : /* If a single non-zero entry, equal to 1, return its index. Else 0 */
    5481             : static long
    5482        4214 : ZV_is_ei(GEN v)
    5483             : {
    5484        4214 :   long i, ei = 0;
    5485       15081 :   for (i = lg(v)-1; i; i--)
    5486       14109 :     if (signe(gel(v,i)))
    5487             :     {
    5488        5825 :       if (ei || !equali1(gel(v,i))) return 0;
    5489        2583 :       ei = i;
    5490             :     }
    5491         972 :   return ei;
    5492             : }
    5493             : 
    5494             : /* A vector of points, L a ZV, return (sum L[i]*A[i]) / l;
    5495             :  * h is the canonical height of result. Assume the result is NOT
    5496             :  * torsion */
    5497             : static GEN
    5498        4228 : ellQ_factorback(GEN E, GEN A, GEN L, ulong l, GEN h, long prec)
    5499             : {
    5500        4228 :   pari_sp av = avma;
    5501        4228 :   GEN hn, D, worker, mod = gen_1, H = NULL;
    5502             :   forprime_t S;
    5503        4228 :   ulong bound = 1;
    5504             : 
    5505        4228 :   if (l == 1)
    5506             :   {
    5507        4214 :     long i = ZV_is_ei(L);
    5508        4214 :     if (i) return gel(A,i);
    5509             :   }
    5510        3256 :   hn = l==1 ? NULL: hnaive_max(E, h);
    5511        3256 :   D = ell_get_disc(E);
    5512        3256 :   worker = snm_closure(is_entry("_ellQ_factorback_worker"),
    5513             :                        mkvec4(E, QEV_to_ZJV(A), L, utoi(l)));
    5514        3256 :   if (l==1)
    5515        3242 :     init_modular_big(&S);
    5516             :   else
    5517          14 :     init_modular_small(&S);
    5518        3256 :   for (bound = 1;; bound <<= 1)
    5519        3564 :   {
    5520             :     GEN amax, r;
    5521        6820 :     gen_inccrt("ellQ_factorback", worker, D, bound, 0,
    5522             :                &S, &H, &mod, ellQ_factorback_chinese, NULL);
    5523        6820 :     amax = sqrti(shifti(mod,-2));
    5524        6820 :     if (!ell_is_inf(H) && (r = FpC_ratlift(H, mod, amax, amax, NULL))
    5525        3826 :                        && oncurve_exact(E,r))
    5526             :     {
    5527             :       GEN g;
    5528        3256 :       settyp(r,t_VEC); g = ellheight(E,r,prec);
    5529        3256 :       if (signe(g) && expo(subrs(divrr(g,h),1))<-prec/2)
    5530        3256 :         return gerepileupto(av, r);
    5531             :     }
    5532        3564 :     if (hn && gcmpsg(expi(mod)>>2,hn) > 0) return gc_NULL(av);
    5533             :   }
    5534             : }
    5535             : 
    5536             : GEN
    5537         819 : ellQ_genreduce(GEN E, GEN G, GEN M, long prec)
    5538             : {
    5539         819 :   pari_sp av = avma;
    5540         819 :   long i, j, l = lg(G);
    5541         819 :   GEN L, V = cgetg(l, t_VEC);
    5542             : 
    5543         819 :   if (!M) M = ellheightmatrix(E, G, prec);
    5544             :   while(1)
    5545             :   {
    5546         819 :     L = lllgram(M);
    5547         819 :     if (L) break;
    5548           0 :     prec = precdbl(prec);
    5549           0 :     M = ellheightmatrix(E, G, prec);
    5550             :   }
    5551         819 :   l = lg(L); /* can decrease */
    5552        4900 :   for (i = j = 1; i < l; i++)
    5553             :   {
    5554        4081 :     GEN Li = gel(L, i), h = qfeval(M, Li);
    5555        4081 :     if (expo(h) > -prec/2)
    5556        4081 :       gel(V,j++) = ellQ_factorback(E, G, Li, 1, h, prec);
    5557             :   }
    5558         819 :   setlg(V, j); return gerepilecopy(av, V);
    5559             : }
    5560             : 
    5561             : static long
    5562          42 : ellQ_isdivisible_test(forprime_t *S, GEN E, long CM, GEN P, ulong l, long nb)
    5563             : {
    5564          42 :   GEN D = ell_get_disc(E);
    5565          42 :   pari_sp av = avma;
    5566             :   long m;
    5567        2247 :   for (m = 1; m <= nb; set_avma(av))
    5568             :   {
    5569        2219 :     ulong o, a4, a6, p = u_forprime_next(S);
    5570        2219 :     if (dvdiu(D, p)) continue;
    5571        2219 :     Fl_ell_to_a4a6(E, p, &a4, &a6);
    5572        2219 :     o = p+1 - Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
    5573        2219 :     if (o % l == 0)
    5574             :     {
    5575         294 :       ulong pi = get_Fl_red(p);
    5576         294 :       GEN a4a6 = a4a6_ch_Fl(E,p);
    5577         294 :       GEN Q = Flj_changepointinv_pre(ZV_to_Flv(P, p), a4a6, p, pi);
    5578         294 :       GEN R = Flj_mulu_pre(Q, o/l, a4, p, pi);
    5579         294 :       if (uel(R, 3) != 0) return 0;
    5580         280 :       m++;
    5581             :     }
    5582             :   }
    5583          28 :   return 1;
    5584             : }
    5585             : 
    5586             : /* Assume l prime to 210 */
    5587             : GEN
    5588          42 : ellQ_isdivisible(GEN E, GEN P, ulong l)
    5589             : {
    5590          42 :   pari_sp av = avma;
    5591          42 :   GEN worker, mod = gen_1, H = NULL, D = ell_get_disc(E), PJ = QE_to_ZJ(P);
    5592             :   forprime_t S, U;
    5593          42 :   long CM = ellQ_get_CM(E);
    5594             :   ulong bound;
    5595             : 
    5596          42 :   u_forprime_init(&U, l+1, ULONG_MAX);
    5597          42 :   if (!ellQ_isdivisible_test(&U, E, CM, PJ, l, 10)) return gc_NULL(av);
    5598          28 :   worker = snm_closure(is_entry("_ellQ_factorback_worker"),
    5599             :                        mkvec4(E, mkvec(PJ), mkvecs(1), utoi(l)));
    5600          28 :   init_modular_small(&S);
    5601          28 :   for (bound = 1;; bound <<= 1)
    5602          62 :   {
    5603             :     GEN amax, r;
    5604          90 :     gen_inccrt("ellQ_factorback", worker, D, bound, 0,
    5605             :                &S, &H, &mod, ellQ_factorback_chinese, NULL);
    5606          90 :     amax = sqrti(shifti(mod,-2));
    5607          90 :     if (!ell_is_inf(H) && (r = FpC_ratlift(H, mod, amax, amax, NULL))
    5608          29 :                        && oncurve_exact(E,r))
    5609             :     {
    5610          28 :       settyp(r,t_VEC);
    5611          28 :       if (gequal(ellmul(E,r,utoi(l)), P)) return gerepileupto(av, r);
    5612           0 :       if (!ellQ_isdivisible_test(&U, E, CM, PJ, l, 10)) return gc_NULL(av);
    5613             :     }
    5614             :   }
    5615             : }
    5616             : 
    5617             : /********************************************************************/
    5618             : /**                                                                **/
    5619             : /**           ROOT NUMBER (after Halberstadt at p = 2,3)           **/
    5620             : /**                                                                **/
    5621             : /********************************************************************/
    5622             : /* x a t_INT */
    5623             : static long
    5624        2058 : val_aux(GEN x, long p, long pk, long *u)
    5625             : {
    5626             :   long v;
    5627             :   GEN z;
    5628        2058 :   if (!signe(x)) { *u = 0; return 12; }
    5629        1904 :   v = Z_lvalrem(x,p,&z);
    5630        1904 :   *u = umodiu(z,pk); return v;
    5631             : }
    5632             : static void
    5633         686 : val_init(GEN e, long p, long pk,
    5634             :          long *v4, long *u, long *v6, long *v, long *vD, long *d1)
    5635             : {
    5636         686 :   GEN c4 = ell_get_c4(e), c6 = ell_get_c6(e), D = ell_get_disc(e);
    5637         686 :   pari_sp av = avma;
    5638         686 :   *v4 = val_aux(c4, p,pk, u);
    5639         686 :   *v6 = val_aux(c6, p,pk, v);
    5640         686 :   *vD = val_aux(D , p,pk, d1); set_avma(av);
    5641         686 : }
    5642             : 
    5643             : static long
    5644         686 : kod_23(GEN e, long p)
    5645             : {
    5646             :   GEN S, nv;
    5647         686 :   if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
    5648             :   {
    5649         665 :     GEN NP = gmael(S,3,1), L = gel(S,4);
    5650         665 :     nv = absequaliu(gel(NP,1), p)? gel(L,1): gel(L,2); /* localred(p) */
    5651             :   }
    5652             :   else
    5653          21 :     nv = localred_23(e, p);
    5654         686 :   return itos(gel(nv,2));
    5655             : }
    5656             : 
    5657             : /* v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
    5658             : static long
    5659         399 : neron_2(long v4, long v6, long vD, long kod)
    5660             : {
    5661         399 :   if (kod > 4) return 1;
    5662         231 :   switch(kod)
    5663             :   {
    5664           0 :     case 1: return (v6>0) ? 2 : 1;
    5665          14 :     case 2:
    5666          14 :       if (vD==4) return 1;
    5667             :       else
    5668             :       {
    5669           0 :         if (vD==7) return 3;
    5670           0 :         else return v4==4 ? 2 : 4;
    5671             :       }
    5672          70 :     case 3:
    5673          70 :       switch(vD)
    5674             :       {
    5675          49 :         case 6: return 3;
    5676           0 :         case 8: return 4;
    5677          14 :         case 9: return 5;
    5678           7 :         default: return v4==5 ? 2 : 1;
    5679             :       }
    5680          42 :     case 4: return v4>4 ? 2 : 1;
    5681          14 :     case -1:
    5682          14 :       switch(vD)
    5683             :       {
    5684           0 :         case 9: return 2;
    5685           0 :         case 10: return 4;
    5686          14 :         default: return v4>4 ? 3 : 1;
    5687             :       }
    5688           7 :     case -2:
    5689           7 :       switch(vD)
    5690             :       {
    5691           7 :         case 12: return 2;
    5692           0 :         case 14: return 3;
    5693           0 :         default: return 1;
    5694             :       }
    5695           0 :     case -3:
    5696           0 :       switch(vD)
    5697             :       {
    5698           0 :         case 12: return 2;
    5699           0 :         case 14: return 3;
    5700           0 :         case 15: return 4;
    5701           0 :         default: return 1;
    5702             :       }
    5703          49 :     case -4: return v6==7 ? 2 : 1;
    5704          21 :     case -5: return (v6==7 || v4==6) ? 2 : 1;
    5705           7 :     case -6:
    5706           7 :       switch(vD)
    5707             :       {
    5708           7 :         case 12: return 2;
    5709           0 :         case 13: return 3;
    5710           0 :         default: return v4==6 ? 2 : 1;
    5711             :       }
    5712           0 :     case -7: return (vD==12 || v4==6) ? 2 : 1;
    5713           7 :     default: return v4==6 ? 2 : 1;
    5714             :   }
    5715             : }
    5716             : /* p = 3; v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
    5717             : static long
    5718         168 : neron_3(long v4, long v6, long vD, long kod)
    5719             : {
    5720         168 :   if (labs(kod) > 4) return 1;
    5721         119 :   switch(kod)
    5722             :   {
    5723          28 :     case -1: case 1: return odd(v4)? 2: 1;
    5724          28 :     case -3: case 3: return (2*v6>vD+3)? 2: 1;
    5725          49 :     case -4: case 2:
    5726          49 :       switch (vD%6)
    5727             :       {
    5728           0 :         case 4: return 3;
    5729           0 :         case 5: return 4;
    5730          49 :         default: return v6%3==1 ? 2 : 1;
    5731             :       }
    5732          14 :     default: /* kod = -2 et 4 */
    5733          14 :       switch (vD%6)
    5734             :       {
    5735           0 :         case 0: return 2;
    5736           0 :         case 1: return 3;
    5737          14 :         default: return 1;
    5738             :       }
    5739             :   }
    5740             : }
    5741             : 
    5742             : static long
    5743         399 : ellrootno_2(GEN e)
    5744             : {
    5745             :   long n2, kod, u, v, x1, y1, D1, vD, v4, v6;
    5746         399 :   long d = get_vp_u_small(e, 2, &v6, &vD);
    5747             : 
    5748         399 :   if (!vD) return 1;
    5749         399 :   if (d) { /* not minimal */
    5750             :     ellmin_t M;
    5751          14 :     min_set_2(&M, e, d);
    5752          14 :     min_set_D(&M, e);
    5753          14 :     e = min_to_ell(&M, e);
    5754             :   }
    5755         399 :   val_init(e, 2,64,&v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
    5756         399 :   kod = kod_23(e,2);
    5757         399 :   n2 = neron_2(v4,v6,vD, kod);
    5758         399 :   if (kod>=5)
    5759             :   {
    5760             :     long a2, a3;
    5761         168 :     a2 = ZtoF2(ell_get_a2(e));
    5762         168 :     a3 = ZtoF2(ell_get_a3(e));
    5763         168 :     return odd(a2 + a3) ? 1 : -1;
    5764             :   }
    5765         231 :   if (kod<-9) return (n2==2) ? -kross(-1,v) : -1;
    5766         224 :   x1 = u+v+v;
    5767         224 :   switch(kod)
    5768             :   {
    5769           0 :     case 1: return 1;
    5770          14 :     case 2:
    5771             :       switch(n2)
    5772             :       {
    5773          14 :         case 1:
    5774          14 :           switch(v4)
    5775             :           {
    5776          14 :             case 4: return kross(-1,u);
    5777           0 :             case 5: return 1;
    5778           0 :             default: return -1;
    5779             :           }
    5780           0 :         case 2: return (v6==7) ? 1 : -1;
    5781           0 :         case 3: return (v%8==5 || (u*v)%8==5) ? 1 : -1;
    5782           0 :         case 4: if (v4>5) return kross(-1,v);
    5783           0 :           return (v4==5) ? -kross(-1,u) : -1;
    5784             :       }
    5785             :     case 3:
    5786             :       switch(n2)
    5787             :       {
    5788           7 :         case 1: return -kross(2,u*v);
    5789           0 :         case 2: return -kross(2,v);
    5790          49 :         case 3: y1 = (u - (v << (v6-5))) & 15;
    5791          49 :           return (y1==7 || y1==11) ? 1 : -1;
    5792           0 :         case 4: return (v%8==3 || (2*u+v)%8==7) ? 1 : -1;
    5793          14 :         case 5: return v6==8 ? kross(2,x1) : kross(-2,u);
    5794             :       }
    5795             :     case -1:
    5796             :       switch(n2)
    5797             :       {
    5798          14 :         case 1: return -kross(2,x1);
    5799           0 :         case 2: return (v%8==7) || (x1%32==11) ? 1 : -1;
    5800           0 :         case 3: return v4==6 ? 1 : -1;
    5801           0 :         case 4: if (v4>6) return kross(-1,v);
    5802           0 :           return v4==6 ? -kross(-1,u*v) : -1;
    5803             :       }
    5804           7 :     case -2: return n2==1 ? kross(-2,v) : kross(-1,v);
    5805           0 :     case -3:
    5806             :       switch(n2)
    5807             :       {
    5808           0 :         case 1: y1=(u-2*v)%64; if (y1<0) y1+=64;
    5809           0 :           return (y1==3) || (y1==19) ? 1 : -1;
    5810           0 :         case 2: return kross(2*kross(-1,u),v);
    5811           0 :         case 3: return -kross(-1,u)*kross(-2*kross(-1,u),u*v);
    5812           0 :         case 4: return v6==11 ? kross(-2,x1) : -kross(-2,u);
    5813             :       }
    5814             :     case -5:
    5815          21 :       if (n2==1) return x1%32==23 ? 1 : -1;
    5816           0 :       else return -kross(2,2*u+v);
    5817           7 :     case -6:
    5818             :       switch(n2)
    5819             :       {
    5820           0 :         case 1: return 1;
    5821           7 :         case 2: return v6==10 ? 1 : -1;
    5822           0 :         case 3: return (u%16==11) || ((u+4*v)%16==3) ? 1 : -1;
    5823             :       }
    5824             :     case -7:
    5825           0 :       if (n2==1) return 1;
    5826             :       else
    5827             :       {
    5828           0 :         y1 = (u + (v << (v6-8))) & 15;
    5829           0 :         if (v6==10) return (y1==9 || y1==13) ? 1 : -1;
    5830           0 :         else return (y1==9 || y1==5) ? 1 : -1;
    5831             :       }
    5832           0 :     case -8: return n2==2 ? kross(-1,v*D1) : -1;
    5833           0 :     case -9: return n2==2 ? -kross(-1,D1) : -1;
    5834          91 :     default: return -1;
    5835             :   }
    5836             : }
    5837             : 
    5838             : static long
    5839         287 : ellrootno_3(GEN e)
    5840             : {
    5841             :   long n2, kod, u, v, D1, r6, K4, K6, vD, v4, v6;
    5842         287 :   long d = get_vp_u_small(e, 3, &v6, &vD);
    5843             : 
    5844         287 :   if (!vD) return 1;
    5845         287 :   if (d) { /* not minimal */
    5846             :     ellmin_t M;
    5847           0 :     min_set_3(&M, e, d);
    5848           0 :     min_set_a(&M);
    5849           0 :     min_set_D(&M, e);
    5850           0 :     e = min_to_ell(&M, e);
    5851             :   }
    5852         287 :   val_init(e, 3,81, &v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
    5853         287 :   kod = kod_23(e,3);
    5854         287 :   K6 = kross(v,3); if (kod>4) return K6;
    5855         168 :   n2 = neron_3(v4,v6,vD,kod);
    5856         168 :   r6 = v%9; K4 = kross(u,3);
    5857         168 :   switch(kod)
    5858             :   {
    5859          28 :     case 1: case 3: case -3: return 1;
    5860           0 :     case 2:
    5861             :       switch(n2)
    5862             :       {
    5863           0 :         case 1: return (r6==4 || r6>6) ? 1 : -1;
    5864           0 :         case 2: return -K4*K6;
    5865           0 :         case 3: return 1;
    5866           0 :         case 4: return -K6;
    5867             :       }
    5868             :     case 4:
    5869             :       switch(n2)
    5870             :       {
    5871           7 :         case 1: return K6*kross(D1,3);
    5872           0 :         case 2: return -K4;
    5873           0 :         case 3: return -K6;
    5874             :       }
    5875           7 :     case -2: return n2==2 ? 1 : K6;
    5876          49 :     case -4:
    5877             :       switch(n2)
    5878             :       {
    5879          42 :         case 1:
    5880          42 :           if (v4==4) return (r6==4 || r6==8) ? 1 : -1;
    5881          42 :           else return (r6==1 || r6==2) ? 1 : -1;
    5882           7 :         case 2: return -K6;
    5883           0 :         case 3: return (r6==2 || r6==7) ? 1 : -1;
    5884           0 :         case 4: return K6;
    5885             :       }
    5886          77 :     default: return -1;
    5887             :   }
    5888             : }
    5889             : 
    5890             : /* p > 3. Don't assume that e is minimal or even integral at p */
    5891             : static long
    5892        1393 : ellrootno_p(GEN e, GEN p)
    5893             : {
    5894             :   long nuj, nuD, nu;
    5895        1393 :   GEN D = ell_get_disc(e);
    5896             :   long ep, z;
    5897             : 
    5898        1393 :   nuD = Q_pval(D, p);
    5899        1393 :   if (!nuD) return 1;
    5900        1393 :   nuj = j_pval(e, p);
    5901        1393 :   nu = (nuD - nuj) % 12;
    5902        1393 :   if (nu == 0)
    5903             :   {
    5904             :     GEN c6;
    5905             :     long d, vg;
    5906        1176 :     if (!nuj) return 1; /* good reduction */
    5907             :    /* p || N */
    5908        1176 :     c6 = ell_get_c6(e); /* != 0 */
    5909        1176 :     vg = minss(2*Q_pval(c6, p), nuD);
    5910        1176 :     d = vg / 12;
    5911        1176 :     if (d)
    5912             :     {
    5913           7 :       GEN q = powiu(p,6*d);
    5914           7 :       c6 = (typ(c6) == t_INT)? diviiexact(c6, q): gdiv(c6, q);
    5915             :     }
    5916        1176 :     if (typ(c6) != t_INT) c6 = Rg_to_Fp(c6,p);
    5917             :     /* c6 in minimal model */
    5918        1176 :     return -kronecker(negi(c6), p);
    5919             :   }
    5920         217 :   if (nuj) return krosi(-1,p);
    5921         189 :   ep = 12 / ugcd(12, nu);
    5922         189 :   if (ep==4) z = 2; else z = odd(ep)? 3: 1;
    5923         189 :   return krosi(-z, p);
    5924             : }
    5925             : 
    5926             : static GEN
    5927        1120 : doellrootno(GEN e)
    5928             : {
    5929        1120 :   GEN V, P, S = ellglobalred_i(e);
    5930        1120 :   long i, l, s = -1;
    5931             : 
    5932        1120 :   V = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
    5933        1120 :   if (lg(V) != 2) e = gel(V,3);
    5934        1120 :   P = gmael(S,3,1); l = lg(P);
    5935        1120 :   V = cgetg(l, t_VECSMALL);
    5936        3171 :   for (i = 1; i < l; i++)
    5937             :   {
    5938        2051 :     GEN p = gel(P,i);
    5939             :     long t;
    5940        2051 :     switch(itou_or_0(p))
    5941             :     {
    5942         378 :       case 2: t = ellrootno_2(e); break;
    5943         287 :       case 3: t = ellrootno_3(e); break;
    5944        1386 :       default:t = ellrootno_p(e, p);
    5945             :     }
    5946        2051 :     V[i] = t; if (t < 0) s = -s;
    5947             :   }
    5948        1120 :   return mkvec2(stoi(s), V);
    5949             : }
    5950             : 
    5951             : /* local epsilon factor at p (over Q), including p=0 for the infinite place.
    5952             :  * Global if p==1 or NULL. */
    5953             : static long
    5954          91 : ellQ_rootno(GEN e, GEN p)
    5955             : {
    5956          91 :   pari_sp av = avma;
    5957             :   GEN S;
    5958             :   long s;
    5959          91 :   if (!p || isint1(p)) return ellrootno_global(e);
    5960          77 :   if (!signe(p)) return -1; /* local factor at infinity */
    5961          77 :   if ( (S = obj_check(e, Q_ROOTNO)) )
    5962             :   {
    5963          49 :     GEN T = obj_check(e, Q_GLOBALRED), NP = gmael(T,3,1);
    5964          49 :     long i = ZV_search(NP, p);
    5965          49 :     if (i) { GEN V = gel(S,2); return V[i]; }
    5966           0 :     return 1;
    5967             :   }
    5968          28 :   switch(itou_or_0(p))
    5969             :   {
    5970          21 :     case 2:
    5971          21 :       e = ellintegralmodel_i(e, NULL);
    5972          21 :       s = ellrootno_2(e); break;
    5973           0 :     case 3:
    5974           0 :       e = ellintegralmodel_i(e, NULL);
    5975           0 :       s = ellrootno_3(e); break;
    5976           7 :     default:
    5977           7 :       s = ellrootno_p(e,p); break;
    5978             :   }
    5979          28 :   return gc_long(av, s);
    5980             : }
    5981             : 
    5982             : /* global root number over number field
    5983             :  * Root numbers and parity of ranks of elliptic curves, Tim and Vladimir Dokchitser
    5984             :  * https://arxiv.org/abs/0906.1815
    5985             :  */
    5986             : 
    5987             : static GEN
    5988         343 : ellrnfup(GEN rnf, GEN E, long prec)
    5989             : {
    5990             :   long i;
    5991         343 :   GEN Eb = cgetg(6, t_VEC);
    5992        2058 :   for(i=1; i<=5; i++)
    5993        1715 :     gel(Eb, i) = rnfeltup(rnf,gel(E, i));
    5994         343 :   return ellinit_nf(Eb, rnf_build_nfabs(rnf, prec));
    5995             : }
    5996             : 
    5997             : static GEN
    5998         273 : ellnf2isog(GEN E, GEN z)
    5999             : {
    6000         273 :   long v = fetch_var_higher();
    6001         273 :   GEN S = deg1pol(gen_1, gneg(z), v);
    6002         273 :   GEN E2 = ellisogeny(E, S, 1, -1, -1);
    6003         273 :   delete_var();
    6004         273 :   return ellinit_nf(E2, ellnf_get_nf(E));
    6005             : }
    6006             : 
    6007             : static GEN
    6008         231 : ellnf_reladelicvolume(GEN E, GEN P, GEN z, long prec)
    6009             : {
    6010         231 :   pari_sp av = avma;
    6011         231 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    6012         231 :   GEN rnf = rnfinit0(nf, P, 1);
    6013         231 :   GEN Et = ellrnfup(rnf, E, prec);
    6014         231 :   GEN E2 = ellnf2isog(Et, rnfeltreltoabs(rnf, z));
    6015         231 :   GEN c1 = ellnf_adelicvolume(Et, prec), c2 = ellnf_adelicvolume(E2, prec);
    6016         231 :   obj_free(rnf); obj_free(Et); obj_free(E2);
    6017         231 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(c1,c2));
    6018             : }
    6019             : 
    6020             : static long
    6021         273 : rootnovalp(GEN z, ulong p, long prec)
    6022         273 : { return mpodd(ground(gdiv(glog(z, prec), glog(utoi(p),prec)))); }
    6023             : 
    6024             : static long
    6025         161 : ellnf_rootno_global(GEN E)
    6026             : {
    6027         161 :   pari_sp av = avma;
    6028         161 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    6029         161 :   long prec = nf_get_prec(nf);
    6030         161 :   long v, var = fetch_var_higher();
    6031             :   GEN F;
    6032         161 :   E = ellintegralmodel_i(E, NULL);
    6033         161 :   F = nfroots(nf, ec_bmodel(E, var));
    6034         161 :   if (lg(F)>1)
    6035             :   {
    6036          42 :     GEN Et = ellnf2isog(E, gel(F,1));
    6037          42 :     GEN cK = ellnf_adelicvolume(E, prec), cKt = ellnf_adelicvolume(Et, prec);
    6038          42 :     obj_free(Et);
    6039          42 :     v = rootnovalp(divrr(cK,cKt), 2, prec);
    6040             :   } else
    6041             :   {
    6042         119 :     GEN D = deg2pol_shallow(gen_1, gen_0, gneg(ell_get_disc(E)), var);
    6043         119 :     GEN P = RgX_divs(RgX_rescale(ec_bmodel(E, var), utoi(4)), 4);
    6044         119 :     GEN c = ellnf_reladelicvolume(E, P, gmul2n(pol_x(var),-2), prec);
    6045         119 :     GEN cL = gel(c,1), cLt = gel(c,2);
    6046         119 :     GEN F = nfroots(nf, D);
    6047         119 :     if (lg(F)>1)
    6048           7 :       v = rootnovalp(divrr(cL,cLt), 2, prec);
    6049             :     else
    6050             :     {
    6051         112 :       GEN cK = ellnf_adelicvolume(E, prec);
    6052         112 :       GEN cp = nfcompositum(nf, P, D, 3);
    6053         112 :       GEN cc = ellnf_reladelicvolume(E, gel(cp,1), gmul2n(gel(cp,2),-2), prec);
    6054         112 :       GEN cF = gel(cc,1), cFt = gel(cc,2);
    6055         112 :       GEN rnf = rnfinit0(nf,D,1);
    6056         112 :       GEN Et = ellrnfup(rnf, E, prec);
    6057         112 :       GEN cKv = ellnf_adelicvolume(Et, prec);
    6058         112 :       long v2 = rootnovalp(divrr(gmul(cL,cF),gmul(cLt,cFt)), 2, prec);
    6059         112 :       long v3 = rootnovalp(divrr(gmul(cF,gsqr(cK)),gmul(cKv,gsqr(cL))), 3, prec);
    6060         112 :       obj_free(rnf); obj_free(Et);
    6061         112 :       v = odd(v2+v3);
    6062             :     }
    6063             :   }
    6064         161 :   delete_var();
    6065         161 :   return gc_long(av, v? -1: 1);
    6066             : }
    6067             : 
    6068             : static GEN
    6069         161 : doellnfrootno(GEN e)
    6070         161 : { return stoi(ellnf_rootno_global(e)); }
    6071             : 
    6072             : long
    6073        2443 : ellrootno_global(GEN e)
    6074             : {
    6075        2443 :   pari_sp av = avma;
    6076             :   GEN S;
    6077        2443 :   switch(ell_get_type(e))
    6078             :   {
    6079        2128 :     case t_ELL_Q:
    6080        2128 :       S = gel(obj_checkbuild(e, Q_ROOTNO, &doellrootno),1);
    6081        2128 :       break;
    6082         315 :     case t_ELL_NF:
    6083         315 :       S = obj_checkbuild(e, NF_ROOTNO, &doellnfrootno);
    6084         315 :       break;
    6085           0 :     default:
    6086             :       pari_err_TYPE("ellrootno", e); return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6087             :   }
    6088        2443 :   return gc_long(av, itos(S));
    6089             : }
    6090             : 
    6091             : long
    6092         203 : ellrootno(GEN e, GEN p)
    6093             : {
    6094         203 :   checkell(e);
    6095         203 :   if (p && typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("ellrootno", p);
    6096         203 :   if (p && signe(p) < 0) pari_err_PRIME("ellrootno",p);
    6097         203 :   switch(ell_get_type(e))
    6098             :   {
    6099          91 :     case t_ELL_Q:
    6100          91 :       return ellQ_rootno(e, p);
    6101           0 :     default: pari_err_TYPE("ellrootno", e);
    6102         112 :     case t_ELL_NF:
    6103         112 :       if (p) pari_err_IMPL("local root number for number fields");
    6104         112 :       return ellrootno_global(e);
    6105             :   }
    6106             : }
    6107             : 
    6108             : /********************************************************************/
    6109             : /**                                                                **/
    6110             : /**                       TRACE OF FROBENIUS                       **/
    6111             : /**                                                                **/
    6112             : /********************************************************************/
    6113             : 
    6114             : /* assume p does not divide disc E */
    6115             : long
    6116      876708 : ellap_CM_fast(GEN E, ulong p, long CM)
    6117             : {
    6118             :   ulong a4, a6;
    6119      876708 :   if (p == 2) return 3 - cardmod2(E);
    6120      875049 :   if (p == 3) return 4 - cardmod3(E);
    6121      872501 :   Fl_ell_to_a4a6(E, p, &a4, &a6);
    6122      872501 :   return Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
    6123             : }
    6124             : 
    6125             : static void
    6126         693 : checkell_int(GEN e)
    6127             : {
    6128         693 :   checkell_Q(e);
    6129         693 :   if (typ(ell_get_a1(e)) != t_INT ||
    6130         693 :       typ(ell_get_a2(e)) != t_INT ||
    6131         693 :       typ(ell_get_a3(e)) != t_INT ||
    6132         693 :       typ(ell_get_a4(e)) != t_INT ||
    6133         693 :       typ(ell_get_a6(e)) != t_INT) pari_err_TYPE("ellanQ [not an integral model]",e);
    6134         693 : }
    6135             : 
    6136             : long
    6137       13942 : ellQ_get_CM(GEN e)
    6138             : {
    6139       13942 :   GEN j = ell_get_j(e);
    6140       13942 :   if (typ(j) != t_INT) return 0;
    6141         792 :   if (is_bigint(j))
    6142             :   {
    6143             : #ifndef LONG_IS_64BIT
    6144           4 :     if (signe(j) < 0)
    6145             :     {
    6146           4 :       pari_sp av = avma;
    6147           4 :       if (absequalii(j, uu32toi(0x22UL,0x45ae8000UL))) return gc_long(av,-67);
    6148           2 :       if (absequalii(j, uu32toi(0x03a4b862,0xc4b40000UL))) return gc_long(av,-163);
    6149             :     }
    6150             : #endif
    6151           0 :     return 0;
    6152             :   }
    6153         788 :   switch(signe(j))
    6154             :   {
    6155         288 :     default: return -3; /* j = 0 */
    6156         315 :     case 1:
    6157         315 :       switch(j[2])
    6158             :       {
    6159         182 :       case 1728: return -4;
    6160          28 :       case 8000: return -8;
    6161          28 :       case 54000: return -12;
    6162          28 :       case 287496: return -16;
    6163          28 :       case 16581375: return -28;
    6164          21 :       default: return 0;
    6165             :       }
    6166         185 :     case -1:
    6167         185 :       switch(j[2]) {
    6168          28 :       case 3375: return -7;
    6169          28 :       case 32768: return -11;
    6170          14 :       case 884736: return -19;
    6171          35 :       case 12288000: return -27;
    6172          14 :       case 884736000: return -43;
    6173             : #ifdef LONG_IS_64BIT
    6174          12 :       case 147197952000L: return -67;
    6175          12 :       case 262537412640768000L: return -163;
    6176             : #endif
    6177          42 :       default: return 0;
    6178             :     }
    6179             :   }
    6180             : }
    6181             : 
    6182             : static long
    6183          56 : ellnf_get_CM(GEN E)
    6184             : {
    6185          56 :   long av = avma;
    6186          56 :   GEN j = ell_get_j(E), nf = ellnf_get_nf(E);
    6187          56 :   GEN P = minpoly(basistoalg(nf, j), 0);
    6188          56 :   return gc_long(av, polisclass(P));
    6189             : }
    6190             : 
    6191             : long
    6192         154 : elliscm(GEN E)
    6193             : {
    6194         154 :   checkell(E);
    6195         154 :   switch(ell_get_type(E))
    6196             :   {
    6197          98 :     case t_ELL_Q:  return ellQ_get_CM(E);
    6198          56 :     case t_ELL_NF: return ellnf_get_CM(E);
    6199           0 :     default: pari_err_TYPE("elliscm", E);
    6200             :              return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6201             :   }
    6202             : }
    6203             : 
    6204             : /* E/Q or Qp, return cardinality including the (possible) ramified point */
    6205             : static GEN
    6206     2419285 : ellcard_ram(GEN E, GEN p, int *good_red)
    6207             : {
    6208     2419285 :   GEN a4, a6, D = Rg_to_Fp(ell_get_disc(E), p);
    6209     2419245 :   if (!signe(D))
    6210             :   {
    6211       97986 :     pari_sp av = avma;
    6212       97986 :     GEN ap = ellQap(E, p, good_red);
    6213       97986 :     return gerepileuptoint(av, subii(addiu(p,1), ap));
    6214             :   }
    6215     2321259 :   *good_red = 1;
    6216     2321259 :   if (absequaliu(p,2)) return utoi(cardmod2(E));
    6217     2320383 :   if (absequaliu(p,3)) return utoi(cardmod3(E));
    6218     2319444 :   ell_to_a4a6(E,p,&a4,&a6);
    6219     2319291 :   return Fp_ellcard(a4, a6, p);
    6220             : }
    6221             : 
    6222             : 
    6223             : /* bad reduction at p */
    6224             : static void
    6225        3801 : sievep_bad(ulong p, GEN an, ulong n)
    6226             : {
    6227             :   ulong m, N;
    6228        3801 :   switch (an[p]) /* (-c6/p) */
    6229             :   {
    6230        1078 :     case -1: /* nonsplit */
    6231        1078 :       N = n/p;
    6232      461174 :       for (m=2; m<=N; m++)
    6233      460096 :         if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = -an[m];
    6234        1078 :       break;
    6235        1358 :     case 0: /* additive */
    6236     7561757 :       for (m=2*p; m<=n; m+=p) an[m] = 0;
    6237        1358 :       break;
    6238        1365 :     case 1: /* split */
    6239        1365 :       N = n/p;
    6240      161532 :       for (m=2; m<=N; m++)
    6241      160167 :         if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = an[m];
    6242        1365 :       break;
    6243             :   }
    6244        3801 : }
    6245             : /* good reduction at p */
    6246             : static void
    6247      853321 : sievep_good(ulong p, GEN an, ulong n, ulong SQRTn)
    6248             : {
    6249      853321 :   const long ap = an[p];
    6250             :   ulong m;
    6251      853321 :   if (p <= SQRTn) {
    6252       15463 :     ulong pk, oldpk = 1;
    6253       61383 :     for (pk=p; pk <= n; oldpk=pk, pk *= p)
    6254             :     {
    6255       45920 :       if (pk != p) an[pk] = ap * an[oldpk] - p * an[oldpk/p];
    6256    11045272 :       for (m = n/pk; m > 1; m--)
    6257    10999352 :         if (an[m] != LONG_MAX && m%p) an[m*pk] = an[m] * an[pk];
    6258             :     }
    6259             :   } else {
    6260     5562256 :     for (m = n/p; m > 1; m--)
    6261     4724398 :       if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = ap * an[m];
    6262             :   }
    6263      853321 : }
    6264             : static void
    6265      857122 : sievep(ulong p, GEN an, ulong n, ulong SQRTn, int good_red)
    6266             : {
    6267      857122 :   if (good_red)
    6268      853321 :     sievep_good(p, an, n, SQRTn);
    6269             :   else
    6270        3801 :     sievep_bad(p, an, n);
    6271      857122 : }
    6272             : 
    6273             : static long
    6274      857122 : ellan_get_ap(ulong p, int *good_red, int CM, GEN e)
    6275             : {
    6276      857122 :   if (!umodiu(ell_get_disc(e),p)) /* p|D, bad reduction or nonminimal model */
    6277        3857 :     return ellQap_u(e, p, good_red);
    6278             :   else /* good reduction */
    6279             :   {
    6280      853265 :     *good_red = 1;
    6281      853265 :     return ellap_CM_fast(e, p, CM);
    6282             :   }
    6283             : }
    6284             : GEN
    6285        2415 : ellanQ_zv(GEN e, long n0)
    6286             : {
    6287             :   pari_sp av;
    6288        2415 :   ulong p, SQRTn, n = (ulong)n0;
    6289             :   GEN an;
    6290             :   int CM;
    6291             : 
    6292        2415 :   if (n0 <= 0) return cgetg(1,t_VEC);
    6293        2415 :   if (n >= LGBITS)
    6294           0 :     pari_err_IMPL( stack_sprintf("ellan for n >= %lu", LGBITS) );
    6295        2415 :   e = ellintegralmodel_i(e,NULL);
    6296        2415 :   SQRTn = usqrt(n);
    6297        2415 :   CM = ellQ_get_CM(e);
    6298             : 
    6299        2415 :   an = const_vecsmall(n, LONG_MAX);
    6300        2415 :   an[1] = 1; av = avma;
    6301     8701105 :   for (p=2; p<=n; p++)
    6302             :   {
    6303             :     int good_red;
    6304     8698690 :     if (an[p] != LONG_MAX) continue; /* p not prime */
    6305      857122 :     an[p] = ellan_get_ap(p, &good_red, CM, e);
    6306      857122 :     sievep(p, an, n, SQRTn, good_red);
    6307             :   }
    6308        2415 :   set_avma(av); return an;
    6309             : }
    6310             : 
    6311             : static GEN
    6312          56 : ellQ_eulerf(GEN e, GEN p)
    6313             : {
    6314             :   int good_red;
    6315          56 :   GEN card = ellcard_ram(e, p, &good_red);
    6316          56 :   GEN ap = subii(addiu(p, 1), card);
    6317          56 :   if (good_red)
    6318          56 :     return mkrfrac(gen_1,deg2pol_shallow(p, gneg(ap), gen_1, 0));
    6319           0 :   if (!signe(ap)) return pol_1(0);
    6320           0 :   return mkrfrac(gen_1,deg1pol_shallow(negi(ap), gen_1,0));
    6321             : }
    6322             : 
    6323             : static GEN
    6324         329 : ellanQ(GEN e, long N)
    6325         329 : { return vecsmall_to_vec_inplace(ellanQ_zv(e,N)); }
    6326             : 
    6327             : static GEN
    6328       83777 : ellnflocal(GEN E, GEN p, long n)
    6329             : {
    6330       83777 :   pari_sp av = avma;
    6331       83777 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    6332       83777 :   GEN LP = idealprimedec_limit_f(nf, p, n ? n-1: nf_get_degree(nf)), T = NULL;
    6333       83782 :   long l = lg(LP), i;
    6334      167550 :   for (i = 1; i < l; i++)
    6335             :   {
    6336             :     int goodred;
    6337       83760 :     GEN P = gel(LP,i), T2;
    6338       83760 :     GEN ap = ellnfap(E, P, &goodred);
    6339       83726 :     long f = pr_get_f(P);
    6340       83724 :     if (goodred)
    6341       83542 :       T2 = mkpoln(3, pr_norm(P), negi(ap), gen_1);
    6342             :     else
    6343             :     {
    6344         182 :       if (!signe(ap)) continue;
    6345         168 :       T2 = deg1pol_shallow(negi(ap), gen_1, 0);
    6346             :     }
    6347       83743 :     if (f > 1) T2 = RgX_inflate(T2, f);
    6348       83752 :     T = T? ZX_mul(T, T2): T2;
    6349             :   }
    6350       83790 :   if (!T) { set_avma(av); return pol_1(0); }
    6351       46366 :   if (n==0) return gerepilecopy(av, mkrfrac(gen_1,T));
    6352       46352 :   return gerepileupto(av, RgXn_inv_i(T, n));
    6353             : }
    6354             : 
    6355             : GEN
    6356        4960 : direllnf_worker(GEN P, ulong X, GEN E)
    6357             : {
    6358        4960 :   pari_sp av = avma;
    6359        4960 :   long i, l = lg(P);
    6360        4960 :   GEN W = cgetg(l, t_VEC);
    6361       88725 :   for(i = 1; i < l; i++)
    6362             :   {
    6363       83762 :     ulong p = uel(P,i);
    6364       83762 :     long d = ulogint(X, p) + 1; /* minimal d such that p^d > X */
    6365       83760 :     gel(W,i) = ellnflocal(E, utoi(uel(P,i)), d);
    6366             :   }
    6367        4963 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(P,W));
    6368             : }
    6369             : 
    6370             : static GEN
    6371         203 : ellnfan(GEN E, long N)
    6372             : {
    6373         203 :   GEN worker = snm_closure(is_entry("_direllnf_worker"), mkvec(E));
    6374         203 :   return pardireuler(worker, gen_2, stoi(N), NULL, NULL);
    6375             : }
    6376             : 
    6377             : GEN
    6378          70 : elleulerf(GEN E, GEN p)
    6379             : {
    6380          70 :   checkell(E);
    6381          70 :   switch(ell_get_type(E))
    6382             :   {
    6383          56 :     case t_ELL_Q: return ellQ_eulerf(E, p);
    6384          14 :     case t_ELL_NF: return ellnflocal(E, p, 0);
    6385           0 :     default:
    6386           0 :       pari_err_TYPE("elleulerf",E);
    6387             :       return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6388             :   }
    6389             : }
    6390             : 
    6391             : GEN
    6392         525 : ellan(GEN E, long N)
    6393             : {
    6394         525 :   checkell(E);
    6395         525 :   switch(ell_get_type(E))
    6396             :   {
    6397         322 :     case t_ELL_Q: return ellanQ(E, N);
    6398         203 :     case t_ELL_NF: return ellnfan(E, N);
    6399           0 :     default:
    6400           0 :       pari_err_TYPE("ellan",E);
    6401             :       return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6402             :   }
    6403             : }
    6404             : 
    6405             : static GEN
    6406         735 : apk_good(GEN ap, GEN p, long e)
    6407             : {
    6408             :   GEN u, v, w;
    6409             :   long j;
    6410         735 :   if (e == 1) return ap;
    6411         112 :   u = ap;
    6412         112 :   w = subii(sqri(ap), p);
    6413         126 :   for (j=3; j<=e; j++)
    6414             :   {
    6415          14 :     v = u; u = w;
    6416          14 :     w = subii(mulii(ap,u), mulii(p,v));
    6417             :   }
    6418         112 :   return w;
    6419             : }
    6420             : 
    6421             : GEN
    6422         693 : akell(GEN e, GEN n)
    6423             : {
    6424             :   long i, j, s;
    6425         693 :   pari_sp av = avma;
    6426             :   GEN fa, P, E, D, u, y;
    6427             : 
    6428         693 :   checkell_int(e);
    6429         693 :   if (typ(n) != t_INT) pari_err_TYPE("akell",n);
    6430         693 :   if (signe(n)<= 0) return gen_0;
    6431         693 :   if (gequal1(n)) return gen_1;
    6432         693 :   D = ell_get_disc(e);
    6433         693 :   u = Z_ppo(n, D);
    6434         693 :   y = gen_1;
    6435         693 :   s = 1;
    6436         693 :   if (!equalii(u, n))
    6437             :   { /* bad reduction at primes dividing n/u */
    6438         441 :     fa = Z_factor(diviiexact(n, u));
    6439         441 :     P = gel(fa,1);
    6440         441 :     E = gel(fa,2);
    6441        1022 :     for (i=1; i<lg(P); i++)
    6442             :     {
    6443         581 :       GEN p = gel(P,i);
    6444         581 :       long ex = itos(gel(E,i));
    6445             :       int good_red;
    6446         581 :       GEN ap = ellQap(e,p,&good_red);
    6447         581 :       if (good_red) { y = mulii(y, apk_good(ap, p, ex)); continue; }
    6448         350 :       j = signe(ap);
    6449         350 :       if (!j) { set_avma(av); return gen_0; }
    6450         350 :       if (odd(ex) && j < 0) s = -s;
    6451             :     }
    6452             :   }
    6453         693 :   if (s < 0) y = negi(y);
    6454         693 :   fa = Z_factor(u);
    6455         693 :   P = gel(fa,1);
    6456         693 :   E = gel(fa,2);
    6457        1197 :   for (i=1; i<lg(P); i++)
    6458             :   { /* good reduction */
    6459         504 :     GEN p = gel(P,i);
    6460         504 :     GEN ap = ellap(e,p);
    6461         504 :     y = mulii(y, apk_good(ap, p, itos(gel(E,i))));
    6462             :   }
    6463         693 :   return gerepileuptoint(av,y);
    6464             : }
    6465             : 
    6466             : GEN
    6467        3773 : ellQ_get_N(GEN e)
    6468        3773 : { GEN v = ellglobalred_i(e); return gel(v,1); }
    6469             : void
    6470         917 : ellQ_get_Nfa(GEN e, GEN *N, GEN *faN)
    6471         917 : { GEN v = ellglobalred_i(e); *N = gel(v,1); *faN = gel(v,3); }
    6472             : 
    6473             : GEN
    6474          14 : elllseries(GEN e, GEN s, GEN A, long prec)
    6475             : {
    6476          14 :   pari_sp av = avma, av1;
    6477             :   ulong l, n;
    6478             :   long eps, flun;
    6479             :   GEN z, cg, v, cga, cgb, s2, K, gs, N;
    6480             : 
    6481          14 :   if (!A) A = gen_1;
    6482             :   else
    6483             :   {
    6484           7 :     if (gsigne(A)<=0)
    6485           0 :       pari_err_DOMAIN("elllseries", "cut-off point", "<=", gen_0,A);
    6486           7 :     if (gcmpgs(A,1) < 0) A = ginv(A);
    6487             :   }
    6488          14 :   if (isint(s, &s) && signe(s) <= 0) { set_avma(av); return gen_0; }
    6489          14 :   flun = gequal1(A) && gequal1(s);
    6490          14 :   checkell_Q(e);
    6491          14 :   e = ellanal_globalred(e, NULL);
    6492          14 :   N = ellQ_get_N(e);
    6493          14 :   eps = ellrootno_global(e);
    6494          14 :   if (flun && eps < 0) { set_avma(av); return real_0(prec); }
    6495             : 
    6496          14 :   gs = ggamma(s, prec);
    6497          14 :   cg = divrr(Pi2n(1, prec), gsqrt(N,prec));
    6498          14 :   cga = gmul(cg, A);
    6499          14 :   cgb = gdiv(cg, A);
    6500          14 :   l = (ulong)((prec2nbits_mul(prec, M_LN2) +
    6501          14 :               fabs(gtodouble(real_i(s))-1.) * log(rtodbl(cga)))
    6502          14 :             / rtodbl(cgb) + 1);
    6503          14 :   if ((long)l < 1) l = 1;
    6504          14 :   v = ellanQ_zv(e, minss(l,LGBITS-1));
    6505          14 :   s2 = K = NULL; /* gcc -Wall */
    6506          14 :   if (!flun) { s2 = gsubsg(2,s); K = gpow(cg, gsubgs(gmul2n(s,1),2),prec); }
    6507          14 :   z = gen_0;
    6508          14 :   av1 = avma;
    6509        1344 :   for (n = 1; n <= l; n++)
    6510             :   {
    6511        1330 :     GEN p1, an, gn = utoipos(n), ns;
    6512        1330 :     an = ((ulong)n<LGBITS)? stoi(v[n]): akell(e,gn);
    6513        1330 :     if (!signe(an)) continue;
    6514             : 
    6515        1106 :     ns = gpow(gn,s,prec);
    6516        1106 :     p1 = gdiv(incgam0(s,mulur(n,cga),gs,prec), ns);
    6517        1106 :     if (flun)
    6518           0 :       p1 = gmul2n(p1, 1);
    6519             :     else
    6520             :     {
    6521        1106 :       GEN p2 = gdiv(gmul(gmul(K,ns), incgam(s2,mulur(n,cgb),prec)), sqru(n));
    6522        1106 :       if (eps < 0) p2 = gneg_i(p2);
    6523        1106 :       p1 = gadd(p1, p2);
    6524             :     }
    6525        1106 :     z = gadd(z, gmul(p1, an));
    6526        1106 :     if (gc_needed(av1,1))
    6527             :     {
    6528           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"lseriesell");
    6529           0 :       z = gerepilecopy(av1,z);
    6530             :     }
    6531             :   }
    6532          14 :   return gerepileupto(av, gdiv(z,gs));
    6533             : }
    6534             : 
    6535             : /********************************************************************/
    6536             : /**                                                                **/
    6537             : /**                       CANONICAL HEIGHT                         **/
    6538             : /**                                                                **/
    6539             : /********************************************************************/
    6540             : 
    6541             : static GEN
    6542          56 : ellnf_volume(GEN e, long prec)
    6543             : {
    6544          56 :   GEN V = ellnf_vecarea(e,prec);
    6545          56 :   long i, r1 = nf_get_r1(ellnf_get_nf(e)), l = lg(V);
    6546          56 :   GEN r = gen_1;
    6547         133 :   for(i=1; i <= r1; i++) r = gmul(r, gel(V,i));
    6548          63 :   for(   ; i < l  ; i++) r = gmul(r, gsqr(gel(V,i)));
    6549          56 :   return r;
    6550             : }
    6551             : 
    6552             : /* The function follows
    6553             : <https://publications.ias.edu/sites/default/files/Number52.pdf>
    6554             : <https://resnumtheor.springeropen.com/track/pdf/10.1007/s40993-017-0077-7>
    6555             : */
    6556             : 
    6557             : static GEN
    6558          70 : ellheightfaltings(GEN e, long prec)
    6559             : {
    6560             :   GEN h;
    6561             :   long d;
    6562          70 :   pari_sp av = avma;
    6563          70 :   checkell(e);
    6564          70 :   switch(ell_get_type(e))
    6565             :   {
    6566          14 :     case t_ELL_Q:
    6567          14 :       d = 1; e = ellintegralmodel_i(e,NULL);
    6568          14 :       h = gmul(gsqr(ellQ_minimalu(e,NULL)), ellR_area(e, prec));
    6569          14 :       break;
    6570          56 :     case t_ELL_NF:
    6571          56 :       d = nf_get_degree(ellnf_get_nf(e));
    6572          56 :       h = gmul(gsqr(ellnf_minimalnormu(e)), ellnf_volume(e, prec));
    6573          56 :       break;
    6574           0 :     default:
    6575           0 :       pari_err_TYPE("ellheight", e);
    6576             :       return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6577             :   }
    6578          70 :   return gerepileupto(av, gdivgs(logr_abs(h), -2*d));
    6579             : }
    6580             : 
    6581             : static GEN
    6582      157580 : Q_numer(GEN x) { return typ(x) == t_INT? x: gel(x,1); }
    6583             : 
    6584             : /* one root of X^2 - t X + c */
    6585             : static GEN
    6586       83056 : quad_root(GEN t, GEN c, long prec)
    6587             : {
    6588       83056 :   return gmul2n(gadd(t, gsqrt(gsub(gsqr(t), gmul2n(c,2)),prec)), -1);
    6589             : }
    6590             : 
    6591             : /* exp( h_oo(z) ), assume z on neutral component.
    6592             :  * If flag, return exp(4 h_oo(z)) instead */
    6593             : static GEN
    6594       83056 : exphellagm(GEN e, GEN z, int flag, long prec)
    6595             : {
    6596       83056 :   GEN x_a, ab, a, b, e1, r, V = cgetg(1, t_VEC), x = gel(z,1);
    6597       83056 :   long n, ex = 5-prec, p = prec+EXTRAPREC64;
    6598             : 
    6599       83056 :   if (typ(x) == t_REAL && realprec(x) < p) x = gprec_w(x, p);
    6600       83056 :   ab = ellR_ab(e, p);
    6601       83056 :   a = gel(ab, 1);
    6602       83056 :   b = gel(ab, 2);
    6603       83056 :   e1= gel(obj_check(e,R_ROOTS), 1); /* use maximal accuracy, don't truncate */
    6604       83056 :   x = gsub(x, e1);
    6605       83056 :   x = quad_root(gadd(x,b), gmul(a,x), prec);
    6606             : 
    6607       83056 :   x_a = gsub(x, a);
    6608       83056 :   if (gsigne(a) > 0) { GEN a0=a; x = gsub(x, b); a = gneg(b); b = gsub(a0, b); }
    6609       83056 :   a = gsqrt(gneg(a), prec);
    6610       83056 :   b = gsqrt(gneg(b), prec);
    6611             :   /* compute height on isogenous curve E1 ~ E0 */
    6612       83056 :   for(n=0;; n++)
    6613      442740 :   {
    6614      525796 :     GEN p1, p2, ab, a0 = a;
    6615      525796 :     a = gmul2n(gadd(a0,b), -1);
    6616      525796 :     r = gsub(a, a0);
    6617      525796 :     if (gequal0(r) || gexpo(r) < ex) break;
    6618      442740 :     ab = gmul(a0, b);
    6619      442740 :     b = gsqrt(ab, prec);
    6620             : 
    6621      442740 :     p1 = gmul2n(gsub(x, ab), -1);
    6622      442740 :     p2 = gsqr(a);
    6623      442740 :     x = gadd(p1, gsqrt(gadd(gsqr(p1), gmul(x, p2)), prec));
    6624      442740 :     V = shallowconcat(V, gadd(x, p2));
    6625             :   }
    6626       83056 :   if (n) {
    6627       83056 :     x = gel(V,n);
    6628      442740 :     while (--n > 0) x = gdiv(gsqr(x), gel(V,n));
    6629             :   } else
    6630           0 :     x = gadd(x, gsqr(a));
    6631             :   /* height on E1 is log(x)/2. Go back to E0 */
    6632       83056 :   return flag? gsqr(gdiv(gsqr(x), x_a)): gdiv(x, sqrtr(mpabs_shallow(x_a)));
    6633             : }
    6634             : /* is P \in E(R)^0, the neutral component ? */
    6635             : static int
    6636       83056 : ellR_on_neutral(GEN E, GEN P, long prec)
    6637             : {
    6638       83056 :   GEN x = gel(P,1), e1 = ellR_root(E, prec);
    6639       83056 :   return gcmp(x, e1) >= 0;
    6640             : }
    6641             : 
    6642             : /* hoo + 1/2 log(den(x)) */
    6643             : static GEN
    6644       83056 : hoo_aux(GEN E, GEN z, GEN d, long prec)
    6645             : {
    6646       83056 :   pari_sp av = avma;
    6647             :   GEN h;
    6648       83056 :   if (!ellR_on_neutral(E, z, prec))
    6649             :   {
    6650       27210 :     GEN eh = exphellagm(E, elladd(E, z,z), 0, prec);
    6651             :     /* h_oo(2P) = 4h_oo(P) - log |2y + a1x + a3| */
    6652       27210 :     h = gmul(eh, gabs(ec_dmFdy_evalQ(E, z), prec));
    6653             :   }
    6654             :   else
    6655       55846 :     h = exphellagm(E, z, 1, prec);
    6656       83056 :   if (!is_pm1(d)) h = gmul(h, sqri(d));
    6657       83056 :   return gerepileuptoleaf(av, gmul2n(mplog(h), -2));
    6658             : }
    6659             : GEN
    6660       30660 : ellheightoo(GEN E, GEN z, long prec) { return hoo_aux(E, z, gen_1, prec); }
    6661             : 
    6662             : /* Formula from Silverman GTM 151 Theorem 3.2 page 466 */
    6663             : static GEN
    6664       28728 : ellheight_C(GEN E, GEN P, long prec)
    6665             : {
    6666       28728 :   pari_sp av = avma;
    6667       28728 :   GEN z = zell(E, P, prec);
    6668       28728 :   GEN per = ellperiods(E, 1, prec);
    6669       28728 :   GEN w = gel(per,1), w1 = gel(w,1), w2 = gel(w, 2), w1c = conj_i(w1);
    6670       28728 :   GEN e = gel(per,2), e1 = gel(e,1), e2 = gel(e, 2);
    6671       28728 :   GEN D = gsub(gmul(w1, conj_i(w2)),gmul(w1c, w2));
    6672       28728 :   GEN b = gdiv(gsub(gmul(w1, conj_i(z)),gmul(w1c, z)), D);
    6673       28728 :   GEN a = gdiv(gsub(z, gmul(b, w2)), w1);
    6674       28728 :   GEN eta = gadd(gmul(a, e1), gmul(b, e2));
    6675       28728 :   GEN r = gmul2n(real_i(gmul(z, eta)), -1);
    6676       28728 :   GEN l = real_i(ellsigma(per, z, 1, prec));
    6677       28728 :   return gerepileupto(av, gsub(r, l));
    6678             : }
    6679             : 
    6680             : static GEN
    6681       20468 : _hell(GEN E, GEN p, long n, GEN P)
    6682       20468 : { return p? ellpadicheight(E,p,n, P): ellheight(E,P,n); }
    6683             : static GEN
    6684          35 : ellheightpairing(GEN E, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
    6685             : {
    6686          35 :   pari_sp av = avma;
    6687          35 :   GEN a = _hell(E,p,n, elladd(E,P,Q));
    6688          35 :   GEN b = _hell(E,p,n, ellsub(E,P,Q));
    6689          35 :   return gerepileupto(av, gmul2n(gsub(a,b), -2));
    6690             : }
    6691             : GEN
    6692       57659 : ellheight0(GEN e, GEN a, GEN b, long n)
    6693             : {
    6694       57659 :   if (!a)
    6695             :   {
    6696          77 :     if (b) pari_err(e_MISC, "cannot omit P and set Q");
    6697          70 :     return ellheightfaltings(e,n);
    6698             :   }
    6699       57582 :   return b? ellheightpairing(e,NULL,n, a,b): ellheight(e,a,n);
    6700             : }
    6701             : GEN
    6702          70 : ellpadicheight0(GEN e, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
    6703          70 : { return Q? ellheightpairing(e,p,n, P,Q): ellpadicheight(e,p,n, P); }
    6704             : 
    6705             : /* Based on J.H. Silverman, Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic
    6706             :  * Curves, GTM 151, chap VI, p 478, exercise 6.7
    6707             :  * Note that we use BSD normalization not Silverman's. */
    6708             : /* P an affine point on e */
    6709             : static GEN
    6710       85988 : ellnf_localheight(GEN e, GEN P, GEN pr)
    6711             : {
    6712             :   long v2, vD, vu, vP, vQ;
    6713       85988 :   GEN lr = nflocalred(e,pr), k = gel(lr, 2), urst = gel(lr, 3);
    6714       85988 :   GEN E = ellchangecurve(e, urst);
    6715       85988 :   GEN Q = ellchangepoint(P, urst), nf = ellnf_get_nf(e), v;
    6716             : 
    6717       85988 :   vP = minss(0, nfval(nf, gel(P,1), pr)); /* v_p(den(x_P)) */
    6718       85988 :   vQ = minss(0, nfval(nf, gel(Q,1), pr)); /* v_p(den(x_Q)) */
    6719       85988 :   v2 = nfval(nf, ec_dmFdy_evalQ(E, Q), pr);
    6720       85988 :   vD = nfval(nf, ell_get_disc(E), pr); /* >= 0 */
    6721       85988 :   vu = (vQ-vP) >> 1;
    6722       85988 :   if (v2 <= 0 || nfval(nf, ec_dFdx_evalQ(E, Q), pr) <= 0)
    6723       45605 :     v = gen_0;
    6724       40383 :   else if (cmpis(k,5) >= 0)
    6725             :   {
    6726       27503 :     GEN a = uutoQ(minss(2*v2,vD), 2*vD);
    6727       27503 :     v = gmul(gsub(gsqr(a),a), uutoQ(vD,2));
    6728             :   }
    6729             :   else
    6730             :   {
    6731       12880 :     long v3 = nfval(nf, ec_3divpol_evalx(E, gel(Q,1)), pr);
    6732       12880 :     v = (v2 < LONG_MAX && v3 >= 3*v2)? sstoQ(-v2,3): sstoQ(-v3,8);
    6733             :   }
    6734       85988 :   return gsubgs(v,vu);
    6735             : }
    6736             : 
    6737             : /* L list of prime ideals, merge with prime ideals dividing integral ideal A
    6738             :  * in HNF (use elements of L as hints, which may or may not divide A).
    6739             :  * Return sorted list, without duplicates */
    6740             : static GEN
    6741       28812 : prV_merge_factors(GEN nf, GEN L, GEN A)
    6742             : {
    6743       28812 :   if (lg(L) > 1)
    6744             :   {
    6745       20104 :     GEN LQ = prV_primes(L); /* rational primes */
    6746       20104 :     GEN p, e, N = Z_smoothen(gcoeff(A,1,1), LQ, &p, &e);
    6747       20104 :     L = shallowconcat(L, gel(idealfactor_partial(nf, A, LQ), 1));
    6748             :     /* L = primes in original L or dividing (A, vecprod(LQ)) */
    6749       20104 :     A = N? ZM_hnfmodid(A, N): NULL;
    6750             :   }
    6751             :   /* A made coprime to vecprod(LQ), add remaining primes if not trivial */
    6752       28812 :   if (A) L = shallowconcat(L, gel(idealfactor(nf, A), 1));
    6753       28812 :   return gen_sort_uniq(L, (void*)cmp_prime_ideal, &cmp_nodata);
    6754             : }
    6755             : static GEN
    6756       28833 : ellnf_height(GEN E, GEN P, long prec)
    6757             : {
    6758       28833 :   pari_sp av = avma;
    6759             :   GEN logp, oldp, x, nf, d, F, Ee, Pe, s, v, phi2, psi2;
    6760             :   long i, l, r1;
    6761       28833 :   E = ellintegralmodel_i(E, &v); if (v) P = ellchangepoint(P, v);
    6762       28833 :   if (!oncurve(E,P))
    6763           0 :     pari_err_DOMAIN("ellheight", "point", "not on", strtoGENstr("E"), P);
    6764       28833 :   if (signe(ellorder(E, P, NULL))) return gc_const(av, gen_0);
    6765       28812 :   x = gel(P,1);
    6766       28812 :   if (gequal0(ec_2divpol_evalx(E, x))) return gc_const(av, gen_0);
    6767       28812 :   nf = ellnf_get_nf(E);
    6768       28812 :   phi2 = gel(idealnumden(nf, ec_dFdx_evalQ(E, P)), 1);
    6769       28812 :   psi2 = gel(idealnumden(nf, ec_dmFdy_evalQ(E, P)),1);
    6770       28812 :   d = idealnorm(nf, gel(idealnumden(nf, x), 2));
    6771       28812 :   F = gel(ellminimalprimes(E), 1); /* prime ideals dividing (c4,c6) */
    6772       28812 :   F = prV_merge_factors(nf, F, idealadd(nf, phi2, psi2));
    6773       28812 :   Ee = ellnfembed(E, prec); Pe = ellpointnfembed(E, P, prec);
    6774       28812 :   l = lg(Ee); r1 = nf_get_r1(nf);
    6775       28812 :   s = gsub(gmul2n(glog(d, prec), -1), glog(ellnf_minimalnormu(E), prec));
    6776       57687 :   for (i=1; i <= r1; i++)
    6777       28875 :     s = gadd(s, ellheightoo(gel(Ee, i), gel(Pe, i), prec));
    6778       57540 :   for (   ; i < l; i++)
    6779       28728 :     s = gadd(s, gmul2n(ellheight_C(gel(Ee, i), gel(Pe, i), prec), 1));
    6780       28812 :   l = lg(F); oldp = logp = NULL;
    6781      114800 :   for (i = 1; i < l; i++)
    6782             :   { /* F = primes dividing (c4,c6) or (phi2,psi2) */
    6783       85988 :     GEN pr = gel(F,i), p = pr_get_p(pr), lam = ellnf_localheight(E, P, pr);
    6784       85988 :     if (!oldp || !equalii(p, oldp)) { oldp = p; logp = glog(p, prec); }
    6785       85988 :     s = gadd(s, gmul(lam, mulru(logp, pr_get_f(pr))));
    6786             :   }
    6787       28812 :   return gerepileupto(av, gmul2n(s, 1));
    6788             : }
    6789             : 
    6790             : static GEN
    6791       52410 : ellQ_height(GEN e, GEN a, long prec)
    6792             : {
    6793       52410 :   long i, lx, newell = 0;
    6794             :   pari_sp av;
    6795             :   GEN Lp, x, z, phi2, psi2, psi3;
    6796             :   GEN v, S, c4, D;
    6797             : 
    6798       52410 :   if (!RgV_is_QV(a)) pari_err_TYPE("ellheight [not a rational point]",a);
    6799       52403 :   if (!oncurve(e,a))
    6800           7 :     pari_err_DOMAIN("ellheight", "point", "not on", strtoGENstr("E"),a);
    6801       52396 :   if (ellorder_Q(e, a)) return gen_0;
    6802       52396 :   av = avma;
    6803       52396 :   if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
    6804             :   { /* switch to minimal model if needed */
    6805       23339 :     if (lg(S) != 2)
    6806             :     {
    6807       17872 :       v = gel(S,2);
    6808       17872 :       e = gel(S,3);
    6809       17872 :       a = ellchangepoint(a, v);
    6810             :     }
    6811             :   }
    6812             :   else
    6813             :   {
    6814       29057 :     newell = 1;
    6815       29057 :     e = ellminimalmodel_i(e, &v, NULL);
    6816       29057 :     a = ellchangepoint(a, v);
    6817             :   }
    6818       52396 :   psi2 = Q_numer(ec_dmFdy_evalQ(e,a));
    6819       52396 :   if (!signe(psi2)) { set_avma(av); return gen_0; }
    6820       52396 :   x = gel(a,1);
    6821       52396 :   psi3 = Q_numer( ec_3divpol_evalx(e, x) );
    6822       52396 :   if (!signe(psi3)) { set_avma(av); return gen_0; }
    6823       52396 :   phi2 = Q_numer(ec_dFdx_evalQ(e, a));
    6824       52396 :   c4 = ell_get_c4(e);
    6825       52396 :   D = ell_get_disc(e);
    6826       52396 :   z = hoo_aux(e,a,Q_denom(x),prec);  /* hoo(a) + log(den(x))/2 */
    6827       52396 :   Lp = gel(Z_factor(gcdii(psi2,phi2)),1);
    6828       52396 :   lx = lg(Lp);
    6829      223870 :   for (i=1; i<lx; i++)
    6830             :   {
    6831      171474 :     GEN p = gel(Lp,i);
    6832             :     long u, v, n, n2;
    6833      171474 :     if (!dvdii(c4,p))
    6834             :     { /* p \nmid c4 */
    6835      147264 :       long N = Z_pval(D,p);
    6836      147264 :       if (!N) continue;
    6837      147264 :       n2 = Z_pval(psi2,p); n = n2<<1;
    6838      147264 :       if (n > N) n = N;
    6839      147264 :       u = n * ((N<<1) - n);
    6840      147264 :       v = N << 3;
    6841             :     }
    6842             :     else
    6843             :     {
    6844       24210 :       n2 = Z_pval(psi2, p);
    6845       24210 :       n  = Z_pval(psi3, p);
    6846       24210 :       if (n >= 3*n2) { u = n2; v = 3; } else { u = n; v = 8; }
    6847             :     }
    6848             :     /* z -= u log(p) / v */
    6849      171474 :     z = gsub(z, divru(mulur(u, logr_abs(itor(p,prec))), v));
    6850             :   }
    6851       52396 :   if (newell) obj_free(e);
    6852       52396 :   return gerepileupto(av, gmul2n(z, 1));
    6853             : }
    6854             : 
    6855             : GEN
    6856       81243 : ellheight(GEN e, GEN a, long prec)
    6857             : {
    6858       81243 :   checkell(e); checkellpt(a);
    6859       81243 :   switch(ell_get_type(e))
    6860             :   {
    6861       52410 :     case t_ELL_Q:
    6862       52410 :       return ellQ_height(e, a, prec);
    6863           0 :     default: pari_err_TYPE("ellheight", e);
    6864       28833 :     case t_ELL_NF:
    6865       28833 :       return ellnf_height(e, a, prec);
    6866             :   }
    6867             : }
    6868             : 
    6869             : GEN
    6870         861 : ellpadicheightmatrix(GEN e, GEN p, long n, GEN x)
    6871             : {
    6872             :   GEN D, A, B;
    6873         861 :   long lx = lg(x), i, j;
    6874         861 :   pari_sp av = avma;
    6875             : 
    6876         861 :   if (!is_vec_t(typ(x))) pari_err_TYPE("ellheightmatrix",x);
    6877         861 :   D = cgetg(lx,t_VEC);
    6878         861 :   A = cgetg(lx,t_MAT);
    6879         861 :   B = cgetg(lx,t_MAT);
    6880        5110 :   for (i=1; i<lx; i++)
    6881             :   {
    6882        4249 :     gel(D,i) = _hell(e,p,n, gel(x,i));
    6883        4249 :     gel(A,i) = cgetg(lx,t_COL);
    6884        4249 :     gel(B,i) = cgetg(lx,t_COL); /*unused if p = NULL */
    6885             :   }
    6886        5110 :   for (i=1; i<lx; i++)
    6887             :   {
    6888        4249 :     GEN h = gel(D,i);
    6889        4249 :     if (p)
    6890             :     {
    6891          28 :       gcoeff(A,i,i) = gel(h,1);
    6892          28 :       gcoeff(B,i,i) = gel(h,2);
    6893             :     }
    6894             :     else
    6895        4221 :       gcoeff(A,i,i) = h;
    6896       20398 :     for (j=i+1; j<lx; j++)
    6897             :     {
    6898       16149 :       h = _hell(e,p,n, elladd(e,gel(x,i),gel(x,j)));
    6899       16149 :       h = gmul2n(gsub(h, gadd(gel(D,i),gel(D,j))), -1);
    6900       16149 :       if (p)
    6901             :       {
    6902          21 :         gcoeff(A,j,i) = gcoeff(A,i,j) = gel(h,1);
    6903          21 :         gcoeff(B,j,i) = gcoeff(B,i,j) = gel(h,2);
    6904             :       }
    6905             :       else
    6906       16128 :         gcoeff(A,j,i) = gcoeff(A,i,j) = h;
    6907             :     }
    6908             :   }
    6909         861 :   return gerepilecopy(av, p? mkvec2(A,B): A);
    6910             : }
    6911             : GEN
    6912         847 : ellheightmatrix(GEN E, GEN x, long n)
    6913         847 : { return ellpadicheightmatrix(E,NULL,n, x); }
    6914             : 
    6915             : /* Q an actual point, P a point or vector/matrix of points */
    6916             : static GEN
    6917          21 : bilhell_i(GEN E, GEN P, GEN Q, long n)
    6918             : {
    6919             :   GEN y;
    6920          21 :   long i, l = lg(P);
    6921          21 :   if (l==1) return cgetg(1,typ(P));
    6922          21 :   if (!is_matvec_t( typ(gel(P,1)) )) return ellheight0(E,P,Q,n);
    6923           7 :   y = cgetg(l, typ(P));
    6924          21 :   for (i=1; i<l; i++) gel(y,i) = bilhell_i(E,gel(P,i),Q,n);
    6925           7 :   return y;
    6926             : }
    6927             : GEN
    6928           7 : bilhell(GEN E, GEN P, GEN Q, long n)
    6929             : {
    6930           7 :   long t1 = typ(P), t2 = typ(Q);
    6931           7 :   if (!is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("ellbil",P);
    6932           7 :   if (!is_matvec_t(t2)) pari_err_TYPE("ellbil",Q);
    6933           7 :   if (lg(P)==1) return cgetg(1,t1);
    6934           7 :   if (lg(Q)==1) return cgetg(1,t2);
    6935           7 :   t2 = typ(gel(Q,1));
    6936           7 :   if (is_matvec_t(t2))
    6937             :   {
    6938           0 :     t1 = typ(gel(P,1));
    6939           0 :     if (is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("bilhell",P);
    6940           0 :     return bilhell_i(E,Q,P,n);
    6941             :   }
    6942           7 :   return bilhell_i(E,P,Q,n);
    6943             : }
    6944             : /********************************************************************/
    6945             : /**                                                                **/
    6946             : /**                    Modular Parametrization                     **/
    6947             : /**                                                                **/
    6948             : /********************************************************************/
    6949             : /* t*x^v (1 + O(x)), t != 0 */
    6950             : static GEN
    6951           0 : triv_ser(GEN t, long v)
    6952             : {
    6953           0 :   GEN s = cgetg(3,t_SER);
    6954           0 :   s[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(v) | evalvarn(0);
    6955           0 :   gel(s,2) = t; return s;
    6956             : }
    6957             : 
    6958             : GEN
    6959          14 : elltaniyama(GEN e, long prec)
    6960             : {
    6961             :   GEN x, w, c, d, X, C, b2, b4;
    6962             :   long n, m;
    6963          14 :   pari_sp av = avma;
    6964             : 
    6965          14 :   checkell_Q(e);
    6966          14 :   if (prec < 0) pari_err_DOMAIN("elltaniyama","precision","<",gen_0,stoi(prec));
    6967           7 :   if (!prec) retmkvec2(triv_ser(gen_1,-2), triv_ser(gen_m1,-3));
    6968             : 
    6969           7 :   x = cgetg(prec+3,t_SER);
    6970           7 :   x[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(-2) | evalvarn(0);
    6971           7 :   d = ginv(RgV_to_ser(ellanQ(e,prec+1), 0, prec+3)); setvalser(d,-1);
    6972             :   /* 2y(q) + a1x + a3 = d qx'(q). Solve for x(q),y(q):
    6973             :    * 4y^2 = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 */
    6974           7 :   c = gsqr(d);
    6975             :   /* solve 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 = c (q x'(q))^2; c = 1/q^2 + O(1/q)
    6976             :    * Take derivative then divide by 2x':
    6977             :    *  b2 x + b4 = (1/2) (q c')(q x') + c q (q x')' - 6x^2.
    6978             :    * Write X[i] = coeff(x, q^i), C[i] = coeff(c, q^i), we obtain for all n
    6979             :    *  ((n+1)(n+2)-12) X[n+2] =  b2 X[n] + b4 delta_{n = 0}
    6980             :    *   + 6    \sum_{m = -1}^{n+1} X[m] X[n-m]
    6981             :    *   - (1/2)\sum_{m = -2}^{n+1} (n+m) m C[n-m]X[m].
    6982             :    * */
    6983           7 :   C = c+4;
    6984           7 :   X = x+4;
    6985           7 :   gel(X,-2) = gen_1;
    6986           7 :   gel(X,-1) = gmul2n(gel(C,-1), -1); /* n = -3, X[-1] = C[-1] / 2 */
    6987           7 :   b2 = ell_get_b2(e);
    6988           7 :   b4 = ell_get_b4(e);
    6989         112 :   for (n=-2; n <= prec-4; n++)
    6990             :   {
    6991         105 :     pari_sp av2 = avma;
    6992             :     GEN s1, s2, s3;
    6993         105 :     if (n != 2)
    6994             :     {
    6995          98 :       s3 = gmul(b2, gel(X,n));
    6996          98 :       if (!n) s3 = gadd(s3, b4);
    6997          98 :       s2 = gen_0;
    6998        1001 :       for (m=-2; m<=n+1; m++)
    6999         903 :         if (m) s2 = gadd(s2, gmulsg(m*(n+m), gmul(gel(X,m),gel(C,n-m))));
    7000          98 :       s2 = gmul2n(s2,-1);
    7001          98 :       s1 = gen_0;
    7002         476 :       for (m=-1; m+m < n; m++) s1 = gadd(s1, gmul(gel(X,m),gel(X,n-m)));
    7003          98 :       s1 = gmul2n(s1, 1);
    7004          98 :       if (m+m==n) s1 = gadd(s1, gsqr(gel(X,m)));
    7005             :       /* ( (n+1)(n+2) - 12 ) X[n+2] = (6 s1 + s3 - s2) */
    7006          98 :       s1 = gdivgs(gsub(gadd(gmulsg(6,s1),s3),s2), (n+2)*(n+1)-12);
    7007             :     }
    7008             :     else
    7009             :     {
    7010           7 :       GEN b6 = ell_get_b6(e);
    7011           7 :       GEN U = cgetg(9, t_SER);
    7012           7 :       U[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(-2) | evalvarn(0);
    7013           7 :       gel(U,2) = gel(x,2);
    7014           7 :       gel(U,3) = gel(x,3);
    7015           7 :       gel(U,4) = gel(x,4);
    7016           7 :       gel(U,5) = gel(x,5);
    7017           7 :       gel(U,6) = gel(x,6);
    7018           7 :       gel(U,7) = gel(x,7);
    7019           7 :       gel(U,8) = gen_0; /* defined mod q^5 */
    7020             :       /* write x = U + x_4 q^4 + O(q^5) and expand original equation */
    7021           7 :       w = derivser(U); setvalser(w,-2); /* q X' */
    7022             :       /* 4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6 */
    7023           7 :       s1 = gadd(b6, gmul(U, gadd(gmul2n(b4,1), gmul(U,gadd(b2,gmul2n(U,2))))));
    7024             :       /* s2 = (qX')^2 - (4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6) = 28 x_4 + O(q) */
    7025           7 :       s2 = gsub(gmul(c,gsqr(w)), s1);
    7026           7 :       s1 = signe(s2)? gdivgu(gel(s2,2), 28): gen_0; /* = x_4 */
    7027             :     }
    7028         105 :     gel(X,n+2) = gerepileupto(av2, s1);
    7029             :   }
    7030           7 :   w = gmul(d,derivser(x)); setvalser(w, valser(w)+1);
    7031           7 :   w = gsub(w, ec_h_evalx(e,x));
    7032           7 :   c = cgetg(3,t_VEC);
    7033           7 :   gel(c,1) = gcopy(x);
    7034           7 :   gel(c,2) = gmul2n(w,-1); return gerepileupto(av, c);
    7035             : }
    7036             : 
    7037             : /********************************************************************/
    7038             : /**                                                                **/
    7039             : /**                       TORSION POINTS (over Q)                  **/
    7040             : /**                                                                **/
    7041             : /********************************************************************/
    7042             : static GEN
    7043       19292 : doellff_get_o(GEN E)
    7044             : {
    7045       19292 :   GEN G = ellff_get_group(E), d = (lg(G) == 1)? gen_1: gel(G,1);
    7046       19292 :   return mkvec2(d, Z_factor(d));
    7047             : }
    7048             : GEN
    7049       19845 : ellff_get_o(GEN E)
    7050       19845 : { return obj_checkbuild(E, FF_O, &doellff_get_o); }
    7051             : 
    7052             : static void
    7053         497 : RgE2_Fp_init(GEN E, GEN *pP, GEN *pQ, GEN *a4, GEN p)
    7054             : {
    7055         497 :   GEN e = ellff_get_a4a6(E);
    7056         497 :   *a4 = gel(e, 1);
    7057         497 :   *pP = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(*pP,p), gel(e,3), p);
    7058         497 :   *pQ = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(*pQ,p), gel(e,3), p);
    7059         497 : }
    7060             : GEN
    7061         140 : elllog(GEN E, GEN a, GEN g, GEN o)
    7062             : {
    7063         140 :   pari_sp av = avma;
    7064             :   GEN p;
    7065         140 :   checkell_Fq(E); checkellpt(a); checkellpt(g);
    7066         140 :   p = ellff_get_field(E);
    7067         140 :   if (!o) o = ellff_get_o(E);
    7068         140 :   if (typ(p)==t_FFELT) return FF_elllog(E, a, g, o);
    7069             :   else
    7070             :   {
    7071             :     GEN a4;
    7072          49 :     RgE2_Fp_init(E, &a, &g, &a4, p);
    7073          49 :     return gerepileuptoint(av, FpE_log(a, g, o, a4, p));
    7074             :   }
    7075             : }
    7076             : 
    7077             : GEN
    7078        5250 : ellweilpairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
    7079             : {
    7080             :   GEN p;
    7081        5250 :   checkell_Fq(E); checkellpt(P); checkellpt(Q);
    7082        5243 :   if (typ(m)!=t_INT) pari_err_TYPE("ellweilpairing",m);
    7083        5243 :   p = ellff_get_field(E);
    7084        5243 :   if (typ(p)==t_FFELT) return FF_ellweilpairing(E, P, Q, m);
    7085             :   else
    7086             :   {
    7087         245 :     pari_sp av = avma;
    7088             :     GEN w, a4;
    7089         245 :     RgE2_Fp_init(E, &P, &Q, &a4, p);
    7090         245 :     w = FpE_weilpairing(P, Q, m, a4, p);
    7091         245 :     return gerepileupto(av, Fp_to_mod(w, p));
    7092             :   }
    7093             : }
    7094             : 
    7095             : GEN
    7096         301 : elltatepairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
    7097             : {
    7098             :   GEN p;
    7099         301 :   checkell_Fq(E); checkellpt(P); checkellpt(Q);
    7100         301 :   if (typ(m)!=t_INT) pari_err_TYPE("elltatepairing",m);
    7101         301 :   p = ellff_get_field(E);
    7102         301 :   if (typ(p)==t_FFELT) return FF_elltatepairing(E, P, Q, m);
    7103             :   else
    7104             :   {
    7105         203 :     pari_sp av = avma;
    7106             :     GEN t, a4;
    7107         203 :     RgE2_Fp_init(E, &P, &Q, &a4, p);
    7108         203 :     t = FpE_tatepairing(P, Q, m, a4, p);
    7109         203 :     return gerepileupto(av, Fp_to_mod(t, p));
    7110             :   }
    7111             : }
    7112             : 
    7113             : GEN
    7114     2581377 : ellap(GEN E, GEN p)
    7115             : {
    7116     2581377 :   pari_sp av = avma;
    7117             :   GEN q, card;
    7118             :   int goodred;
    7119     2581377 :   p = checkellp(&E, p, NULL, "ellap");
    7120     2581362 :   switch(ell_get_type(E))
    7121             :   {
    7122         112 :   case t_ELL_Fp:
    7123         112 :     q = p; card = ellff_get_card(E);
    7124         112 :     break;
    7125       54474 :   case t_ELL_Fq:
    7126       54474 :     q = FF_q(ellff_get_field(E)); card = ellff_get_card(E);
    7127       54474 :     break;
    7128     2418813 :   case t_ELL_Qp:
    7129             :   case t_ELL_Q:
    7130     2418813 :     q = p; card = ellcard_ram(E, p, &goodred);
    7131     2418655 :     break;
    7132      107961 :   case t_ELL_NF:
    7133      107961 :     return ellnfap(E, p, &goodred);
    7134           0 :   default:
    7135           0 :     pari_err_TYPE("ellap",E);
    7136             :     return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    7137             :   }
    7138     2473241 :   return gerepileuptoint(av, subii(addiu(q,1), card));
    7139             : }
    7140             : 
    7141             : /* N.B. q > minq, then the list of potential orders in ellsea will not contain
    7142             :  * an ambiguity => oo-loop. E.g. ellsea(ellinit([1,519],523)) */
    7143             : GEN
    7144         126 : ellsea(GEN E, long smallfact)
    7145             : {
    7146         126 :   const ulong minq = 523;
    7147         126 :   checkell_Fq(E);
    7148         126 :   switch(ell_get_type(E))
    7149             :   {
    7150         112 :   case t_ELL_Fp:
    7151             :     {
    7152         112 :       GEN p = ellff_get_field(E), e = ellff_get_a4a6(E);
    7153         112 :       if (abscmpiu(p, minq) <= 0) return Fp_ellcard(gel(e,1), gel(e,2), p);
    7154         105 :       return Fp_ellcard_SEA(gel(e,1), gel(e,2), p, smallfact);
    7155             :     }
    7156          14 :   case t_ELL_Fq:
    7157             :     {
    7158          14 :       GEN fg = ellff_get_field(E);
    7159          14 :       if (abscmpiu(FF_p_i(fg), 7) <= 0 || abscmpiu(FF_q(fg), minq) <= 0)
    7160           0 :         return FF_ellcard(E);
    7161          14 :       return FF_ellcard_SEA(E, smallfact);
    7162             :     }
    7163             :   }
    7164             :   return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    7165             : }
    7166             : 
    7167             : GEN
    7168      269208 : ellff_get_card(GEN E)
    7169      269208 : { return obj_checkbuild(E, FF_CARD, &doellcard); }
    7170             : 
    7171             : GEN
    7172      187035 : ellcard(GEN E, GEN p)
    7173             : {
    7174      187035 :   p = checkellp(&E, p, NULL, "ellcard");
    7175      187028 :   switch(ell_get_type(E))
    7176             :   {
    7177      186573 :   case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
    7178      186573 :     return icopy(ellff_get_card(E));
    7179         420 :   case t_ELL_Qp:
    7180             :   case t_ELL_Q:
    7181             :     {
    7182         420 :       pari_sp av = avma;
    7183             :       int goodred;
    7184         420 :       GEN N = ellcard_ram(E, p, &goodred);
    7185         420 :       if (!goodred) N = subiu(N, 1); /* remove singular point */
    7186         420 :       return gerepileuptoint(av, N);
    7187             :     }
    7188          35 :   case t_ELL_NF:
    7189             :     {
    7190          35 :       pari_sp av = avma;
    7191             :       int goodred;
    7192          35 :       GEN N = subii(pr_norm(p), ellnfap(E, p, &goodred));
    7193          35 :       if (goodred) N = addiu(N, 1);
    7194          35 :       return gerepileuptoint(av, N);
    7195             :     }
    7196           0 :   default:
    7197           0 :     pari_err_TYPE("ellcard",E);
    7198             :     return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    7199             :   }
    7200             : }
    7201             : 
    7202             : /* assume model is p-minimal */
    7203             : static GEN
    7204      120715 : ellgroup_m(GEN E, GEN p, GEN *pm)
    7205             : {
    7206      120715 :   GEN a4, a6, N = ellcard(E, p); /* #E^ns(Fp) */
    7207      120715 :   *pm = gen_1;
    7208      120715 :   if (equali1(N)) return cgetg(1,t_VEC);
    7209      120715 :   if (absequaliu(p, 2)) return mkvec(N);
    7210      120715 :   if (absequaliu(p, 3))
    7211             :   { /* The only possible noncyclic group is [2,2] which happens 9 times */
    7212             :     ulong b2, b4, b6;
    7213           0 :     if (!absequaliu(N, 4)) return mkvec(N);
    7214             :     /* If the group is not cyclic, T = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6
    7215             :      * must have 3 roots else 1 root. Test T(0) = T(1) = 0 mod 3 */
    7216           0 :     b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(E), 3);
    7217           0 :     if (b6) return mkvec(N);
    7218             :     /* b6 = T(0) = 0 mod 3. Test T(1) */
    7219           0 :     b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E), 3);
    7220           0 :     b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(E), 3);
    7221           0 :     if ((1 + b2 + (b4<<1)) % 3) return mkvec(N);
    7222           0 :     return mkvec2s(2, 2);
    7223             :   } /* Now assume p > 3 */
    7224      120715 :   ell_to_a4a6(E, p, &a4,&a6);
    7225      120715 :   return Fp_ellgroup(a4,a6,N,p, pm);
    7226             : }
    7227             : 
    7228             : static GEN
    7229      146454 : doellGm(GEN E)
    7230             : {
    7231      146454 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    7232      146454 :   GEN m, G = (typ(fg) == t_FFELT)? FF_ellgroup(E, &m): ellgroup_m(E, fg, &m);
    7233      146454 :   return mkvec2(G, m);
    7234             : }
    7235             : static GEN
    7236      185997 : ellff_Gm(GEN E)
    7237      185997 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUP, &doellGm); }
    7238             : GEN
    7239      167307 : ellff_get_group(GEN E) { return gel(ellff_Gm(E), 1); }
    7240             : GEN
    7241       18690 : ellff_get_m(GEN E) { return gel(ellff_Gm(E), 2); }
    7242             : GEN
    7243       18690 : ellff_get_D(GEN E)
    7244             : {
    7245       18690 :   GEN G = ellff_get_group(E), o = ellff_get_o(E);
    7246       18690 :   switch(lg(G))
    7247             :   {
    7248          91 :     case 1: return G;
    7249       15883 :     case 2: return mkvec(o);
    7250        2716 :     default: return mkvec2(o, gel(G,2));
    7251             :   }
    7252             : }
    7253             : 
    7254             : /* E / Fp */
    7255             : static GEN
    7256       18690 : doellgens(GEN E)
    7257             : {
    7258       18690 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    7259       18690 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    7260       18116 :     return FF_ellgens(E);
    7261             :   else
    7262             :   {
    7263         574 :     GEN F, p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    7264         574 :     F = Fp_ellgens(gel(e,1),gel(e,2),gel(e,3), ellff_get_D(E),ellff_get_m(E),p);
    7265         574 :     return FpVV_to_mod(F,p);
    7266             :   }
    7267             : }
    7268             : 
    7269             : GEN
    7270       18767 : ellff_get_gens(GEN E)
    7271       18767 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUPGEN, &doellgens); }
    7272             : 
    7273             : GEN
    7274      127806 : ellgroup(GEN E, GEN p)
    7275             : {
    7276      127806 :   pari_sp av = avma;
    7277             :   GEN m, G;
    7278      127806 :   p = checkellp(&E,p, NULL, "ellgroup");
    7279      127799 :   switch(ell_get_type(E))
    7280             :   {
    7281      127365 :     case t_ELL_Fp:
    7282      127365 :     case t_ELL_Fq: G = ellff_get_group(E); break;
    7283         392 :     case t_ELL_Qp:
    7284             :     case t_ELL_Q:
    7285         392 :       if (Z_pval(Q_numer(ell_get_disc(E)), p))
    7286             :       {
    7287          14 :         GEN Q = localred(E,p), kod = gel(Q,2);
    7288          14 :         E = ellchangecurve(E, gel(Q,3));
    7289          14 :         if (!equali1(kod)) { G = mkvec(ellcard(E,p)); break; }
    7290             :       }
    7291         378 :       G = ellgroup_m(E,p,&m); break;
    7292          42 :     case t_ELL_NF:
    7293          42 :       if (nfval(ellnf_get_nf(E), ell_get_disc(E), p))
    7294             :       {
    7295          21 :         GEN Q = nflocalred(E,p), kod = gel(Q,2);
    7296          21 :         E = ellchangecurve(E, gel(Q,3));
    7297          21 :         if (!equali1(kod)) { G = mkvec(ellcard(E,p)); break; }
    7298             :       }
    7299          28 :       E = ellinit(E, p, 0);
    7300          28 :       G = ellff_get_group(E);
    7301          28 :       G = gcopy(G); obj_free(E); break;
    7302           0 :     default:
    7303           0 :       pari_err_TYPE("ellgroup", E);
    7304             :       return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    7305             :   }
    7306      127799 :   return gerepilecopy(av, G);
    7307             : }
    7308             : 
    7309             : GEN
    7310       21490 : ellgroup0(GEN E, GEN p, long flag)
    7311             : {
    7312       21490 :   pari_sp av = avma;
    7313       21490 :   long tE, freeE = 0;
    7314             :   GEN G;
    7315       21490 :   if (flag==0) return ellgroup(E, p);
    7316        1946 :   if (flag!=1) pari_err_FLAG("ellgroup");
    7317        1946 :   checkell(E); tE = ell_get_type(E);
    7318        1946 :   if (tE != t_ELL_Fp && tE != t_ELL_Fq)
    7319             :   {
    7320        1869 :     GEN Q = elllocalred(E, p), v = gel(Q,3), u = gel(v,1), kod = gel(Q,2);
    7321             :     long vu;
    7322        1862 :     switch(tE)
    7323             :     {
    7324          70 :       case t_ELL_Qp: p = ellQp_get_p(E);/*fall through*/
    7325        1841 :       case t_ELL_Q:  vu = Q_pval(u, p); break;
    7326          21 :       case t_ELL_NF: vu = nfval(ellnf_get_nf(E), u, p); break;
    7327           0 :       default: pari_err_TYPE("ellgroup", E); vu = 0;
    7328             :     }
    7329        1862 :     if (vu) pari_err_TYPE("ellgroup [not a p-minimal curve]",E);
    7330        1855 :     if (!equali1(kod)) /* bad reduction */
    7331             :     {
    7332          91 :       GEN Ep, T = NULL, q = p, ap = ellap(E,p);
    7333          91 :       if (typ(p) == t_INT)
    7334             :       {
    7335             :         long i;
    7336          70 :         Ep = obj_init(15, 4);
    7337         910 :         for (i = 1; i <= 12; i++) gel(Ep,i) = gel(E,i);
    7338             :       }
    7339             :       else
    7340             :       {
    7341          21 :         q = pr_norm(p);
    7342          21 :         Ep = initsmall5(ellnf_to_Fq(ellnf_get_nf(E), E, p, &p, &T), 4);
    7343             :       }
    7344          91 :       E = FF_ellinit(Ep, Tp_to_FF(T, p)); /* singular curve */
    7345          91 :       gel(E,14) = mkvecsmall(t_ELL_Fq);
    7346          91 :       obj_insert(E, FF_CARD, subii(q, ap));
    7347             :     }
    7348             :     else
    7349        1764 :       E = ellinit(E, p, 0);
    7350        1855 :     freeE = 1;
    7351             :   }
    7352        1932 :   G = mkvec3(ellff_get_card(E), ellff_get_group(E), ellff_get_gens(E));
    7353        1932 :   if (!freeE) return gerepilecopy(av, G);
    7354        1855 :   G = gcopy(G); obj_free(E); return gerepileupto(av, G);
    7355             : }
    7356             : 
    7357             : GEN
    7358       16849 : ellgenerators(GEN E)
    7359             : {
    7360       16849 :   checkell(E);
    7361       16849 :   switch(ell_get_type(E))
    7362             :   {
    7363           7 :     case t_ELL_Q:
    7364           7 :       return obj_checkbuild(E, Q_GROUPGEN, &elldatagenerators);
    7365       16835 :     case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
    7366       16835 :       return gcopy(ellff_get_gens(E));
    7367           7 :     default:
    7368           7 :       pari_err_TYPE("ellgenerators",E);
    7369             :       return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    7370             :   }
    7371             : }
    7372             : 
    7373             : /* char != 2,3, j != 0, 1728 */
    7374             : static GEN
    7375       22715 : ellfromj_simple(GEN j)
    7376             : {
    7377       22715 :   pari_sp av = avma;
    7378       22715 :   GEN k = gsubsg(1728,j), kj = gmul(k, j), k2j = gmul(kj, k);
    7379       22715 :   GEN E = zerovec(5);
    7380       22715 :   gel(E,4) = gmulsg(3,kj);
    7381       22715 :   gel(E,5) = gmulsg(2,k2j); return gerepileupto(av, E);
    7382             : }
    7383             : GEN
    7384       34020 : ellfromj(GEN j)
    7385             : {
    7386       34020 :   GEN T = NULL, p = typ(j)==t_FFELT? FF_p_i(j): NULL;
    7387             :   /* trick: use j^0 to get 1 in the proper base field */
    7388       34020 :   if ((p || (Rg_is_FpXQ(j,&T,&p) && p)) && lgefint(p) == 3) switch(p[2])
    7389             :   {
    7390        3549 :     case 2:
    7391        3549 :       if (gequal0(j))
    7392           7 :         retmkvec5(gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0,gen_0);
    7393             :       else
    7394        3542 :         retmkvec5(gpowgs(j,0),gen_0,gen_0, gen_0,ginv(j));
    7395        7651 :     case 3:
    7396        7651 :       if (gequal0(j))
    7397          21 :         retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
    7398             :       else
    7399             :       {
    7400        7630 :         GEN E = zerovec(5);
    7401        7630 :         pari_sp av = avma;
    7402        7630 :         gel(E,5) = gerepileupto(av, gneg(gsqr(j)));
    7403        7630 :         gel(E,2) = gcopy(j);
    7404        7630 :         return E;
    7405             :       }
    7406             :   }
    7407       22820 :   if (gequal0(j)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0));
    7408       22785 :   if (gequalgs(j,1728)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
    7409       22715 :   return ellfromj_simple(j);
    7410             : }
    7411             : 
    7412             : /********************************************************************/
    7413             : /**                                                                **/
    7414             : /**                       IS SUPERSINGULAR                         **/
    7415             : /**                                                                **/
    7416             : /********************************************************************/
    7417             : 
    7418             : int
    7419      165907 : elljissupersingular(GEN x)
    7420             : {
    7421      165907 :   pari_sp av = avma;
    7422             :   int res;
    7423             : 
    7424      165907 :   if (typ(x) == t_INTMOD) {
    7425         504 :     GEN p = gel(x, 1);
    7426         504 :     GEN j = gel(x, 2);
    7427         504 :     res = Fp_elljissupersingular(j, p);
    7428      165403 :   } else if (typ(x) == t_FFELT) {
    7429      165396 :     GEN j = FF_to_FpXQ_i(x);
    7430      165396 :     GEN p = FF_p_i(x);
    7431      165396 :     GEN T = FF_mod(x);
    7432      165396 :     res = FpXQ_elljissupersingular(j, T, p);
    7433             :   } else {
    7434           7 :     pari_err_TYPE("elljissupersingular", x);
    7435             :     return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    7436             :   }
    7437      165900 :   set_avma(av);
    7438      165900 :   return res;
    7439             : }
    7440             : 
    7441             : int
    7442      166117 : ellissupersingular(GEN E, GEN p)
    7443             : {
    7444             :   pari_sp av;
    7445             :   GEN j;
    7446      166117 :   if (typ(E)!=t_VEC && !p) return elljissupersingular(E);
    7447       17017 :   p = checkellp(&E, p, NULL, "ellissupersingular");
    7448       17003 :   j = ell_get_j(E);
    7449       17003 :   switch(ell_get_type(E))
    7450             :   {
    7451       16807 :   case t_ELL_Fp:
    7452             :   case t_ELL_Fq:
    7453       16807 :     return elljissupersingular(j);
    7454          56 :   case t_ELL_Qp:
    7455             :   case t_ELL_Q:
    7456          56 :     if (typ(j)==t_FRAC && dvdii(gel(j,2), p)) return 0;
    7457          21 :     av = avma;
    7458          21 :     return gc_bool(av, Fp_elljissupersingular(Rg_to_Fp(j,p), p));
    7459         140 :   case t_ELL_NF:
    7460             :     {
    7461         140 :       GEN modP, T, nf = ellnf_get_nf(E), pr = p;
    7462             :       int res;
    7463         140 :       av = avma;
    7464         140 :       j = nf_to_scalar_or_basis(nf, j);
    7465         140 :       if (dvdii(Q_denom(j), pr_get_p(pr)))
    7466             :       {
    7467          14 :         if (typ(j) == t_FRAC || nfval(nf, j, pr) < 0) return 0;
    7468           0 :         modP = nf_to_Fq_init(nf,&pr,&T,&p);
    7469             :       }
    7470             :       else
    7471         126 :         modP = zk_to_Fq_init(nf,&pr,&T,&p);
    7472         126 :       j = nf_to_Fq(nf, j, modP);
    7473         126 :       if (typ(j) == t_INT)
    7474          98 :         res = Fp_elljissupersingular(j, p);
    7475             :       else
    7476          28 :         res = FpXQ_elljissupersingular(j, T, p);
    7477         126 :       return gc_bool(av, res);
    7478             :     }
    7479           0 :   default:
    7480           0 :     pari_err_TYPE("ellissupersingular",E);
    7481             :   }
    7482             :   return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    7483             : }
    7484             : 
    7485             : GEN
    7486        1204 : ellsupersingularj(GEN a)
    7487             : {
    7488        1204 :   pari_sp av = avma;
    7489             :   GEN r, T, p;
    7490             :   long d;
    7491        1204 :   switch(typ(a))
    7492             :   {
    7493        1190 :     case t_INT:
    7494        1190 :       p = a;
    7495        1190 :       if (Z_issquare(p)) pari_err_PRIME("ellsupersingularj", p);
    7496        1190 :       T = init_Fq(p, 2, fetch_user_var("w"));
    7497        1190 :       d = 2;
    7498        1190 :       break;
    7499          14 :     case t_FFELT:
    7500          14 :       p = FF_p_i(a); T = FF_mod(a); d = degpol(T);
    7501          14 :       if (!odd(d))
    7502             :       {
    7503          14 :         if (d != 2)
    7504           7 :           T = init_Fq(p, 2, varn(T));
    7505          14 :         break;
    7506             :       }
    7507             :     default: /* FALL THROUGH */
    7508           0 :       pari_err_TYPE("ellsupersingular", a);
    7509             :       return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    7510             :   }
    7511        1204 :   r = Fq_to_FF(ellsupersingularj_FpXQ(T, p), Tp_to_FF(T, p));
    7512        1204 :   if (d != 2)
    7513           7 :     r = ffmap(ffembed(r, a), r);
    7514        1204 :   return gerepilecopy(av, r);
    7515             : }
    7516             : 
    7517             : /* n <= 4, N is the characteristic of the base ring or NULL (char 0) */
    7518             : static GEN
    7519        8414 : elldivpol4(GEN e, GEN N, long n, long v)
    7520             : {
    7521             :   GEN b2,b4,b6,b8, res;
    7522        8414 :   if (n==0) return pol_0(v);
    7523        8414 :   if (n<=2) return N? scalarpol_shallow(mkintmod(gen_1,N),v): pol_1(v);
    7524        1799 :   b2 = ell_get_b2(e); b4 = ell_get_b4(e);
    7525        1799 :   b6 = ell_get_b6(e); b8 = ell_get_b8(e);
    7526        1799 :   if (n==3)
    7527         833 :     res = mkpoln(5, N? modsi(3,N): utoi(3),b2,gmulsg(3,b4),gmulsg(3,b6),b8);
    7528             :   else
    7529             :   {
    7530         966 :     GEN b10 = gsub(gmul(b2, b8), gmul(b4, b6));
    7531         966 :     GEN b12 = gsub(gmul(b8, b4), gsqr(b6));
    7532         966 :     res = mkpoln(7, N? modsi(2,N): gen_2,b2,gmulsg(5,b4),gmulsg(10,b6),gmulsg(10,b8),b10,b12);
    7533             :   }
    7534        1799 :   setvarn(res, v); return res;
    7535             : }
    7536             : 
    7537             : /* T = (2y + a1x + a3)^4 modulo the curve equation. Store elldivpol(e,n,v)
    7538             :  * in t[n]. N is the caracteristic of the base ring or NULL (char 0) */
    7539             : static GEN
    7540        5075 : elldivpol0(GEN e, GEN t, GEN N, GEN T, long n, long v)
    7541             : {
    7542             :   GEN ret;
    7543        5075 :   long m = n/2;
    7544        5075 :   if (gel(t,n)) return gel(t,n);
    7545        3150 :   if (n<=4) ret = elldivpol4(e, N, n, v);
    7546         882 :   else if (odd(n))
    7547             :   {
    7548         525 :     GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
    7549             :                      gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m,v),3));
    7550         525 :     GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v),
    7551             :                      gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v),3));
    7552         525 :     if (odd(m))/*f_{4l+3} = f_{2l+3}f_{2l+1}^3 - T f_{2l}f_{2l+2}^3, m=2l+1*/
    7553          91 :       ret = RgX_sub(t1, RgX_mul(T,t2));
    7554             :     else       /*f_{4l+1} = T f_{2l+2}f_{2l}^3 - f_{2l-1}f_{2l+1}^3, m=2l*/
    7555         434 :       ret = RgX_sub(RgX_mul(T,t1), t2);
    7556             :   }
    7557             :   else
    7558             :   { /* f_2m = f_m(f_{m+2}f_{m-1}^2 - f_{m-2}f_{m+1}^2) */
    7559         357 :     GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
    7560             :                      RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v)));
    7561         357 :     GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-2,v),
    7562             :                      RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v)));
    7563         357 :     ret = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m,v), RgX_sub(t1,t2));
    7564             :   }
    7565        3150 :   gel(t,n) = ret;
    7566        3150 :   return ret;
    7567             : }
    7568             : 
    7569             : GEN
    7570        6475 : elldivpol(GEN e, long n0, long v)
    7571             : {
    7572        6475 :   pari_sp av = avma;
    7573             :   GEN f, D, N;
    7574        6475 :   long n = labs(n0);
    7575             : 
    7576        6475 :   checkell(e); D = ell_get_disc(e);
    7577        6475 :   if (v < 0) v = 0;
    7578        6475 :   if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
    7579        6475 :   N = characteristic(D); if (!signe(N)) N = NULL;
    7580        6475 :   if (n==1 || n==3)
    7581         231 :     f = elldivpol4(e, N, n, v);
    7582             :   else
    7583             :   {
    7584        6244 :     GEN d2 = ec_bmodel(e,v); /* (2y + a1x + a3)^2 mod E */
    7585        6244 :     if (N && !mod2(N)) { gel(d2,5) = modsi(4,N); d2 = normalizepol(d2); }
    7586        6244 :     if (n <= 4)
    7587        5915 :       f = elldivpol4(e, N, n, v);
    7588             :     else
    7589         329 :       f = elldivpol0(e, const_vec(n,NULL), N,RgX_sqr(d2), n, v);
    7590        6244 :     if (n%2==0) f = RgX_mul(f, d2);
    7591             :   }
    7592        6475 :   if (n0 < 0) return gerepileupto(av, RgX_neg(f));
    7593        6454 :   return gerepilecopy(av, f);
    7594             : }
    7595             : 
    7596             : /* return [phi_n, (psi_n)^2] such that x[nP] = phi_n / (psi_n)^2 */
    7597             : GEN
    7598         406 : ellxn(GEN e, long n, long v)
    7599             : {
    7600         406 :   pari_sp av = avma;
    7601             :   GEN d2, D, N, A, B;
    7602         406 :   checkell(e); D = ell_get_disc(e);
    7603         406 :   if (v==-1) v = 0;
    7604         406 :   if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
    7605         406 :   N = characteristic(D);
    7606         406 :   if (!signe(N)) N = NULL;
    7607         406 :   if (n < 0) n = -n;
    7608         406 :   d2 = ec_bmodel(e,v); /* (2y + a1x + 3)^2 mod E */
    7609         406 :   if (N && !mod2(N)) { gel(d2,5) = modsi(4,N); d2 = normalizepol(d2); }
    7610         406 :   if (n == 0)
    7611             :   {
    7612           7 :     A = pol_0(v);
    7613           7 :     B = pol_0(v);
    7614             :   }
    7615         399 :   else if (n == 1)
    7616             :   {
    7617           7 :     A = pol_1(v);
    7618           7 :     B = pol_x(v);
    7619             :   }
    7620         392 :   else if (n == 2)
    7621             :   {
    7622         105 :     A = d2;
    7623         105 :     B = ec_phi2(e, v);
    7624             :   }
    7625             :   else
    7626             :   {
    7627         287 :     GEN t = const_vec(n+1,NULL), T = RgX_sqr(d2);
    7628         287 :     GEN f = elldivpol0(e, t, N, T, n, v); /* f_n / d2^(n odd)*/
    7629         287 :     GEN g = elldivpol0(e, t, N, T, n-1, v); /* f_{n-1} / d2^(n even) */
    7630         287 :     GEN h = elldivpol0(e, t, N, T, n+1, v); /* f_{n+1} / d2^(n even) */
    7631         287 :     GEN f2 = RgX_sqr(f), u = RgX_mul(g,h);
    7632         287 :     if (!odd(n))
    7633          14 :       A = RgX_mul(f2, d2);
    7634             :     else
    7635         273 :     { A = f2; u = RgX_mul(u,d2); }
    7636             :     /* A = psi_n^2, u = psi_{n-1} psi_{n+1} */
    7637         287 :     B = RgX_sub(RgX_shift(A,1), u);
    7638             :   }
    7639         406 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(B,A));
    7640             : }
    7641             : 
    7642             : /* l and p primes; p = 1 mod l; return an element of order l in (Z/pZ)^* */
    7643             : static ulong
    7644        2807 : ltors_Fl(ulong l, ulong p)
    7645             : {
    7646        2807 :   ulong x, y, r = (p-1)/l;
    7647        4389 :   for (x = 2;; x++) { y = Fl_powu(x, r, p); if (y != 1) return y; }
    7648             : }
    7649             : 
    7650             : /* Assume that l|o but p!=1 [l] so r_l E(F_p) = 1 */
    7651             : static void
    7652        8631 : FljV_vecsat_Siksek(GEN E, GEN P, ulong o, ulong l, ulong a4, ulong a6, ulong p,
    7653             :                    GEN S, long *m)
    7654             : {
    7655        8631 :   long i, n = lg(P)-1;
    7656        8631 :   GEN a4a6, g, F, v = zero_zv(n);
    7657        8631 :   pari_sp av = avma;
    7658        8631 :   ulong q = o / l;
    7659             : 
    7660        8631 :   F = mkmat2(mkcols(l), mkcols(1));
    7661        8631 :   a4a6 = a4a6_ch_Fl(E, p);
    7662        8631 :   g = gel(Fl_ellptors(l, o, a4, a6, p), 1);
    7663       63238 :   for (i=1; i <= n; i++)
    7664             :   {
    7665       54607 :     GEN Q = Fle_changepointinv(Flj_to_Fle(gel(P,i), p), a4a6, p);
    7666       54607 :     if (!ell_is_inf(Q))
    7667       54278 :       v[i] = itou(Fle_log(Fle_mulu(Q, q, a4, p), g, F, a4, p));
    7668             :   }
    7669        8631 :   gel(S,(*m)++) = v;
    7670        8631 :   set_avma(av);
    7671        8631 : }
    7672             : 
    7673             : /* Assume that l|o and p=1 [l] so r_l E(F_p) = 1 or 2 */
    7674             : static void
    7675        2807 : FljV_vecsat_Prickett(GEN E, GEN P, ulong o, ulong l, ulong a4, ulong a6,
    7676             :                      ulong p, GEN S, long *m)
    7677             : {
    7678        2807 :   long i, n = lg(P)-1;
    7679        2807 :   GEN a4a6, G, G1, G2, v = zero_zv(n), w = zero_zv(n);
    7680        2807 :   ulong g = ltors_Fl(l, p), q = (p-1)/l;
    7681        2807 :   pari_sp av = avma;
    7682             : 
    7683        2807 :   a4a6 = a4a6_ch_Fl(E, p);
    7684        2807 :   G = Fl_ellptors(l, o, a4, a6, p);
    7685        2807 :   G1 = gel(G,1);
    7686        2807 :   G2 = lg(G)==3 ? gel(G, 2): NULL;
    7687       16457 :   for (i = 1; i <= n; i++)
    7688             :   {
    7689       13650 :     GEN Q = Fle_changepointinv(Flj_to_Fle(gel(P,i), p), a4a6, p);
    7690       13650 :     if (!ell_is_inf(Q))
    7691             :     {
    7692       13279 :       ulong u = Fl_powu(Fle_tatepairing(G1, Q, l, a4, p), q, p);
    7693       13279 :       v[i] = Fl_log(u, g, l, p);
    7694       13279 :       if (G2)
    7695             :       {
    7696        3395 :         ulong u = Fl_powu(Fle_tatepairing(G2, Q, l, a4, p), q, p);
    7697        3395 :         w[i] = Fl_log(u, g, l, p);
    7698             :       }
    7699             :     }
    7700             :   }
    7701        2807 :   gel(S,(*m)++) = v;
    7702        2807 :   if (G2 && *m < lg(S)) gel(S,(*m)++) = w;
    7703        2807 :   set_avma(av);
    7704        2807 : }
    7705             : 
    7706             : static void
    7707       11438 : FljV_vecsat(GEN E, GEN P, ulong o, ulong l, ulong a4, ulong a6, ulong p,
    7708             :             GEN S, long *m)
    7709             : {
    7710       11438 :   P = ZM_to_Flm(P, p);
    7711       11438 :   if (p % l == 1)
    7712        2807 :     FljV_vecsat_Prickett(E, P, o, l, a4, a6, p, S, m);
    7713             :   else
    7714        8631 :     FljV_vecsat_Siksek(E, P, o, l, a4, a6, p, S, m);
    7715       11438 : }
    7716             : 
    7717             : /* P a vector of points in E(Q), return a linear map M from the abelian group
    7718             :  * they generate to Z/lZ; sum x[i] P[i] is l-divisible => x M = 0 */
    7719             : static GEN
    7720        1204 : ellsatp_mat(hashtable *h, GEN E, long CM, GEN P, ulong l, long nb)
    7721             : {
    7722        1204 :   long m = 1;
    7723        1204 :   GEN D = ell_get_disc(E), M = cgetg(nb+1, t_MAT);
    7724             :   forprime_t S;
    7725             : 
    7726        1204 :   P = QEV_to_ZJV(P);
    7727        1204 :   (void)u_forprime_init(&S, 5, ULONG_MAX);
    7728      326459 :   while (m <= nb)
    7729             :   {
    7730      325255 :     ulong a4, a6, p = u_forprime_next(&S);
    7731             :     long o;
    7732      325255 :     if (dvdiu(D, p)) continue;
    7733      320075 :     Fl_ell_to_a4a6(E, p, &a4, &a6);
    7734      320075 :     if (!hash_haskey_long(h, (void*)p, &o))
    7735             :     {
    7736       34979 :       o = p+1 - Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
    7737       34979 :       hash_insert_long(h,(void*)p, o);
    7738             :     }
    7739      320075 :     if (o % l == 0) FljV_vecsat(E, P, o, l, a4, a6, p, M, &m);
    7740             :   }
    7741        1204 :   return M;
    7742             : }
    7743             : 
    7744             : INLINE long
    7745         147 : Flv_firstnonzero(GEN v)
    7746             : {
    7747         147 :   long i, l = lg(v);
    7748         154 :   for (i = 1; i < l; i++)
    7749         154 :     if (v[i]) break;
    7750         147 :   return i;
    7751             : }
    7752             : 
    7753             : /* update M in place */
    7754             : static GEN
    7755        1204 : ellsatp(hashtable *hh, GEN E, long CM, GEN T, GEN H, GEN M, ulong l, GEN *xl,
    7756             :         long vxl, long nb, long prec)
    7757             : {
    7758        1204 :   GEN P = T ? shallowconcat(H, T): H;
    7759        1204 :   GEN S = ellsatp_mat(hh, E, CM, P, l, nb); /* fill hh */
    7760        1204 :   pari_sp av = avma;
    7761        1204 :   GEN K = Flm_ker(Flm_transpose(S), l);
    7762        1204 :   long i, lK = lg(K), nH = lg(H)-1;
    7763             : 
    7764        1204 :   if (lK==1) return gc_NULL(av);
    7765         147 :   if (DEBUGLEVEL >= 3)
    7766           0 :     err_printf("ellsat: potential factor %lu, dim Ker = %ld\n",l,lK-1);
    7767             :   /* Mazur bound for torsion of isogenous curves */
    7768         147 :   if (!*xl && l <= 7) *xl = ellxn(E, l, vxl);
    7769         147 :   for (i = 1; i < lK; i++)
    7770             :   {
    7771         147 :     GEN ki = gel(K,i), Ki, h, R;
    7772         147 :     long f = Flv_firstnonzero(ki);
    7773             : 
    7774             :     /* for T != NULL: avoid solving for [p]Q = R when R is p-torsion */
    7775         147 :     if (f > nH) continue;
    7776         147 :     if (ki[f] != 1) ki = Flv_Fl_div(ki, ki[f], l);
    7777         147 :     Ki = zv_to_ZV(Flv_center(ki, l, l >> 1));
    7778         147 :     h = qfeval(M, T? vecslice(Ki, 1, nH): Ki);
    7779         147 :     if (*xl)
    7780             :     {
    7781         133 :       GEN Q = ellQ_factorback(E, P, Ki, 1, h, prec);
    7782         133 :       if (ellisdivisible(E, Q, *xl, &R)) h = gdiv(h, sqru(l)); else R = NULL;
    7783             :     }
    7784             :     else
    7785             :     {
    7786          14 :       h = gdiv(h, sqru(l));
    7787          14 :       R = ellQ_factorback(E, P, Ki, l, h, prec);
    7788             :     }
    7789         147 :     if (DEBUGLEVEL >= 2)
    7790           0 :       err_printf("ellsat: %s divisible by %lu\n", R? "": "not", l);
    7791         147 :     if (!R)
    7792             :     {
    7793          28 :       if (lK == 2) break;
    7794         140 :       return l > 7? gc_const(av,H): H; /* fail: return and retry */
    7795             :     }
    7796         119 :     gcoeff(M, f, f) = h;
    7797         490 :     for (i = 1; i <= nH; i++)
    7798         371 :       if (i != f) gcoeff(M, f, i) = gdivgu(RgV_dotproduct(gel(M,i), Ki), l);
    7799         490 :     for (i = 1; i <= nH; i++) gcoeff(M, i, f) = gcoeff(M, f, i);
    7800         119 :     gel(H,f) = R; return H; /* found l-divisible point: return new lattice */
    7801             :   }
    7802           7 :   return gc_NULL(av); /* l-saturated */
    7803             : }
    7804             : 
    7805             : static GEN
    7806          49 : ellQ_saturation(GEN E, GEN P, long B, long prec)
    7807             : {
    7808             :   forprime_t S;
    7809          49 :   GEN M = ellheightmatrix(E, P, prec);
    7810          49 :   long CM = ellQ_get_CM(E), w = fetch_var_higher();
    7811             :   hashtable h;
    7812             :   ulong p;
    7813             : 
    7814          49 :   hash_init_ulong(&h, 16, 1);
    7815          49 :   (void)u_forprime_init(&S, 2, B);
    7816          49 :   P = leafcopy(P); /* modified in place by ellsatp */
    7817        1113 :   while((p = u_forprime_next(&S)))
    7818             :   {
    7819        1064 :     long nb = lg(P)-1 + 25 / log2(p) - 1; /* error ~ 2^{-25} */
    7820        1064 :     GEN xp = NULL, T = gel(elltors_psylow(E, p), 3);
    7821        1064 :     if (lg(T)==1) T = NULL;
    7822             :     while (1)
    7823         140 :     {
    7824        1204 :       GEN Q = ellsatp(&h, E, CM, T, P, M, p, &xp, w, nb, prec);
    7825        1204 :       if (!Q) break;
    7826         140 :       nb += lg(P)-1;
    7827         140 :       P = Q;
    7828             :     }
    7829             :   }
    7830          49 :   (void)delete_var(); return ellQ_genreduce(E, P, M, prec);
    7831             : }
    7832             : 
    7833             : GEN
    7834          49 : ellsaturation(GEN E, GEN P, long B, long prec)
    7835             : {
    7836          49 :   pari_sp av = avma;
    7837             :   GEN urst;
    7838             : 
    7839          49 :   if (lg(P) == 1) return cgetg(1, t_VEC);
    7840          49 :   E = ellminimalmodel(E, &urst);
    7841          49 :   if (is_trivial_change(urst)) urst = NULL;
    7842          49 :   if (urst) P = ellchangepoint(P, urst);
    7843          49 :   P = ellQ_saturation(E, P, B, prec);
    7844          49 :   if (urst) P = ellchangepoint(P, ellchangeinvert(urst));
    7845          49 :   obj_free(E); return gerepilecopy(av, P);
    7846             : }
    7847             : 
    7848             : static GEN
    7849         126 : to_RgX(GEN P, long vx)
    7850         126 : { return typ(P)==t_POL && varn(P) == vx ? P: scalarpol_shallow(P, vx); }
    7851             : GEN
    7852          70 : elltrace(GEN E, GEN P)
    7853             : {
    7854          70 :   pari_sp av = avma;
    7855          70 :   GEN xP, yP, T = NULL, Q, LP, M, K, U,V,R, xQ,yQ;
    7856             :   long v, n, i, j, d;
    7857             : 
    7858          70 :   checkell(E);
    7859          70 :   checkellpt(P);
    7860          70 :   if (ell_is_inf(P)) return gcopy(P); /* P == oo */
    7861          63 :   if (!oncurve(E,P))
    7862           0 :     pari_err_DOMAIN("elltrace", "point", "not on", strtoGENstr("E"), P);
    7863             :   /* More checks */
    7864             : 
    7865          63 :   xP = gel(P,1); yP = gel(P,2);
    7866          63 :   if (typ(xP)==t_POLMOD) { T = gel(xP,1); xP = gel(xP,2); }
    7867          63 :   if (typ(yP)==t_POLMOD)
    7868             :   {
    7869          63 :     if (T)
    7870             :     {
    7871          56 :       if (!gequal(gel(yP,1),T)) pari_err_MODULUS("elltrace",xP,yP);
    7872             :     }
    7873             :     else
    7874           7 :       T = gel(yP,1);
    7875          63 :     yP = gel(yP,2);
    7876             :   }
    7877          63 :   if (!T) pari_err_TYPE("elltrace",yP);
    7878          63 :   v = varn(T); n = degpol(T);
    7879             :   /* Trivial cases */
    7880          63 :   if (n == 1) { return gerepilecopy(av, mkvec2(xP,yP)); }
    7881          63 :   xP = to_RgX(xP, v);
    7882          63 :   yP = to_RgX(yP, v);
    7883          63 :   if (degpol(xP) <= 0)
    7884             :   {
    7885          28 :     if (degpol(yP) > 0) { set_avma(av); retmkvec(gen_0); }
    7886          14 :     P = mkvec2(constant_coeff(xP), constant_coeff(yP));
    7887          14 :     return gerepileupto(av, ellmul(E, P, utoipos(n)));
    7888             :   }
    7889             :   /* Strategy: look for a function with divisor equal to
    7890             :    *   [P_1] + ... + [P_n] + [-Tr(P)] - (n+1)[0]. */
    7891          35 :   LP = cgetg(n+2,t_VEC); /* basis of the Riemann-Roch space evaluated at P */
    7892          35 :   gel(LP,1) = pol_1(v);
    7893          35 :   gel(LP,2) = xP;
    7894          35 :   gel(LP,3) = yP;
    7895          84 :   for (i = 4; i <= n+1; i++) gel(LP,i) = RgXQ_mul(gel(LP,i-2), xP, T);
    7896          35 :   M = cgetg(n+2,t_MAT); /* functions defined over K vanishing at P */
    7897         189 :   for (j = 1; j <= n+1; j++)
    7898         714 :     for (i = 1; i <= n; i++) gel(M,j) = RgX_to_RgC(gel(LP,j), n);
    7899          35 :   K = gel(ker(M),1);
    7900             :   /* Coords on 1,x,y,x^2,xy,.. of function f of smallest degree vanishing at P
    7901             :    * div f = [P_1] + ... + [P_d] + [-Tr(P)] - (d+1)[0]
    7902             :    * with deg(K(P)) = d+1 if Tr(P) != 0; = d otherwise; f = U(x) + y*V(x) */
    7903          35 :   U = cgetg((n+1)/2+3,t_POL);
    7904          35 :   V = cgetg((n-2)/2+3,t_POL); U[1] = V[1] = evalvarn(0);
    7905          35 :   gel(U,2) = gel(K,1); /* Coef of 1 */
    7906         105 :   for(i = 1; 2*i <= n+1; i++) gel(U,i+2) = gel(K,2*i); /* Coef of x^i */
    7907          84 :   for(i = 0; 2*i+3 <= n+1; i++) gel(V,i+2) = gel(K,2*i+3); /* Coef of x^i*y */
    7908          35 :   U = normalizepol(U); V = normalizepol(V);
    7909             :   /* f does not depend on y, so trace = oo */
    7910          35 :   if (signe(V)==0) { set_avma(av); retmkvec(gen_0); }
    7911             :   /* Plug y = -U(x)/V(x) into Weierstrass equation:
    7912             :    * 0 = ((x^3+a2x^2+a4x+a6)*V + (a1x+a3)*U)*V - U^2 */
    7913          35 :   R = mkpoln(4, gen_1, ell_get_a2(E), ell_get_a4(E), ell_get_a6(E));
    7914          35 :   R = gmul(R, V);
    7915          35 :   R = gadd(R, gmul(U, mkpoln(2,ell_get_a1(E),ell_get_a3(E))));
    7916          35 :   R = gmul(R, V);
    7917          35 :   R = gsub(R, gsqr(U));
    7918             :   /* Discard Galois orbit of P */
    7919          35 :   R = RgX_div(R, RgXQ_minpoly(xP,T, 0));
    7920             :   /* What is left is either constant -> return 0, or deg 1 -> nontrivial trace. */
    7921          35 :   if(degpol(R)<=0) { set_avma(av); retmkvec(gen_0); }
    7922             :   /* Recover the trace */
    7923          28 :   xQ = gneg(gdiv(gel(R,2), gel(R,3)));
    7924          28 :   yQ = gneg(gdiv(poleval(U, xQ), poleval(V, xQ)));
    7925          28 :   Q = mkvec2(xQ, yQ);
    7926             :   /* So far, we have computed -Tr(P) over the extension K(P)/K
    7927             :    * we still need to compute [L:K(P)] */
    7928          28 :   d = 0;
    7929          42 :   for (i = n+1; i > 0; i--) if (!gequal0(gel(K,i))) { d = i; break; }
    7930          28 :   return gerepileupto(av, ellmul(E, Q, stoi(-n / (d-1))));
    7931             : }

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