Line data Source code
1 : /* Copyright (C) 2000 The PARI group.
2 :
3 : This file is part of the PARI/GP package.
4 :
5 : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
6 : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
7 : Foundation; either version 2 of the License, or (at your option) any later
8 : version. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
9 : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
10 :
11 : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
12 : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
13 : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
14 :
15 : /********************************************************************/
16 : /** **/
17 : /** ELLIPTIC CURVES **/
18 : /** **/
19 : /********************************************************************/
20 : #include "pari.h"
21 : #include "paripriv.h"
22 :
23 : #define DEBUGLEVEL DEBUGLEVEL_ell
24 :
25 : #undef coordch
26 :
27 : /* Transforms a curve E into short Weierstrass form E' modulo p.
28 : Returns a vector, the first two entries of which are a4' and a6'.
29 : The third entry is a vector describing the isomorphism E' \to E.
30 : */
31 :
32 : static ulong
33 1527536 : Fl_c4_to_a4(ulong c4, ulong p)
34 1527536 : { return Fl_neg(Fl_mul(c4, 27, p), p); }
35 : static ulong
36 1448251 : Fl_c6_to_a6(ulong c6, ulong p)
37 1448251 : { return Fl_neg(Fl_mul(c6, 54, p), p); }
38 : static void
39 1447595 : Fl_c4c6_to_a4a6(ulong c4, ulong c6, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
40 : {
41 1447595 : *a4 = Fl_c4_to_a4(c4, p);
42 1447574 : *a6 = Fl_c6_to_a6(c6, p);
43 1447871 : }
44 : static GEN
45 2883753 : c4_to_a4(GEN c4, GEN p)
46 2883753 : { return Fp_neg(Fp_mulu(c4, 27, p), p); }
47 : static void
48 2883766 : c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
49 : {
50 2883766 : *a4 = c4_to_a4(c4, p);
51 2883750 : *a6 = Fp_neg(Fp_mulu(c6, 54, p), p);
52 2883704 : }
53 : static GEN
54 93274 : Fq_c4_to_a4(GEN c4, GEN T, GEN p)
55 93274 : { return Fq_neg(Fq_mulu(c4, 27, T,p), T,p); }
56 : static void
57 93271 : Fq_c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN T, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
58 : {
59 93271 : *a4 = Fq_c4_to_a4(c4, T,p);
60 93259 : *a6 = Fq_neg(Fq_mulu(c6, 54, T,p), T,p);
61 93264 : }
62 : static void
63 2592369 : ell_to_a4a6(GEN E, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
64 : {
65 2592369 : GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
66 2592376 : GEN c6 = Rg_to_Fp(ell_get_c6(E),p);
67 2592362 : c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
68 2592300 : }
69 : static void
70 1447823 : Fl_ell_to_a4a6(GEN E, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
71 : {
72 1447823 : ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
73 1448043 : ulong c6 = Rg_to_Fl(ell_get_c6(E),p);
74 1447602 : Fl_c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
75 1447856 : }
76 :
77 : /* [6,3b2,3a1,108a3] */
78 : static GEN
79 151081 : a4a6_ch(GEN E, GEN p)
80 : {
81 151081 : GEN a1 = Rg_to_Fp(ell_get_a1(E),p);
82 151081 : GEN a3 = Rg_to_Fp(ell_get_a3(E),p);
83 151081 : GEN b2 = Rg_to_Fp(ell_get_b2(E),p);
84 151081 : retmkvec4(modsi(6,p),Fp_mulu(b2,3,p),Fp_mulu(a1,3,p),Fp_mulu(a3,108,p));
85 : }
86 : static GEN
87 91290 : a4a6_ch_Fl(GEN E, ulong p)
88 : {
89 91290 : ulong a1 = Rg_to_Fl(ell_get_a1(E),p);
90 91288 : ulong a3 = Rg_to_Fl(ell_get_a3(E),p);
91 91287 : ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E),p);
92 91286 : return mkvecsmall4(6 % p,Fl_mul(b2,3,p),Fl_mul(a1,3,p),Fl_mul(a3,108,p));
93 : }
94 :
95 : static GEN
96 151081 : ell_to_a4a6_bc(GEN E, GEN p)
97 : {
98 : GEN A4, A6;
99 151081 : ell_to_a4a6(E, p, &A4, &A6);
100 151081 : retmkvec3(A4, A6, a4a6_ch(E,p));
101 : }
102 : GEN
103 0 : point_to_a4a6(GEN E, GEN P, GEN p, GEN *pa4)
104 : {
105 0 : GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
106 0 : *pa4 = c4_to_a4(c4, p);
107 0 : return FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p), a4a6_ch(E,p), p);
108 : }
109 : GEN
110 64236 : point_to_a4a6_Fl(GEN E, GEN P, ulong p, ulong *pa4)
111 : {
112 64236 : ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
113 64236 : *pa4 = Fl_c4_to_a4(c4, p);
114 64236 : return Fle_changepointinv(RgV_to_Flv(P,p), a4a6_ch_Fl(E,p), p);
115 : }
116 :
117 : /* shallow basistoalg; true nf */
118 : static GEN
119 2127531 : nftoalg(GEN nf, GEN x)
120 : { /* hope for the best */
121 2127531 : if (typ(x) == t_POL && varn(x) != nf_get_varn(nf)) return x;
122 2127496 : return nf_to_scalar_or_polmod(nf, x);
123 : }
124 : static GEN
125 1352659 : nfVtoalg(GEN nf, GEN x) { pari_APPLY_same(nftoalg(nf,gel(x,i))); }
126 : static GEN
127 156933 : ellchangetoalg(GEN nf, GEN w)
128 : {
129 156933 : if (isint1(w)) return gen_1;
130 156933 : return nfVtoalg(nf, w);
131 : }
132 :
133 : static int
134 11361949 : isptcoord(GEN x)
135 : {
136 11361949 : switch(typ(x))
137 : {
138 11361760 : case t_INT:
139 : case t_REAL:
140 : case t_INTMOD:
141 : case t_FRAC:
142 : case t_FFELT:
143 : case t_COMPLEX:
144 : case t_PADIC:
145 : case t_QUAD:
146 : case t_POLMOD:
147 : case t_POL:
148 : case t_SER:
149 : case t_RFRAC:
150 11361760 : case t_COL: return 1; /* t_COL: nf elt */
151 : }
152 189 : return 0;
153 : }
154 :
155 : /* typ(z) == t_VEC. Is it (probably) a point ? */
156 : static int
157 5813904 : vecispt(GEN z)
158 : {
159 5813904 : switch(lg(z))
160 : {
161 132093 : case 2: return isintzero(gel(z,1));
162 5681062 : case 3: return isptcoord(gel(z,1)) && isptcoord(gel(z,2));
163 749 : default: return 0;
164 : }
165 : }
166 : int
167 5621907 : checkellpt_i(GEN z)
168 5621907 : { return typ(z) == t_VEC && vecispt(z); }
169 : void
170 0 : checkellpt(GEN z)
171 0 : { if (!checkellpt_i(z)) pari_err_TYPE("checkellpt", z); }
172 : void
173 228788 : checkell5(GEN E)
174 : {
175 228788 : long l = lg(E);
176 228788 : if (typ(E)!=t_VEC || (l != 17 && l != 6)) pari_err_TYPE("checkell5",E);
177 228788 : }
178 : void
179 7375176 : checkell(GEN E)
180 7375176 : { if (!checkell_i(E)) pari_err_TYPE("checkell",E); }
181 : void
182 3752 : checkellisog(GEN v)
183 3752 : { if (typ(v)!=t_VEC || lg(v) != 4) pari_err_TYPE("checkellisog",v); }
184 :
185 : void
186 8246 : checkell_Q(GEN E)
187 : {
188 8246 : if (!checkell_i(E) || ell_get_type(E)!=t_ELL_Q)
189 7 : pari_err_TYPE("checkell over Q",E);
190 8239 : }
191 :
192 : void
193 0 : checkell_Qp(GEN E)
194 : {
195 0 : if (!checkell_i(E) || ell_get_type(E)!=t_ELL_Qp)
196 0 : pari_err_TYPE("checkell over Qp",E);
197 0 : }
198 :
199 : static int
200 253918 : ell_over_Fq(GEN E)
201 : {
202 253918 : long t = ell_get_type(E);
203 253918 : return t==t_ELL_Fp || t==t_ELL_Fq;
204 : }
205 :
206 : void
207 253918 : checkell_Fq(GEN E)
208 : {
209 253918 : if (!checkell_i(E) || !ell_over_Fq(E)) pari_err_TYPE("checkell over Fq", E);
210 253911 : }
211 :
212 : GEN
213 386271 : ellff_get_p(GEN E)
214 : {
215 386271 : GEN fg = ellff_get_field(E);
216 386271 : return typ(fg)==t_INT? fg: FF_p_i(fg);
217 : }
218 :
219 : int
220 52753 : ell_is_integral(GEN E)
221 : {
222 52753 : return typ(ell_get_a1(E)) == t_INT
223 52711 : && typ(ell_get_a2(E)) == t_INT
224 52690 : && typ(ell_get_a3(E)) == t_INT
225 52690 : && typ(ell_get_a4(E)) == t_INT
226 105464 : && typ(ell_get_a6(E)) == t_INT;
227 : }
228 :
229 : /* 4 X^3 + b2 X^2 + 2b4 X + b6 */
230 : GEN
231 247747 : ec_bmodel(GEN e, long v)
232 : {
233 247747 : GEN b2 = ell_get_b2(e), b6 = ell_get_b6(e), b42 = gmul2n(ell_get_b4(e),1);
234 247747 : GEN P = mkpoln(4, utoipos(4), b2, b42, b6);
235 247747 : setvarn(P, v); return P;
236 : }
237 :
238 : /* X^4 - b4*X^2 - 2b6*X - b8 */
239 : GEN
240 105 : ec_phi2(GEN e, long v)
241 : {
242 105 : GEN b4 = ell_get_b4(e), b6 = ell_get_b6(e), b8 = ell_get_b8(e);
243 105 : GEN P = mkpoln(5, gen_1, gen_0, gneg(b4), gmul2n(gneg(b6),1), gneg(b8));
244 105 : setvarn(P, v); return P;
245 : }
246 :
247 : static int
248 236685 : invcmp(void *E, GEN x, GEN y) { (void)E; return -gcmp(x,y); }
249 :
250 : /* prec = working precision, prec0 = target precision */
251 : static GEN
252 231465 : doellR_roots_i(GEN e, long prec, long prec0)
253 : {
254 231465 : GEN d1, d2, d3, e1, e2, e3, R = cleanroots(ec_bmodel(e,0), prec);
255 231465 : long s = ellR_get_sign(e);
256 231465 : if (s > 0)
257 : { /* sort 3 real roots in decreasing order */
258 78895 : R = real_i(R);
259 78895 : gen_sort_inplace(R, NULL, &invcmp, NULL);
260 78895 : e1 = gel(R,1); e2 = gel(R,2); e3 = gel(R,3);
261 78895 : d3 = subrr(e1,e2);
262 78895 : d1 = subrr(e2,e3);
263 78895 : d2 = subrr(e1,e3);
264 78895 : if (realprec(d3) < prec0 || realprec(d1) < prec0) return NULL;
265 : } else {
266 152570 : e1 = gel(R,1); e2 = gel(R,2); e3 = gel(R,3);
267 152570 : if (s < 0)
268 : { /* make sure e1 is real, imag(e2) > 0 and imag(e3) < 0 */
269 90248 : e1 = real_i(e1);
270 90248 : if (signe(gel(e2,2)) < 0) swap(e2, e3);
271 90248 : d1 = mkcomplex(gen_0, gsub(gel(e2,2),gel(e3,2)));
272 : }
273 : else
274 62322 : d1 = gsub(e2,e3);
275 152570 : d3 = gsub(e1,e2);
276 152570 : d2 = gsub(e1,e3);
277 152570 : if (precision(d1) < prec0
278 152557 : || precision(d2) < prec0
279 152570 : || precision(d3) < prec0) return NULL;
280 : }
281 231427 : return mkcol6(e1,e2,e3,d1,d2,d3);
282 : }
283 : static GEN
284 170058 : doellR_roots(GEN e, long prec0)
285 : {
286 : long p;
287 170096 : for (p = prec0;; p = precdbl(p))
288 38 : {
289 170096 : GEN v = doellR_roots_i(e, p, prec0);
290 170096 : if (v) return v;
291 38 : if (DEBUGLEVEL) pari_warn(warnprec,"doellR_roots", p);
292 : }
293 : }
294 : static GEN
295 83056 : ellR_root(GEN e, long prec) { return gel(ellR_roots(e,prec),1); }
296 :
297 : /* Given E and the x-coordinate of a point Q = [xQ, yQ], return
298 : * f(xQ) = xQ^3 + E.a2 * xQ^2 + E.a4 * xQ + E.a6
299 : * where E is given by y^2 + h(x)y = f(x). */
300 : GEN
301 1196523 : ec_f_evalx(GEN E, GEN x)
302 : {
303 1196523 : pari_sp av = avma;
304 : GEN z;
305 1196523 : z = gadd(ell_get_a2(E),x);
306 1196523 : z = gadd(ell_get_a4(E), gmul(x,z));
307 1196523 : z = gadd(ell_get_a6(E), gmul(x,z));
308 1196523 : return gc_upto(av, z); /* ((x + E.a2) * x + E.a4) * x + E.a6 */
309 : }
310 :
311 : /* a1 x + a3 */
312 : GEN
313 5628281 : ec_h_evalx(GEN e, GEN x)
314 : {
315 5628281 : GEN a1 = ell_get_a1(e);
316 5628281 : GEN a3 = ell_get_a3(e);
317 5628281 : return gadd(a3, gmul(x,a1));
318 : }
319 : static GEN
320 1021279 : Zec_h_evalx(GEN e, GEN x)
321 : {
322 1021279 : GEN a1 = ell_get_a1(e);
323 1021279 : GEN a3 = ell_get_a3(e);
324 1021279 : return signe(a1)? addii(a3, mulii(x, a1)): a3;
325 : }
326 : /* y^2 + a1 xy + a3 y = y^2 + h(x)y */
327 : static GEN
328 129807 : ec_LHS_evalQ(GEN e, GEN Q)
329 : {
330 129807 : GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
331 129807 : return gmul(y, gadd(y, ec_h_evalx(e,x)));
332 : }
333 :
334 : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
335 : * 3 * xQ^2 + 2 * E.a2 * xQ + E.a4 - E.a1 * yQ.
336 : * which is the derivative of the curve equation
337 : * f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
338 : * wrt x evaluated at Q */
339 : GEN
340 135143 : ec_dFdx_evalQ(GEN E, GEN Q)
341 : {
342 135143 : pari_sp av = avma;
343 135143 : GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
344 135143 : GEN a1 = ell_get_a1(E);
345 135143 : GEN a2 = ell_get_a2(E);
346 135143 : GEN a4 = ell_get_a4(E);
347 135143 : GEN tmp = gmul(gadd(gmulsg(3L,x), gmul2n(a2,1)), x);
348 135143 : return gc_upto(av, gadd(tmp, gsub(a4, gmul(a1, y))));
349 : }
350 :
351 : /* 2y + a1 x + a3 = -ec_dFdy_evalQ */
352 : GEN
353 2083611 : ec_dmFdy_evalQ(GEN e, GEN Q)
354 : {
355 2083611 : GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
356 2083611 : return gadd(ec_h_evalx(e,x), gmul2n(y,1));
357 : }
358 : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
359 : * -(2 * yQ + E.a1 * xQ + E.a3)
360 : * which is the derivative of the curve equation
361 : * f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
362 : * wrt y evaluated at Q */
363 : GEN
364 532 : ec_dFdy_evalQ(GEN E, GEN Q)
365 : {
366 532 : pari_sp av = avma;
367 532 : return gc_upto(av, gneg(ec_dmFdy_evalQ(E,Q)));
368 : }
369 :
370 : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
371 : * 4 xQ^3 + E.b2 xQ^2 + 2 E.b4 xQ + E.b6
372 : * which is the 2-division polynomial of E evaluated at Q */
373 : GEN
374 29715 : ec_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
375 : {
376 29715 : pari_sp av = avma;
377 29715 : GEN b2 = ell_get_b2(E), x4 = gmul2n(x,2), t1, t2;
378 29715 : GEN b42 = gmul2n(ell_get_b4(E), 1);
379 29715 : GEN b6 = ell_get_b6(E);
380 29715 : if (ell_get_type(E) == t_ELL_NF && typ(x)==t_COL)
381 0 : {
382 0 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
383 0 : t1 = nfmul(nf, nfadd(nf, x4, b2), x);
384 0 : t2 = nfadd(nf, t1, b42);
385 0 : t2 = nfadd(nf, nfmul(nf, t2, x), b6);
386 0 : t2 = nftoalg(nf, t2);
387 : }
388 : else
389 : {
390 29715 : t1 = gmul(gadd(x4, b2), x);
391 29715 : t2 = gadd(t1, b42);
392 29715 : t2 = gadd(gmul(t2, x), b6);
393 : }
394 29715 : return gc_upto(av, t2);
395 : }
396 :
397 : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
398 : * 3 xQ^4 + E.b2 xQ^3 + 3 E.b4 xQ^2 + 3*E.b6 xQ + E.b8
399 : * which is the 3-division polynomial of E evaluated at Q */
400 : GEN
401 64856 : ec_3divpol_evalx(GEN E, GEN x)
402 : {
403 64856 : pari_sp av = avma;
404 64856 : GEN b2 = ell_get_b2(E);
405 64856 : GEN b4 = ell_get_b4(E);
406 64856 : GEN b6 = ell_get_b6(E);
407 64856 : GEN b8 = ell_get_b8(E);
408 64856 : GEN x2 = gsqr(x);
409 64856 : GEN t1 = gadd(gadd(gmulsg(3L, x2), gmul(b2, x)), gmulsg(3L, b4));
410 64856 : GEN t2 = gadd(gmul(gmulsg(3L, b6), x), b8);
411 64856 : return gc_upto(av, gadd(gmul(t1, x2), t2));
412 : }
413 :
414 : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
415 : * 6 xQ^2 + E.b2 xQ + E.b4
416 : * which, if f is the curve equation, is 2 dfdx - E.a1 dfdy evaluated at Q */
417 : GEN
418 812 : ec_half_deriv_2divpol(GEN E, long v)
419 812 : { return deg2pol_shallow(utoi(6), ell_get_b2(E), ell_get_b4(E), v); }
420 :
421 : GEN
422 707 : ec_half_deriv_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
423 : {
424 707 : pari_sp av = avma;
425 707 : GEN b2 = ell_get_b2(E);
426 707 : GEN b4 = ell_get_b4(E);
427 707 : GEN res = gadd(gmul(gadd(gmulsg(6L, x), b2), x), b4);
428 707 : return gc_upto(av, res);
429 : }
430 :
431 : /* Return the characteristic of the ring over which E is defined. */
432 : GEN
433 9394 : ellbasechar(GEN E)
434 : {
435 9394 : pari_sp av = avma;
436 9394 : GEN D = ell_get_disc(E);
437 9394 : return gc_INT(av, characteristic(D));
438 : }
439 :
440 : /* Initialize basic elliptic struct y[1..12] for initsmall
441 : * (do not include j to allow for singular Weistrass model)
442 : * Also allocate room for n dynamic members. */
443 : static GEN
444 261807 : initsmall46(GEN a4, GEN a6, long n)
445 : {
446 261807 : GEN y = obj_init(15, n);
447 261807 : gel(y,1) = gen_0;
448 261807 : gel(y,2) = gen_0;
449 261807 : gel(y,3) = gen_0;
450 261807 : gel(y,4) = a4;
451 261807 : gel(y,5) = a6;
452 261807 : gel(y,6) = gen_0;
453 261807 : gel(y,7) = gmul2n(a4,1);
454 261807 : gel(y,8) = gmul2n(a6,2);
455 261807 : gel(y,9) = gneg(gsqr(a4));
456 261807 : gel(y,10)= gmulgs(a4,-48);
457 261807 : gel(y,11)= gmulgs(a6,-864);
458 261807 : gel(y,12)= gadd(gmul(gmulgs(a4,-64), gsqr(a4)), gmulsg(-432,gsqr(a6)));
459 261807 : gel(y,16) = zerovec(n); return y;
460 : }
461 : /* [a1,a2,a3,a4,a6] */
462 : static GEN
463 1398765 : initsmall5(GEN x, long n)
464 : {
465 1398765 : GEN a1 = gel(x,1), a2 = gel(x,2), a3 = gel(x,3);
466 1398765 : GEN a4 = gel(x,4), a6 = gel(x,5);
467 : GEN y, b2, b4, b6, b8, c4, c6, D, a11, a13, a33, b22;
468 1398765 : if (gequal0(a1) && gequal0(a2) && gequal0(a3)) return initsmall46(a4, a6, n);
469 1182472 : a11= gsqr(a1);
470 1182472 : b2 = gadd(a11, gmul2n(a2,2));
471 1182472 : a13= gmul(a1, a3);
472 1182472 : b4 = gadd(a13, gmul2n(a4,1));
473 1182472 : a33= gsqr(a3);
474 1182472 : b6 = gadd(a33, gmul2n(a6,2));
475 1182472 : b8 = gsub(gadd(gmul(a11,a6), gmul(b6, a2)), gmul(a4, gadd(a4,a13)));
476 1182472 : b22= gsqr(b2);
477 1182472 : c4 = gadd(b22, gmulsg(-24,b4));
478 1182472 : c6 = gadd(gmul(b2,gsub(gmulsg(36,b4),b22)), gmulsg(-216,b6));
479 1182472 : D = gsub(gmul(b4, gadd(gmulsg(9,gmul(b2,b6)),gmulsg(-8,gsqr(b4)))),
480 : gadd(gmul(b22,b8),gmulsg(27,gsqr(b6))));
481 1182472 : y = obj_init(15, n);
482 1182472 : gel(y,1) = a1;
483 1182472 : gel(y,2) = a2;
484 1182472 : gel(y,3) = a3;
485 1182472 : gel(y,4) = a4;
486 1182472 : gel(y,5) = a6;
487 1182472 : gel(y,6) = b2; /* a1^2 + 4a2 */
488 1182472 : gel(y,7) = b4; /* a1 a3 + 2a4 */
489 1182472 : gel(y,8) = b6; /* a3^2 + 4 a6 */
490 1182472 : gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
491 1182472 : gel(y,10)= c4; /* b2^2 - 24 b4 */
492 1182472 : gel(y,11)= c6; /* 36 b2 b4 - b2^3 - 216 b6 */
493 1182472 : gel(y,12)= D;
494 1182472 : gel(y,16) = zerovec(n); return y;
495 : }
496 :
497 : static GEN
498 1436215 : get_j(GEN c4, GEN D)
499 : {
500 : GEN g, d, c;
501 1436215 : if (typ(D) != t_POL || typ(c4) != t_POL || varn(D) != varn(c4))
502 1435865 : return gdiv(gmul(gsqr(c4),c4), D);
503 : /* c4^3 / D, simplifying incrementally */
504 350 : g = RgX_gcd(D, c4);
505 350 : if (degpol(g) == 0) return gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c4), D);
506 42 : c = RgX_div(c4, g);
507 42 : D = RgX_div(D, g);
508 42 : g = RgX_gcd(D,c4);
509 42 : if (degpol(g) == 0) return gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c), D);
510 35 : D = RgX_div(D, g); d = RgX_div(c4, g);
511 35 : g = RgX_gcd(D,c4);
512 35 : if (degpol(g)) { D = RgX_div(D, g); c4 = RgX_div(c4, g); }
513 35 : return gred_rfrac_simple(gmul(gmul(c4, d),c), D);
514 : }
515 :
516 : /* return basic elliptic struct y[1..13], y[14] (domain type) and y[15]
517 : * (domain-specific data) are left uninitialized, from x[1], ..., x[5].
518 : * Also allocate room for n dynamic members (actually stored in the last
519 : * component y[16])*/
520 : static GEN
521 1444258 : initsmall(GEN x, long n)
522 : {
523 : GEN y, D;
524 :
525 1444258 : switch(lg(x))
526 : {
527 490 : case 2: y = initsmall5(ellfromj(gel(x,1)), n); break;
528 45514 : case 3: y = initsmall46(gel(x,1), gel(x,2), n); break;
529 1398254 : case 6:
530 1398254 : case 17: y = initsmall5(x, n); break;
531 0 : default:
532 0 : pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",x);
533 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
534 : }
535 1444258 : D = ell_get_disc(y); if (gequal0(D)) return NULL;
536 1436215 : gel(y,13) = get_j(ell_get_c4(y), D); return y;
537 : }
538 : void
539 0 : ellprint(GEN e)
540 : {
541 0 : pari_sp av = avma;
542 : long vx, vy;
543 : GEN z;
544 0 : checkell5(e);
545 0 : vx = fetch_var(); name_var(vx, "X");
546 0 : vy = fetch_var(); name_var(vy, "Y"); z = mkvec2(pol_x(vx), pol_x(vy));
547 0 : err_printf("%Ps - (%Ps)\n", ec_LHS_evalQ(e, z), ec_f_evalx(e, pol_x(vx)));
548 0 : (void)delete_var();
549 0 : (void)delete_var(); set_avma(av);
550 0 : }
551 :
552 : /* compute a,b such that E1: y^2 = x(x-a)(x-b) ~ E */
553 : static GEN
554 58842 : doellR_ab(GEN E, long prec)
555 : {
556 58842 : GEN b2 = ell_get_b2(E), R = ellR_roots(E, prec);
557 58842 : GEN e1 = gel(R,1), d2 = gel(R,5), d3 = gel(R,6), a, b, t;
558 :
559 58842 : t = gmul2n(gadd(mulur(12,e1), b2), -4); /* = (12 e1 + b2) / 16 */
560 58842 : if (ellR_get_sign(E) > 0)
561 26733 : b = mulrr(d3,d2);
562 : else
563 32109 : b = cxnorm(d3);
564 58842 : b = sqrtr(b); /* = sqrt( (e1 - e2)(e1 - e3) ) */
565 58842 : if (gsigne(t) > 0) togglesign(b);
566 58842 : a = gsub(gmul2n(b,-1),t);
567 58842 : return mkvec2(a, b);
568 : }
569 : GEN
570 83056 : ellR_ab(GEN E, long prec)
571 83056 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_AB, &doellR_ab, prec); }
572 :
573 : /* q a t_REAL*/
574 : static long
575 84 : real_prec(GEN q)
576 84 : { return signe(q)? realprec(q): LONG_MAX; }
577 : /* q a t_PADIC */
578 : static long
579 238 : padic_prec(GEN q)
580 238 : { return signe(padic_u(q))? precp(q)+valp(q): valp(q); }
581 :
582 : /* check whether moduli are consistent */
583 : static void
584 99589 : chk_p(GEN p, GEN p2)
585 99589 : { if (!equalii(p, p2)) pari_err_MODULUS("ellinit", p,p2); }
586 :
587 : static int
588 213367 : fix_nftype(GEN *pp)
589 : {
590 213367 : switch(nftyp(*pp))
591 : {
592 213367 : case typ_NF: case typ_BNF: break;
593 0 : case typ_BNR:*pp = bnr_get_bnf(*pp); break;
594 0 : default: return 0;
595 : }
596 213367 : return 1;
597 : }
598 : static long
599 1448843 : base_ring(GEN x, GEN *pp, long *prec)
600 : {
601 1448843 : long i, e = *prec, ep = LONG_MAX, imax = minss(lg(x), 6);
602 1448843 : GEN p = NULL, pol = NULL;
603 1448843 : long t = t_FRAC;
604 1448843 : if (*pp) switch(t = typ(*pp))
605 : {
606 510279 : case t_INT:
607 510279 : if (cmpis(*pp,2) < 0) { t = t_FRAC; p = NULL; break; }
608 2632 : p = *pp;
609 2632 : t = t_INTMOD;
610 2632 : break;
611 665 : case t_INTMOD:
612 665 : p = gel(*pp, 1);
613 665 : break;
614 28 : case t_REAL:
615 28 : e = real_prec(*pp);
616 28 : p = NULL;
617 28 : break;
618 217 : case t_PADIC:
619 217 : ep = padic_prec(*pp);
620 217 : p = padic_p(*pp);
621 217 : break;
622 1820 : case t_FFELT:
623 1820 : p = *pp;
624 1820 : break;
625 213367 : case t_VEC:
626 213367 : t = t_VEC; p = *pp;
627 213367 : if (fix_nftype(&p)) break;
628 : default:
629 7 : pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", *pp);
630 0 : return 0;
631 : }
632 1448836 : if (t==t_VEC) pol = nf_get_pol(checknf(p));
633 : /* Possible cases:
634 : * t = t_VEC (p an nf or bnf)
635 : * t = t_FFELT (p t_FFELT)
636 : * t = t_INTMOD (p a prime)
637 : * t = t_PADIC (p a prime, ep = padic prec)
638 : * t = t_REAL (p = NULL, e = real prec)
639 : * t = t_FRAC (p = NULL) */
640 8408620 : for (i = 1; i < imax; i++)
641 : {
642 6965552 : GEN p2, q = gel(x,i);
643 6965552 : switch(typ(q)) {
644 42 : case t_PADIC:
645 42 : p2 = padic_p(q);
646 : switch(t)
647 : {
648 21 : case t_FRAC: t = t_PADIC; p = p2; break;
649 7 : case t_PADIC: chk_p(p,p2); break;
650 14 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
651 : }
652 21 : ep = minss(ep, padic_prec(q));
653 21 : break;
654 124516 : case t_INTMOD:
655 124516 : p2 = gel(q,1);
656 : switch(t)
657 : {
658 24955 : case t_FRAC: t = t_INTMOD; p = p2; break;
659 49 : case t_FFELT: chk_p(FF_p_i(p),p2); break;
660 99498 : case t_INTMOD:chk_p(p,p2); break;
661 14 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
662 : }
663 124502 : break;
664 168585 : case t_FFELT:
665 : switch(t)
666 : {
667 21 : case t_INTMOD: chk_p(p, FF_p_i(q)); /* fall through */
668 85383 : case t_FRAC: t = t_FFELT; p = q; break;
669 83195 : case t_FFELT:
670 83195 : if (!FF_samefield(p,q) && FF_f(q)>1) pari_err_MODULUS("ellinit", p,q);
671 83195 : break;
672 0 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
673 : }
674 168578 : break;
675 :
676 6396994 : case t_INT: case t_FRAC: break;
677 56 : case t_REAL:
678 : switch(t)
679 : {
680 35 : case t_REAL: e = minss(e, real_prec(q)); break;
681 21 : case t_FRAC: e = real_prec(q); t = t_REAL; break;
682 0 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
683 : }
684 56 : break;
685 274078 : case t_POLMOD:
686 274078 : if (pol && !RgX_equal(pol, gel(q,1)))
687 7 : pari_err_MODULUS("ellinit",gel(q,1), pol);
688 : case t_COL:
689 : case t_POL:
690 275338 : if (t == t_VEC) break;
691 : default: /* base ring too general */
692 5719 : return t_COMPLEX;
693 : }
694 : }
695 1443068 : *pp = p; *prec = (t == t_PADIC)? ep: e; return t;
696 : }
697 :
698 : /* s = 0 complex, else real;
699 : * if (s = 2) set s = sign(D), else accept s as is */
700 : static GEN
701 67116 : ellinit_Rg(GEN x, long s, long prec)
702 : {
703 : GEN y;
704 67116 : if (lg(x) > 6) switch(ell_get_type(x))
705 : {
706 7 : case t_ELL_Rg:
707 7 : case t_ELL_Q: break;
708 7 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
709 : }
710 67109 : if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
711 67109 : if (s == 2) s = gsigne(ell_get_disc(y));
712 67109 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Rg);
713 67109 : gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec, s));
714 67109 : return y;
715 : }
716 :
717 : static GEN
718 203 : ellinit_Qp(GEN x, GEN p, long prec)
719 : {
720 : GEN y;
721 203 : if (lg(x) > 6)
722 : {
723 28 : switch(ell_get_type(x))
724 : { /* sanity checks */
725 21 : case t_ELL_Q: break;
726 7 : case t_ELL_Qp: chk_p(ellQp_get_p(x), p); break;
727 0 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
728 : }
729 21 : x = vecslice(x,1,5);
730 : }
731 196 : x = QpV_to_QV(x); /* make entries rational */
732 196 : if (!(y = initsmall(x, 2))) return NULL;
733 196 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Qp);
734 196 : gel(y,15) = mkvec(zeropadic_shallow(p, prec));
735 196 : return y;
736 : }
737 :
738 : static GEN
739 1023309 : ellinit_Q(GEN x, long prec)
740 : {
741 : GEN y;
742 : long s;
743 1023309 : if (!(y = initsmall(x, 8))) return NULL;
744 1023176 : s = gsigne( ell_get_disc(y) );
745 1023176 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Q);
746 1023176 : gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec, s));
747 1023176 : return y;
748 : }
749 :
750 : static GEN
751 73437 : ellinit_nf(GEN x, GEN p)
752 : {
753 : GEN y, nf;
754 73437 : if (lg(x) > 6) x = vecslice(x,1,5);
755 73437 : nf = checknf(p);
756 73437 : x = nfVtoalg(nf, x);
757 73437 : if (!(y = initsmall(x, 5))) return NULL;
758 73437 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_NF);
759 73437 : gel(y,15) = mkvec(p);
760 73437 : return y;
761 : }
762 :
763 : /* FF_ellinit allows singular cubic, return NULL in that case */
764 : static GEN
765 121216 : FF_ellinit_ns(GEN x, GEN fg)
766 : {
767 121216 : x = FF_ellinit(x,fg);
768 121216 : return FF_equal0(ell_get_disc(x))? NULL: x;
769 : }
770 :
771 : static GEN
772 1964060 : to_mod(GEN x, GEN p) { return mkintmod(Rg_to_Fp(x,p), p); }
773 : static GEN
774 165718 : ellinit_Fp(GEN x, GEN p)
775 : {
776 : long i;
777 : GEN y, disc;
778 165718 : if (lg(x) > 6) switch(ell_get_type(x))
779 : {
780 2429 : case t_ELL_Q: break;
781 0 : case t_ELL_Fp: chk_p(ellff_get_p(x),p); break;
782 7 : case t_ELL_Qp: chk_p(ellQp_get_p(x),p); break;
783 0 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
784 : }
785 165711 : if (lg(x) == 2) x = ellfromj(to_mod(gel(x,1), p));
786 165711 : if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
787 : /* ell_to_a4a6_bc does not handle p<=3 */
788 160769 : if (abscmpiu(p, 3) <= 0) return FF_ellinit_ns(y,p_to_FF(p,0));
789 151081 : disc = Rg_to_Fp(ell_get_disc(y),p);
790 151081 : if (!signe(disc)) return NULL;
791 2115036 : for(i = 1; i <= 13; i++) gel(y,i) = to_mod(gel(y,i),p);
792 151074 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Fp);
793 151074 : gel(y,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(y, p));
794 151074 : return y;
795 : }
796 :
797 : static GEN
798 114496 : ellinit_Fq(GEN x, GEN fg)
799 : {
800 : GEN y;
801 114496 : if (lg(x) == 2)
802 : {
803 33418 : GEN j = gel(x,1);
804 33418 : if (typ(j) != t_FFELT) j = Fq_to_FF(j, fg);
805 33418 : x = ellfromj(j);
806 : }
807 114496 : if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
808 111528 : return FF_ellinit_ns(y,fg);
809 : }
810 :
811 : static GEN
812 137753 : ellnf_to_Fq(GEN nf, GEN x, GEN P, GEN *pp, GEN *pT)
813 : {
814 137753 : GEN e = vecslice(x,1,5);
815 : GEN p, modP;
816 137753 : if (get_modpr(P))
817 : { /* modpr accept */
818 108731 : modP = P;
819 108731 : p = modpr_get_p(modP);
820 : }
821 : else
822 : { /* pr, initialize modpr */
823 29022 : GEN d = Q_denom(e);
824 29022 : p = pr_get_p(P);
825 29022 : modP = dvdii(d,p)? nfmodprinit(nf,P): zkmodprinit(nf,P);
826 : }
827 137753 : *pp = p;
828 137753 : *pT = modpr_get_T(modP);
829 137753 : return nfV_to_FqV(e, nf, modP);
830 : }
831 : static GEN
832 137732 : ellinit_nf_to_Fq(GEN nf, GEN E, GEN P)
833 : {
834 : GEN T,p;
835 137732 : E = ellnf_to_Fq(nf, E, P, &p, &T);
836 137732 : return T? ellinit_Fq(E,Tp_to_FF(T,p)): ellinit_Fp(E,p);
837 : }
838 :
839 : static GEN
840 1354651 : ellinit_i(GEN x, GEN D, long prec)
841 : {
842 : GEN y;
843 :
844 1354651 : switch(typ(x))
845 : {
846 1022 : case t_STR: x = gel(ellsearchcurve(x),2); break;
847 1353629 : case t_VEC:
848 1353629 : switch(lg(x))
849 : {
850 1353622 : case 2: case 3: case 6: case 17: break;
851 7 : default: pari_err_TYPE("ellinit",x);
852 : }
853 1353622 : break;
854 0 : default: pari_err_TYPE("ellinit",x);
855 : }
856 1354644 : if (D && get_prid(D))
857 : {
858 137249 : if (lg(x) == 6 || ell_get_type(x) != t_ELL_NF) pari_err_TYPE("ellinit",x);
859 137249 : return ellinit_nf_to_Fq(ellnf_get_nf(x), x, D);
860 : }
861 1217395 : switch (base_ring(x, &D, &prec))
862 : {
863 203 : case t_PADIC:
864 203 : y = ellinit_Qp(x, D, prec);
865 196 : break;
866 28217 : case t_INTMOD:
867 28217 : y = ellinit_Fp(x, D);
868 28210 : break;
869 87077 : case t_FFELT:
870 87077 : y = ellinit_Fq(x, D);
871 87077 : break;
872 1023309 : case t_FRAC:
873 1023309 : y = ellinit_Q(x, prec);
874 1023309 : break;
875 28 : case t_REAL:
876 28 : y = ellinit_Rg(x, 2, prec);
877 21 : break;
878 72786 : case t_VEC:
879 72786 : y = ellinit_nf(x, D);
880 72786 : break;
881 5719 : default:
882 5719 : y = ellinit_Rg(x, 0, prec);
883 : }
884 1217318 : return y;
885 : }
886 : GEN
887 1353622 : ellinit(GEN x, GEN D, long prec)
888 : {
889 1353622 : pari_sp av = avma;
890 1353622 : GEN y = ellinit_i(x, D, prec);
891 1353538 : if (!y) retgc_const(av, cgetg(1, t_VEC));
892 1345481 : return gc_GEN(av,y);
893 : }
894 :
895 : /********************************************************************/
896 : /** **/
897 : /** COORDINATE CHANGE **/
898 : /** Apply [u,r,s,t]. All coordch_* functions update E[1..14] only **/
899 : /** and copy E[15] (type-specific data), E[16] (dynamic data) **/
900 : /** verbatim **/
901 : /** **/
902 : /********************************************************************/
903 : /* [1,0,0,0] */
904 : static GEN
905 5090127 : init_ch(void) { return mkvec4(gen_1,gen_0,gen_0,gen_0); }
906 : /* if fun != NULL, check whether w is a valid change of variables
907 : * (raise type exception in 'fun' if not). Otherwise assume valid.
908 : * Return 1 if trivial change, 0 otherwise */
909 : static int
910 1357735 : is_trivial_change(GEN w, const char *fun)
911 : {
912 1357735 : if (fun)
913 : {
914 376615 : if (isint1(w)) return 1;
915 376594 : if (typ(w) != t_VEC || lg(w) != 5) pari_err_TYPE(fun, w);
916 : }
917 : else
918 981120 : if (typ(w) == t_INT) return 1;
919 2362032 : return isint1(gel(w,1)) && isintzero(gel(w,2))
920 2362032 : && isintzero(gel(w,3)) && isintzero(gel(w,4));
921 : }
922 :
923 : /* Accumulate the effects of variable changes w o v, where
924 : * w = [u,r,s,t], *vtotal = v = [U,R,S,T]. No assumption on types */
925 : static void
926 15911 : gcomposev(GEN *vtotal, GEN w)
927 : {
928 15911 : GEN v = *vtotal;
929 : GEN U2, U, R, S, T, u, r, s, t;
930 :
931 15911 : if (!v || typ(v) == t_INT) { *vtotal = w; return; }
932 15883 : U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
933 15883 : u = gel(w,1); r = gel(w,2); s = gel(w,3); t = gel(w,4);
934 15883 : U2 = NULL;
935 15883 : if (!gequal0(r))
936 : {
937 : GEN rU2;
938 14609 : U2 = gsqr(U); rU2 = gmul(U2, r);
939 14609 : R = gadd(R, rU2);
940 14609 : T = gadd(T, gmul(S, rU2));
941 : }
942 15883 : if (!gequal0(s)) S = gadd(S, gmul(U, s));
943 15883 : if (!gequal0(t))
944 : {
945 9107 : if (!U2) U2 = gsqr(U);
946 9107 : T = gadd(T, gmul(gmul(U,U2), t));
947 : }
948 15883 : gel(v,1) = gmul(U, u);
949 15883 : gel(v,2) = R;
950 15883 : gel(v,3) = S;
951 15883 : gel(v,4) = T;
952 : }
953 :
954 : /* [u,r,s,t]^-1 = [ 1/u,-r/u^2,-s/u, (rs-t)/u^3 ] */
955 : static GEN
956 49 : ellchangeinvert_i(GEN w)
957 : {
958 49 : GEN u = gel(w,1), r = gel(w,2), s = gel(w,3), t = gel(w,4);
959 49 : GEN u2 = gsqr(u), u3 = gmul(u2,u);
960 49 : GEN R = gneg(r), S = gneg(s);
961 49 : GEN T = gsub(gmul(r,s), t);
962 49 : retmkvec4(ginv(u),gdiv(R, u2), gdiv(S, u), gdiv(T, u3));
963 : }
964 :
965 : GEN
966 14 : ellchangeinvert(GEN E, GEN v)
967 : {
968 14 : pari_sp av = avma;
969 14 : checkell(E);
970 14 : if (ell_get_type(E) == t_ELL_NF) v = ellchangetoalg(ellnf_get_nf(E), v);
971 14 : if (is_trivial_change(v, "ellchangeinvert")) return gc_const(av, gen_1);
972 14 : return gc_upto(av, ellchangeinvert_i(v));
973 : }
974 :
975 : static GEN
976 42 : ellchangecompose_i(GEN v, GEN w)
977 : {
978 42 : GEN u = gel(v,1), r = gel(v,2), s = gel(v,3), t = gel(v,4);
979 42 : GEN uu = gel(w,1), rr = gel(w,2), ss = gel(w,3), tt = gel(w,4);
980 42 : GEN u2 = gsqr(u), u3 = gmul(u, u2);
981 42 : GEN R = gmul(rr,u2), S = gmul(ss,u);
982 42 : GEN T = gadd(gmul(tt,u3), gmul(s,R));
983 42 : retmkvec4(gmul(u,uu),gadd(r,R),gadd(s,S),gadd(t,T));
984 : }
985 :
986 : GEN
987 98 : ellchangecompose(GEN E, GEN v, GEN w)
988 : {
989 98 : pari_sp av = avma;
990 98 : GEN nf = NULL;
991 98 : checkell(E);
992 98 : if (ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
993 : {
994 7 : nf = ellnf_get_nf(E);
995 7 : v = ellchangetoalg(nf, v);
996 7 : w = ellchangetoalg(nf, w);
997 : }
998 98 : if (is_trivial_change(v, "ellchangecompose"))
999 : {
1000 42 : if (is_trivial_change(w, "ellchangecompose")) return gc_const(av, gen_1);
1001 28 : return nf? gc_GEN(av, w): gcopy(w);
1002 : }
1003 56 : if (is_trivial_change(w, "ellchajgecompose"))
1004 14 : return nf? gc_GEN(av, v): gcopy(v);
1005 42 : return gc_upto(av, ellchangecompose_i(v, w));
1006 : }
1007 :
1008 : static GEN
1009 181986 : ell_to_nfell10(GEN e)
1010 : {
1011 : long i;
1012 181986 : GEN nf = ellnf_get_nf(e);
1013 181986 : GEN y = cgetg(11,t_VEC);
1014 2001846 : for(i=1; i<=10; i++)
1015 1819860 : gel(y, i) = nf_to_scalar_or_basis(nf, gel(e, i));
1016 181986 : return y;
1017 : }
1018 :
1019 : /* apply [u^(-1),0,0,0] */
1020 : static GEN
1021 444206 : nf_coordch_uinv(GEN nf, GEN e, GEN u)
1022 : {
1023 : GEN y, u2, u3, u4, u6, u8;
1024 : long lx;
1025 444206 : if (gequal1(u)) return e;
1026 443737 : y = cgetg_copy(e, &lx);
1027 443737 : u2 = nfsqr(nf,u); u3 = nfmul(nf,u,u2); u4 = nfsqr(nf,u2);
1028 443737 : u6 = nfsqr(nf,u3); u8 = nfsqr(nf,u4);
1029 443737 : gel(y,1) = nfmul(nf,ell_get_a1(e), u);
1030 443737 : gel(y,2) = nfmul(nf,ell_get_a2(e), u2);
1031 443737 : gel(y,3) = nfmul(nf,ell_get_a3(e), u3);
1032 443737 : gel(y,4) = nfmul(nf,ell_get_a4(e), u4);
1033 443737 : gel(y,5) = nfmul(nf,ell_get_a6(e), u6);
1034 443737 : if (lx == 6) return y;
1035 443723 : gel(y,6) = nfmul(nf,ell_get_b2(e), u2);
1036 443723 : gel(y,7) = nfmul(nf,ell_get_b4(e), u4);
1037 443723 : gel(y,8) = nfmul(nf,ell_get_b6(e), u6);
1038 443723 : gel(y,9) = nfmul(nf,ell_get_b8(e), u8);
1039 443723 : return y;
1040 : }
1041 : /* apply [1,r,0,0] */
1042 : static GEN
1043 500026 : nf_coordch_r(GEN nf, GEN e, GEN r)
1044 : {
1045 : GEN a2, a4, b4, b6, y, p1, r2, b2r, rx3;
1046 : long lx;
1047 500026 : if (gequal0(r)) return e;
1048 420658 : y = cgetg_copy(e, &lx);
1049 420658 : a2 = ell_get_a2(e); a4 = ell_get_a4(e);
1050 420658 : rx3 = gmulsg(3,r);
1051 :
1052 420658 : gel(y,1) = ell_get_a1(e);
1053 : /* A2 = a2 + 3r */
1054 420658 : gel(y,2) = nfadd(nf,a2,rx3);
1055 : /* A3 = a1 r + a3 */
1056 420658 : gel(y,3) = nfadd(nf,ell_get_a3(e), nfmul(nf,ell_get_a1(e),r));
1057 : /* A4 = 3r^2 + 2a2 r + a4 */
1058 420658 : gel(y,4) = nfadd(nf,a4, nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmul2n(a2,1),rx3)));
1059 : /* A6 = r^3 + a2 r^2 + a4 r + a6 */
1060 420658 : gel(y,5) = nfadd(nf,ell_get_a6(e),nfmul(nf,r,nfadd(nf, a4, nfmul(nf,r,nfadd(nf,a2, r)))));
1061 420658 : if (lx == 6) return y;
1062 :
1063 420644 : b4 = ell_get_b4(e);
1064 420644 : b6 = ell_get_b6(e);
1065 : /* B2 = 12r + b2 */
1066 420644 : gel(y,6) = nfadd(nf,ell_get_b2(e),gmul2n(rx3,2));
1067 420644 : b2r = nfmul(nf,r, ell_get_b2(e));
1068 420644 : r2 = nfsqr(nf,r);
1069 : /* B4 = 6r^2 + b2 r + b4 */
1070 420644 : gel(y,7) = nfadd(nf,b4,nfadd(nf,b2r, gmulsg(6,r2)));
1071 : /* B6 = 4r^3 + 2b2 r^2 + 2b4 r + b6 */
1072 420644 : gel(y,8) = nfadd(nf,b6,nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmul2n(b4,1), nfadd(nf,b2r,gmul2n(r2,2)))));
1073 : /* B8 = 3r^4 + b2 r^3 + 3b4 r^2 + 3b6 r + b8 */
1074 420644 : p1 = nfadd(nf,gmulsg(3,b4),nfadd(nf,b2r, gmulsg(3,r2)));
1075 420644 : gel(y,9) = nfadd(nf,ell_get_b8(e), nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmulsg(3,b6), nfmul(nf,r,p1))));
1076 420644 : return y;
1077 : }
1078 :
1079 : static GEN
1080 184658 : nf_coordch_s(GEN nf, GEN e, GEN s)
1081 : {
1082 : GEN a1, y;
1083 184658 : if (gequal0(s)) return e;
1084 184658 : a1 = ell_get_a1(e);
1085 184658 : y = leafcopy(e);
1086 :
1087 : /* A1 = a1 + 2s */
1088 184658 : gel(y,1) = nfadd(nf,a1,gmul2n(s,1));
1089 : /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
1090 184658 : gel(y,2) = nfsub(nf,ell_get_a2(e),nfmul(nf,s,nfadd(nf,a1,s)));
1091 : /* A4 = a4 - s a3 */
1092 184658 : gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e),nfmul(nf,s,ell_get_a3(e)));
1093 184658 : return y;
1094 : }
1095 : /* apply [1,0,0,t] */
1096 : static GEN
1097 407583 : nf_coordch_t(GEN nf, GEN e, GEN t)
1098 : {
1099 : GEN a1, a3, y;
1100 407583 : if (gequal0(t)) return e;
1101 407100 : a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
1102 407100 : y = leafcopy(e);
1103 : /* A3 = 2t + a3 */
1104 407100 : gel(y,3) = nfadd(nf,a3, gmul2n(t,1));
1105 : /* A4 = a4 - a1 t */
1106 407100 : gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e), nfmul(nf,t,a1));
1107 : /* A6 = a6 - t(t + a3) */
1108 407100 : gel(y,5) = nfsub(nf,ell_get_a6(e), nfmul(nf,t,nfadd(nf,t, a3)));
1109 407100 : return y;
1110 : }
1111 :
1112 : /* apply [1,0,s,t] */
1113 : static GEN
1114 19406 : nf_coordch_st(GEN nf, GEN e, GEN s, GEN t)
1115 : {
1116 : GEN y, a1, a3;
1117 19406 : if (gequal0(s)) return nf_coordch_t(nf, e, t);
1118 18923 : if (gequal0(t)) return nf_coordch_s(nf, e, s);
1119 18923 : a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
1120 18923 : y = leafcopy(e);
1121 : /* A1 = a1 + 2s */
1122 18923 : gel(y,1) = nfadd(nf,a1,gmul2n(s,1));
1123 : /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
1124 18923 : gel(y,2) = nfsub(nf,ell_get_a2(e),nfmul(nf,s,nfadd(nf,a1,s)));
1125 : /* A3 = 2t + a3 */
1126 18923 : gel(y,3) = nfadd(nf,a3,gmul2n(t,1));
1127 : /* A4 = a4 - (a1 t + s (2t + a3)) */
1128 18923 : gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e),nfadd(nf,nfmul(nf,t,a1),nfmul(nf,s,gel(y,3))));
1129 : /* A6 = a6 - t(t + a3) */
1130 18923 : gel(y,5) = nfsub(nf,ell_get_a6(e), nfmul(nf,t,nfadd(nf,t, a3)));
1131 18923 : return y;
1132 : }
1133 :
1134 : static GEN
1135 301564 : nf_coordch_rt(GEN nf, GEN e, GEN r, GEN t)
1136 : {
1137 301564 : e = nf_coordch_r(nf, e, r);
1138 301564 : return nf_coordch_t(nf, e, t);
1139 : }
1140 :
1141 : /* apply [1,r,s,t] */
1142 : static GEN
1143 483 : nf_coordch_rst(GEN nf, GEN e, GEN r, GEN s, GEN t)
1144 : {
1145 483 : e = nf_coordch_r(nf, e, r);
1146 483 : return nf_coordch_st(nf, e, s, t);
1147 : }
1148 : /* apply w = [u,r,s,t] */
1149 : static GEN
1150 483 : nf_coordch(GEN nf, GEN e, GEN w)
1151 : {
1152 483 : if (typ(w) == t_INT) return e;
1153 483 : e = nf_coordch_rst(nf, e, gel(w,2), gel(w,3), gel(w,4));
1154 483 : return nf_coordch_uinv(nf, e, nfinv(nf, gel(w,1)));
1155 : }
1156 :
1157 : /* apply [u^(-1),0,0,0] */
1158 : static GEN
1159 229824 : coordch_uinv(GEN e, GEN u)
1160 : {
1161 : GEN y, u2, u3, u4, u6, u12, D, c4, c6;
1162 : long lx;
1163 229824 : if (gequal1(u)) return e;
1164 224616 : y = cgetg_copy(e, &lx);
1165 224616 : u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2); u4 = gsqr(u2); u6 = gsqr(u3);
1166 224616 : gel(y,1) = gmul(ell_get_a1(e), u);
1167 224616 : gel(y,2) = gmul(ell_get_a2(e), u2);
1168 224616 : gel(y,3) = gmul(ell_get_a3(e), u3);
1169 224616 : gel(y,4) = gmul(ell_get_a4(e), u4);
1170 224616 : gel(y,5) = gmul(ell_get_a6(e), u6);
1171 224616 : if (lx == 6) return y;
1172 224616 : gel(y,6) = gmul(ell_get_b2(e), u2);
1173 224616 : gel(y,7) = gmul(ell_get_b4(e), u4);
1174 224616 : gel(y,8) = gmul(ell_get_b6(e), u6);
1175 224616 : gel(y,9) = gmul(ell_get_b8(e), gsqr(u4));
1176 224616 : u12 = gsqr(u6);
1177 224616 : D = ell_get_disc(e);
1178 224616 : c4 = ell_get_c4(e);
1179 224616 : c6 = ell_get_c6(e);
1180 224616 : c4 = gmul(c4, u4);
1181 224616 : c6 = gmul(c6, u6);
1182 224616 : D = gmul(D, u12);
1183 224616 : gel(y,10)= c4;
1184 224616 : gel(y,11)= c6;
1185 224616 : gel(y,12)= D;
1186 224616 : gel(y,13)= ell_get_j(e);
1187 224616 : gel(y,14)= gel(e,14);
1188 224616 : gel(y,15)= gel(e,15);
1189 224616 : gel(y,16)= gel(e,16);
1190 224616 : return y;
1191 : }
1192 : /* apply [1,r,0,0] */
1193 : static GEN
1194 1264564 : coordch_r(GEN e, GEN r)
1195 : {
1196 : GEN a2, b4, b6, y, p1, r2, b2r, rx3;
1197 1264564 : if (gequal0(r)) return e;
1198 1063664 : y = leafcopy(e);
1199 1063664 : a2 = ell_get_a2(e);
1200 1063664 : rx3 = gmulsg(3,r);
1201 :
1202 : /* A2 = a2 + 3r */
1203 1063664 : gel(y,2) = gadd(a2,rx3);
1204 : /* A3 = a1 r + a3 */
1205 1063664 : gel(y,3) = ec_h_evalx(e,r);
1206 : /* A4 = 3r^2 + 2a2 r + a4 */
1207 1063664 : gel(y,4) = gadd(ell_get_a4(e), gmul(r,gadd(gmul2n(a2,1),rx3)));
1208 : /* A6 = r^3 + a2 r^2 + a4 r + a6 */
1209 1063664 : gel(y,5) = ec_f_evalx(e,r);
1210 1063664 : if (lg(y) == 6) return y;
1211 :
1212 1063657 : b4 = ell_get_b4(e);
1213 1063657 : b6 = ell_get_b6(e);
1214 : /* B2 = 12r + b2 */
1215 1063657 : gel(y,6) = gadd(ell_get_b2(e),gmul2n(rx3,2));
1216 1063657 : b2r = gmul(r, ell_get_b2(e));
1217 1063657 : r2 = gsqr(r);
1218 : /* B4 = 6r^2 + b2 r + b4 */
1219 1063657 : gel(y,7) = gadd(b4,gadd(b2r, gmulsg(6,r2)));
1220 : /* B6 = 4r^3 + 2b2 r^2 + 2b4 r + b6 */
1221 1063657 : gel(y,8) = gadd(b6,gmul(r,gadd(gmul2n(b4,1), gadd(b2r,gmul2n(r2,2)))));
1222 : /* B8 = 3r^4 + b2 r^3 + 3b4 r^2 + 3b6 r + b8 */
1223 1063657 : p1 = gadd(gmulsg(3,b4),gadd(b2r, gmulsg(3,r2)));
1224 1063657 : gel(y,9) = gadd(ell_get_b8(e), gmul(r,gadd(gmulsg(3,b6), gmul(r,p1))));
1225 1063657 : return y;
1226 : }
1227 : /* apply [1,0,s,0] */
1228 : static GEN
1229 231147 : coordch_s(GEN e, GEN s)
1230 : {
1231 : GEN a1, y;
1232 231147 : if (gequal0(s)) return e;
1233 231147 : a1 = ell_get_a1(e);
1234 231147 : y = leafcopy(e);
1235 :
1236 : /* A1 = a1 + 2s */
1237 231147 : gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
1238 : /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
1239 231147 : gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
1240 : /* A4 = a4 - s a3 */
1241 231147 : gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gmul(s,ell_get_a3(e)));
1242 231147 : return y;
1243 : }
1244 : /* apply [1,0,0,t] */
1245 : static GEN
1246 683263 : coordch_t(GEN e, GEN t)
1247 : {
1248 : GEN a1, a3, y;
1249 683263 : if (gequal0(t)) return e;
1250 546567 : a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
1251 546567 : y = leafcopy(e);
1252 : /* A3 = 2t + a3 */
1253 546567 : gel(y,3) = gadd(a3, gmul2n(t,1));
1254 : /* A4 = a4 - a1 t */
1255 546567 : gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e), gmul(t,a1));
1256 : /* A6 = a6 - t(t + a3) */
1257 546567 : gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
1258 546567 : return y;
1259 : }
1260 : /* apply [1,0,s,t] */
1261 : static GEN
1262 751044 : coordch_st(GEN e, GEN s, GEN t)
1263 : {
1264 : GEN y, a1, a3;
1265 751044 : if (gequal0(s)) return coordch_t(e, t);
1266 547589 : if (gequal0(t)) return coordch_s(e, s);
1267 316442 : a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
1268 316442 : y = leafcopy(e);
1269 : /* A1 = a1 + 2s */
1270 316442 : gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
1271 : /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
1272 316442 : gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
1273 : /* A3 = 2t + a3 */
1274 316442 : gel(y,3) = gadd(a3,gmul2n(t,1));
1275 : /* A4 = a4 - (a1 t + s (2t + a3)) */
1276 316442 : gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gadd(gmul(t,a1),gmul(s,gel(y,3))));
1277 : /* A6 = a6 - t(t + a3) */
1278 316442 : gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
1279 316442 : return y;
1280 : }
1281 : /* apply [1,r,s,t] */
1282 : static GEN
1283 751044 : coordch_rst(GEN e, GEN r, GEN s, GEN t)
1284 : {
1285 751044 : e = coordch_r(e, r);
1286 751044 : return coordch_st(e, s, t);
1287 : }
1288 : /* apply valid change of variable w */
1289 : static GEN
1290 213157 : coordch(GEN e, GEN w)
1291 : {
1292 213157 : if (typ(w) == t_INT) return e;
1293 213157 : e = coordch_rst(e, gel(w,2), gel(w,3), gel(w,4));
1294 213157 : return coordch_uinv(e, ginv(gel(w,1)));
1295 : }
1296 :
1297 : /* the ch_* routines update E[14] (type), E[15] (type specific data), E[16]
1298 : * (dynamic data) */
1299 : static GEN
1300 21 : ch_Qp(GEN E, GEN e, GEN w)
1301 : {
1302 21 : GEN S, p = ellQp_get_zero(E), u2 = NULL, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
1303 21 : long prec = valp(p);
1304 21 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_PADIC) return ellinit(E, p, prec);
1305 21 : if ((S = obj_check(e, Qp_ROOT)))
1306 : {
1307 7 : if (!u2) u2 = gsqr(u);
1308 7 : obj_insert_shallow(E, Qp_ROOT, gdiv(gsub(S, r), u2));
1309 : }
1310 21 : if ((S = obj_check(e, Qp_TATE)))
1311 : {
1312 7 : GEN U2 = gel(S,1), U = gel(S,2), Q = gel(S,3), AB = gel(S,4), L = gel(S,5);
1313 7 : if (!u2) u2 = gsqr(u);
1314 7 : U2 = gmul(U2, u2);
1315 7 : U = gmul(U, u);
1316 7 : AB = gdiv(AB, u2);
1317 7 : obj_insert_shallow(E, Qp_TATE, mkvec5(U2,U,Q,AB,L));
1318 : }
1319 21 : return E;
1320 : }
1321 :
1322 : /* common to Q and Rg */
1323 : static GEN
1324 90720 : ch_R(GEN E, GEN e, GEN w)
1325 : {
1326 90720 : GEN S, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
1327 90720 : if ((S = obj_check(e, R_PERIODS)))
1328 28 : obj_insert_shallow(E, R_PERIODS, gmul(S, u));
1329 90720 : if ((S = obj_check(e, R_ETA)))
1330 21 : obj_insert_shallow(E, R_ETA, gmul(S, u));
1331 90720 : if ((S = obj_check(e, R_ROOTS)))
1332 : {
1333 28 : GEN ro = cgetg(7, t_VEC), u2 = gsqr(u);
1334 : long i;
1335 112 : for (i = 1; i <= 3; i++) gel(ro,i) = gdiv(gsub(gel(S,i), r), u2);
1336 112 : for (i = 4; i <= 6; i++) gel(ro,i) = gdiv(gel(S,i), u2);
1337 28 : obj_insert_shallow(E, R_ROOTS, ro);
1338 : }
1339 90720 : return E;
1340 : }
1341 :
1342 : static GEN
1343 7 : ch_Rg(GEN E, GEN e, GEN w)
1344 : {
1345 7 : GEN p = NULL;
1346 7 : long prec = ellR_get_prec(E);
1347 7 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_REAL) return ellinit(E, p, prec);
1348 7 : ch_R(E, e, w); return E;
1349 : }
1350 :
1351 : /* w valid change of variables in alg form */
1352 : static GEN
1353 140574 : ch_NF(GEN E, GEN e, GEN w)
1354 : {
1355 140574 : long prec = ellR_get_prec(E);
1356 140574 : GEN S, p = ellnf_get_nf(E);
1357 140574 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_VEC) return ellinit(E, p, prec);
1358 140574 : if ((S = obj_check(e, NF_MINIMALMODEL)))
1359 : {
1360 14 : if (lg(S) == 1)
1361 : { /* model was minimal */
1362 0 : if (!is_trivial_change(w, NULL)) /* no longer minimal */
1363 0 : S = mkvec2(ellchangeinvert_i(w), e);
1364 : }
1365 14 : else if (lg(S)==3)
1366 : {
1367 14 : GEN v = gel(S,1);
1368 28 : if (gequal(v, w) ||
1369 14 : (is_trivial_change(v, NULL) && is_trivial_change(w, NULL)))
1370 0 : S = cgetg(1,t_VEC); /* now minimal */
1371 : else
1372 : {
1373 14 : w = ellchangeinvert_i(w);
1374 14 : gcomposev(&w, v);
1375 14 : S = mkvec2(w, gel(S,2));
1376 : }
1377 : }
1378 14 : (void)obj_insert_shallow(E, NF_MINIMALMODEL, S);
1379 : }
1380 140574 : if ((S = obj_check(e, NF_GLOBALRED)))
1381 14 : S = obj_insert_shallow(E, NF_GLOBALRED, S);
1382 140574 : if ((S = obj_check(e, NF_ROOTNO)))
1383 14 : S = obj_insert_shallow(E, NF_ROOTNO, S);
1384 140574 : if ((S = obj_check(e, NF_NF)))
1385 68957 : S = obj_insert_shallow(E, NF_NF, S);
1386 140574 : return E;
1387 : }
1388 :
1389 : /* w valid change of variable */
1390 : static GEN
1391 90720 : ch_Q(GEN E, GEN e, GEN w)
1392 : {
1393 90720 : long prec = ellR_get_prec(E);
1394 90720 : GEN S, p = NULL;
1395 90720 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FRAC) return ellinit(E, p, prec);
1396 90713 : ch_R(E, e, w);
1397 90713 : if ((S = obj_check(e, Q_GROUPGEN)))
1398 0 : S = obj_insert_shallow(E, Q_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
1399 90713 : if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
1400 : {
1401 19033 : if (lg(S) == 2)
1402 : { /* model was minimal */
1403 7 : if (!is_trivial_change(w, NULL)) /* no longer minimal */
1404 7 : S = mkvec3(gel(S,1), ellchangeinvert_i(w), e);
1405 : }
1406 : else
1407 : {
1408 19026 : GEN v = gel(S,2);
1409 19026 : if (gequal(v, w)
1410 7 : || (is_trivial_change(v, NULL) && is_trivial_change(w, NULL)))
1411 19019 : S = mkvec(gel(S,1)); /* now minimal */
1412 : else
1413 : {
1414 7 : w = ellchangeinvert_i(w);
1415 7 : gcomposev(&w, v);
1416 7 : S = leafcopy(S); /* don't modify S in place: would corrupt e */
1417 7 : gel(S,2) = w;
1418 : }
1419 : }
1420 19033 : (void)obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, S);
1421 : }
1422 90713 : if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
1423 14 : S = obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
1424 90713 : if ((S = obj_check(e, Q_ROOTNO)))
1425 0 : S = obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S);
1426 90713 : return E;
1427 : }
1428 :
1429 : static void
1430 126 : ch_FF(GEN E, GEN e, GEN w)
1431 : {
1432 : GEN S;
1433 126 : if ((S = obj_check(e, FF_CARD)))
1434 21 : S = obj_insert_shallow(E, FF_CARD, S);
1435 126 : if ((S = obj_check(e, FF_GROUP)))
1436 21 : S = obj_insert_shallow(E, FF_GROUP, S);
1437 126 : if ((S = obj_check(e, FF_GROUPGEN)))
1438 21 : S = obj_insert_shallow(E, FF_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
1439 126 : if ((S = obj_check(e, FF_O)))
1440 21 : S = obj_insert_shallow(E, FF_O, S);
1441 126 : }
1442 :
1443 : /* FF_CARD, FF_GROUP, FF_O are invariant */
1444 : static GEN
1445 7 : ch_Fp(GEN E, GEN e, GEN w)
1446 : {
1447 7 : long prec = 0;
1448 7 : GEN p = ellff_get_field(E);
1449 7 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_INTMOD) return ellinit(E, p, prec);
1450 7 : gel(E,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(E, p));
1451 7 : ch_FF(E, e, w); return E;
1452 : }
1453 : static GEN
1454 119 : ch_Fq(GEN E, GEN e, GEN w)
1455 : {
1456 119 : long prec = 0;
1457 119 : GEN p = ellff_get_field(E);
1458 119 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FFELT) return ellinit(E, p, prec);
1459 119 : gel(E,15) = FF_elldata(E, p);
1460 119 : ch_FF(E, e, w); return E;
1461 : }
1462 :
1463 : static void
1464 213402 : ell_reset(GEN E)
1465 213402 : { gel(E,16) = zerovec(lg(gel(E,16))-1); }
1466 :
1467 : GEN
1468 228788 : ellchangecurve(GEN e, GEN w)
1469 : {
1470 228788 : pari_sp av = avma;
1471 228788 : GEN E, nf = NULL;
1472 228788 : checkell5(e);
1473 228788 : if (lg(e) != 6 && ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
1474 : {
1475 156877 : nf = ellnf_get_nf(e);
1476 156877 : w = ellchangetoalg(nf, w);
1477 : }
1478 228788 : if (is_trivial_change(w, "ellchangecurve"))
1479 : {
1480 16338 : set_avma(av);
1481 16338 : return gcopy(e);
1482 : }
1483 212443 : E = coordch(leafcopy(e), w);
1484 212443 : if (lg(E) != 6)
1485 : {
1486 212436 : ell_reset(E);
1487 212436 : switch(ell_get_type(E))
1488 : {
1489 21 : case t_ELL_Qp: E = ch_Qp(E,e,w); break;
1490 7 : case t_ELL_Fp: E = ch_Fp(E,e,w); break;
1491 119 : case t_ELL_Fq: E = ch_Fq(E,e,w); break;
1492 71708 : case t_ELL_Q: E = ch_Q(E,e,w); break;
1493 7 : case t_ELL_Rg: E = ch_Rg(E,e,w); break;
1494 140574 : case t_ELL_NF: E = ch_NF(E,e,w); break;
1495 : }
1496 : }
1497 212443 : return gc_GEN(av, E);
1498 : }
1499 :
1500 : static GEN
1501 7 : ellQ_isisom(GEN E, GEN F)
1502 : {
1503 7 : pari_sp av = avma;
1504 : GEN j, u, r, s, t, u2, u3;
1505 : GEN Ea1, Ea2, Ea3, Ec4, Ec6, Fa1, Fa2, Fa3, Fc4, Fc6;
1506 7 : j = ell_get_j(E);
1507 7 : if (!gequal(j, ell_get_j(F))) return gen_0;
1508 7 : Ec4 = ell_get_c4(E); Ec6 = ell_get_c6(E);
1509 7 : Fc4 = ell_get_c4(F); Fc6 = ell_get_c6(F);
1510 7 : if (gequal0(j))
1511 : {
1512 0 : if (!ispower(gdiv(Ec6, Fc6), utoi(6), &u))
1513 0 : return gc_const(av, gen_0);
1514 7 : } else if(gequalgs(j, 1728))
1515 : {
1516 0 : if (!ispower(gdiv(Ec4, Fc4), utoi(4), &u))
1517 0 : return gc_const(av, gen_0);
1518 : } else
1519 : {
1520 7 : if (!issquareall(gdiv(gmul(Fc4, Ec6),gmul(Fc6,Ec4)),&u))
1521 0 : return gc_const(av, gen_0);
1522 : }
1523 7 : Ea1 = ell_get_a1(E); Ea2 = ell_get_a2(E); Ea3 = ell_get_a3(E);
1524 7 : Fa1 = ell_get_a1(F); Fa2 = ell_get_a2(F); Fa3 = ell_get_a3(F);
1525 7 : u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2);
1526 7 : s = gdivgs(gsub(gmul(u, Fa1), Ea1), 2);
1527 7 : r = gdivgs(gadd(gsub(gadd(gmul(u2, Fa2), gmul(s, Ea1)), Ea2), gsqr(s)), 3);
1528 7 : t = gdivgs(gsub(gsub(gmul(u3, Fa3), gmul(r, Ea1)), Ea3), 2);
1529 7 : return gc_GEN(av, mkvec4(u,r,s,t));
1530 : }
1531 :
1532 : static GEN
1533 7 : ellnf_isisom(GEN nf, GEN E, GEN F)
1534 : {
1535 7 : pari_sp av = avma;
1536 : GEN j, u, r, s, t, u2, u3;
1537 : GEN Ea1, Ea2, Ea3, Ec4, Ec6, Fa1, Fa2, Fa3, Fc4, Fc6;
1538 7 : j = nf_to_scalar_or_alg(nf, ell_get_j(E));
1539 7 : if (!gequal(j, nf_to_scalar_or_alg(nf, ell_get_j(F))))
1540 0 : return gc_const(av, gen_0);
1541 7 : Ec4 = ell_get_c4(E); Ec6 = ell_get_c6(E);
1542 7 : Fc4 = ell_get_c4(F); Fc6 = ell_get_c6(F);
1543 7 : if (gequal0(j))
1544 : {
1545 0 : if (!nfispower(nf, nfdiv(nf, Ec6, Fc6), 6, &u))
1546 0 : return gc_const(av, gen_0);
1547 7 : } else if(gequalgs(j, 1728))
1548 : {
1549 0 : if (!nfispower(nf, nfdiv(nf, Ec4, Fc4), 4, &u))
1550 0 : return gc_const(av, gen_0);
1551 : } else
1552 : {
1553 7 : if (!nfissquare(nf, nfdiv(nf, nfmul(nf, Fc4, Ec6), nfmul(nf, Fc6,Ec4)), &u))
1554 0 : return gc_const(av, gen_0);
1555 : }
1556 7 : Ea1 = ell_get_a1(E); Ea2 = ell_get_a2(E); Ea3 = ell_get_a3(E);
1557 7 : Fa1 = ell_get_a1(F); Fa2 = ell_get_a2(F); Fa3 = ell_get_a3(F);
1558 7 : u2 = nfsqr(nf,u); u3 = nfmul(nf,u,u2);
1559 7 : s = gdivgs(nfsub(nf, nfmul(nf, u, Fa1), Ea1),2);
1560 7 : r = gdivgs(nfadd(nf, nfsub(nf, nfadd(nf, nfmul(nf, u2, Fa2), nfmul(nf, s, Ea1)), Ea2), nfsqr(nf, s)), 3);
1561 7 : t = gdivgs(nfsub(nf, nfsub(nf, nfmul(nf, u3, Fa3), nfmul(nf, r, Ea1)), Ea3), 2);
1562 7 : u = nftoalg(nf, u);
1563 7 : r = nftoalg(nf, r);
1564 7 : s = nftoalg(nf, s);
1565 7 : t = nftoalg(nf, t); return gc_GEN(av, mkvec4(u,r,s,t));
1566 : }
1567 :
1568 : GEN
1569 14 : ellisisom(GEN E, GEN F)
1570 : {
1571 14 : checkell(E); checkell(F);
1572 14 : if (ell_get_type(E)!=ell_get_type(F))
1573 0 : pari_err_TYPE("ellisisom", mkvec2(E,F));
1574 14 : switch(ell_get_type(E))
1575 : {
1576 7 : case t_ELL_Q:
1577 7 : return ellQ_isisom(E, F);
1578 7 : case t_ELL_NF:
1579 7 : if (gequal(ellnf_get_nf(E), ellnf_get_nf(F)))
1580 7 : return ellnf_isisom(ellnf_get_nf(E), E, F);
1581 : default: /*FALL THROUGH*/
1582 0 : pari_err_TYPE("ellisisom", mkvec2(E,F));
1583 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
1584 : }
1585 : }
1586 :
1587 : /* v o= [1,r,0,0] */
1588 : static void
1589 479434 : nf_compose_r(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN r)
1590 : {
1591 479434 : GEN v = *vtotal;
1592 : GEN U2, R, S, T;
1593 479434 : if (gequal0(r)) return;
1594 197979 : *e = nf_coordch_r(nf, *e,r);
1595 197979 : U2 = nfsqr(nf,gel(v,1)); R = gel(v,2); S = gel(v, 3); T = gel(v, 4);
1596 197979 : gel(v,2) = nfadd(nf,R, nfmul(nf,U2, r));
1597 197979 : gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U2, nfmul(nf,S, r)));
1598 : }
1599 : /* v o= [1,0,s,0]; never used for s = 0 */
1600 : static void
1601 184658 : nf_compose_s(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN s)
1602 : {
1603 184658 : GEN v = *vtotal;
1604 : GEN U, S;
1605 184658 : *e = nf_coordch_s(nf,*e,s);
1606 184658 : U = gel(v,1); S = gel(v,3);
1607 184658 : gel(v,3) = nfadd(nf, S, nfmul(nf, U, s));
1608 184658 : }
1609 : /* v o= [1,0,0,t] */
1610 : static void
1611 843276 : nf_compose_t(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN t)
1612 : {
1613 843276 : GEN v = *vtotal;
1614 : GEN U3, U, T;
1615 843276 : if (gequal0(t)) return;
1616 105536 : *e = nf_coordch_t(nf,*e,t);
1617 105536 : U = gel(v,1); U3 = nfmul(nf,U, nfsqr(nf,U)); T = gel(v,4);
1618 105536 : gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U3, t));
1619 : }
1620 : /* v o= [1,r,0,t] */
1621 : static void
1622 594209 : nf_compose_rt(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN r, GEN t)
1623 : {
1624 594209 : GEN v = *vtotal;
1625 : GEN U2, U, R, S, T;
1626 594209 : if (gequal0(t)) { nf_compose_r(nf, vtotal, e, r); return; }
1627 301564 : *e = nf_coordch_rt(nf,*e,r,t);
1628 301564 : U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
1629 301564 : U2 = nfsqr(nf,U);
1630 301564 : gel(v,2) = nfadd(nf,R, nfmul(nf,U2, r));
1631 301564 : gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U2, nfadd(nf,nfmul(nf,U, t), nfmul(nf,S, r))));
1632 : }
1633 : /* v o= [1,0,s,t] */
1634 : static void
1635 496370 : nf_compose_st(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN s, GEN t)
1636 : {
1637 496370 : GEN v = *vtotal;
1638 : GEN U3, U, S, T;
1639 496370 : if (gequal0(s)) { nf_compose_t(nf, vtotal, e, t); return; }
1640 203581 : if (gequal0(t)) { nf_compose_s(nf, vtotal, e, s); return; }
1641 18923 : *e = nf_coordch_st(nf, *e,s,t);
1642 18923 : U = gel(v,1); U3 = nfmul(nf,U,nfsqr(nf,U)); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
1643 18923 : gel(v,3) = nfadd(nf, S, nfmul(nf,U, s));
1644 18923 : gel(v,4) = nfadd(nf, T, nfmul(nf,U3, t));
1645 : }
1646 :
1647 : /* v o= [u,0,0,0] */
1648 : static void
1649 443723 : nf_compose_u(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN u, GEN uinv)
1650 : {
1651 443723 : GEN v = *vtotal;
1652 443723 : *e = nf_coordch_uinv(nf, *e,uinv); gel(v,1) = nfmul(nf,gel(v,1), u);
1653 443723 : }
1654 :
1655 : /* raise a type exception in fun unless x is a point (return 0) or a
1656 : * t_VEC/t_COL of points (return 1) */
1657 : static int
1658 192081 : checkellpts(GEN x, const char *fun)
1659 : {
1660 : long i, lx;
1661 192081 : switch(typ(x))
1662 : {
1663 192046 : case t_VEC:
1664 192046 : if (vecispt(x)) return 0;
1665 2597 : break;
1666 0 : case t_COL:
1667 0 : break;
1668 35 : default: pari_err_TYPE(fun, x);
1669 : }
1670 2597 : lx = lg(x);
1671 8393 : for (i = 1; i < lx; i++)
1672 5838 : if (!checkellpt_i(gel(x,i))) pari_err_TYPE(fun, x);
1673 2555 : return 1;
1674 : }
1675 :
1676 : /* X = (x-r)/u^2
1677 : * Y = (y - s(x-r) - t) / u^3; P a point */
1678 : static GEN
1679 116152 : ellchangept(GEN nf, GEN P, GEN v2, GEN v3, GEN r, GEN s, GEN t)
1680 : {
1681 : GEN a, x, y;
1682 116152 : if (ell_is_inf(P)) return P;
1683 116138 : if (nf) P = nfVtoalg(nf, P);
1684 116138 : x = gel(P,1); y = gel(P,2); a = gsub(x,r);
1685 116138 : retmkvec2(gmul(v2, a), gmul(v3, gsub(y, gadd(gmul(s,a),t))));
1686 : }
1687 : static GEN
1688 42 : ellchangevecpt(GEN nf, GEN x, GEN v2, GEN v3, GEN r, GEN s, GEN t)
1689 84 : { pari_APPLY_same(ellchangept(nf, gel(x,i), v2,v3,r,s,t)); }
1690 : GEN
1691 146924 : ellchangepoint0(GEN E, GEN x, GEN ch)
1692 : {
1693 146924 : GEN y, v, v2, v3, r, s, t, u, nf = NULL;
1694 146924 : pari_sp av = avma;
1695 : int vec;
1696 :
1697 : /* backward compatibility */
1698 146924 : if (ch) checkell(E); else { ch = x; x = E; E = NULL; }
1699 146924 : vec = checkellpts(x, "ellchangepoint");
1700 146875 : if (lg(x) == 1) return cgetg(1, t_VEC);
1701 146840 : if (E && ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
1702 : {
1703 21 : nf = ellnf_get_nf(E);
1704 21 : ch = ellchangetoalg(nf, ch);
1705 : }
1706 146840 : if (is_trivial_change(ch, "ellchangepoint"))
1707 : {
1708 30681 : set_avma(av);
1709 30681 : return gcopy(x);
1710 : }
1711 116152 : u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
1712 116152 : v = ginv(u); v2 = gsqr(v); v3 = gmul(v,v2);
1713 42 : y = vec? ellchangevecpt(nf, x,v2,v3,r,s,t)
1714 116152 : : ellchangept(nf, x,v2,v3,r,s,t);
1715 116152 : return gc_GEN(av,y);
1716 : }
1717 : GEN
1718 132280 : ellchangepoint(GEN x, GEN ch) { return ellchangepoint0(x, ch, NULL); }
1719 :
1720 : /* x = u^2*X + r
1721 : * y = u^3*Y + s*u^2*X + t; P a point */
1722 : static GEN
1723 3395 : ellchangeptinv(GEN nf, GEN P, GEN u2, GEN u3, GEN r, GEN s, GEN t)
1724 : {
1725 : GEN a, X, Y;
1726 3395 : if (ell_is_inf(P)) return P;
1727 3395 : if (nf) P = nfVtoalg(nf, P);
1728 3395 : X = gel(P,1); Y = gel(P,2); a = gmul(u2,X);
1729 3395 : return mkvec2(gadd(a, r), gadd(gmul(u3, Y), gadd(gmul(s, a), t)));
1730 : }
1731 : static GEN
1732 504 : ellchangevecptinv(GEN nf, GEN x, GEN v2, GEN v3, GEN r, GEN s, GEN t)
1733 3801 : { pari_APPLY_same(ellchangeptinv(nf, gel(x,i), v2,v3,r,s,t));}
1734 : GEN
1735 1001 : ellchangepointinv0(GEN E, GEN x, GEN ch)
1736 : {
1737 1001 : GEN y, u, r, s, t, u2, u3, nf = NULL;
1738 1001 : pari_sp av = avma;
1739 : int vec;
1740 :
1741 : /* backward compatibility */
1742 1001 : if (ch) checkell(E); else { ch = x; x = E; E = NULL; }
1743 1001 : vec = checkellpts(x, "ellchangepointinv");
1744 973 : if (lg(x) == 1) return cgetg(1, t_VEC);
1745 777 : if (E && ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
1746 : {
1747 14 : nf = ellnf_get_nf(E);
1748 14 : ch = ellchangetoalg(nf, ch);
1749 : }
1750 777 : if (is_trivial_change(ch, "ellchangepointinv"))
1751 : {
1752 168 : set_avma(av);
1753 168 : return gcopy(x);
1754 : }
1755 602 : u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
1756 602 : u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2);
1757 504 : y = vec? ellchangevecptinv(nf,x,u2,u3,r,s,t)
1758 602 : : ellchangeptinv(nf,x,u2,u3,r,s,t);
1759 602 : return gc_GEN(av,y);
1760 : }
1761 : GEN
1762 938 : ellchangepointinv(GEN x, GEN ch) { return ellchangepointinv0(x, ch, NULL); }
1763 :
1764 : static GEN
1765 0 : elltwist_card(GEN h, GEN q) { return subii(shifti(addiu(q, 1), 1), h); }
1766 : GEN
1767 28574 : elltwist(GEN E, GEN P)
1768 : {
1769 28574 : pari_sp av = avma;
1770 28574 : GEN a1, a2, a3, a4, a6, a, b, c, ac, D, D2, V, DOM = NULL;
1771 28574 : long prec = DEFAULTPREC, isell = (lg(E) == 17);
1772 :
1773 28574 : if (typ(E) != t_VEC) pari_err_TYPE("elltwist",E);
1774 28574 : if (isell) switch(ell_get_type(E))
1775 : {
1776 1323 : case t_ELL_Q:
1777 1323 : case t_ELL_Rg: prec = ellR_get_prec(E); break;
1778 : }
1779 28574 : if (!P)
1780 : {
1781 : GEN Et, S, a4, a6, e, fg, q;
1782 27195 : if (!isell)
1783 : { /* Could avoid this ellinit. Don't bother. */
1784 7 : e = E; E = ellinit_i(E, NULL, prec);
1785 7 : if (!E) pari_err_TYPE("elltwist", e);
1786 : }
1787 27188 : switch (ell_get_type(E))
1788 : {
1789 0 : case t_ELL_Fp:
1790 0 : q = ellff_get_field(E);
1791 0 : e = ellff_get_a4a6(E);
1792 0 : Fp_elltwist(gel(e,1), gel(e,2), q, &a4, &a6);
1793 0 : Et = ellinit_Fp(mkvec2(a4,a6), q); break;
1794 27188 : case t_ELL_Fq:
1795 27188 : fg = ellff_get_field(E); q = FF_q(fg);
1796 27188 : Et = ellinit_Fq(FF_elltwist(E), fg); break;
1797 0 : default: pari_err_TYPE("elltwist [missing P]", E);
1798 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
1799 : }
1800 27188 : if ((S = obj_check(E, FF_CARD)))
1801 0 : obj_insert_shallow(Et, FF_CARD, elltwist_card(S, q));
1802 27188 : return gc_GEN(av, Et);
1803 : }
1804 1379 : if (isell && ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
1805 14 : if (!(DOM = ellnf_get_bnf(E))) DOM = ellnf_get_nf(E);
1806 1379 : if (typ(P) == t_INT)
1807 : {
1808 1365 : if (equali1(P)) return ellinit(E, DOM, prec);
1809 1008 : P = quadpoly(P);
1810 : }
1811 : else
1812 : {
1813 14 : if (typ(P) != t_POL) pari_err_TYPE("elltwist",P);
1814 14 : if (degpol(P) != 2 )
1815 0 : pari_err_DOMAIN("elltwist", "degree(P)", "!=", gen_2, P);
1816 : }
1817 1022 : switch(lg(E))
1818 : {
1819 7 : case 3:
1820 7 : a1 = a2 = a3 = gen_0;
1821 7 : a4 = gel(E,1);
1822 7 : a6 = gel(E,2); break;
1823 1015 : case 6: case 17:
1824 1015 : a1 = ell_get_a1(E);
1825 1015 : a2 = ell_get_a2(E);
1826 1015 : a3 = ell_get_a3(E);
1827 1015 : a4 = ell_get_a4(E);
1828 1015 : a6 = ell_get_a6(E); break;
1829 0 : default:
1830 0 : pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",E);
1831 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
1832 : }
1833 1022 : a = gel(P,4); b = gel(P,3); c = gel(P,2); ac = gmul(a, c);
1834 1022 : D = gsub(gsqr(b), gmulsg(4, ac)); D2 = gsqr(D);
1835 1022 : if (gequal0(a1) && gequal0(a2) && gequal0(a3))
1836 763 : V = mkvec2(gmul(a4, D2), gmul(gmul(a6, D), D2));
1837 : else
1838 : {
1839 259 : GEN a3D = gmul(a3, D);
1840 259 : V = cgetg(6, t_VEC);
1841 259 : gel(V,1) = gmul(a1, b);
1842 259 : gel(V,2) = gsub(gmul(a2, D), gmul(gsqr(a1), ac));
1843 259 : gel(V,3) = gmul(a3D, b);
1844 259 : gel(V,4) = gsub(gmul(a4, D2), gmul(gmul(gmulsg(2, a3D), a1), ac));
1845 259 : gel(V,5) = gmul(gsub(gmul(a6, D), gmul(gsqr(a3), ac)), D2);
1846 : }
1847 1022 : E = ellinit_i(V, DOM, prec);
1848 1022 : if (!E) pari_err_TYPE("elltwist", V);
1849 1022 : return gc_GEN(av, E);
1850 : }
1851 :
1852 : /********************************************************************/
1853 : /** E/Q: MINIMAL TWIST **/
1854 : /** Cf Ian Connell, Elliptic Curve Handbook, chap. 5 **/
1855 : /** http://www.math.mcgill.ca/connell/ **/
1856 : /********************************************************************/
1857 :
1858 : static long
1859 31290 : safe_Z_lval(GEN n, ulong p)
1860 31290 : { return signe(n)==0? -1: Z_lval(n, p); }
1861 :
1862 : /* Twist by d2 = 1,-4,-8,8, to get minimal discriminant at 2 after
1863 : * ellminimalmodel / ellQ_minimalu; assume vg = min(3*v4,2*v6,vD) >= 6.
1864 : * If nontrivial, v(d2) = 2 or 3 and let t = [(vg+6v(d2))/12].
1865 : * Good case if reduction in ellQ_minimalu i.e. t = 2 (v4 < 6 or v6 < 9 or
1866 : * vD < 18) or 3 and "d--" does not occur. Minimal model => t = 3 iff
1867 : * v4 = 6, v6 = 9 and vD >= 18. Total net effect is
1868 : * v4 += 2v(d2) - 4t, v6 += 3v(d2) - 6t, vD += 6 v(d2) - 12t
1869 : * After rescaling in ellQ_minimalu (c4 >>= 4t, c6 >>= 6t) we need
1870 : * c6 % 4 = 3 OR (v4 >= 4 AND (v6 >= 5 or c6 % 32 = 8)) */
1871 : static long
1872 392 : twist2(GEN c4, GEN c6, GEN disc, long vg)
1873 : { /* v4 >= 4, v6 >= 3 (and c6 = 0,8 mod 32). After twist + minimization,
1874 : * either same condition OR v(C4) = 0, C6 = 0,3 mod 4 */
1875 : long v4, v6, vD;
1876 :
1877 392 : if (vg == 18) /* v4=6, v6=9, vD>=18; only case with t = 3 */
1878 56 : return (umodi2n(c6, 11)>>9) == 1 ? -8: 8; /* need C6 % 4 = 3 */
1879 :
1880 : /* 100 = oo, any number >= 8 would do */
1881 336 : v4 = signe(c4)? vali(c4): 100; if (v4 == 5) return 1;
1882 : /* 100 = oo, any number > 9 would do */
1883 329 : v6 = signe(c6)? vali(c6): 100; if (v6 == 7) return 1;
1884 :
1885 : /* handle case v(DISC) = 0 or v(C4) = 0 after twist, only case with d2 = -4 */
1886 329 : if (vg == 12 && ((v4==4 && v6==6) || (v4>=8 && v6==9))) return -4;
1887 :
1888 : /* Now, d2 = 1 OR v(d2) = 3, t = 2 => v4 -= 2, v6 -= 3, vD -= 6 */
1889 266 : if (v4 < 6 || v6 < 6) return 1; /* v(C4) >= 4, v(C6) >= 3 */
1890 175 : vD = vali(disc);
1891 175 : if (v6==6 && vD==6 && (umodi2n(c6,8)>>6) == 1) return 8; /* C6 % 32 = 8 */
1892 168 : return -8;
1893 : }
1894 :
1895 : /* Return D such that E_D has minimal discriminant. It also has minimal
1896 : * conductor in Z[1/2] */
1897 : GEN
1898 665 : ellminimaltwist(GEN e)
1899 : {
1900 665 : pari_sp av = avma;
1901 665 : GEN c4, c6, disc, g, N, M, F, E, D = gen_1;
1902 : long i, lF;
1903 665 : checkell_Q(e);
1904 665 : E = ellminimalmodel(e, NULL);
1905 665 : c4 = ell_get_c4(E);
1906 665 : c6 = ell_get_c6(E);
1907 665 : disc = ell_get_disc(E);
1908 665 : g = gcdii(disc, sqri(c6));
1909 665 : ellQ_get_Nfa(E, &N, &M);
1910 665 : F = gel(M, 1); lF = lg(F);
1911 : /* on twist by d, (c4,c6,D,g) -> (d^2 c4, d^3 c6, d^6 D, d^6 g),
1912 : * then apply ellQ_minimalu(). Since model is minimal, v(g) < 12 unless p=3
1913 : * and v(g) < 14 or p = 2 and v(g) <= 18 */
1914 2436 : for(i = 1; i < lF; i++)
1915 : {
1916 1771 : GEN p = gel(F, i);
1917 1771 : long vg = Z_pval(g,p), d2;
1918 1771 : if (vg < 6) continue;
1919 : /* twist by fund. discriminant d2; in ellQ_minimalu,
1920 : * we have v(g) = vg + 6*v(d2) */
1921 1197 : switch(itou_or_0(p))
1922 : {
1923 441 : default: /* p > 3, 6 <= v(g) < 12 => v(D) -= 6 */
1924 441 : D = mulii(D, (mod4(p)==1)? p: negi(p));
1925 441 : break;
1926 364 : case 3: /* bad case: v(final_c6) = 2 => no reduction; else v(D) -= 6 */
1927 364 : if (safe_Z_lval(c6,3) != 5) D = mulis(D, -3);
1928 364 : break;
1929 392 : case 2:
1930 392 : d2 = twist2(c4,c6,disc,vg);
1931 392 : if (d2 != 1) D = mulis(D,d2);
1932 392 : break;
1933 : }
1934 : }
1935 665 : obj_free(E);
1936 665 : return gc_leaf(av, D);
1937 : }
1938 :
1939 : /* Reference: William A. Stein and Mark Watkins
1940 : * A Database of Elliptic Curves-First Report, ANTS 5
1941 : * http://modular.math.washington.edu/papers/stein-watkins/ants.pdf */
1942 : static GEN localred_23(GEN e, long p);
1943 : GEN
1944 399 : ellminimaltwistcond(GEN e)
1945 : {
1946 399 : pari_sp av = avma;
1947 399 : GEN D = ellminimaltwist(e), eD = elltwist(e, D);
1948 399 : GEN R = localred_23(ellintegralmodel_i(eD,NULL), 2);
1949 399 : long f = itos(gel(R,1)), v = vali(D);
1950 399 : if (f==4) D = negi(v==3 ? D: shifti(D, v==0? 2: -2));
1951 385 : else if (f==6)
1952 : {
1953 : long s, t;
1954 21 : if (v < 3) s = v==0? 3: 1;
1955 : else
1956 : {
1957 14 : t = (v==3 && mod32(D) == 8)? 1: -1;
1958 14 : s = signe(D)==t ? -3: -1;
1959 : }
1960 21 : D = shifti(D, s);
1961 : }
1962 399 : return gc_leaf(av, D);
1963 : }
1964 :
1965 : GEN
1966 448 : ellminimaltwist0(GEN e, long flag)
1967 : {
1968 448 : switch(flag)
1969 : {
1970 266 : case 0: return ellminimaltwist(e);
1971 182 : case 1: return ellminimaltwistcond(e);
1972 : }
1973 0 : pari_err_FLAG("ellminimaltwist");
1974 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
1975 : }
1976 :
1977 : static long
1978 7 : ellexpo(GEN E)
1979 : {
1980 7 : long i, f, e = -(long)HIGHEXPOBIT;
1981 42 : for (i=1; i<=5; i++)
1982 : {
1983 35 : f = gexpo(gel(E,i));
1984 35 : if (f > e) e = f;
1985 : }
1986 7 : return e;
1987 : }
1988 :
1989 :
1990 : static int
1991 3855 : oncurve_exact(GEN e, GEN z)
1992 : {
1993 3855 : pari_sp av = avma;
1994 3855 : GEN A = ec_LHS_evalQ(e,z), B = ec_f_evalx(e,gel(z,1));
1995 3855 : return gc_bool(av, gequal(A, B));
1996 : }
1997 : /* Assume e is an ell and z is an ellpt.
1998 : * Exactness of lhs and rhs in the following depends in nonobvious ways
1999 : * on the coeffs of the curve as well as on the components of the point z.
2000 : * Thus if e is exact, with a1==0, and z has exact y coordinate only, the
2001 : * lhs will be exact but the rhs won't. */
2002 : int
2003 126029 : ellisoncurve_i(GEN e, GEN z)
2004 : {
2005 : GEN LHS, RHS, x;
2006 : long pl, pr, ex, expx;
2007 : pari_sp av;
2008 :
2009 126029 : if (ell_is_inf(z)) return 1; /* oo */
2010 125952 : if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF) z = nfVtoalg(ellnf_get_nf(e), z);
2011 125952 : av = avma;
2012 125952 : LHS = ec_LHS_evalQ(e,z);
2013 125952 : RHS = ec_f_evalx(e,gel(z,1)); x = gsub(LHS,RHS);
2014 125952 : if (gequal0(x)) return gc_bool(av,1);
2015 21 : pl = precision(LHS);
2016 21 : pr = precision(RHS);
2017 21 : if (!pl && !pr) return gc_bool(av,0); /* both of LHS, RHS are exact */
2018 : /* at least one of LHS,RHS is inexact */
2019 7 : ex = pr? gexpo(RHS): gexpo(LHS); /* don't take exponent of exact 0 */
2020 7 : if (!pr || (pl && pl < pr)) pr = pl; /* min among nonzero elts of {pl,pr} */
2021 7 : expx = gexpo(x);
2022 14 : pr = (expx < ex - pr + 15
2023 7 : || expx < ellexpo(e) - pr + 5);
2024 7 : return gc_bool(av,pr);
2025 : }
2026 : /* assume e is an ell and x an ellpt */
2027 : static GEN
2028 44296 : gellisoncurve_i(GEN e, GEN x) { return ellisoncurve_i(e, x)? gen_1: gen_0; }
2029 : GEN
2030 44156 : ellisoncurve(GEN e, GEN x)
2031 : {
2032 : int vec;
2033 44156 : checkell(e); vec = checkellpts(x, "ellisoncurve");
2034 44156 : if (lg(x) == 1) return leafcopy(x);
2035 45983 : if (vec) pari_APPLY_same(gellisoncurve_i(e,gel(x,i)));
2036 42469 : return gellisoncurve_i(e, x);
2037 : }
2038 :
2039 : /* y1 = y2 or -LHS0-y2 */
2040 : static GEN
2041 2046096 : slope_samex(GEN e, GEN x, GEN y1, GEN y2)
2042 : {
2043 : GEN dy,dx;
2044 2046096 : if (y1 != y2)
2045 : {
2046 : int eq;
2047 187264 : if (precision(y1) || precision(y2))
2048 7 : eq = (gexpo(gadd(ec_h_evalx(e,x),gadd(y1,y2))) >= gexpo(y1));
2049 : else
2050 187257 : eq = gequal(y1,y2);
2051 187264 : if (!eq) return NULL;
2052 : }
2053 1860834 : dx = ec_dmFdy_evalQ(e,mkvec2(x,y1));
2054 1860834 : if (gequal0(dx)) return NULL;
2055 1813997 : dy = gadd(gsub(ell_get_a4(e),gmul(ell_get_a1(e),y1)),
2056 : gmul(x,gadd(gmul2n(ell_get_a2(e),1),gmulsg(3,x))));
2057 1813997 : return gdiv(dy,dx);
2058 : }
2059 :
2060 : GEN
2061 2564255 : elladd(GEN e, GEN z1, GEN z2)
2062 : {
2063 : GEN s, z, x, y, x1, x2, y1, y2;
2064 2564255 : pari_sp av = avma;
2065 :
2066 2564255 : checkell(e);
2067 2564255 : if (!checkellpt_i(z1)) pari_err_TYPE("elladd", z1);
2068 2564255 : if (!checkellpt_i(z2)) pari_err_TYPE("elladd", z2);
2069 2564255 : if (ell_is_inf(z1)) return gcopy(z2);
2070 2498058 : if (ell_is_inf(z2)) return gcopy(z1);
2071 :
2072 2496154 : x1 = gel(z1,1); y1 = gel(z1,2);
2073 2496154 : x2 = gel(z2,1); y2 = gel(z2,2);
2074 2496154 : if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
2075 : {
2076 560 : GEN nf = ellnf_get_nf(e);
2077 560 : x1 = nftoalg(nf, x1);
2078 560 : x2 = nftoalg(nf, x2);
2079 560 : y1 = nftoalg(nf, y1);
2080 560 : y2 = nftoalg(nf, y2);
2081 : }
2082 2496154 : if (cx_approx_equal(x1,x2))
2083 : {
2084 2046096 : s = slope_samex(e, x1, y1, y2);
2085 2046096 : if (!s) { set_avma(av); return ellinf(); }
2086 : }
2087 : else
2088 450058 : s = gdiv(gsub(y2,y1), gsub(x2,x1));
2089 2264055 : x = gsub(gmul(s,gadd(s,ell_get_a1(e))), gadd(gadd(x1,x2),ell_get_a2(e)));
2090 2264055 : y = gadd(gadd(y1, ec_h_evalx(e,x)), gmul(s,gsub(x,x1)));
2091 2264055 : z = cgetg(3,t_VEC);
2092 2264055 : gel(z,1) = gcopy(x);
2093 2264055 : gel(z,2) = gneg(y); return gc_upto(av, z);
2094 : }
2095 :
2096 : static GEN
2097 70 : ellneg_i(GEN e, GEN z)
2098 : {
2099 : GEN x, y;
2100 70 : if (ell_is_inf(z)) return z;
2101 70 : x = gel(z,1);
2102 70 : y = gel(z,2);
2103 70 : if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
2104 : {
2105 0 : GEN nf = ellnf_get_nf(e);
2106 0 : x = nftoalg(nf,x);
2107 0 : y = nftoalg(nf,y);
2108 : }
2109 70 : retmkvec2(x, gneg_i(gadd(y, ec_h_evalx(e,x))));
2110 : }
2111 :
2112 : GEN
2113 82034 : ellneg(GEN e, GEN z)
2114 : {
2115 : pari_sp av;
2116 : GEN t, y;
2117 82034 : checkell(e);
2118 82034 : if (!checkellpt_i(z)) pari_err_TYPE("ellneg", z);
2119 82034 : if (ell_is_inf(z)) return z;
2120 82034 : t = cgetg(3,t_VEC);
2121 82034 : gel(t,1) = gcopy(gel(z,1));
2122 82034 : av = avma;
2123 82034 : y = gneg(gadd(gel(z,2), ec_h_evalx(e,gel(z,1))));
2124 82034 : gel(t,2) = gc_upto(av, y);
2125 82034 : return t;
2126 : }
2127 :
2128 : GEN
2129 49 : ellsub(GEN e, GEN z1, GEN z2)
2130 : {
2131 49 : pari_sp av = avma;
2132 49 : checkell(e);
2133 49 : if (!checkellpt_i(z1)) pari_err_TYPE("ellsub", z1);
2134 49 : if (!checkellpt_i(z2)) pari_err_TYPE("ellsub", z2);
2135 49 : return gc_upto(av, elladd(e, z1, ellneg_i(e,z2)));
2136 : }
2137 :
2138 : /* E an ell, x a scalar */
2139 : static GEN
2140 3010 : ellordinate_i(GEN E, GEN x, long prec)
2141 : {
2142 3010 : pari_sp av = avma;
2143 3010 : GEN a, b, D, d, y, p, nf = NULL;
2144 :
2145 3010 : if (ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
2146 : {
2147 532 : nf = ellnf_get_nf(E);
2148 532 : x = nftoalg(nf,x);
2149 : }
2150 3010 : a = ec_f_evalx(E,x);
2151 3010 : b = ec_h_evalx(E,x);
2152 3010 : D = gadd(gsqr(b), gmul2n(a,2));
2153 : /* solve y*(y+b) = a */
2154 3010 : if (gequal0(D)) {
2155 1246 : if (ell_get_type(E) == t_ELL_Fq && absequaliu(ellff_get_p(E),2))
2156 0 : retmkvec( FF_sqrt(a) );
2157 1246 : b = gneg_i(b); y = cgetg(2,t_VEC);
2158 1246 : gel(y,1) = gmul2n(b,-1);
2159 1246 : return gc_upto(av,y);
2160 : }
2161 : /* D != 0 */
2162 1764 : switch(ell_get_type(E))
2163 : {
2164 28 : case t_ELL_Fp: /* imply p!=2 */
2165 28 : p = ellff_get_p(E);
2166 28 : D = gel(D,2);
2167 28 : if (kronecker(D, p) < 0) retgc_const(av, cgetg(1, t_VEC));
2168 7 : d = Fp_sqrt(D, p);
2169 7 : break;
2170 217 : case t_ELL_Fq:
2171 217 : if (absequaliu(ellff_get_p(E),2))
2172 : {
2173 77 : GEN F = FFX_roots(mkpoln(3, gen_1, b, a), D);
2174 77 : if (lg(F) == 1) retgc_const(av, cgetg(1, t_VEC));
2175 42 : return gc_upto(av, F);
2176 : }
2177 140 : if (!FF_issquareall(D,&d)) retgc_const(av, cgetg(1, t_VEC));
2178 70 : break;
2179 973 : case t_ELL_Q:
2180 973 : if (typ(x) == t_COMPLEX) { d = gsqrt(D, prec); break; }
2181 966 : if (!issquareall(D,&d)) retgc_const(av, cgetg(1, t_VEC));
2182 630 : break;
2183 :
2184 525 : case t_ELL_NF:
2185 525 : if (!nfissquare(nf, D, &d)) retgc_const(av, cgetg(1, t_VEC));
2186 511 : d = nftoalg(nf, d);
2187 511 : break;
2188 :
2189 14 : case t_ELL_Qp:
2190 14 : p = ellQp_get_p(E);
2191 14 : D = cvtop(D, p, ellQp_get_prec(E));
2192 14 : if (!issquare(D)) retgc_const(av, cgetg(1, t_VEC));
2193 14 : d = Qp_sqrt(D);
2194 14 : break;
2195 :
2196 7 : default:
2197 7 : d = gsqrt(D,prec);
2198 : }
2199 1246 : a = gsub(d,b); y = cgetg(3,t_VEC);
2200 1246 : gel(y,1) = gmul2n(a, -1);
2201 1246 : gel(y,2) = gsub(gel(y,1),d);
2202 1246 : return gc_upto(av,y);
2203 : }
2204 :
2205 : GEN
2206 3010 : ellordinate(GEN e, GEN x, long prec)
2207 : {
2208 3010 : checkell(e);
2209 3010 : if (!is_matvec_t(typ(x))) return ellordinate_i(e, x, prec);
2210 0 : pari_APPLY_same(ellordinate_i(e,gel(x,i),prec));
2211 : }
2212 :
2213 : GEN
2214 245679 : ellrandom(GEN E)
2215 : {
2216 : GEN fg;
2217 245679 : checkell_Fq(E);
2218 245679 : fg = ellff_get_field(E);
2219 245679 : if (typ(fg)==t_FFELT)
2220 245651 : return FF_ellrandom(E);
2221 : else
2222 : {
2223 28 : pari_sp av = avma;
2224 28 : GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
2225 28 : GEN P = random_FpE(gel(e,1),gel(e,2),p);
2226 28 : P = FpE_to_mod(FpE_changepoint(P,gel(e,3),p),p);
2227 28 : return gc_upto(av, P);
2228 : }
2229 : }
2230 :
2231 : /* n t_QUAD or t_COMPLEX, P != [0] */
2232 : static GEN
2233 14 : ellmul_CM(GEN e, GEN P, GEN n)
2234 : {
2235 14 : GEN p1p, q1p, x, y, p0, p1, q0, q1, z1, z2, grdx, b2ov12, N = gnorm(n);
2236 : long ln, vn;
2237 :
2238 14 : if (typ(N) != t_INT)
2239 0 : pari_err_TYPE("ellmul (non integral CM exponent)",N);
2240 14 : ln = itos_or_0(shifti(addiu(N, 1UL), 3));
2241 14 : if (!ln) pari_err_OVERFLOW("ellmul_CM [norm too large]");
2242 14 : vn = ((ln>>1)-4)>>2;
2243 14 : z1 = ellwpseries(e, 0, ln);
2244 14 : z2 = ser_unscale(z1, n);
2245 14 : p0 = gen_0; p1 = gen_1;
2246 14 : q0 = gen_1; q1 = gen_0;
2247 : do
2248 : {
2249 21 : GEN p2,q2, ss = gen_0;
2250 : do
2251 : {
2252 28 : long ep = (-valser(z2)) >> 1;
2253 28 : ss = gadd(ss, gmul(gel(z2,2), pol_xnall(ep, 0)));
2254 28 : z2 = gsub(z2, gmul(gel(z2,2), gpowgs(z1, ep)));
2255 : }
2256 28 : while (valser(z2) <= 0);
2257 21 : p2 = gadd(p0, gmul(ss,p1)); p0 = p1; p1 = p2;
2258 21 : q2 = gadd(q0, gmul(ss,q1)); q0 = q1; q1 = q2;
2259 21 : if (!signe(z2)) break;
2260 7 : z2 = ginv(z2);
2261 : }
2262 7 : while (degpol(p1) < vn);
2263 14 : if (degpol(p1) > vn || signe(z2))
2264 0 : pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]", n);
2265 14 : q1p = RgX_deriv(q1);
2266 14 : b2ov12 = gdivgu(ell_get_b2(e), 12);
2267 14 : grdx = gadd(gel(P,1), b2ov12); /* x(P) + b2/12 */
2268 14 : q1 = poleval(q1, grdx);
2269 14 : if (gequal0(q1)) return ellinf();
2270 :
2271 14 : p1p = RgX_deriv(p1);
2272 14 : p1 = poleval(p1, grdx);
2273 14 : p1p = poleval(p1p, grdx);
2274 14 : q1p = poleval(q1p, grdx);
2275 :
2276 14 : x = gdiv(p1,q1);
2277 14 : y = gdiv(gsub(gmul(p1p,q1), gmul(p1,q1p)), gmul(n,gsqr(q1)));
2278 14 : x = gsub(x, b2ov12);
2279 14 : y = gsub( gmul(ec_dmFdy_evalQ(e,P), y), ec_h_evalx(e,x));
2280 14 : return mkvec2(x, gmul2n(y,-1));
2281 : }
2282 :
2283 : static GEN
2284 1895796 : _sqr(void *e, GEN x) { return elladd((GEN)e, x, x); }
2285 : static GEN
2286 615993 : _mul(void *e, GEN x, GEN y) { return elladd((GEN)e, x, y); }
2287 :
2288 : static GEN
2289 1078 : ellffmul(GEN E, GEN P, GEN n)
2290 : {
2291 1078 : GEN fg = ellff_get_field(E);
2292 1078 : if (typ(fg)==t_FFELT)
2293 7 : return FF_ellmul(E, P, n);
2294 : else
2295 : {
2296 1071 : pari_sp av = avma;
2297 1071 : GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E), Q;
2298 1071 : GEN Pp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(P, p), gel(e,3), p);
2299 1071 : GEN Qp = FpE_mul(Pp, n, gel(e,1), p);
2300 1015 : Q = FpE_to_mod(FpE_changepoint(Qp, gel(e,3), p), p);
2301 1015 : return gc_upto(av, Q);
2302 : }
2303 : }
2304 : /* [n] z, n integral */
2305 : static GEN
2306 251167 : ellmul_Z(GEN e, GEN z, GEN n)
2307 : {
2308 : long s;
2309 251167 : long t = ell_get_type(e);
2310 251167 : if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
2311 251167 : if (t==t_ELL_Fp)
2312 : {
2313 1078 : GEN p = ellff_get_field(e);
2314 1078 : if (RgE_is_FpE(z,&p))
2315 1071 : return ellffmul(e,z,n);
2316 250089 : } else if (t==t_ELL_Fq)
2317 : {
2318 249081 : GEN fg = ellff_get_field(e), p = FF_p_i(fg), T = FF_mod(fg);
2319 249081 : if (RgE_is_FpXQE(z, &T, &p))
2320 7 : return ellffmul(e,z,n);
2321 : }
2322 250089 : s = signe(n);
2323 250089 : if (!s) return ellinf();
2324 245784 : if (s < 0) z = ellneg_i(e,z);
2325 245784 : if (is_pm1(n)) return z;
2326 241290 : return gen_pow(z, n, (void*)e, &_sqr, &_mul);
2327 : }
2328 :
2329 : /* x a t_REAL, try to round it to an integer */
2330 : enum { OK, LOW_PREC, NO };
2331 : static long
2332 42 : myroundr(GEN *px)
2333 : {
2334 42 : GEN x = *px;
2335 : long e;
2336 42 : if (bit_prec(x) - expo(x) < 5) return LOW_PREC;
2337 42 : *px = grndtoi(x, &e);
2338 42 : if (e >= -5) return NO;
2339 42 : return OK;
2340 : }
2341 :
2342 : /* E has CM by Q, t_COMPLEX or t_QUAD. Return q such that E has CM by Q/q
2343 : * or gen_1 (couldn't find q > 1)
2344 : * or NULL (doesn't have CM by Q) */
2345 : static GEN
2346 14 : CM_factor(GEN E, GEN Q)
2347 : {
2348 : GEN w, tau, D, v, x, y, F, dF, q, r, fk, fkb, fkc;
2349 : long prec;
2350 :
2351 14 : if (ell_get_type(E) != t_ELL_Q) return gen_1;
2352 14 : switch(typ(Q))
2353 : {
2354 0 : case t_COMPLEX:
2355 0 : D = utoineg(4);
2356 0 : v = gel(Q,2);
2357 0 : break;
2358 14 : case t_QUAD:
2359 14 : D = quad_disc(Q);
2360 14 : v = gel(Q,3);
2361 14 : break;
2362 0 : default:
2363 0 : return NULL; /*-Wall*/
2364 : }
2365 : /* disc Q = v^2 D, D < 0 fundamental */
2366 14 : w = ellR_omega(E, DEFAULTPREC + nbits2extraprec(expi(D)));
2367 14 : tau = gdiv(gel(w,2), gel(w,1));
2368 14 : prec = precision(tau);
2369 : /* disc tau = -4 k^2 (Im tau)^2 for some integral k
2370 : * Assuming that E has CM by Q, then disc Q / disc tau = f^2 is a square.
2371 : * Compute f*k */
2372 14 : x = gel(tau,1);
2373 14 : y = gel(tau,2); /* tau = x + Iy */
2374 14 : fk = gmul(gdiv(v, gmul2n(y, 1)), sqrtr_abs(itor(D, prec)));
2375 14 : switch(myroundr(&fk))
2376 : {
2377 0 : case NO: return NULL;
2378 0 : case LOW_PREC: return gen_1;
2379 : }
2380 14 : fk = absi_shallow(fk);
2381 :
2382 14 : fkb = gmul(fk, gmul2n(x,1));
2383 14 : switch(myroundr(&fkb))
2384 : {
2385 0 : case NO: return NULL;
2386 0 : case LOW_PREC: return gen_1;
2387 : }
2388 :
2389 14 : fkc = gmul(fk, cxnorm(tau));
2390 14 : switch(myroundr(&fkc))
2391 : {
2392 0 : case NO: return NULL;
2393 0 : case LOW_PREC: return gen_1;
2394 : }
2395 :
2396 : /* tau is a root of fk (X^2 - b X + c) \in Z[X], */
2397 14 : F = Q_primpart(mkvec3(fk, fkb, fkc));
2398 14 : dF = qfb_disc3(gel(F,1), gel(F,2), gel(F,3));
2399 : /* = disc tau, E has CM by orders of disc dF q^2, all q */
2400 14 : q = dvmdii(dF, D, &r);
2401 14 : if (r != gen_0 || !Z_issquareall(q, &q)) return NULL;
2402 : /* disc(Q) = disc(tau) (v / q)^2 */
2403 14 : v = dvmdii(absi_shallow(v), q, &r);
2404 14 : if (r != gen_0) return NULL;
2405 14 : return is_pm1(v)? gen_1: v; /* E has CM by Q/q: [Q] = [q] o [Q/q] */
2406 : }
2407 :
2408 : /* [a + w] z, a integral, w pure imaginary */
2409 : static GEN
2410 14 : ellmul_CM_aux(GEN e, GEN z, GEN a, GEN w)
2411 : {
2412 : GEN A, B, q;
2413 14 : if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_CM",a);
2414 14 : q = CM_factor(e, w);
2415 14 : if (!q) pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]",w);
2416 14 : if (q != gen_1) w = gdiv(w, q);
2417 : /* compute [a + q w] z, z has CM by w */
2418 14 : if (typ(w) == t_QUAD && is_pm1(gel(gel(w,1), 3)))
2419 : { /* replace w by w - u, u in Z, so that N(w-u) is minimal
2420 : * N(w - u) = N w - Tr w u + u^2, minimal for u = Tr w / 2 */
2421 7 : GEN u = gtrace(w);
2422 7 : if (typ(u) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_CM",w);
2423 7 : u = shifti(u, -1);
2424 7 : if (signe(u))
2425 : {
2426 0 : w = gsub(w, u);
2427 0 : a = addii(a, mulii(q,u));
2428 : }
2429 : /* [a + w]z = [(a + qu)] z + [q] [(w - u)] z */
2430 : }
2431 14 : A = ellmul_Z(e,z,a);
2432 14 : B = ellmul_CM(e,z,w);
2433 14 : if (q != gen_1) B = ellmul_Z(e, B, q);
2434 14 : return elladd(e, A, B);
2435 : }
2436 : GEN
2437 251230 : ellmul(GEN e, GEN z, GEN n)
2438 : {
2439 251230 : pari_sp av = avma;
2440 :
2441 251230 : checkell(e);
2442 251223 : if (!checkellpt_i(z)) pari_err_TYPE("ellmul", z);
2443 251223 : if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
2444 251167 : switch(typ(n))
2445 : {
2446 251153 : case t_INT: return gc_GEN(av, ellmul_Z(e,z,n));
2447 14 : case t_QUAD: {
2448 14 : GEN pol = gel(n,1), a = gel(n,2), b = gel(n,3);
2449 14 : if (signe(gel(pol,2)) < 0) pari_err_TYPE("ellmul_CM",n); /* disc > 0 ? */
2450 14 : return gc_upto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkquad(pol, gen_0,b)));
2451 : }
2452 0 : case t_COMPLEX: {
2453 0 : GEN a = gel(n,1), b = gel(n,2);
2454 0 : return gc_upto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkcomplex(gen_0,b)));
2455 : }
2456 : }
2457 0 : pari_err_TYPE("ellmul (non integral, non CM exponent)",n);
2458 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
2459 : }
2460 : GEN
2461 223147 : ellR_roots(GEN E, long prec)
2462 223147 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_ROOTS, &doellR_roots, prec); }
2463 :
2464 : GEN
2465 11998 : ellR_area(GEN E, long prec)
2466 : {
2467 11998 : pari_sp av = avma;
2468 : GEN w, w1, w2, a,b,c,d;
2469 11998 : w = ellR_omega(E, prec);
2470 11998 : w1 = gel(w,1); a = real_i(w1); b = imag_i(w1);
2471 11998 : w2 = gel(w,2); c = real_i(w2); d = imag_i(w2);
2472 11998 : return gc_upto(av, gabs(gsub(gmul(a,d),gmul(b,c)), prec));
2473 : }
2474 :
2475 : /********************************************************************/
2476 : /** **/
2477 : /** Tate's algorithm e (cf Anvers IV) **/
2478 : /** Kodaira types, global minimal model **/
2479 : /** **/
2480 : /********************************************************************/
2481 : /* structure to hold incremental computation of standard minimal model/Q */
2482 : typedef struct {
2483 : long a1; /*{0,1}*/
2484 : long a2; /*{-1,0,1}*/
2485 : long a3; /*{0,1}*/
2486 : long b2; /* centermod(-c6, 12), in [-5,6] */
2487 : GEN u, u2, u3, u4, u6;
2488 : GEN a4, a6, b4, b6, b8, c4, c6, D;
2489 : } ellmin_t;
2490 :
2491 : /* u from [u,r,s,t] */
2492 : static void
2493 1312857 : min_set_u(ellmin_t *M, GEN u)
2494 : {
2495 1312857 : M->u = u;
2496 1312857 : if (is_pm1(u))
2497 1217083 : M->u2 = M->u3 = M->u4 = M->u6 = gen_1;
2498 : else
2499 : {
2500 95774 : M->u2 = sqri(u);
2501 95774 : M->u3 = mulii(M->u2, u);
2502 95774 : M->u4 = sqri(M->u2);
2503 95774 : M->u6 = sqri(M->u3);
2504 : }
2505 1312857 : }
2506 : /* E = original curve */
2507 : static void
2508 1312857 : min_set_c(ellmin_t *M, GEN E)
2509 : {
2510 1312857 : GEN c4 = ell_get_c4(E), c6 = ell_get_c6(E);
2511 1312857 : if (!is_pm1(M->u4)) {
2512 95774 : c4 = diviiexact(c4, M->u4);
2513 95774 : c6 = diviiexact(c6, M->u6);
2514 : }
2515 1312857 : M->c4 = c4;
2516 1312857 : M->c6 = c6;
2517 1312857 : }
2518 : static void
2519 1021293 : min_set_D(ellmin_t *M, GEN E)
2520 : {
2521 1021293 : GEN D = ell_get_disc(E);
2522 1021293 : if (!is_pm1(M->u6)) D = diviiexact(D, sqri(M->u6));
2523 1021293 : M->D = D;
2524 1021293 : }
2525 : static void
2526 1021454 : min_set_b(ellmin_t *M)
2527 : {
2528 : long b22, b2;
2529 1021454 : M->b2 = b2 = Fl_center(12 - umodiu(M->c6,12), 12, 6);
2530 1021454 : b22 = b2 * b2; /* in [0,36] */
2531 1021454 : M->b4 = diviuexact(subui(b22, M->c4), 24);
2532 1021454 : M->b6 = diviuexact(subii(mulsi(b2, subiu(mului(36,M->b4),b22)), M->c6), 216);
2533 1021454 : }
2534 : static void
2535 1021314 : min_set_a(ellmin_t *M)
2536 : {
2537 1021314 : long a1, a2, a3, a13, b2 = M->b2;
2538 1021314 : GEN b4 = M->b4, b6 = M->b6;
2539 1021314 : if (odd(b2))
2540 : {
2541 529620 : a1 = 1;
2542 529620 : a2 = (b2 - 1) >> 2;
2543 : }
2544 : else
2545 : {
2546 491694 : a1 = 0;
2547 491694 : a2 = b2 >> 2;
2548 : }
2549 1021314 : M->a1 = a1;
2550 1021314 : M->a2 = a2;
2551 1021314 : M->a3 = a3 = Mod2(b6)? 1: 0;
2552 1021314 : a13 = a1 & a3; /* a1 * a3 */
2553 1021314 : M->a4 = shifti(subiu(b4, a13), -1);
2554 1021314 : M->a6 = shifti(subiu(b6, a3), -2);
2555 1021314 : }
2556 : static void
2557 1021279 : min_set_all(ellmin_t *M, GEN E, GEN u)
2558 : {
2559 1021279 : min_set_u(M, u);
2560 1021279 : min_set_c(M, E);
2561 1021279 : min_set_D(M, E);
2562 1021279 : min_set_b(M);
2563 1021279 : min_set_a(M);
2564 1021279 : }
2565 : static GEN
2566 1008196 : min_to_ell(ellmin_t *M, GEN E)
2567 : {
2568 1008196 : GEN b8, y = obj_init(15, 8);
2569 : long a11, a13;
2570 1008196 : gel(y,1) = M->a1? gen_1: gen_0;
2571 1008196 : gel(y,2) = stoi(M->a2);
2572 1008196 : gel(y,3) = M->a3? gen_1: gen_0;
2573 1008196 : gel(y,4) = M->a4;
2574 1008196 : gel(y,5) = M->a6;
2575 1008196 : gel(y,6) = stoi(M->b2);
2576 1008196 : gel(y,7) = M->b4;
2577 1008196 : gel(y,8) = M->b6;
2578 1008196 : a11 = M->a1;
2579 1008196 : a13 = M->a1 & M->a3;
2580 1008196 : b8 = subii(addii(mului(a11,M->a6), mulis(M->b6, M->a2)),
2581 : mulii(M->a4, addiu(M->a4,a13)));
2582 1008196 : gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
2583 1008196 : gel(y,10)= M->c4;
2584 1008196 : gel(y,11)= M->c6;
2585 1008196 : gel(y,12)= M->D;
2586 1008196 : gel(y,13)= gel(E,13);
2587 1008196 : gel(y,14)= gel(E,14);
2588 1008196 : gel(y,15)= gel(E,15);
2589 1008196 : return y;
2590 : }
2591 : static GEN
2592 1021279 : min_get_v(ellmin_t *M, GEN E)
2593 : {
2594 : GEN r, s, t;
2595 1021279 : r = diviuexact(subii(mulis(M->u2,M->b2), ell_get_b2(E)), 12);
2596 1021279 : s = shifti(subii(M->a1? M->u: gen_0, ell_get_a1(E)), -1);
2597 1021279 : t = shifti(subii(M->a3? M->u3: gen_0, Zec_h_evalx(E,r)), -1);
2598 1021279 : return mkvec4(M->u,r,s,t);
2599 : }
2600 :
2601 : /* return v_p(u), where [u,r,s,t] is the variable change to minimal model */
2602 : static long
2603 3481124 : get_vp_u_small(GEN E, ulong p, long *pv6, long *pvD)
2604 : {
2605 3481124 : GEN c6 = ell_get_c6(E);
2606 3481124 : long d, v6, vD = Z_lval(ell_get_disc(E), p);
2607 3481124 : if (!signe(c6))
2608 : {
2609 248990 : d = vD / 12;
2610 248990 : if (d)
2611 : {
2612 1526 : if (p == 2)
2613 : {
2614 1274 : GEN c4 = ell_get_c4(E);
2615 1274 : long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
2616 1274 : if (a) d--;
2617 : }
2618 1526 : if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
2619 : }
2620 248990 : v6 = 12; /* +oo */
2621 : }
2622 : else
2623 : {
2624 3232134 : v6 = Z_lval(c6,p);
2625 3232134 : d = minss(2*v6, vD) / 12;
2626 3232134 : if (d) {
2627 238665 : if (p == 2) {
2628 165501 : GEN c4 = ell_get_c4(E);
2629 165501 : long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
2630 165501 : long b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
2631 165501 : if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) d--;
2632 73164 : } else if (p == 3) {
2633 46935 : if (v6 == 6*d+2) d--;
2634 : }
2635 238665 : if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
2636 : }
2637 : }
2638 3481124 : *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
2639 : }
2640 : static long
2641 1711640 : get_vp_u(GEN E, GEN p, long *pv6, long *pvD)
2642 : {
2643 : GEN c6;
2644 : long d, v6, vD;
2645 1711640 : if (lgefint(p) == 3) return get_vp_u_small(E, p[2], pv6, pvD);
2646 39 : c6 = ell_get_c6(E);
2647 39 : vD = Z_pval(ell_get_disc(E), p);
2648 39 : if (!signe(c6))
2649 : {
2650 0 : d = vD / 12;
2651 0 : if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
2652 0 : v6 = 12; /* +oo */
2653 : }
2654 : else
2655 : {
2656 39 : v6 = Z_pval(c6,p);
2657 39 : d = minss(2*v6, vD) / 12;
2658 39 : if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
2659 : }
2660 39 : *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
2661 : }
2662 :
2663 : /* Given an integral elliptic curve in ellinit form, and a prime p, returns the
2664 : type of the fiber at p of the Neron model, as well as the change of variables
2665 : in the form [f, kod, v, c].
2666 :
2667 : * The integer f is the conductor's exponent.
2668 :
2669 : * The integer kod is the Kodaira type using the following notation:
2670 : II, III, IV --> 2, 3, 4
2671 : I0 --> 1
2672 : Inu --> 4+nu for nu > 0
2673 : A '*' negates the code (e.g I* --> -2)
2674 :
2675 : * v is a quadruple [u, r, s, t] yielding a minimal model
2676 :
2677 : * c is the Tamagawa number.
2678 :
2679 : Uses Tate's algorithm (Anvers IV). Given the remarks at the bottom of
2680 : page 46, the "long" algorithm is used for p = 2,3 only. */
2681 : static GEN
2682 3384122 : localred_result(long f, long kod, long c, GEN v)
2683 : {
2684 3384122 : GEN z = cgetg(5, t_VEC);
2685 3384122 : gel(z,1) = stoi(f);
2686 3384122 : gel(z,2) = stoi(kod);
2687 3384122 : gel(z,3) = gcopy(v);
2688 3384122 : gel(z,4) = stoi(c); return z;
2689 : }
2690 : static GEN
2691 0 : localredbug(GEN p, const char *s)
2692 : {
2693 0 : if (BPSW_psp(p)) pari_err_BUG(s);
2694 0 : pari_err_PRIME("localred",p);
2695 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
2696 : }
2697 :
2698 : /* v_p( denom(j(E)) ) >= 0 */
2699 : static long
2700 1715021 : j_pval(GEN E, GEN p) { return Z_pval(Q_denom(ell_get_j(E)), p); }
2701 :
2702 : /* p > 3, e integral */
2703 : static GEN
2704 1711640 : localred_p(GEN e, GEN p)
2705 : {
2706 : long k, f, kod, c, nuj, nuD, nu6;
2707 1711640 : GEN p2, v, tri, c4, c6, D = ell_get_disc(e);
2708 :
2709 1711640 : c4 = ell_get_c4(e);
2710 1711640 : c6 = ell_get_c6(e);
2711 1711640 : nuj = j_pval(e, p);
2712 1711640 : nuD = Z_pval(D, p);
2713 1711640 : k = get_vp_u(e, p, &nu6, &nuD);
2714 1711640 : if (!k) v = init_ch();
2715 : else
2716 : { /* model not minimal */
2717 : ellmin_t M;
2718 13097 : min_set_all(&M, e, powiu(p,k));
2719 13097 : v = min_get_v(&M, e);
2720 13097 : c4 = M.c4; c6 = M.c6; D = M.D;
2721 : }
2722 :
2723 1711640 : if (nuj > 0) switch(nuD - nuj)
2724 : {
2725 1481480 : case 0: f = 1; kod = 4+nuj; /* Inu */
2726 1481480 : switch(kronecker(negi(c6),p))
2727 : {
2728 762818 : case 1: c = nuD; break;
2729 718662 : case -1: c = odd(nuD)? 1: 2; break;
2730 0 : default: return localredbug(p,"localred (p | c6)");
2731 : }
2732 1481480 : break;
2733 89537 : case 6:
2734 : {
2735 89537 : GEN d = Fp_red(diviiexact(D, powiu(p, 6+nuj)), p);
2736 89537 : if (nuj & 1) d = Fp_mul(d, diviiexact(c6, powiu(p,3)), p);
2737 89537 : f = 2; kod = -4-nuj; c = 3 + kronecker(d, p); /* Inu* */
2738 89537 : break;
2739 : }
2740 0 : default: return localredbug(p,"localred (nu_D - nu_j != 0,6)");
2741 : }
2742 140623 : else switch(nuD)
2743 : {
2744 539 : case 0: f = 0; kod = 1; c = 1; break; /* I0, regular */
2745 22764 : case 2: f = 2; kod = 2; c = 1; break; /* II */
2746 20118 : case 3: f = 2; kod = 3; c = 2; break; /* III */
2747 11004 : case 4: f = 2; kod = 4; /* IV */
2748 11004 : c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6,sqri(p)), p);
2749 11004 : break;
2750 32543 : case 6: f = 2; kod = -1; /* I0* */
2751 32543 : p2 = sqri(p);
2752 : /* x^3 - 3c4/p^2 x - 2c6/p^3 */
2753 32543 : tri = mkpoln(4, gen_1, gen_0,
2754 : negi(mului(3, diviiexact(c4, p2))),
2755 : negi(shifti(diviiexact(c6, mulii(p2,p)), 1)));
2756 32543 : c = 1 + FpX_nbroots(tri, p);
2757 32543 : break;
2758 22687 : case 8: f = 2; kod = -4; /* IV* */
2759 22687 : c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6, sqri(sqri(p))), p);
2760 22687 : break;
2761 20013 : case 9: f = 2; kod = -3; c = 2; break; /* III* */
2762 10955 : case 10: f = 2; kod = -2; c = 1; break; /* II* */
2763 0 : default: return localredbug(p,"localred");
2764 : }
2765 1711640 : return localred_result(f, kod, c, v);
2766 : }
2767 :
2768 : /* return a_{ k,l } in Tate's notation, pl = p^l */
2769 : static ulong
2770 1722973 : aux(GEN ak, ulong q, ulong pl)
2771 1722973 : { return umodiu(ak, q) / pl; }
2772 :
2773 : static ulong
2774 2773358 : aux2(GEN ak, ulong p, GEN pl)
2775 2773358 : { pari_sp av = avma; return gc_ulong(av, umodiu(diviiexact(ak, pl), p)); }
2776 :
2777 : /* number of distinct roots of X^3 + aX^2 + bX + c modulo p = 2 or 3
2778 : * assume a,b,c in {0, 1} [ p = 2 ] or {0, 1, 2} [ p = 3 ]
2779 : * if there's a multiple root, put it in *mult */
2780 : static long
2781 473809 : numroots3(long a, long b, long c, long p, long *mult)
2782 : {
2783 473809 : if (p == 2)
2784 : {
2785 273490 : if (odd(c + a * b)) return 3;
2786 237104 : *mult = b; return odd(a + b)? 2: 1;
2787 : }
2788 : /* p = 3 */
2789 200319 : if (!a) { *mult = -c; return b? 3: 1; }
2790 134295 : *mult = a * b;
2791 134295 : if (b == 2)
2792 44674 : return (a + c) == 3 ? 2 : 3;
2793 : else
2794 89621 : return c ? 3 : 2;
2795 : }
2796 :
2797 : /* same for aX^2 +bX + c */
2798 : static long
2799 1537452 : numroots2(long a, long b, long c, long p, long *mult)
2800 : {
2801 1537452 : if (p == 2) { *mult = c; return odd(b)? 2: 1; }
2802 : /* p = 3 */
2803 587951 : *mult = a * b; return (b * b - a * c) % 3 ? 2 : 1;
2804 : }
2805 :
2806 : /* p = 2 or 3 */
2807 : static GEN
2808 1362088 : localred_23(GEN e, long p)
2809 : {
2810 : long c, nu, nu6, nuD, r, s, t;
2811 : long k, theroot, p2, p3, p4, p5, a21, a42, a63, a32, a64;
2812 : GEN v;
2813 :
2814 1362088 : k = get_vp_u_small(e, p, &nu6, &nuD);
2815 1362088 : if (!k) v = init_ch();
2816 : else
2817 : {
2818 : ellmin_t M;
2819 48776 : min_set_all(&M, e, powuu(p, k));
2820 48776 : v = min_get_v(&M, e);
2821 48776 : e = min_to_ell(&M, e);
2822 : }
2823 : /* model is minimal */
2824 1362088 : nuD = Z_lval(ell_get_disc(e), (ulong)p);
2825 1362088 : if (!nuD) return localred_result(0, 1, 1, v); /* I0 */
2826 1360597 : if (p == 2) { p2 = 4; p3 = 8; p4 = 16; p5 = 32; }
2827 623371 : else { p2 = 9; p3 = 27; p4 = 81; p5 =243; }
2828 :
2829 1360597 : if (umodiu(ell_get_b2(e), p)) /* p \nmid b2 */
2830 : {
2831 746417 : if (umodiu(negi(ell_get_c6(e)), p == 2 ? 8 : 3) == 1)
2832 378861 : c = nuD;
2833 : else
2834 367556 : c = odd(nuD)? 1: 2;
2835 746417 : return localred_result(1, 4 + nuD, c, v); /* Inu */
2836 : }
2837 614180 : if (p == 2)
2838 : {
2839 360122 : r = umodiu(ell_get_a4(e), 2);
2840 360122 : s = umodiu(ell_get_a2(e), 2);
2841 360122 : t = umodiu(ell_get_a6(e), 2);
2842 360122 : if (r) { t = (s + t) & 1; s = (s + 1) & 1; }
2843 : }
2844 : else /* p == 3 */
2845 : {
2846 254058 : r = - umodiu(ell_get_b6(e), 3);
2847 254058 : s = umodiu(ell_get_a1(e), 3);
2848 254058 : t = umodiu(ell_get_a3(e), 3);
2849 254058 : if (s) { t = (t + r*s) % 3; if (t < 0) t += 3; }
2850 : }
2851 : /* p | (a1, a2, a3, a4, a6) */
2852 614180 : if (r || s || t) e = coordch_rst(e, stoi(r), stoi(s), stoi(t));
2853 614180 : if (umodiu(ell_get_a6(e), p2))
2854 43316 : return localred_result(nuD, 2, 1, v); /* II */
2855 570864 : if (umodiu(ell_get_b8(e), p3))
2856 53487 : return localred_result(nuD - 1, 3, 2, v); /* III */
2857 517377 : if (umodiu(ell_get_b6(e), p3))
2858 : {
2859 43568 : if (umodiu(ell_get_b6(e), (p==2)? 32: 27) == (ulong)p2)
2860 22239 : c = 3;
2861 : else
2862 21329 : c = 1;
2863 43568 : return localred_result(nuD - 2, 4, c, v); /* IV */
2864 : }
2865 :
2866 473809 : if (umodiu(ell_get_a6(e), p3))
2867 179179 : e = coordch_t(e, p == 2? gen_2: modis(ell_get_a3(e), 9));
2868 : /* p | a1, a2; p^2 | a3, a4; p^3 | a6 */
2869 473809 : a21 = aux(ell_get_a2(e), p2, p);
2870 473809 : a42 = aux(ell_get_a4(e), p3, p2);
2871 473809 : a63 = aux(ell_get_a6(e), p4, p3);
2872 473809 : switch (numroots3(a21, a42, a63, p, &theroot))
2873 : {
2874 69678 : case 3:
2875 69678 : c = a63 ? 1: 2;
2876 69678 : if (p == 2)
2877 36386 : c += ((a21 + a42 + a63) & 1);
2878 : else {
2879 33292 : if (((1 + a21 + a42 + a63) % 3) == 0) c++;
2880 33292 : if (((1 - a21 + a42 - a63) % 3) == 0) c++;
2881 : }
2882 69678 : return localred_result(nuD - 4, -1, c, v); /* I0* */
2883 253358 : case 2:
2884 : { /* compute nu */
2885 : GEN pk, pk1, p2k;
2886 : long al, be, ga;
2887 253358 : if (theroot) e = coordch_r(e, stoi(theroot * p));
2888 : /* p | a1; p^2 | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
2889 253358 : nu = 1;
2890 253358 : pk = utoipos(p2);
2891 253358 : p2k = utoipos(p4);
2892 : for(;;)
2893 : {
2894 755867 : be = aux2(ell_get_a3(e), p, pk);
2895 755867 : ga = -aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
2896 755867 : al = 1;
2897 755867 : if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
2898 630812 : if (theroot) e = coordch_t(e, mulsi(theroot,pk));
2899 630812 : pk1 = pk;
2900 630812 : pk = mului(p, pk);
2901 630812 : p2k = mului(p, p2k); nu++;
2902 :
2903 630812 : al = a21;
2904 630812 : be = aux2(ell_get_a4(e), p, pk);
2905 630812 : ga = aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
2906 630812 : if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
2907 502509 : if (theroot) e = coordch_r(e, mulsi(theroot, pk1));
2908 502509 : p2k = mului(p, p2k); nu++;
2909 : }
2910 253358 : if (p == 2)
2911 140175 : c = odd(ga)? 2: 4;
2912 : else
2913 113183 : c = 3 + kross(be * be - al * ga, 3);
2914 253358 : return localred_result(nuD - 4 - nu, -4 - nu, c, v); /* Inu* */
2915 : }
2916 150773 : case 1:
2917 150773 : if (theroot) e = coordch_r(e, stoi(theroot*p));
2918 : /* p | a1; p^2 | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
2919 150773 : a32 = aux(ell_get_a3(e), p3, p2);
2920 150773 : a64 = aux(ell_get_a6(e), p5, p4);
2921 150773 : if (numroots2(1, a32, -a64, p, &theroot) == 2)
2922 : {
2923 57491 : if (p == 2)
2924 39130 : c = 3 - 2 * a64;
2925 : else
2926 18361 : c = 2 + kross(a32 * a32 + a64, 3);
2927 57491 : return localred_result(nuD - 6, -4, c, v); /* IV* */
2928 : }
2929 93282 : if (theroot) e = coordch_t(e, stoi(theroot*p2));
2930 : /* p | a1; p^2 | a2; p^3 | a3, a4; p^5 | a6 */
2931 93282 : if (umodiu(ell_get_a4(e), p4))
2932 56161 : return localred_result(nuD - 7, -3, 2, v); /* III* */
2933 :
2934 : /* p^6 \nmid a6, otherwise wouldn't be minimal */
2935 37121 : return localred_result(nuD - 8, -2, 1, v); /* II* */
2936 : }
2937 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
2938 : }
2939 :
2940 : /* e is integral */
2941 : static GEN
2942 3073308 : localred(GEN e, GEN p)
2943 : {
2944 3073308 : if (abscmpiu(p, 3) > 0) /* p != 2,3 */
2945 1711640 : return localred_p(e,p);
2946 : else
2947 : {
2948 1361668 : long l = itos(p);
2949 1361668 : if (l < 2) pari_err_PRIME("localred",p);
2950 1361668 : return localred_23(e, l);
2951 : }
2952 : }
2953 :
2954 : /* Given J an ideal in HNF coprime to 2 and z algebraic integer,
2955 : * return b algebraic integer such that z + 2b in J */
2956 : static GEN
2957 140616 : approx_mod2(GEN J, GEN z)
2958 : {
2959 140616 : GEN b = z;
2960 : long i;
2961 140616 : if (typ(b) == t_INT)
2962 : {
2963 140525 : if (mpodd(b)) b = addii(b, gcoeff(J,1,1));
2964 140525 : return shifti(negi(b),-1);
2965 : }
2966 273 : for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
2967 : {
2968 182 : if (mpodd(gel(b,i))) b = ZC_add(b, gel(J,i));
2969 : }
2970 91 : return gshift(ZC_neg(b), -1);
2971 : }
2972 :
2973 : /* Given J an ideal in HNF coprime to 3 and z algebraic integer,
2974 : * return b algebraic integer such that z + 3b in J */
2975 : static GEN
2976 70308 : approx_mod3(GEN J, GEN z)
2977 : {
2978 70308 : GEN b = z;
2979 : long i;
2980 70308 : if (typ(b) == t_INT)
2981 : {
2982 70259 : long s = smodis(b,3);
2983 70259 : if (s)
2984 : {
2985 0 : GEN Jz = gcoeff(J,1,1);
2986 0 : if (smodis(Jz, 3) == s)
2987 0 : b = subii(b, Jz);
2988 : else
2989 0 : b = addii(b, Jz);
2990 : }
2991 70259 : return diviiexact(b, stoi(-3));
2992 : }
2993 147 : for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
2994 : {
2995 98 : long s = smodis(gel(b,i), 3);
2996 98 : if (!s) continue;
2997 49 : if (smodis(gcoeff(J,i,i), 3) == s)
2998 21 : b = ZC_sub(b, gel(J,i));
2999 : else
3000 28 : b = ZC_add(b, gel(J,i));
3001 : }
3002 49 : return ZC_Z_divexact(b, stoi(-3));
3003 : }
3004 :
3005 : /* return a such that v_P(a) = -1, integral elsewhere */
3006 : static GEN
3007 157675 : get_piinv(GEN P)
3008 : {
3009 157675 : GEN z = pr_get_tau(P);
3010 157675 : if (typ(z) == t_MAT) z = gel(z,1);
3011 157675 : return gdiv(z, pr_get_p(P));
3012 : }
3013 : /* pi = local uniformizer, pv = 1/pi */
3014 : static void
3015 310394 : get_uniformizers(GEN nf, GEN P, GEN *pi, GEN *pv)
3016 : {
3017 310394 : if (pr_is_inert(P))
3018 : {
3019 152768 : *pi = pr_get_p(P);
3020 152768 : *pv = mkfrac(gen_1, *pi);
3021 : }
3022 : else
3023 : {
3024 157626 : *pv = get_piinv(P);
3025 157626 : *pi = nfinv(nf, *pv);
3026 : }
3027 310394 : }
3028 : /* x^2+E.a1*x-E.a2 */
3029 : static GEN
3030 579782 : pola1a2(GEN e, GEN nf, GEN modP)
3031 : {
3032 579782 : GEN a1 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a1(e), modP);
3033 579782 : GEN a2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a2(e), modP);
3034 579782 : return mkpoln(3, gen_1, a1, gneg(a2));
3035 : }
3036 :
3037 : /* x^2+E.a3*pv3*x-E.a6*pv6 */
3038 : static GEN
3039 1070167 : pola3a6(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pv3, GEN pv6)
3040 : {
3041 1070167 : GEN a3 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a3(e), pv3), modP);
3042 1070167 : GEN a6 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a6(e), pv6), modP);
3043 1070167 : return mkpoln(3, gen_1, a3, gneg(a6));
3044 : }
3045 :
3046 : /* E.a2*pv2*x^2 + E.a4*pv4*x + E.a6*pv6 */
3047 :
3048 : static GEN
3049 592928 : pola2a4a6(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pv2, GEN pv4, GEN pv6)
3050 : {
3051 592928 : GEN a2 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a2(e), pv2), modP);
3052 592928 : GEN a4 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a4(e), pv4), modP);
3053 592928 : GEN a6 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a6(e), pv6), modP);
3054 592928 : return mkpoln(3, a2, a4, a6);
3055 : }
3056 :
3057 : static GEN
3058 1627108 : pol2sqrt_23(GEN modP, GEN Q)
3059 : {
3060 1627108 : GEN p = modpr_get_p(modP), T = modpr_get_T(modP);
3061 1627108 : GEN r = absequaliu(p,2) ? gel(Q,2): gel(Q,3);
3062 1627108 : if (!gequal1(gel(Q,4))) r = Fq_div(r, gel(Q,4), T, p);
3063 1627108 : if (absequaliu(p,2)) r = Fq_sqrt(r,T,p);
3064 1627108 : return Fq_to_nf(r, modP);
3065 : }
3066 :
3067 : static GEN
3068 27524 : nflocalred_section7(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pi, GEN pv, long vD, GEN ch)
3069 : {
3070 27524 : GEN p = modpr_get_p(modP), T = modpr_get_T(modP);
3071 27524 : GEN pi3 = nfsqr(nf,pi);
3072 27524 : GEN pv3 = nfsqr(nf,pv), pv4 = nfmul(nf,pv,pv3), pv6 = nfsqr(nf,pv3);
3073 27524 : long n = 1;
3074 : while(1)
3075 83881 : {
3076 111405 : GEN Q = pola3a6(e, nf, modP, pv3, pv6);
3077 : GEN gama;
3078 111405 : if (FqX_is_squarefree(Q, T, p))
3079 : {
3080 14847 : long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
3081 14847 : return localred_result(vD-n-4,-4-n,nr+2,ch);
3082 : }
3083 96558 : gama = pol2sqrt_23(modP, Q);
3084 96558 : nf_compose_t(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama,pi3));
3085 96558 : pv6 = nfmul(nf,pv,pv6); n++;
3086 96558 : Q = pola2a4a6(e, nf, modP, pv, pv4, pv6);
3087 96558 : if (FqX_is_squarefree(Q, T, p))
3088 : {
3089 12677 : long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
3090 12677 : return localred_result(vD-n-4,-4-n,nr+2,ch);
3091 : }
3092 83881 : gama = pol2sqrt_23(modP, Q);
3093 83881 : nf_compose_r(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama, pi3));
3094 83881 : pi3 = nfmul(nf,pi, pi3);
3095 83881 : pv3 = pv4; pv4 = nfmul(nf,pv,pv4); pv6 = nfmul(nf,pv,pv6); n++;
3096 : }
3097 : }
3098 :
3099 : /* Tate algorithm, following J.H. Silverman GTM 151, chapt. IV, algo 9.4 */
3100 : /* Dedicated to John Tate for his kind words */
3101 :
3102 : static GEN
3103 181986 : nflocalred_23(GEN nf, GEN e, GEN D, GEN P, long *ap)
3104 : {
3105 : GEN T, p, modP;
3106 : long vD;
3107 : GEN ch, pv, pv2, pv4, pi, pol;
3108 181986 : modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
3109 181986 : get_uniformizers(nf,P, &pi, &pv);
3110 181986 : ch = init_ch();
3111 181986 : vD = nfval(nf,D,P);
3112 181986 : *ap = 0;
3113 : while(1)
3114 : {
3115 625709 : if (vD==0)
3116 31500 : return localred_result(0,1,1,ch);
3117 : else
3118 : {
3119 594209 : GEN a1 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a1(e), modP);
3120 594209 : GEN a2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a2(e), modP);
3121 594209 : GEN a3 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a3(e), modP);
3122 594209 : GEN a4 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a4(e), modP);
3123 594209 : GEN a6 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a6(e), modP);
3124 : GEN x0, y0;
3125 594209 : if (absequaliu(p,2))
3126 : {
3127 : GEN x02, y02;
3128 385560 : if (signe(a1))
3129 : {
3130 43827 : x0 = Fq_div(a3, a1, T, p);
3131 43827 : x02 = Fq_sqr(x0,T,p);
3132 43827 : y02 = Fq_add(Fq_mul(x02,Fq_add(x0,a2,T,p),T,p),Fq_add(Fq_mul(a4,x0,T,p),a6,T,p),T,p);
3133 : }
3134 : else
3135 : {
3136 341733 : x0 = Fq_sqrt(a4, T, p);
3137 341733 : y02 = Fq_add(Fq_mul(a4,a2,T,p),a6,T,p);
3138 : }
3139 385560 : y0 = Fq_sqrt(y02,T,p);
3140 : }
3141 : else
3142 : {
3143 208649 : GEN a12 = Fq_add(Fq_sqr(a1,T,p),a2,T,p);
3144 208649 : if (signe(a12))
3145 39585 : x0 = Fq_div(Fq_sub(a4,Fq_mul(a3,a1,T,p),T,p),a12,T,p);
3146 : else
3147 169064 : x0 = Fq_sqrtn(Fq_neg(Fq_add(Fq_sqr(a3,T,p),a6,T,p),T,p),p,T,p,NULL);
3148 208649 : y0 = Fq_add(Fq_mul(a1, x0, T, p), a3, T, p);
3149 : }
3150 594209 : x0 = Fq_to_nf(x0, modP);
3151 594209 : y0 = Fq_to_nf(y0, modP);
3152 594209 : nf_compose_rt(nf, &ch, &e, x0, y0);
3153 : }
3154 : /* 2 */
3155 : {
3156 594209 : GEN b2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_b2(e), modP);
3157 594209 : if (signe(b2) != 0)
3158 : {
3159 83412 : GEN Q = pola1a2(e, nf, modP);
3160 83412 : long nr = FqX_nbroots(Q, T, p);
3161 83412 : if (nr==2) { *ap = 1; return localred_result(1,vD+4,vD,ch); /* Inu */ }
3162 41818 : else { *ap = -1; return localred_result(1,vD+4,odd(vD)?1:2,ch); }
3163 : }
3164 : }
3165 : /* 3 */
3166 : {
3167 510797 : long va6 = nfval(nf,ell_get_a6(e),P);
3168 510797 : if (va6 <= 1) return localred_result(vD,2,1,ch); /* II */
3169 : }
3170 : /* 4 */
3171 : {
3172 506898 : long vb8 = nfval(nf,ell_get_b8(e),P);
3173 506898 : if (vb8 <= 2) return localred_result(vD-1,3,2,ch);/* III */
3174 : }
3175 : /* 5 */
3176 499765 : pv2 = nfsqr(nf,pv);
3177 : {
3178 499765 : long vb6 = nfval(nf,ell_get_b6(e),P);
3179 499765 : if (vb6<=2)
3180 : {
3181 3395 : GEN Q = pola3a6(e, nf, modP, pv, pv2);
3182 3395 : long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
3183 3395 : return localred_result(vD-2,4,1+nr,ch);/* IV */
3184 : }
3185 : }
3186 : /* 6 */
3187 : {
3188 496370 : GEN pv3 = nfmul(nf,pv, pv2);
3189 496370 : GEN alpha = pol2sqrt_23(modP, pola1a2(e, nf, modP));
3190 496370 : GEN beta = pol2sqrt_23(modP, pola3a6(e, nf, modP, pv, pv2));
3191 : GEN po2, E, F, mr;
3192 : long i, lE;
3193 496370 : nf_compose_st(nf, &ch, &e, alpha, nfmul(nf, beta, pi));
3194 496370 : po2 = pola2a4a6(e, nf, modP, pv, pv2, pv3);
3195 496370 : if (signe(po2)) /* po2 = 0 is frequent when nonminimal */
3196 : {
3197 124034 : pol = RgX_add(pol_xn(3,0), po2);
3198 124034 : F = FqX_factor(pol, T, p); E = gel(F,2);
3199 124034 : lE = lg(E);
3200 124034 : if (E[1] == 1 && (lE == 2 || E[2] == 1))
3201 : { /* T squarefree, degree pattern is (3), (12) or (111) */
3202 : long c; /* 1 + number of roots */
3203 9849 : switch(lE)
3204 : {
3205 2534 : case 2: c = 1; break;
3206 6643 : case 3: c = 2; break;
3207 672 : default: c = 4; break;
3208 : }
3209 9849 : return localred_result(vD-4,-1,c,ch);/* I0* */
3210 : }
3211 : /* 7 */
3212 114185 : i = (lE == 2 || E[1] == 2)? 1: 2; /* index of multiple root */
3213 114185 : mr = constant_coeff(gmael(F,1,i)); /* - multiple root */
3214 114185 : if (!gequal0(mr))
3215 : { /* not so frequent */
3216 102908 : GEN gama = Fq_to_nf(Fq_neg(mr, T, p), modP);
3217 102908 : nf_compose_r(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama,pi));
3218 : }
3219 114185 : if (lE == 3)
3220 27524 : return nflocalred_section7(e, nf, modP, pi, pv, vD, ch); /* Inu* */
3221 : }
3222 : }
3223 458997 : pv4 = nfsqr(nf,pv2);
3224 458997 : pol = pola3a6(e, nf, modP, pv2, pv4);
3225 : /* 8 */
3226 458997 : if (FqX_is_squarefree(pol,T,p))
3227 : {
3228 5068 : long nr = FqX_nbroots(pol, T, p);
3229 5068 : return localred_result(vD-6,-4,1+nr,ch); /* IV* */
3230 : }
3231 : /* 9 */
3232 : {
3233 453929 : GEN alpha = pol2sqrt_23(modP, pol);
3234 453929 : nf_compose_t(nf, &ch, &e, nfmul(nf, alpha, nfsqr(nf,pi)));
3235 453929 : if (nfval(nf, ell_get_a4(e), P) == 3)
3236 7651 : return localred_result(vD-7,-3,2,ch); /* III* */
3237 : }
3238 : /* 10 */
3239 446278 : if (nfval(nf, ell_get_a6(e), P) == 5)
3240 2555 : return localred_result(vD-8,-2,1,ch); /* II* */
3241 : /* 11 */
3242 443723 : nf_compose_u(nf, &ch, &e, pi, pv);
3243 443723 : vD -= 12;
3244 : }
3245 : }
3246 :
3247 : /* Local reduction, residual characteristic >= 5. E/nf, P prid
3248 : * Output: f, kod, [u,r,s,t], c */
3249 : static GEN
3250 128408 : nflocalred_p(GEN e, GEN P)
3251 : {
3252 128408 : GEN nf = ellnf_get_nf(e), T,p, modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
3253 : long c, f, vD, nuj, kod, m;
3254 : GEN ch, c4, c6, D, z, pi, piinv;
3255 :
3256 128408 : c4 = ell_get_c4(e);
3257 128408 : c6 = ell_get_c6(e);
3258 128408 : D = ell_get_disc(e);
3259 128408 : vD = nfval(nf,D,P);
3260 128408 : nuj = nfval(nf,ell_get_j(e),P);
3261 128408 : nuj = nuj >= 0? 0: -nuj; /* v_P(denom(j)) */
3262 128408 : m = (vD - nuj)/12;
3263 128408 : get_uniformizers(nf,P, &pi, &piinv);
3264 :
3265 128408 : if(m <= 0) ch = init_ch();
3266 : else
3267 : { /* model not minimal */
3268 : GEN r,s,t, a1,a2,a3, u,ui,ui2,ui4,ui6,ui12;
3269 70308 : u = nfpow_u(nf,pi,m);
3270 70308 : ui = nfpow_u(nf,piinv,m);
3271 70308 : ui2 = nfsqr(nf,ui);
3272 70308 : ui4 = nfsqr(nf,ui2);
3273 70308 : ui6 = nfmul(nf,ui2,ui4);
3274 70308 : ui12 = nfsqr(nf,ui6);
3275 70308 : c4 = nfmul(nf,c4,ui4);
3276 70308 : c6 = nfmul(nf,c6,ui6);
3277 70308 : D = nfmul(nf,D,ui12); vD -= 12*m;
3278 70308 : a1 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a1(e));
3279 70308 : a2 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a2(e));
3280 70308 : a3 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a3(e));
3281 70308 : s = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(m)), a1);
3282 70308 : r = gsub(a2, nfmul(nf,s,gadd(a1,s)));
3283 70308 : r = approx_mod3(idealpow(nf,P,stoi(2*m)), r);
3284 70308 : t = gadd(a3, nfmul(nf,r,a1));
3285 70308 : t = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(3*m)), t);
3286 70308 : ch = mkvec4(u,r,s,t);
3287 : }
3288 :
3289 128408 : kod = 1; c = 1;
3290 : /* minimal at P */
3291 128408 : if (nuj > 0)
3292 : { /* v(j) < 0 */
3293 79765 : if (vD == nuj)
3294 : { /* v(c4) = v(c6) = 0, multiplicative reduction */
3295 72520 : f = 1; kod = 4+vD;
3296 72520 : z = Fq_neg(nf_to_Fq(nf,c6,modP), T,p);
3297 72520 : if (Fq_issquare(z,T,p))
3298 44849 : c = vD;/* split */
3299 : else
3300 27671 : c = odd(vD)?1 : 2; /* nonsplit */
3301 : }
3302 : else
3303 : { /* v(c4) = 2, v(c6) = 3, potentially multiplicative */
3304 : GEN Du;
3305 7245 : f = 2; kod = 2-vD;
3306 7245 : (void)nfvalrem(nf, D, P, &Du);
3307 7245 : z = nf_to_Fq(nf, Du, modP);
3308 7245 : if(odd(vD))
3309 : {
3310 : GEN c6u;
3311 4116 : (void)nfvalrem(nf, c6, P, &c6u);
3312 4116 : c6u = nf_to_Fq(nf, c6u, modP);
3313 4116 : z = Fq_mul(z, c6u, T,p);
3314 : }
3315 7245 : c = Fq_issquare(z,T,p)? 4: 2;
3316 : }
3317 : }
3318 : else
3319 : { /* v(j) >= 0 */
3320 48643 : f = vD? 2: 0;
3321 48643 : switch(vD)
3322 : {
3323 : GEN piinv2, piinv3, piinv4, w;
3324 37541 : case 0: kod = 1; c = 1; break;
3325 1932 : case 2: kod = 2; c = 1; break;
3326 2345 : case 3: kod = 3; c = 2; break;
3327 1141 : case 4: kod = 4;
3328 1141 : z = nfmul(nf,c6,nfsqr(nf,piinv));
3329 1141 : z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
3330 1141 : z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
3331 1141 : c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
3332 1141 : break;
3333 2576 : case 6: kod = -1;
3334 2576 : piinv2 = nfsqr(nf,piinv);
3335 2576 : piinv3 = nfmul(nf,piinv,piinv2);
3336 2576 : z = nfmul(nf,c4,piinv2); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
3337 2576 : z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-3), T,p);
3338 2576 : w = nfmul(nf,c6,piinv3); w = nf_to_Fq(nf, w, modP);
3339 2576 : w = Fq_Fp_mul(w,gen_m2, T,p);
3340 2576 : c = 1 + FqX_nbroots(mkpoln(4, gen_1,gen_0,z,w), T,p);
3341 2576 : break;
3342 1526 : case 8: kod = -4;
3343 1526 : piinv4 = nfpow_u(nf,piinv,4);
3344 1526 : z = nfmul(nf,c6,piinv4); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
3345 1526 : z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
3346 1526 : c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
3347 1526 : break;
3348 1281 : case 9: kod = -3; c = 2; break;
3349 301 : case 10: kod = -2; c = 1; break;
3350 : }
3351 : }
3352 128408 : return localred_result(f,kod,c,ch);
3353 : }
3354 : /* E is integral */
3355 : static GEN
3356 261233 : nflocalred(GEN E, GEN pr)
3357 : {
3358 261233 : GEN p = pr_get_p(pr), q, v, nf = ellnf_get_nf(E);
3359 : long i;
3360 261233 : if (abscmpiu(p, 3) <= 0)
3361 : {
3362 : long ap, vu;
3363 132825 : GEN e = ell_to_nfell10(E), D = ell_get_disc(E), u;
3364 132825 : q = nflocalred_23(nf,e,D,pr,&ap); v = gel(q,3); u = gel(v,1);
3365 : /* do nothing if already minimal or equation was not pr-integral */
3366 132825 : vu = nfval(nf, u, pr);
3367 132825 : if (vu > 0)
3368 : { /* remove denominators in r,s,t on nf.zk */
3369 119441 : GEN D, r = gel(v,2), s = gel(v,3), t = gel(v,4);
3370 119441 : D = Q_denom(mkvec3(r, s, t));
3371 119441 : if (!equali1(D))
3372 : { /* Beware: D may not be coprime to pr */
3373 : GEN a;
3374 637 : (void)nfvalrem(nf, D, pr, &D);
3375 : /* a in D/p^oo, = 1 mod (u^6) locally */
3376 637 : a = idealaddtoone_i(nf, D, idealpows(nf, pr, 6*vu));
3377 637 : gel(v,2) = nfmul(nf, r, a);
3378 637 : gel(v,3) = nfmul(nf, s, a);
3379 637 : gel(v,4) = nfmul(nf, t, a);
3380 : }
3381 : }
3382 : } else
3383 128408 : q = nflocalred_p(E,pr);
3384 261233 : v = gel(q,3);
3385 1306165 : for(i=1; i <= 4; i++) gel(v,i) = nftoalg(nf, gel(v,i));
3386 261233 : return q;
3387 : }
3388 :
3389 : static GEN
3390 3113470 : checkellp(GEN *pE, GEN p, GEN *pv, const char *s)
3391 : {
3392 3113470 : GEN q, E = *pE;
3393 : long tE;
3394 3113470 : checkell(E); tE = ell_get_type(E);
3395 3113446 : if (pv) *pv = NULL;
3396 3113446 : if (p) switch(typ(p))
3397 : {
3398 2642839 : case t_INT:
3399 2642839 : if (cmpis(p, 2) < 0) pari_err_DOMAIN(s,"p", "<", gen_2, p);
3400 2642830 : break;
3401 205611 : case t_VEC:
3402 205611 : q = get_prid(p);
3403 205611 : if (q && tE == t_ELL_NF)
3404 : {
3405 205611 : *pE = ellintegralmodel_i(E, pv);
3406 205611 : return q;
3407 : }
3408 7 : default: pari_err_TYPE(s,p);
3409 : }
3410 2907819 : switch(tE)
3411 : {
3412 385900 : case t_ELL_Fp:
3413 385900 : case t_ELL_Fq: q = ellff_get_p(E); break;
3414 273 : case t_ELL_Qp: q = ellQp_get_p(E); break;
3415 2521647 : case t_ELL_Q: if (p) { q = p; p = NULL; break; }
3416 : default:
3417 14 : pari_err_TYPE(stack_strcat(s," [can't determine p]"), E);
3418 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
3419 : }
3420 2907805 : if (p && !equalii(p, q)) pari_err_MODULUS(s, p,q);
3421 2907770 : if (tE == t_ELL_Q || tE == t_ELL_Qp || tE == t_ELL_NF)
3422 2521870 : *pE = ellintegralmodel_i(E, pv);
3423 2907767 : return q;
3424 : }
3425 :
3426 : GEN
3427 197085 : elllocalred(GEN E, GEN p)
3428 : {
3429 197085 : pari_sp av = avma;
3430 : GEN v, q;
3431 197085 : checkell(E);
3432 197085 : p = checkellp(&E, p, &v, "elllocalred");
3433 197071 : switch(ell_get_type(E))
3434 : {
3435 99477 : case t_ELL_Qp:
3436 99477 : case t_ELL_Q: q = localred(E, p); break;
3437 97594 : case t_ELL_NF: q = nflocalred(E, p); break;
3438 0 : default: pari_err_TYPE("elllocalred", E);
3439 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
3440 : }
3441 197071 : if (v)
3442 : { /* compose local change of variables with v */
3443 28 : GEN u = gel(v,1), w = gel(q,3);
3444 28 : if (is_trivial_change(w, NULL))
3445 21 : gel(q,3) = mkvec4(u,gen_0,gen_0,gen_0);
3446 : else
3447 7 : gel(w,1) = gmul(u, gel(w,1));
3448 : }
3449 197071 : return gc_GEN(av, q);
3450 : }
3451 :
3452 : /* typ(c) = t_INT or t_FRAC */
3453 : static GEN
3454 40495 : handle_Q(GEN c, GEN *pd)
3455 : {
3456 40495 : *pd = (typ(c) == t_INT)? NULL: gel(c,2);
3457 40495 : return c;
3458 : }
3459 : static GEN
3460 18792644 : handle_coeff(GEN nf, GEN c, GEN *pd)
3461 : {
3462 18792644 : *pd = NULL;
3463 18792644 : switch(typ(c))
3464 : {
3465 18720481 : case t_INT: *pd = NULL; return c;
3466 31668 : case t_FRAC: *pd = gel(c,2); return c;
3467 40495 : case t_POL: case t_POLMOD: case t_COL:
3468 40495 : if (nf)
3469 : {
3470 40495 : c = nf_to_scalar_or_basis(nf,c);
3471 40495 : return handle_Q(Q_content(c), pd);
3472 : }
3473 0 : default: pari_err_TYPE("ellintegralmodel",c);
3474 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
3475 : }
3476 : }
3477 : /* Return an integral model for e / nf, Q. Set v = NULL (already integral)
3478 : * or the variable change [u,0,0,0], u = 1/t, t > 1 integer making e integral */
3479 : GEN
3480 3758580 : ellintegralmodel_i(GEN e, GEN *pv)
3481 : {
3482 : GEN a, t, u, L, nf;
3483 : long i, l, k;
3484 :
3485 3758580 : if (pv) *pv = NULL;
3486 : /* t_ELL_Qp is also possible */
3487 3758580 : nf = (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)?ellnf_get_nf(e): NULL;
3488 3758558 : L = cgetg(1, t_VEC); a = cgetg(6, t_VEC);
3489 22551205 : for (i = 1; i < 6; i++)
3490 : {
3491 : GEN d;
3492 18792630 : gel(a,i) = handle_coeff(nf, gel(e,i), &d);
3493 18792648 : if (d) /* partial factorization of denominator */
3494 32767 : L = shallowconcat(L, gel(Z_factor_limit(d, 0),1));
3495 : }
3496 : /* a = [a1, a2, a3, a4, a6] */
3497 3758575 : l = lg(L); if (l == 1) return e;
3498 16664 : L = ZV_sort_uniq_shallow(L);
3499 16667 : l = lg(L);
3500 :
3501 16667 : t = gen_1;
3502 40180 : for (k = 1; k < l; k++)
3503 : {
3504 23513 : GEN p = gel(L,k);
3505 23513 : long n = 0, m;
3506 141078 : for (i = 1; i < 6; i++)
3507 117565 : if (!gequal0(gel(a,i)))
3508 : {
3509 48195 : long r = (i == 5)? 6: i; /* a5 is missing */
3510 48195 : m = r * n + Q_pval(gel(a,i), p);
3511 72254 : while (m < 0) { n++; m += r; }
3512 : }
3513 23513 : t = mulii(t, powiu(p, n));
3514 : }
3515 16667 : u = ginv(t);
3516 16667 : if (pv) *pv = mkvec4(u,gen_0,gen_0,gen_0);
3517 16667 : return coordch_uinv(e, t);
3518 : }
3519 : GEN
3520 2492 : ellintegralmodel(GEN e, GEN *pv)
3521 : {
3522 2492 : pari_sp av = avma;
3523 2492 : checkell(e);
3524 2492 : switch(ell_get_type(e))
3525 : {
3526 2492 : case t_ELL_Q:
3527 : case t_ELL_Qp:
3528 2492 : case t_ELL_NF: break;
3529 0 : default: pari_err_TYPE("ellintegralmodel",e);
3530 : }
3531 2492 : e = ellintegralmodel_i(e, pv);
3532 2492 : if (pv && *pv) return gc_all(av, 2, &e, pv);
3533 2471 : e = gc_GEN(av, e);
3534 2471 : if (pv) *pv = init_ch();
3535 2471 : return e;
3536 : }
3537 :
3538 : /* return an integral model with a1 = a3 = 0 */
3539 : GEN
3540 0 : ellintegralbmodel(GEN e, GEN *pv)
3541 : {
3542 0 : pari_sp av = avma;
3543 : GEN f, a1, a3;
3544 :
3545 0 : checkell(e); f = ellintegralmodel_i(e, pv);
3546 0 : a1 = ell_get_a1(f);
3547 0 : a3 = ell_get_a3(f);
3548 0 : if (!signe(a1) && !signe(a3))
3549 0 : { if (!*pv) *pv = init_ch(); }
3550 : else
3551 : {
3552 0 : GEN v = mkvec4(mpodd(a1) || mpodd(a3) ? ghalf : gen_1,
3553 : gen_0, gdivgs(a1,-2), gdivgs(a3,-2));
3554 0 : gcomposev(pv, v); f = coordch(f, v);
3555 : }
3556 0 : if (f != e) ell_reset(f);
3557 0 : return gc_all(av, 2, &f, pv);
3558 : }
3559 :
3560 : static long
3561 5866 : F2_card(ulong a1, ulong a2, ulong a3, ulong a4, ulong a6)
3562 : {
3563 5866 : long N = 1; /* oo */
3564 5866 : if (!a3) N ++; /* x = 0, y=0 or 1 */
3565 4697 : else if (!a6) N += 2; /* x = 0, y arbitrary */
3566 5866 : if ((a3 ^ a1) == 0) N++; /* x = 1, y = 0 or 1 */
3567 4655 : else if (a2 ^ a4 ^ a6) N += 2; /* x = 1, y arbitrary */
3568 5866 : return N;
3569 : }
3570 : static long
3571 7518 : F3_card(ulong b2, ulong b4, ulong b6)
3572 : {
3573 7518 : ulong Po = 1+2*b4, Pe = b2+b6;
3574 : /* kro(x,3)+1 = (x+1)%3, N = 4 + sum(kro) = 1+ sum(1+kro) */
3575 7518 : return 1+(b6+1)%3+(Po+Pe+1)%3+(2*Po+Pe+1)%3;
3576 : }
3577 : static long
3578 5845 : cardmod2(GEN e)
3579 : { /* solve y(1 + a1x + a3) = x (1 + a2 + a4) + a6 */
3580 5845 : ulong a1 = Rg_to_F2(ell_get_a1(e));
3581 5845 : ulong a2 = Rg_to_F2(ell_get_a2(e));
3582 5845 : ulong a3 = Rg_to_F2(ell_get_a3(e));
3583 5845 : ulong a4 = Rg_to_F2(ell_get_a4(e));
3584 5845 : ulong a6 = Rg_to_F2(ell_get_a6(e));
3585 5845 : return F2_card(a1,a2,a3,a4,a6);
3586 : }
3587 : static long
3588 7378 : cardmod3(GEN e)
3589 : {
3590 7378 : ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(e), 3);
3591 7378 : ulong b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(e), 3);
3592 7378 : ulong b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(e), 3);
3593 7378 : return F3_card(b2,b4,b6);
3594 : }
3595 :
3596 : static ulong
3597 1820 : ZtoF2(GEN x) { return (ulong)mpodd(x); }
3598 :
3599 : /* complete local reduction at 2, u = 2^d */
3600 : static void
3601 35 : min_set_2(ellmin_t *M, GEN E, long d)
3602 : {
3603 35 : min_set_u(M, int2n(d));
3604 35 : min_set_c(M, E);
3605 35 : min_set_b(M);
3606 35 : min_set_a(M);
3607 35 : }
3608 : /* local reduction at 3, u = 3^d, don't compute the a_i */
3609 : static void
3610 140 : min_set_3(ellmin_t *M, GEN E, long d)
3611 : {
3612 140 : min_set_u(M, powuu(3, d));
3613 140 : min_set_c(M, E);
3614 140 : min_set_b(M);
3615 140 : }
3616 :
3617 : static long
3618 404334 : ellQap_u(GEN E, ulong p, int *good_red)
3619 : {
3620 404334 : long vc6, vD, d = get_vp_u_small(E, p, &vc6, &vD);
3621 404334 : if (vD) /* bad reduction */
3622 : {
3623 : GEN c6;
3624 : long s;
3625 110901 : *good_red = 0;
3626 110901 : if (vc6) return 0;
3627 81508 : c6 = ell_get_c6(E);
3628 81508 : if (d) c6 = diviiexact(c6, powuu(p, 6*d));
3629 81508 : s = kroiu(c6,p);
3630 81508 : if ((p & 3) == 3) s = -s;
3631 81508 : return s;
3632 : }
3633 293433 : *good_red = 1;
3634 293433 : if (p == 2)
3635 : {
3636 : ellmin_t M;
3637 707 : if (!d) return 3 - cardmod2(E);
3638 21 : min_set_2(&M, E, d);
3639 21 : return 3 - F2_card(M.a1, M.a2 & 1, M.a3, ZtoF2(M.a4), ZtoF2(M.a6));
3640 : }
3641 292726 : else if (p == 3)
3642 : {
3643 : ellmin_t M;
3644 1323 : if (!d) return 4 - cardmod3(E);
3645 140 : min_set_3(&M, E, d);
3646 140 : return 4 - F3_card(M.b2, umodiu(M.b4,3), umodiu(M.b6,3));
3647 : }
3648 : else
3649 : {
3650 : ellmin_t M;
3651 291403 : GEN a4, a6, pp = utoipos(p);
3652 291403 : min_set_u(&M, powuu(p,d));
3653 291403 : min_set_c(&M, E);
3654 291403 : c4c6_to_a4a6(M.c4, M.c6, pp, &a4,&a6);
3655 291403 : return itos( subui(p+1, Fp_ellcard(a4, a6, pp)) );
3656 : }
3657 : }
3658 :
3659 : static GEN
3660 98581 : ellQap(GEN E, GEN p, int *good_red)
3661 : {
3662 : GEN a4,a6, c4, c6, D;
3663 : long vc6, vD, d;
3664 98581 : if (lgefint(p) == 3) return stoi( ellQap_u(E, p[2], good_red) );
3665 0 : c6 = ell_get_c6(E);
3666 0 : D = ell_get_disc(E);
3667 0 : vc6 = Z_pval(c6,p); vD = Z_pval(D,p);
3668 0 : d = minss(2*vc6, vD) / 12;
3669 0 : if (d) { vc6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
3670 0 : if (vD) /* bad reduction */
3671 : {
3672 : long s;
3673 0 : *good_red = 0;
3674 0 : if (vc6) return gen_0;
3675 0 : if (d) c6 = diviiexact(c6, powiu(p, 6*d));
3676 0 : s = kronecker(c6,p);
3677 0 : if (mod4(p) == 3) s = -s;
3678 0 : return s < 0? gen_m1: gen_1;
3679 : }
3680 0 : *good_red = 1;
3681 0 : c4 = ell_get_c4(E);
3682 0 : if (d)
3683 : {
3684 0 : GEN u2 = powiu(p, 2*d), u4 = sqri(u2), u6 = mulii(u2,u4);
3685 0 : c4 = diviiexact(c4, u4);
3686 0 : c6 = diviiexact(c6, u6);
3687 : }
3688 0 : c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, &a4,&a6);
3689 0 : return subii(addiu(p,1), Fp_ellcard(a4, a6, p));
3690 : }
3691 :
3692 : static GEN
3693 223983 : doellcard(GEN E)
3694 : {
3695 223983 : GEN fg = ellff_get_field(E);
3696 223983 : if (typ(fg)==t_FFELT)
3697 103093 : return FF_ellcard(E);
3698 : else
3699 : {
3700 120890 : GEN e = ellff_get_a4a6(E);
3701 120890 : return Fp_ellcard(gel(e,1),gel(e,2),fg);
3702 : }
3703 : }
3704 :
3705 : static GEN
3706 191585 : ellnfap(GEN E, GEN P, int *good_red)
3707 : {
3708 191585 : GEN a4,a6, card, nf = ellnf_get_nf(E);
3709 191585 : GEN T,p, modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
3710 191601 : if (abscmpiu(p, 3) <= 0)
3711 : {
3712 : long ap;
3713 49161 : GEN nf = ellnf_get_nf(E), e = ell_to_nfell10(E), D = ell_get_disc(E);
3714 49161 : GEN L = nflocalred_23(nf, e,D,P,&ap), kod = gel(L,2);
3715 49161 : if (!equali1(kod)) { *good_red = 0; return stoi(ap); }
3716 483 : *good_red = 1;
3717 483 : E = nf_coordch(nf, vecslice(e,1,5), gel(L,3));
3718 483 : E = ellinit_nf_to_Fq(nf, E, modP);
3719 483 : card = FF_ellcard(E);
3720 : }
3721 : else
3722 : {
3723 142438 : GEN c6 = ell_get_c6(E), c4 = ell_get_c4(E);
3724 142436 : long vD = nfval(nf, ell_get_disc(E), P);
3725 142405 : if (vD)
3726 : {
3727 : GEN c6new;
3728 49189 : long d, vc6 = nfvalrem(nf,c6,P, &c6new);
3729 49189 : d = ((vc6 == LONG_MAX)? vD: minss(vD,2*vc6)) / 12;
3730 49189 : if (vD > 12*d)
3731 : { /* bad reduction */
3732 49140 : *good_red = 0;
3733 92925 : if (vc6 != 6*d) return gen_0;
3734 43785 : c6 = nf_to_Fq(nf, c6new, modP);
3735 43785 : return Fq_issquare(gneg(c6),T,p)? gen_1: gen_m1;
3736 : }
3737 49 : if (d)
3738 : { /* model not minimal at P */
3739 49 : GEN piinv = get_piinv(P);
3740 49 : GEN ui2 = nfpow(nf, piinv, stoi(2*d));
3741 49 : GEN ui4 = nfsqr(nf, ui2);
3742 49 : GEN ui6 = nfmul(nf, ui2, ui4);
3743 49 : c4 = nfmul(nf, c4, ui4);
3744 49 : c6 = nfmul(nf, c6, ui6);
3745 : }
3746 : }
3747 93265 : *good_red = 1;
3748 93265 : c4 = nf_to_Fq(nf, c4, modP);
3749 93270 : c6 = nf_to_Fq(nf, c6, modP);
3750 93271 : Fq_c4c6_to_a4a6(c4, c6, T,p, &a4,&a6);
3751 93270 : card = T? FpXQ_ellcard(Fq_to_FpXQ(a4,T,p),Fq_to_FpXQ(a6,T,p),T,p)
3752 93264 : : Fp_ellcard(a4,a6,p);
3753 : }
3754 93753 : return subii(addiu(pr_norm(P),1), card);
3755 : }
3756 :
3757 : /* a, b not both 0; sorted list of primes dividing gcd(a,b), using coprime
3758 : * basis */
3759 : static GEN
3760 989191 : Z_gcd_primes(GEN a, GEN b)
3761 : {
3762 : GEN P;
3763 989191 : if (!signe(a))
3764 4081 : P = gel(absZ_factor(b), 1);
3765 985110 : else if (!signe(b))
3766 2324 : P = gel(absZ_factor(a), 1);
3767 : else
3768 : {
3769 982786 : GEN A, B, v = Z_ppio(a,b), d = gel(v,1); /* = gcd(a,b) */
3770 : long k, l;
3771 982786 : if (is_pm1(d)) return cgetg(1, t_COL);
3772 757064 : A = gel(v,2); /* gcd(a, b^oo) */
3773 757064 : B = diviiexact(b, Z_ppo(b, d)); /* gcd(b, a^oo) */
3774 : /* d = gcd(A,B) */
3775 757064 : P = Z_cba(A, B); /* use coprime basis to help as much as possible */
3776 757064 : l = lg(P);
3777 1783488 : for (k = 1; k < l; k++) gel(P,k) = gel(Z_factor(gel(P,k)), 1);
3778 757064 : P = shallowconcat1(P);
3779 757064 : ZV_sort_inplace(P);
3780 : }
3781 763469 : settyp(P, t_VEC); return P;
3782 : }
3783 : /* E/Q, integral model, Laska-Kraus-Connell algorithm. Set *pDP to a list
3784 : * of known prime divisors of minimal discriminant */
3785 : static GEN
3786 959420 : ellQ_minimalu(GEN E, GEN *pDP)
3787 : {
3788 : pari_sp av;
3789 959420 : GEN D = ell_get_disc(E);
3790 959420 : GEN c4 = ell_get_c4(E);
3791 959420 : GEN c6 = ell_get_c6(E), g, u, P, DP;
3792 : long l, k;
3793 :
3794 959420 : P = Z_gcd_primes(c4, c6);
3795 959420 : l = lg(P); if (l == 1) { if(pDP) *pDP = P; return gen_1; }
3796 737933 : DP = coltrunc_init(l);
3797 737933 : av = avma;
3798 737933 : g = gcdii(sqri(c6), D);
3799 737933 : u = gen_1;
3800 1848749 : for (k = 1; k < l; k++)
3801 : {
3802 1110816 : GEN p = gel(P, k);
3803 1110816 : long vg = Z_pval(g, p), d = vg / 12, r = vg % 12;
3804 1110816 : if (d) switch(itou_or_0(p))
3805 : {
3806 145607 : case 2:
3807 : {
3808 : long a, b;
3809 145607 : a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
3810 145607 : b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
3811 145607 : if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) { d--; r += 12; }
3812 145607 : break;
3813 : }
3814 30926 : case 3:
3815 30926 : if (safe_Z_lval(c6,3) == 6*d+2) { d--; r += 12; }
3816 30926 : break;
3817 : }
3818 1110816 : if (r) vectrunc_append(DP, p);
3819 1110816 : if (d) u = mulii(u, powiu(p, d));
3820 : }
3821 737933 : if (pDP) *pDP = DP;
3822 737933 : return gc_INT(av, u);
3823 : }
3824 :
3825 : /* True nf. Ensure a1 and a3 are 2-restricted and a2 is 3-restricted */
3826 : static GEN
3827 42 : nfrestrict23(GEN nf, GEN E)
3828 : {
3829 42 : GEN a1 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a1(E)), A1, A2, A3, r, s, t;
3830 42 : GEN a2 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a2(E));
3831 42 : GEN a3 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a3(E)), T = nf_get_pol(nf);
3832 :
3833 42 : A1 = gmodgs(a1,2);
3834 42 : s = gshift(gsub(A1,a1), -1);
3835 42 : s = nf_to_scalar_or_alg(nf, s);
3836 42 : A2 = nfsub(nf, a2, nfmul(nf,s, nfadd(nf,a1,s)));
3837 42 : r = gdivgu(gsub(gmodgs(A2,3), A2), 3);
3838 42 : r = nf_to_scalar_or_alg(nf, r);
3839 42 : A3 = nfadd(nf, a3, nfmul(nf,r,A1));
3840 42 : t = nfadd(nf, nfmul(nf, r,s), gshift(gsub(gmodgs(A3,2), A3), -1));
3841 42 : t = nf_to_scalar_or_alg(nf, t);
3842 42 : if (typ(r) == t_POL) r = mkpolmod(r, T);
3843 42 : if (typ(s) == t_POL) s = mkpolmod(s, T);
3844 42 : if (typ(t) == t_POL) t = mkpolmod(t, T);
3845 42 : return mkvec4(gen_1, r, s, t);
3846 : }
3847 :
3848 : static GEN
3849 60648 : zk_capZ(GEN nf, GEN x)
3850 : {
3851 60648 : GEN mx = zk_scalar_or_multable(nf, x);
3852 60648 : return (typ(mx) == t_INT)? mx: zkmultable_capZ(mx);
3853 : }
3854 : static GEN
3855 29771 : ellnf_c4c6_primes(GEN E)
3856 : {
3857 29771 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
3858 29771 : GEN c4Z = zk_capZ(nf, ell_get_c4(E));
3859 29771 : GEN c6Z = zk_capZ(nf, ell_get_c6(E));
3860 29771 : return Z_gcd_primes(c4Z, c6Z); /* primes dividing (c4,c6) \cap Z */
3861 : }
3862 : static GEN
3863 1106 : ellnf_D_primes(GEN E)
3864 : {
3865 1106 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
3866 1106 : GEN P = ellnf_c4c6_primes(E);
3867 1106 : GEN DZ = zk_capZ(nf, ell_get_disc(E));
3868 1106 : long k, l = lg(P);
3869 2870 : for (k = 1; k < l; k++) (void)Z_pvalrem(DZ, gel(P,k), &DZ);
3870 1106 : if (!is_pm1(DZ))
3871 : {
3872 910 : GEN Q = gel(absZ_factor(DZ),1);
3873 910 : settyp(Q, t_VEC); P = shallowconcat(P, Q); ZV_sort_inplace(P);
3874 : }
3875 1106 : return P;
3876 : }
3877 :
3878 : /* convert vector of localreds to NF_MINIMALPRIMES */
3879 : static GEN
3880 29554 : Q_to_minimalprimes(GEN nf, GEN P, GEN Q)
3881 : {
3882 : GEN L, Lr, Ls, Lt, U;
3883 29554 : long k, l = lg(P);
3884 29554 : Lr = vectrunc_init(l);
3885 29554 : Ls = vectrunc_init(l);
3886 29554 : Lt = vectrunc_init(l);
3887 29554 : L = vectrunc_init(l); settyp(L,t_COL);
3888 29554 : U = vectrunc_init(l); settyp(U,t_COL);
3889 107723 : for (k = 1; k < l; k++)
3890 : {
3891 78169 : GEN pr = gel(P, k), q = gel(Q, k), v, u;
3892 : long vu;
3893 78169 : v = gel(q,3);
3894 78169 : u = gel(v,1);
3895 78169 : vu = nfval(nf, u, pr);
3896 78169 : if (!vu) continue;
3897 64295 : vectrunc_append(Lr, gel(v,2));
3898 64295 : vectrunc_append(Ls, gel(v,3));
3899 64295 : vectrunc_append(Lt, gel(v,4));
3900 64295 : vectrunc_append(L, pr);
3901 64295 : vectrunc_append(U, stoi(vu));
3902 : }
3903 29554 : return mkvec5(L, U, Lr, Ls, Lt);
3904 : }
3905 : /* E integral */
3906 : static GEN
3907 58660 : ellminimalprimes(GEN E)
3908 : {
3909 : GEN S, nf, c4, c6, P, Q;
3910 : long j, k, l;
3911 :
3912 58660 : if ((S = obj_check(E, NF_MINIMALPRIMES))) return S;
3913 28665 : nf = ellnf_get_nf(E);
3914 28665 : c4 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_c4(E));
3915 28665 : c6 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_c6(E));
3916 28665 : if (typ(c4) == t_INT) c4 = NULL;
3917 28665 : if (typ(c6) == t_INT) c6 = NULL;
3918 28665 : P = nf_pV_to_prV(nf, ellnf_c4c6_primes(E));
3919 28665 : Q = cgetg_copy(P, &l);
3920 103068 : for (k = j = 1; k < l; k++)
3921 : {
3922 74403 : GEN pr = gel(P, k);
3923 74403 : if (c4 && !ZC_prdvd(c4,pr)) continue;
3924 74333 : if (c6 && !ZC_prdvd(c6,pr)) continue;
3925 74319 : gel(Q,j) = nflocalred(E, pr); /* pr | (c4,c6) */
3926 74319 : gel(P,j++) = pr;
3927 : }
3928 28665 : setlg(P,j); setlg(Q,j);
3929 28665 : return obj_insert(E, NF_MINIMALPRIMES, Q_to_minimalprimes(nf,P,Q));
3930 : }
3931 : static GEN
3932 29722 : ellnf_minimalnormu(GEN E0)
3933 : {
3934 29722 : GEN E, S, L, U, P, v, Nu = NULL, nf = ellnf_get_nf(E0);
3935 : long i, l;
3936 29722 : E = ellintegralmodel_i(E0, &v);
3937 29722 : S = ellminimalprimes(E);
3938 29722 : L = gel(S,1);
3939 29722 : U = gel(S,2);
3940 29722 : if (v) Nu = idealnorm(nf, gel(v,1));
3941 29722 : P = cgetg_copy(L, &l);
3942 94339 : for (i = 1; i < l; i++) gel(P,i) = pr_norm(gel(L,i));
3943 29722 : P = factorback2(P, U);
3944 29722 : if (Nu) P = gmul(Nu, P);
3945 29722 : return P;
3946 : }
3947 : /* E integral model; return change of variable to minimal model (t_VEC)
3948 : * or (nontrivial) Weierstrass class (t_COL) */
3949 : static GEN
3950 63 : bnf_get_v(GEN E)
3951 : {
3952 63 : GEN bnf = ellnf_get_bnf(E);
3953 : GEN nf, L, Lr, Ls, Lt, F, C, U, R, S, T;
3954 :
3955 63 : if (!bnf) pari_err_TYPE("ellminimalmodel (need a bnf)", ellnf_get_nf(E));
3956 63 : S = ellminimalprimes(E);
3957 63 : L = gel(S,1);
3958 63 : U = gel(S,2);
3959 63 : Lr = gel(S,3);
3960 63 : Ls = gel(S,4);
3961 63 : Lt = gel(S,5);
3962 63 : F = isprincipalfact(bnf, NULL, L, U, nf_GEN);
3963 63 : if (!gequal0(gel(F,1))) return gel(F,1);
3964 42 : nf = bnf_get_nf(bnf);
3965 42 : C = idealchinese(nf, mkmat2(L, ZC_z_mul(U,6)), NULL);
3966 42 : U = nftoalg(nf, gel(F,2));
3967 42 : R = nftoalg(nf, idealchinese(nf, C, Lr));
3968 42 : S = nftoalg(nf, idealchinese(nf, C, Ls));
3969 42 : T = nftoalg(nf, idealchinese(nf, C, Lt));
3970 42 : return mkvec4(U,R,S,T);
3971 : }
3972 :
3973 : GEN
3974 70 : ellminimaldisc(GEN E)
3975 : {
3976 70 : pari_sp av = avma;
3977 70 : checkell(E);
3978 70 : switch(ell_get_type(E))
3979 : {
3980 7 : case t_ELL_Q:
3981 7 : E = ellminimalmodel(E,NULL);
3982 7 : return gc_INT(av, absi_shallow(ell_get_disc(E)));
3983 63 : case t_ELL_NF:
3984 : {
3985 63 : GEN nf = ellnf_get_nf(E), S, L, U, D;
3986 63 : E = ellintegralmodel_i(E,NULL);
3987 63 : S = ellminimalprimes(E);
3988 63 : L = gel(S,1);
3989 63 : U = ZC_z_mul(gel(S,2), 12);
3990 63 : D = idealfactorback(nf, L, U, 0);
3991 63 : return gc_upto(av, idealdiv(nf, ell_get_disc(E), D));
3992 : }
3993 0 : default: pari_err_TYPE("ellminimaldisc (E / number field)", E);
3994 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
3995 : }
3996 : }
3997 :
3998 : /* update Q_MINIMALMODEL entry in E, but don't update type-specific data on
3999 : * ellminimalmodel(E) */
4000 : static GEN
4001 963095 : ellminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv, GEN *pS)
4002 : {
4003 : GEN S, y, e, v, v0, u, DP;
4004 : ellmin_t M;
4005 963095 : if ((S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL)))
4006 : {
4007 3689 : if (lg(S) != 2)
4008 : {
4009 70 : E = gel(S,3);
4010 70 : v = gel(S,2);
4011 : }
4012 : else
4013 3619 : v = init_ch();
4014 3689 : if (ptv) *ptv = v;
4015 3689 : if (pS) *pS = S;
4016 3689 : return gcopy(E);
4017 : }
4018 959406 : e = ellintegralmodel_i(E, &v0);
4019 959406 : u = ellQ_minimalu(e, &DP);
4020 959406 : min_set_all(&M, e, u);
4021 959406 : v = min_get_v(&M, e);
4022 959406 : y = min_to_ell(&M, e);
4023 959406 : if (v0) { gcomposev(&v0, v); v = v0; }
4024 959406 : if (is_trivial_change(v, NULL))
4025 : {
4026 925575 : v = init_ch();
4027 925575 : S = mkvec(DP);
4028 : }
4029 : else
4030 33831 : S = mkvec3(DP, v, y);
4031 959406 : obj_insert(E, Q_MINIMALMODEL, S);
4032 959406 : if (pS) *pS = S;
4033 959406 : if (ptv) *ptv = v; return y;
4034 : }
4035 :
4036 : static GEN
4037 21567 : ellQminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
4038 : {
4039 21567 : pari_sp av = avma;
4040 21567 : GEN S, DP, v, y = ellminimalmodel_i(E, &v, &S);
4041 21567 : if (!is_trivial_change(v, NULL)) ch_Q(y, E, v);
4042 21567 : DP = gel(S,1);
4043 21567 : obj_insert_shallow(y, Q_MINIMALMODEL, mkvec(DP));
4044 21567 : if (!ptv) return gc_GEN(av, y);
4045 1050 : *ptv = v; return gc_all(av, 2, &y, ptv);
4046 : }
4047 :
4048 : static GEN
4049 63 : ellnfminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv)
4050 : {
4051 : GEN S, y, v, v2;
4052 63 : if ((S = obj_check(E, NF_MINIMALMODEL)))
4053 : {
4054 0 : switch(lg(S))
4055 : {
4056 0 : case 1: v = init_ch(); break;
4057 0 : case 2: v = NULL; E = gel(S,1); break;
4058 0 : default: E = gel(S,2); v = gel(S,1); break;
4059 : }
4060 0 : *ptv = v;
4061 0 : return gcopy(E);
4062 : }
4063 63 : *ptv = NULL;
4064 63 : y = ellintegralmodel_i(E, &v);
4065 63 : v2 = bnf_get_v(y);
4066 63 : if (typ(v2) == t_COL)
4067 : {
4068 21 : obj_insert(E, NF_MINIMALMODEL, mkvec(v2));
4069 21 : return v2; /* nontrivial Weierstrass class */
4070 : }
4071 42 : y = coordch(y, v2);
4072 42 : gcomposev(&v, v2);
4073 42 : v2 = nfrestrict23(ellnf_get_nf(E), y);
4074 42 : y = coordch(y, v2);
4075 : /* copy to avoid inserting twice in y = E */
4076 42 : y = obj_reinit(y);
4077 42 : gcomposev(&v, v2);
4078 42 : if (is_trivial_change(v, NULL))
4079 : {
4080 7 : v = init_ch();
4081 7 : S = cgetg(1,t_VEC);
4082 : }
4083 : else
4084 : {
4085 35 : v = lift_if_rational(v);
4086 35 : S = mkvec2(v, y);
4087 : }
4088 42 : obj_insert(E, NF_MINIMALMODEL, S);
4089 42 : *ptv = v; return y;
4090 : }
4091 : static GEN
4092 63 : ellnfminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
4093 : {
4094 63 : pari_sp av = avma;
4095 63 : GEN v, y = ellnfminimalmodel_i(E, &v);
4096 63 : if (v) obj_insert_shallow(y, NF_MINIMALMODEL, cgetg(1,t_VEC));
4097 63 : if (!v || !ptv) return gc_GEN(av, y);
4098 35 : *ptv = v; return gc_all(av, 2, &y, ptv);
4099 : }
4100 : GEN
4101 21637 : ellminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
4102 : {
4103 21637 : checkell(E);
4104 21637 : switch(ell_get_type(E))
4105 : {
4106 21567 : case t_ELL_Q: return ellQminimalmodel(E, ptv);
4107 63 : case t_ELL_NF: return ellnfminimalmodel(E, ptv);
4108 7 : default: pari_err_TYPE("ellminimalmodel (E / number field)", E);
4109 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
4110 : }
4111 : }
4112 :
4113 : /* return a model minimal among b models */
4114 : GEN
4115 966 : ellminimalbmodel(GEN e, GEN *pv)
4116 : {
4117 966 : pari_sp av = avma;
4118 : GEN f, a1, a3;
4119 :
4120 966 : checkell(e); f = ellminimalmodel(e, pv);
4121 966 : a1 = ell_get_a1(f);
4122 966 : a3 = ell_get_a3(f);
4123 966 : if (!signe(a1) && !signe(a3))
4124 336 : { if (!*pv) *pv = init_ch(); }
4125 : else
4126 : {
4127 630 : GEN v = mkvec4(mpodd(a1) || mpodd(a3) ? ghalf : gen_1,
4128 : gen_0, gdivgs(a1,-2), gdivgs(a3,-2));
4129 630 : gcomposev(pv, v); f = coordch(f, v);
4130 : }
4131 966 : if (f != e) ell_reset(f);
4132 966 : return gc_all(av, 2, &f, pv);
4133 : }
4134 :
4135 : /* Reduction of a rational curve E to its standard minimal model, don't
4136 : * update type-dependant components.
4137 : * Set v = [u, r, s, t] = change of variable E -> minimal model, with u > 0
4138 : * Set gr = [N, [u,r,s,t], c, fa, L], where
4139 : * N = arithmetic conductor of E
4140 : * c = product of the local Tamagawa numbers cp
4141 : * fa = factorization of N
4142 : * L = list of localred(E,p) for p | N. */
4143 : static GEN
4144 912065 : ellQ_globalred(GEN e)
4145 : {
4146 : long k, l, iN;
4147 : GEN S, c, E, L, P, NP, NE, D;
4148 :
4149 912065 : E = ellminimalmodel_i(e, NULL, &S);
4150 912065 : P = gel(S,1); l = lg(P); /* some known prime divisors of D */
4151 912065 : D = ell_get_disc(E);
4152 1730211 : for (k = 1; k < l; k++) (void)Z_pvalrem(D, gel(P,k), &D);
4153 912065 : if (!is_pm1(D))
4154 : {
4155 876736 : P = shallowconcat(P, gel(absZ_factor(D),1));
4156 876736 : ZV_sort_inplace(P);
4157 : }
4158 912065 : l = lg(P); c = gen_1;
4159 912065 : iN = 1;
4160 912065 : NP = cgetg(l, t_COL);
4161 912065 : NE = cgetg(l, t_COL);
4162 912065 : L = cgetg(l, t_VEC);
4163 3885882 : for (k = 1; k < l; k++)
4164 : {
4165 2973817 : GEN p = gel(P,k), q = localred(E, p), ex = gel(q,1);
4166 2973817 : if (!signe(ex)) continue;
4167 2973817 : gel(NP, iN) = p;
4168 2973817 : gel(NE, iN) = ex;
4169 2973817 : gel(L, iN) = q; iN++;
4170 2973817 : gel(q,3) = gen_0; /*delete variable change*/
4171 2973817 : c = mulii(c, gel(q,4));
4172 : }
4173 912065 : setlg(L, iN);
4174 912065 : setlg(NP, iN);
4175 912065 : setlg(NE, iN);
4176 912065 : return mkvec4(factorback2(NP,NE), c, mkmat2(NP,NE), L);
4177 : }
4178 : static GEN
4179 925106 : ellglobalred_i(GEN E)
4180 925106 : { return obj_checkbuild(E, Q_GLOBALRED, &ellQ_globalred); }
4181 :
4182 : static GEN
4183 980 : Q_to_globalred(GEN nf, GEN P, GEN Q, GEN v)
4184 : {
4185 : GEN c, L, NP, NE;
4186 980 : long j, k, l = lg(P);
4187 980 : c = gen_1;
4188 980 : NP = cgetg(l, t_COL);
4189 980 : NE = cgetg(l, t_COL);
4190 980 : L = cgetg(l, t_VEC);
4191 5068 : for (k = j = 1; k < l; k++)
4192 : {
4193 4088 : GEN p = gel(P,k), q = gel(Q,k), ex;
4194 4088 : ex = gel(q,1);
4195 4088 : if (!signe(ex)) continue;
4196 3857 : gel(NP, j) = p;
4197 3857 : gel(NE, j) = ex;
4198 3857 : gel(L, j) = q; j++;
4199 3857 : c = mulii(c, gel(q,4));
4200 : }
4201 980 : setlg(L, j); setlg(NP, j); setlg(NE, j);
4202 980 : return mkvec5(idealfactorback(nf,NP,NE,0), v, c, mkmat2(NP,NE), L);
4203 : }
4204 :
4205 : static GEN
4206 980 : ellnfglobalred(GEN E0)
4207 : {
4208 : GEN E, P, Q, D, nf, v;
4209 : long j, k, l;
4210 :
4211 980 : E = ellintegralmodel_i(E0, &v);
4212 980 : if (!v) v = init_ch();
4213 980 : nf = ellnf_get_nf(E);
4214 980 : P = nf_pV_to_prV(nf, ellnf_D_primes(E));
4215 980 : D = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_disc(E));
4216 980 : if (typ(D) == t_INT) D = NULL;
4217 980 : Q = cgetg_copy(P, &l);
4218 7700 : for (k = j = 1; k < l; k++)
4219 : {
4220 6720 : GEN p = gel(P,k);
4221 6720 : if (D && !ZC_prdvd(D, p)) continue;
4222 4088 : gel(Q,j) = nflocalred(E, p);
4223 4088 : gel(P,j++) = p;
4224 : }
4225 980 : setlg(P,j); setlg(Q,j);
4226 980 : if (!obj_check(E0, NF_MINIMALPRIMES))
4227 889 : (void)obj_insert(E0, NF_MINIMALPRIMES, Q_to_minimalprimes(nf,P,Q));
4228 980 : return Q_to_globalred(nf,P,Q,v);
4229 : }
4230 :
4231 : GEN
4232 909573 : ellglobalred(GEN E)
4233 : {
4234 909573 : pari_sp av = avma;
4235 : GEN S, gr, v;
4236 909573 : checkell(E);
4237 909573 : switch(ell_get_type(E))
4238 : {
4239 0 : default: pari_err_TYPE("ellglobalred",E);
4240 908299 : case t_ELL_Q:
4241 908299 : gr = ellglobalred_i(E);
4242 908299 : S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
4243 908299 : v = (lg(S) == 2)? init_ch(): gel(S,2);
4244 908299 : v = mkvec5(gel(gr,1), v, gel(gr,2),gel(gr,3),gel(gr,4));
4245 908299 : break;
4246 1274 : case t_ELL_NF:
4247 1274 : v = obj_checkbuild(E, NF_GLOBALRED, &ellnfglobalred);
4248 1274 : break;
4249 : }
4250 909573 : return gc_GEN(av, v);
4251 : }
4252 :
4253 : static GEN doellrootno(GEN e);
4254 : /* Return E = ellminimalmodel(e), but only update E[1..14].
4255 : * insert MINIMALMODEL, GLOBALRED, ROOTNO in both e (regular insertion)
4256 : * and E (shallow insert) */
4257 : GEN
4258 4550 : ellanal_globalred(GEN e, GEN *ch)
4259 : {
4260 4550 : GEN E, S, v = NULL;
4261 4550 : checkell_Q(e);
4262 4550 : if (!(S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
4263 : {
4264 406 : E = ellminimalmodel_i(e, &v, &S);
4265 406 : obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
4266 : }
4267 4144 : else if (lg(S) == 2) /* trivial change */
4268 4130 : E = e;
4269 : else
4270 : {
4271 14 : v = gel(S,2);
4272 14 : E = gcopy(gel(S,3));
4273 14 : obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
4274 : }
4275 4550 : if (ch) *ch = v;
4276 4550 : S = ellglobalred_i(e);
4277 4550 : if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
4278 4550 : S = obj_check(e, Q_ROOTNO);
4279 4550 : if (!S)
4280 : {
4281 3255 : S = doellrootno(E);
4282 3255 : obj_insert(e, Q_ROOTNO, S); /* insert in e */
4283 : }
4284 4550 : if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S); /* ... and in E */
4285 4550 : return E;
4286 : }
4287 :
4288 : static long
4289 9688 : nb_real_components(GEN E) { return gsigne(ell_get_disc(E)) > 0? 2: 1; }
4290 : /* E minimal, \Omega_E^s in "La constante de Manin et le degre modulaire
4291 : * d'une courbe elliptique" */
4292 : GEN
4293 19859 : ellQtwist_bsdperiod(GEN E, long s)
4294 : {
4295 19859 : GEN w = ellR_omega(E,DEFAULTPREC);
4296 19859 : if (s == 1)
4297 10220 : w = gel(w,1);
4298 9639 : else if (nb_real_components(E) == 2)
4299 5369 : w = gneg(gel(w,2));
4300 : else
4301 4270 : w = mkcomplex(gen_0, gneg(gmul2n(imag_i(gel(w,2)), 1)));
4302 19859 : return w;
4303 : }
4304 :
4305 : static GEN
4306 49 : ellQ_tamagawa(GEN e)
4307 : {
4308 49 : GEN red = ellglobalred(e), tam = gel(red,3);
4309 49 : return muliu(tam, nb_real_components(e));
4310 : }
4311 :
4312 : static GEN
4313 882 : ellnf_tamagawa(GEN e)
4314 : {
4315 882 : GEN red = ellglobalred(e), tam = gel(red,3);
4316 882 : GEN nf = ellnf_get_nf(e), s = nfsign(nf, ell_get_disc(e));
4317 : long r1, r2;
4318 882 : nf_get_sign(nf, &r1, &r2);
4319 882 : return shifti(tam, r2 + r1 - hammingweight(s));
4320 : }
4321 :
4322 : GEN
4323 49 : elltamagawa(GEN E)
4324 : {
4325 49 : pari_sp av = avma;
4326 : GEN v;
4327 49 : checkell(E);
4328 49 : switch(ell_get_type(E))
4329 : {
4330 0 : default: pari_err_TYPE("elltamagawa",E);
4331 21 : case t_ELL_Q: v = ellQ_tamagawa(E); break;
4332 28 : case t_ELL_NF: v = ellnf_tamagawa(E); break;
4333 : }
4334 49 : return gc_INT(av, v);
4335 : }
4336 :
4337 : static GEN
4338 58660 : ellnf_get_nf_prec(GEN E, long prec)
4339 : {
4340 58660 : GEN S, nf = ellnf_get_nf(E);
4341 58660 : if (nf_get_prec(nf) >= prec) return nf;
4342 46081 : if ((S = obj_check(E, NF_NF)) && nf_get_prec(S) >= prec) return S;
4343 29351 : return obj_insert(E, NF_NF, nfnewprec_shallow(nf, prec));
4344 : }
4345 : /* true nf, use nf prec */
4346 : static GEN
4347 206843 : nfembedall(GEN nf, GEN x)
4348 : {
4349 : long r1, r2;
4350 : GEN cx;
4351 206843 : nf_get_sign(nf,&r1,&r2);
4352 206843 : x = nf_to_scalar_or_basis(nf,x);
4353 206843 : if (typ(x) != t_COL) return const_vec(r1+r2, x);
4354 3276 : x = Q_primitive_part(x, &cx);
4355 3276 : x = RgM_RgC_mul(nf_get_M(nf), x);
4356 3276 : if (cx) x = RgC_Rg_mul(x,cx);
4357 3276 : return x;
4358 : }
4359 : static long
4360 58660 : nfembed_extraprec(GEN x)
4361 58660 : { long e = gexpo(x); return (e < 8)? 0: nbits2extraprec(e); }
4362 : GEN
4363 29841 : ellnfembed(GEN E, long prec)
4364 : {
4365 29841 : GEN E0, nf = ellnf_get_nf(E), Eb = cgetg(6,t_VEC), e = cgetg(6,t_VEC), L, sD;
4366 : long prec0, r1, r2, n, i;
4367 :
4368 29841 : nf_get_sign(nf, &r1, &r2); n = r1+r2;
4369 29841 : E0 = RgC_to_nfC(nf, vecslice(E,1,5));
4370 29841 : prec0 = prec + EXTRAPREC64;
4371 : /* need accuracy 3b for bmodel to ensure roots are correct to b bits */
4372 29841 : prec += 3*prec0 + nfembed_extraprec(E0);
4373 29841 : L = cgetg(n+1, t_VEC);
4374 29841 : sD = nfeltsign(nf, ell_get_disc(E), identity_perm(r1));
4375 : for(;;)
4376 : {
4377 29841 : nf = ellnf_get_nf_prec(E, prec);
4378 179046 : for (i=1; i<=5; i++) gel(Eb,i) = nfembedall(nf,gel(E0,i));
4379 91210 : for (i=1; i<=n; i++)
4380 : {
4381 : GEN Ei, r;
4382 : long j;
4383 368214 : for (j=1; j<=5; j++) gel(e,j) = gmael(Eb,j,i);
4384 61369 : gel(L,i) = Ei = ellinit_Rg(e, i<=r1? signe(gel(sD,i)): 0, prec);
4385 61369 : if (!Ei) break;
4386 61369 : r = doellR_roots_i(Ei, prec, prec0);
4387 61369 : if (!r) break;
4388 : }
4389 29841 : if (i > n) return L;
4390 0 : prec = precdbl(prec);
4391 0 : if (DEBUGLEVEL>1) pari_warn(warnprec,"ellnfembed", prec);
4392 : }
4393 : }
4394 :
4395 : GEN
4396 28819 : ellpointnfembed(GEN E, GEN P, long prec)
4397 : {
4398 28819 : GEN nf = ellnf_get_nf(E), Px, Py, L;
4399 : long i, l;
4400 28819 : P = RgC_to_nfC(nf, P);
4401 28819 : prec += nfembed_extraprec(P);
4402 28819 : nf = ellnf_get_nf_prec(E, prec);
4403 28819 : Px = nfembedall(nf, gel(P,1));
4404 28819 : Py = nfembedall(nf, gel(P,2));
4405 28819 : l = lg(Px); L = cgetg(l, t_VEC);
4406 86436 : for(i = 1; i < l; i++) gel(L,i) = mkvec2(gel(Px,i), gel(Py,i));
4407 28819 : return L;
4408 : }
4409 :
4410 : void
4411 1029 : ellnfembed_free(GEN L)
4412 : {
4413 1029 : long i, l = lg(L);
4414 4795 : for(i = 1; i < l; i++) obj_free(gel(L,i));
4415 1029 : }
4416 :
4417 : static GEN
4418 168 : ellnf_vec_wrap(GEN (*fun)(GEN, long), GEN E, long prec)
4419 : {
4420 168 : pari_sp av = avma;
4421 168 : GEN V = ellnfembed(E, prec);
4422 168 : long i, l = lg(V);
4423 168 : GEN P = cgetg(l, t_VEC);
4424 448 : for(i=1; i<l; i++) gel(P,i) = fun(gel(V,i), prec);
4425 168 : ellnfembed_free(V);
4426 168 : return gc_GEN(av, P);
4427 : }
4428 :
4429 : GEN
4430 91 : ellnf_vecarea(GEN E, long prec)
4431 91 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_area, E, prec); }
4432 :
4433 : GEN
4434 28 : ellnf_veceta(GEN E, long prec)
4435 28 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_eta, E, prec); }
4436 :
4437 : GEN
4438 49 : ellnf_vecomega(GEN E, long prec)
4439 49 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_omega, E, prec); }
4440 :
4441 : static GEN
4442 854 : ellnf_bsdperiod(GEN E, long prec)
4443 : {
4444 854 : pari_sp av = avma;
4445 854 : GEN Eb = ellnfembed(E, prec), per = gtofp(ellnf_minimalnormu(E), prec);
4446 854 : long i, l = lg(Eb), r1 = nf_get_r1(ellnf_get_nf(E));
4447 4326 : for(i = 1; i < l; i++)
4448 : {
4449 3472 : GEN e = gel(Eb, i);
4450 3472 : GEN pi = (i <= r1)? gel(ellR_omega(e, prec),1): ellR_area(e, prec);
4451 3472 : per = mulrr(per, pi);
4452 : }
4453 854 : ellnfembed_free(Eb);
4454 854 : return gc_leaf(av, per);
4455 : }
4456 : static GEN
4457 854 : ellnf_adelicvolume(GEN E, long prec)
4458 : {
4459 854 : GEN t = ellnf_tamagawa(E);
4460 854 : return gmul(t, ellnf_bsdperiod(E, prec));
4461 : }
4462 :
4463 : static GEN
4464 42 : ellnf_bsd(GEN E, long prec)
4465 : {
4466 42 : GEN v = ellnf_adelicvolume(E, prec);
4467 42 : GEN tor = gel(elltors(E),1);
4468 42 : GEN D = itor(nf_get_disc(ellnf_get_nf(E)), prec);
4469 42 : return divrr(divri(v, sqri(tor)), sqrtr_abs(D));
4470 : }
4471 :
4472 : static GEN
4473 28 : ellQ_bsd(GEN E, long prec)
4474 : {
4475 28 : GEN per = gel(ellR_omega(E, prec),1);
4476 28 : GEN tam = ellQ_tamagawa(E);
4477 28 : GEN tor = gel(elltors(E),1);
4478 28 : GEN S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
4479 28 : if (lg(S) != 2)
4480 : { /* switch to minimal model if needed */
4481 21 : GEN v = gel(S,2), u = gel(v,1);
4482 21 : per = gmul(per,u);
4483 : }
4484 28 : return divri(mulri(per,tam), sqri(tor));
4485 : }
4486 :
4487 : GEN
4488 70 : ellbsd(GEN E, long prec)
4489 : {
4490 70 : pari_sp av = avma;
4491 : GEN v;
4492 70 : checkell(E);
4493 70 : switch(ell_get_type(E))
4494 : {
4495 0 : default: pari_err_TYPE("ellbsd",E);
4496 28 : case t_ELL_Q: v = ellQ_bsd(E, prec); break;
4497 42 : case t_ELL_NF: v = ellnf_bsd(E, prec); break;
4498 : }
4499 70 : return gc_upto(av, v);
4500 : }
4501 :
4502 : static GEN
4503 33680 : QE_to_ZJ(GEN P)
4504 : {
4505 33680 : if (ell_is_inf(P))
4506 0 : return mkvec3(gen_1, gen_1, gen_0);
4507 : else
4508 : {
4509 33680 : pari_sp av = avma;
4510 33680 : GEN D1 = denom(gel(P,1)), D2 = denom(gel(P,2));
4511 33680 : GEN R = diviiexact(D2, gcdii(D1,D2));
4512 33680 : GEN R2 = sqri(R), R3 = mulii(R2, R);
4513 33680 : GEN Q1 = gmul(gel(P,1),R2);
4514 33680 : GEN Q2 = gmul(gel(P,2),R3);
4515 33680 : GEN Z = denom(mkvec2(Q1, Q2));
4516 33680 : GEN Z2 = sqri(Z), Z3 = mulii(Z, Z2);
4517 33680 : return gc_GEN(av, mkvec3(gmul(Q1, Z2), gmul(Q2, Z3), mulii(Z, R)));
4518 : }
4519 : }
4520 :
4521 : static GEN
4522 4460 : QEV_to_ZJV(GEN x)
4523 38098 : { pari_APPLY_same(QE_to_ZJ(gel(x,i))) }
4524 :
4525 : static GEN
4526 15319 : FljV_changepointinv_pre(GEN x, GEN a4a6, ulong p, ulong pi)
4527 : {
4528 168179 : pari_APPLY_same(Flj_changepointinv_pre(gel(x,i), a4a6, p, pi))
4529 : }
4530 :
4531 : static GEN
4532 10789 : ellQ_factorback_filter(GEN A, GEN P, GEN *pQ)
4533 : {
4534 10789 : long i, j, k, l = lg(A);
4535 : GEN B, Q;
4536 34026 : for (i = k = 1; i < l; i++)
4537 23237 : if (!ell_is_inf(gel(A,i))) k++;
4538 10789 : if (k == 1 || k == l) { *pQ = P; return A; }
4539 155 : B = cgetg(k, t_VEC);
4540 155 : Q = cgetg(k, typ(P));
4541 735 : for (i = j = 1; i < l; i++)
4542 580 : if (!ell_is_inf(gel(A,i))) { gel(B,j) = gel(A,i); Q[j] = P[i]; j++; }
4543 155 : *pQ = Q; return B;
4544 : }
4545 :
4546 : static GEN
4547 5332 : ellQ_factorback_chinese(GEN A, GEN P, GEN *mod)
4548 : {
4549 5332 : GEN Q, B = ellQ_factorback_filter(A, P, &Q);
4550 5332 : return ncV_chinese_center(B, Q, mod);
4551 : }
4552 :
4553 : static GEN
4554 15732 : ellQ_factorback1(GEN A, GEN L, ulong l, GEN E, long CM, ulong p)
4555 : {
4556 15732 : pari_sp av = avma;
4557 15732 : ulong pi = get_Fl_red(p);
4558 15732 : GEN c4 = ell_get_c4(E);
4559 15732 : ulong a4 = Fl_c4_to_a4(Rg_to_Fl(c4, p), p);
4560 : GEN a4a6, a, Hp;
4561 15732 : ulong d = 1;
4562 15732 : if (l != 1)
4563 : {
4564 648 : GEN c6 = ell_get_c6(E);
4565 648 : ulong a6 = Fl_c6_to_a6(Rg_to_Fl(c6, p), p);
4566 648 : ulong c = p + 1 - Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
4567 648 : d = Fl_invsafe(l % c, c);
4568 648 : if (!d) return NULL;
4569 : }
4570 15322 : a4a6 = a4a6_ch_Fl(E,p);
4571 15319 : a = FljV_changepointinv_pre(A, a4a6, p, pi);
4572 15322 : Hp = FljV_factorback_pre(a, L, a4, p, pi);
4573 15319 : if (d != 1)
4574 238 : Hp = Flj_mulu_pre(Hp, d, a4, p, pi);
4575 15319 : Hp = Flj_to_Fle_pre(Hp, p, pi);
4576 15320 : Hp = Fle_changepoint(Hp, a4a6, p);
4577 15321 : return gc_leaf(av, Hp);
4578 : }
4579 :
4580 : static GEN
4581 8741 : ellQ_factorback_slice(GEN A, GEN L, ulong l, GEN E, GEN P, GEN *mod)
4582 : {
4583 8741 : pari_sp av = avma;
4584 8741 : long i, n = lg(P)-1;
4585 8741 : long CM = ellQ_get_CM(E);
4586 : GEN H, T, B, Q;
4587 8741 : if (n == 1)
4588 : {
4589 3284 : ulong p = uel(P,1);
4590 3284 : GEN Hp = ellQ_factorback1(ZVV_to_FlvV(A, p), L, l, E, CM, p);
4591 3284 : if (!Hp) { *mod = gen_1; return ellinf(); }
4592 3260 : *mod = utoi(p);
4593 3260 : return Flv_to_ZV(Hp);
4594 : }
4595 5457 : T = ZV_producttree(P);
4596 5457 : A = ZVV_nv_mod_tree(A, P, T);
4597 5457 : H = cgetg(n+1, t_VEC);
4598 17905 : for(i=1; i <= n; i++)
4599 : {
4600 12448 : gel(H,i) = ellQ_factorback1(gel(A,i), L, l, E, CM, uel(P,i));
4601 12447 : if (gel(H,i)==NULL) { gel(H,i) = ellinf(); uel(P,i) = 1; }
4602 : }
4603 5457 : B = ellQ_factorback_filter(H, P, &Q);
4604 5457 : if (lg(Q) != lg(P)) T = ZV_producttree(Q);
4605 5457 : H = ncV_chinese_center_tree(B, Q, T, ZV_chinesetree(Q,T));
4606 5457 : *mod = gmael(T, lg(T)-1, 1); return gc_all(av, 2, &H, mod);
4607 : }
4608 :
4609 : GEN
4610 8741 : ellQ_factorback_worker(GEN P, GEN E, GEN A, GEN L, ulong l)
4611 : {
4612 8741 : GEN V = cgetg(3, t_VEC);
4613 8741 : gel(V,1) = ellQ_factorback_slice(A, L, l, E, P, &gel(V,2));
4614 8741 : return V;
4615 : }
4616 :
4617 : /* If a single non-zero entry, equal to 1, return its index. Else 0 */
4618 : static long
4619 4214 : ZV_is_ei(GEN v)
4620 : {
4621 4214 : long i, ei = 0;
4622 15081 : for (i = lg(v)-1; i; i--)
4623 14109 : if (signe(gel(v,i)))
4624 : {
4625 5825 : if (ei || !equali1(gel(v,i))) return 0;
4626 2583 : ei = i;
4627 : }
4628 972 : return ei;
4629 : }
4630 :
4631 : /* A vector of points, L a ZV, return (sum L[i]*A[i]) / l;
4632 : * h is the canonical height of result. Assume the result is NOT
4633 : * torsion */
4634 : static GEN
4635 4228 : ellQ_factorback(GEN E, GEN A, GEN L, ulong l, GEN h, long prec)
4636 : {
4637 4228 : pari_sp av = avma;
4638 4228 : GEN hn, D, worker, mod = gen_1, H = NULL;
4639 : forprime_t S;
4640 4228 : ulong bound = 1;
4641 :
4642 4228 : if (l == 1)
4643 : {
4644 4214 : long i = ZV_is_ei(L);
4645 4214 : if (i) return gel(A,i);
4646 : }
4647 3256 : hn = l==1 ? NULL: hnaive_max(E, h);
4648 3256 : D = ell_get_disc(E);
4649 3256 : worker = snm_closure(is_entry("_ellQ_factorback_worker"),
4650 : mkvec4(E, QEV_to_ZJV(A), L, utoi(l)));
4651 3256 : if (l==1)
4652 3242 : init_modular_big(&S);
4653 : else
4654 14 : init_modular_small(&S);
4655 3256 : for (bound = 1;; bound <<= 1)
4656 3564 : {
4657 : GEN amax, r;
4658 6820 : gen_inccrt("ellQ_factorback", worker, D, bound, 0,
4659 : &S, &H, &mod, ellQ_factorback_chinese, NULL);
4660 6820 : amax = sqrti(shifti(mod,-2));
4661 6820 : if (!ell_is_inf(H) && (r = FpC_ratlift(H, mod, amax, amax, NULL))
4662 3826 : && oncurve_exact(E,r))
4663 : {
4664 : GEN g;
4665 3256 : settyp(r,t_VEC); g = ellheight(E,r,prec);
4666 3256 : if (signe(g) && expo(subrs(divrr(g,h),1))<-prec/2)
4667 3256 : return gc_upto(av, r);
4668 : }
4669 3564 : if (hn && gcmpsg(expi(mod)>>2,hn) > 0) return gc_NULL(av);
4670 : }
4671 : }
4672 :
4673 : GEN
4674 833 : ellQ_genreduce(GEN E, GEN G, GEN M, long prec)
4675 : {
4676 833 : pari_sp av = avma;
4677 833 : long i, j, l = lg(G);
4678 833 : GEN L, V = cgetg(l, t_VEC);
4679 :
4680 833 : if (!M) M = ellheightmatrix(E, G, prec);
4681 : while(1)
4682 : {
4683 833 : L = lllgram(M);
4684 833 : if (L) break;
4685 0 : prec = precdbl(prec);
4686 0 : M = ellheightmatrix(E, G, prec);
4687 : }
4688 833 : l = lg(L); /* can decrease */
4689 4914 : for (i = j = 1; i < l; i++)
4690 : {
4691 4081 : GEN Li = gel(L, i), h = qfeval(M, Li);
4692 4081 : if (expo(h) > -prec/2)
4693 4081 : gel(V,j++) = ellQ_factorback(E, G, Li, 1, h, prec);
4694 : }
4695 833 : setlg(V, j); return gc_GEN(av, V);
4696 : }
4697 :
4698 : static long
4699 42 : ellQ_isdivisible_test(forprime_t *S, GEN E, long CM, GEN P, ulong l, long nb)
4700 : {
4701 42 : GEN D = ell_get_disc(E);
4702 42 : pari_sp av = avma;
4703 : long m;
4704 2247 : for (m = 1; m <= nb; set_avma(av))
4705 : {
4706 2219 : ulong o, a4, a6, p = u_forprime_next(S);
4707 2219 : if (dvdiu(D, p)) continue;
4708 2219 : Fl_ell_to_a4a6(E, p, &a4, &a6);
4709 2219 : o = p+1 - Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
4710 2219 : if (o % l == 0)
4711 : {
4712 294 : ulong pi = get_Fl_red(p);
4713 294 : GEN a4a6 = a4a6_ch_Fl(E,p);
4714 294 : GEN Q = Flj_changepointinv_pre(ZV_to_Flv(P, p), a4a6, p, pi);
4715 294 : GEN R = Flj_mulu_pre(Q, o/l, a4, p, pi);
4716 294 : if (uel(R, 3) != 0) return 0;
4717 280 : m++;
4718 : }
4719 : }
4720 28 : return 1;
4721 : }
4722 :
4723 : /* Assume l prime to 210 */
4724 : GEN
4725 42 : ellQ_isdivisible(GEN E, GEN P, ulong l)
4726 : {
4727 42 : pari_sp av = avma;
4728 42 : GEN worker, mod = gen_1, H = NULL, D = ell_get_disc(E), PJ = QE_to_ZJ(P);
4729 : forprime_t S, U;
4730 42 : long CM = ellQ_get_CM(E);
4731 : ulong bound;
4732 :
4733 42 : u_forprime_init(&U, l+1, ULONG_MAX);
4734 42 : if (!ellQ_isdivisible_test(&U, E, CM, PJ, l, 10)) return gc_NULL(av);
4735 28 : worker = snm_closure(is_entry("_ellQ_factorback_worker"),
4736 : mkvec4(E, mkvec(PJ), mkvecs(1), utoi(l)));
4737 28 : init_modular_small(&S);
4738 28 : for (bound = 1;; bound <<= 1)
4739 62 : {
4740 : GEN amax, r;
4741 90 : gen_inccrt("ellQ_factorback", worker, D, bound, 0,
4742 : &S, &H, &mod, ellQ_factorback_chinese, NULL);
4743 90 : amax = sqrti(shifti(mod,-2));
4744 90 : if (!ell_is_inf(H) && (r = FpC_ratlift(H, mod, amax, amax, NULL))
4745 29 : && oncurve_exact(E,r))
4746 : {
4747 28 : settyp(r,t_VEC);
4748 28 : if (gequal(ellmul(E,r,utoi(l)), P)) return gc_upto(av, r);
4749 0 : if (!ellQ_isdivisible_test(&U, E, CM, PJ, l, 10)) return gc_NULL(av);
4750 : }
4751 : }
4752 : }
4753 :
4754 : /********************************************************************/
4755 : /** **/
4756 : /** ROOT NUMBER (after Halberstadt at p = 2,3) **/
4757 : /** **/
4758 : /********************************************************************/
4759 : /* x a t_INT */
4760 : static long
4761 9303 : val_aux(GEN x, long p, long pk, long *u)
4762 : {
4763 : long v;
4764 : GEN z;
4765 9303 : if (!signe(x)) { *u = 0; return 12; }
4766 9079 : v = Z_lvalrem(x,p,&z);
4767 9079 : *u = umodiu(z,pk); return v;
4768 : }
4769 : static void
4770 3101 : val_init(GEN e, long p, long pk,
4771 : long *v4, long *u, long *v6, long *v, long *vD, long *d1)
4772 : {
4773 3101 : GEN c4 = ell_get_c4(e), c6 = ell_get_c6(e), D = ell_get_disc(e);
4774 3101 : pari_sp av = avma;
4775 3101 : *v4 = val_aux(c4, p,pk, u);
4776 3101 : *v6 = val_aux(c6, p,pk, v);
4777 3101 : *vD = val_aux(D , p,pk, d1); set_avma(av);
4778 3101 : }
4779 :
4780 : static long
4781 3101 : kod_23(GEN e, long p)
4782 : {
4783 : GEN S, nv;
4784 3101 : if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
4785 : {
4786 3080 : GEN NP = gmael(S,3,1), L = gel(S,4);
4787 3080 : nv = absequaliu(gel(NP,1), p)? gel(L,1): gel(L,2); /* localred(p) */
4788 : }
4789 : else
4790 21 : nv = localred_23(e, p);
4791 3101 : return itos(gel(nv,2));
4792 : }
4793 :
4794 : /* v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
4795 : static long
4796 1673 : neron_2(long v4, long v6, long vD, long kod)
4797 : {
4798 1673 : if (kod > 4) return 1;
4799 784 : switch(kod)
4800 : {
4801 0 : case 1: return (v6>0) ? 2 : 1;
4802 49 : case 2:
4803 49 : if (vD==4) return 1;
4804 : else
4805 : {
4806 7 : if (vD==7) return 3;
4807 7 : else return v4==4 ? 2 : 4;
4808 : }
4809 112 : case 3:
4810 112 : switch(vD)
4811 : {
4812 70 : case 6: return 3;
4813 0 : case 8: return 4;
4814 14 : case 9: return 5;
4815 28 : default: return v4==5 ? 2 : 1;
4816 : }
4817 133 : case 4: return v4>4 ? 2 : 1;
4818 84 : case -1:
4819 84 : switch(vD)
4820 : {
4821 42 : case 9: return 2;
4822 0 : case 10: return 4;
4823 42 : default: return v4>4 ? 3 : 1;
4824 : }
4825 56 : case -2:
4826 56 : switch(vD)
4827 : {
4828 7 : case 12: return 2;
4829 0 : case 14: return 3;
4830 49 : default: return 1;
4831 : }
4832 56 : case -3:
4833 56 : switch(vD)
4834 : {
4835 0 : case 12: return 2;
4836 0 : case 14: return 3;
4837 0 : case 15: return 4;
4838 56 : default: return 1;
4839 : }
4840 140 : case -4: return v6==7 ? 2 : 1;
4841 56 : case -5: return (v6==7 || v4==6) ? 2 : 1;
4842 42 : case -6:
4843 42 : switch(vD)
4844 : {
4845 14 : case 12: return 2;
4846 0 : case 13: return 3;
4847 28 : default: return v4==6 ? 2 : 1;
4848 : }
4849 35 : case -7: return (vD==12 || v4==6) ? 2 : 1;
4850 21 : default: return v4==6 ? 2 : 1;
4851 : }
4852 : }
4853 : /* p = 3; v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
4854 : static long
4855 595 : neron_3(long v4, long v6, long vD, long kod)
4856 : {
4857 595 : if (labs(kod) > 4) return 1;
4858 322 : switch(kod)
4859 : {
4860 49 : case -1: case 1: return odd(v4)? 2: 1;
4861 140 : case -3: case 3: return (2*v6>vD+3)? 2: 1;
4862 91 : case -4: case 2:
4863 91 : switch (vD%6)
4864 : {
4865 0 : case 4: return 3;
4866 0 : case 5: return 4;
4867 91 : default: return v6%3==1 ? 2 : 1;
4868 : }
4869 42 : default: /* kod = -2 et 4 */
4870 42 : switch (vD%6)
4871 : {
4872 0 : case 0: return 2;
4873 0 : case 1: return 3;
4874 42 : default: return 1;
4875 : }
4876 : }
4877 : }
4878 :
4879 : static long
4880 1673 : ellrootno_2(GEN e)
4881 : {
4882 : long n2, kod, u, v, x1, y1, D1, vD, v4, v6;
4883 1673 : long d = get_vp_u_small(e, 2, &v6, &vD);
4884 :
4885 1673 : if (!vD) return 1;
4886 1673 : if (d) { /* not minimal */
4887 : ellmin_t M;
4888 14 : min_set_2(&M, e, d);
4889 14 : min_set_D(&M, e);
4890 14 : e = min_to_ell(&M, e);
4891 : }
4892 1673 : val_init(e, 2,64,&v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
4893 1673 : kod = kod_23(e,2);
4894 1673 : n2 = neron_2(v4,v6,vD, kod);
4895 1673 : if (kod>=5)
4896 : {
4897 : long a2, a3;
4898 889 : a2 = ZtoF2(ell_get_a2(e));
4899 889 : a3 = ZtoF2(ell_get_a3(e));
4900 889 : return odd(a2 + a3) ? 1 : -1;
4901 : }
4902 784 : if (kod<-9) return (n2==2) ? -kross(-1,v) : -1;
4903 777 : x1 = u+v+v;
4904 777 : switch(kod)
4905 : {
4906 0 : case 1: return 1;
4907 49 : case 2:
4908 : switch(n2)
4909 : {
4910 42 : case 1:
4911 42 : switch(v4)
4912 : {
4913 14 : case 4: return kross(-1,u);
4914 14 : case 5: return 1;
4915 14 : default: return -1;
4916 : }
4917 7 : case 2: return (v6==7) ? 1 : -1;
4918 0 : case 3: return (v%8==5 || (u*v)%8==5) ? 1 : -1;
4919 0 : case 4: if (v4>5) return kross(-1,v);
4920 0 : return (v4==5) ? -kross(-1,u) : -1;
4921 : }
4922 : case 3:
4923 : switch(n2)
4924 : {
4925 7 : case 1: return -kross(2,u*v);
4926 21 : case 2: return -kross(2,v);
4927 70 : case 3: y1 = (u - (v << (v6-5))) & 15;
4928 70 : return (y1==7 || y1==11) ? 1 : -1;
4929 0 : case 4: return (v%8==3 || (2*u+v)%8==7) ? 1 : -1;
4930 14 : case 5: return v6==8 ? kross(2,x1) : kross(-2,u);
4931 : }
4932 : case -1:
4933 : switch(n2)
4934 : {
4935 42 : case 1: return -kross(2,x1);
4936 42 : case 2: return (v%8==7) || (x1%32==11) ? 1 : -1;
4937 0 : case 3: return v4==6 ? 1 : -1;
4938 0 : case 4: if (v4>6) return kross(-1,v);
4939 0 : return v4==6 ? -kross(-1,u*v) : -1;
4940 : }
4941 56 : case -2: return n2==1 ? kross(-2,v) : kross(-1,v);
4942 56 : case -3:
4943 : switch(n2)
4944 : {
4945 56 : case 1: y1=(u-2*v)%64; if (y1<0) y1+=64;
4946 56 : return (y1==3) || (y1==19) ? 1 : -1;
4947 0 : case 2: return kross(2*kross(-1,u),v);
4948 0 : case 3: return -kross(-1,u)*kross(-2*kross(-1,u),u*v);
4949 0 : case 4: return v6==11 ? kross(-2,x1) : -kross(-2,u);
4950 : }
4951 : case -5:
4952 56 : if (n2==1) return x1%32==23 ? 1 : -1;
4953 7 : else return -kross(2,2*u+v);
4954 42 : case -6:
4955 : switch(n2)
4956 : {
4957 28 : case 1: return 1;
4958 14 : case 2: return v6==10 ? 1 : -1;
4959 0 : case 3: return (u%16==11) || ((u+4*v)%16==3) ? 1 : -1;
4960 : }
4961 : case -7:
4962 35 : if (n2==1) return 1;
4963 : else
4964 : {
4965 21 : y1 = (u + (v << (v6-8))) & 15;
4966 21 : if (v6==10) return (y1==9 || y1==13) ? 1 : -1;
4967 7 : else return (y1==9 || y1==5) ? 1 : -1;
4968 : }
4969 0 : case -8: return n2==2 ? kross(-1,v*D1) : -1;
4970 14 : case -9: return n2==2 ? -kross(-1,D1) : -1;
4971 273 : default: return -1;
4972 : }
4973 : }
4974 :
4975 : static long
4976 1428 : ellrootno_3(GEN e)
4977 : {
4978 : long n2, kod, u, v, D1, r6, K4, K6, vD, v4, v6;
4979 1428 : long d = get_vp_u_small(e, 3, &v6, &vD);
4980 :
4981 1428 : if (!vD) return 1;
4982 1428 : if (d) { /* not minimal */
4983 : ellmin_t M;
4984 0 : min_set_3(&M, e, d);
4985 0 : min_set_a(&M);
4986 0 : min_set_D(&M, e);
4987 0 : e = min_to_ell(&M, e);
4988 : }
4989 1428 : val_init(e, 3,81, &v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
4990 1428 : kod = kod_23(e,3);
4991 1428 : K6 = kross(v,3); if (kod>4) return K6;
4992 595 : n2 = neron_3(v4,v6,vD,kod);
4993 595 : r6 = v%9; K4 = kross(u,3);
4994 595 : switch(kod)
4995 : {
4996 140 : case 1: case 3: case -3: return 1;
4997 21 : case 2:
4998 : switch(n2)
4999 : {
5000 21 : case 1: return (r6==4 || r6>6) ? 1 : -1;
5001 0 : case 2: return -K4*K6;
5002 0 : case 3: return 1;
5003 0 : case 4: return -K6;
5004 : }
5005 : case 4:
5006 : switch(n2)
5007 : {
5008 21 : case 1: return K6*kross(D1,3);
5009 0 : case 2: return -K4;
5010 0 : case 3: return -K6;
5011 : }
5012 21 : case -2: return n2==2 ? 1 : K6;
5013 70 : case -4:
5014 : switch(n2)
5015 : {
5016 63 : case 1:
5017 63 : if (v4==4) return (r6==4 || r6==8) ? 1 : -1;
5018 49 : else return (r6==1 || r6==2) ? 1 : -1;
5019 7 : case 2: return -K6;
5020 0 : case 3: return (r6==2 || r6==7) ? 1 : -1;
5021 0 : case 4: return K6;
5022 : }
5023 322 : default: return -1;
5024 : }
5025 : }
5026 :
5027 : /* p > 3. Don't assume that e is minimal or even integral at p */
5028 : static long
5029 3381 : ellrootno_p(GEN e, GEN p)
5030 : {
5031 : long nuj, nuD, nu;
5032 3381 : GEN D = ell_get_disc(e);
5033 : long ep, z;
5034 :
5035 3381 : nuD = Q_pval(D, p);
5036 3381 : if (!nuD) return 1;
5037 3381 : nuj = j_pval(e, p);
5038 3381 : nu = (nuD - nuj) % 12;
5039 3381 : if (nu == 0)
5040 : {
5041 : GEN c6;
5042 : long d, vg;
5043 2926 : if (!nuj) return 1; /* good reduction */
5044 : /* p || N */
5045 2926 : c6 = ell_get_c6(e); /* != 0 */
5046 2926 : vg = minss(2*Q_pval(c6, p), nuD);
5047 2926 : d = vg / 12;
5048 2926 : if (d)
5049 : {
5050 7 : GEN q = powiu(p,6*d);
5051 7 : c6 = (typ(c6) == t_INT)? diviiexact(c6, q): gdiv(c6, q);
5052 : }
5053 2926 : if (typ(c6) != t_INT) c6 = Rg_to_Fp(c6,p);
5054 : /* c6 in minimal model */
5055 2926 : return -kronecker(negi(c6), p);
5056 : }
5057 455 : if (nuj) return krosi(-1,p);
5058 301 : ep = 12 / ugcd(12, nu);
5059 301 : if (ep==4) z = 2; else z = odd(ep)? 3: 1;
5060 301 : return krosi(-z, p);
5061 : }
5062 :
5063 : static GEN
5064 3269 : doellrootno(GEN e)
5065 : {
5066 3269 : GEN V, P, S = ellglobalred_i(e);
5067 3269 : long i, l, s = -1;
5068 :
5069 3269 : V = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
5070 3269 : if (lg(V) != 2) e = gel(V,3);
5071 3269 : P = gmael(S,3,1); l = lg(P);
5072 3269 : V = cgetg(l, t_VECSMALL);
5073 9723 : for (i = 1; i < l; i++)
5074 : {
5075 6454 : GEN p = gel(P,i);
5076 : long t;
5077 6454 : switch(itou_or_0(p))
5078 : {
5079 1652 : case 2: t = ellrootno_2(e); break;
5080 1428 : case 3: t = ellrootno_3(e); break;
5081 3374 : default:t = ellrootno_p(e, p);
5082 : }
5083 6454 : V[i] = t; if (t < 0) s = -s;
5084 : }
5085 3269 : return mkvec2(stoi(s), V);
5086 : }
5087 :
5088 : /* local epsilon factor at p (over Q), including p=0 for the infinite place.
5089 : * Global if p==1 or NULL. */
5090 : static long
5091 91 : ellQ_rootno(GEN e, GEN p)
5092 : {
5093 91 : pari_sp av = avma;
5094 : GEN S;
5095 : long s;
5096 91 : if (!p || isint1(p)) return ellrootno_global(e);
5097 77 : if (!signe(p)) return -1; /* local factor at infinity */
5098 77 : if ( (S = obj_check(e, Q_ROOTNO)) )
5099 : {
5100 49 : GEN T = obj_check(e, Q_GLOBALRED), NP = gmael(T,3,1);
5101 49 : long i = ZV_search(NP, p);
5102 49 : if (i) { GEN V = gel(S,2); return V[i]; }
5103 0 : return 1;
5104 : }
5105 28 : switch(itou_or_0(p))
5106 : {
5107 21 : case 2:
5108 21 : e = ellintegralmodel_i(e, NULL);
5109 21 : s = ellrootno_2(e); break;
5110 0 : case 3:
5111 0 : e = ellintegralmodel_i(e, NULL);
5112 0 : s = ellrootno_3(e); break;
5113 7 : default:
5114 7 : s = ellrootno_p(e,p); break;
5115 : }
5116 28 : return gc_long(av, s);
5117 : }
5118 :
5119 : /* global root number over number field
5120 : * Root numbers and parity of ranks of elliptic curves, Tim and Vladimir Dokchitser
5121 : * https://arxiv.org/abs/0906.1815
5122 : */
5123 :
5124 : static GEN
5125 364 : ellrnfup(GEN rnf, GEN E, long prec)
5126 : {
5127 : long i;
5128 364 : GEN Eb = cgetg(6, t_VEC);
5129 2184 : for(i=1; i<=5; i++)
5130 1820 : gel(Eb, i) = rnfeltup(rnf,gel(E, i));
5131 364 : return ellinit_nf(Eb, rnf_build_nfabs(rnf, prec));
5132 : }
5133 :
5134 : static GEN
5135 287 : ellnf2isog(GEN E, GEN z)
5136 : {
5137 287 : long v = fetch_var_higher();
5138 287 : GEN S = deg1pol_shallow(gen_1, gneg(z), v);
5139 287 : GEN E2 = ellisogeny(E, S, 1, -1, -1);
5140 287 : delete_var();
5141 287 : return ellinit_nf(E2, ellnf_get_nf(E));
5142 : }
5143 :
5144 : static GEN
5145 245 : ellnf_reladelicvolume(GEN E, GEN P, GEN C, GEN z, long prec)
5146 : {
5147 245 : pari_sp av = avma;
5148 245 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
5149 245 : GEN rnf = rnfinit0(nf, mkvec2(P, C), 1);
5150 245 : GEN Et = ellrnfup(rnf, E, prec);
5151 245 : GEN E2 = ellnf2isog(Et, rnfeltreltoabs(rnf, z));
5152 245 : GEN c1 = ellnf_adelicvolume(Et, prec), c2 = ellnf_adelicvolume(E2, prec);
5153 245 : obj_free(rnf); obj_free(Et); obj_free(E2);
5154 245 : return gc_GEN(av, mkvec2(c1,c2));
5155 : }
5156 :
5157 : static long
5158 287 : rootnovalp(GEN z, ulong p, long prec)
5159 287 : { return mpodd(ground(gdiv(glog(z, prec), glog(utoi(p),prec)))); }
5160 :
5161 : static long
5162 168 : ellnf_rootno_global(GEN E)
5163 : {
5164 168 : pari_sp av = avma;
5165 168 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
5166 168 : long prec = nf_get_prec(nf);
5167 168 : long v, var = fetch_var_higher();
5168 : GEN F;
5169 168 : E = ellintegralmodel_i(E, NULL);
5170 168 : F = nfroots(nf, ec_bmodel(E, var));
5171 168 : if (lg(F)>1)
5172 : {
5173 42 : GEN Et = ellnf2isog(E, gel(F,1));
5174 42 : GEN cK = ellnf_adelicvolume(E, prec), cKt = ellnf_adelicvolume(Et, prec);
5175 42 : obj_free(Et);
5176 42 : v = rootnovalp(divrr(cK,cKt), 2, prec);
5177 : } else
5178 : {
5179 126 : GEN C = ellnf_D_primes(E);
5180 126 : GEN D = deg2pol_shallow(gen_1, gen_0, gneg(ell_get_disc(E)), var);
5181 126 : GEN P = RgX_divs(RgX_rescale(ec_bmodel(E, var), utoi(4)), 4);
5182 126 : GEN c = ellnf_reladelicvolume(E, P, C, gmul2n(pol_x(var),-2), prec);
5183 126 : GEN cL = gel(c,1), cLt = gel(c,2);
5184 126 : GEN F = nfroots(nf, D);
5185 126 : if (lg(F)>1)
5186 7 : v = rootnovalp(divrr(cL,cLt), 2, prec);
5187 : else
5188 : {
5189 119 : GEN cK = ellnf_adelicvolume(E, prec);
5190 119 : GEN cp = nfcompositum(nf, P, D, 3);
5191 119 : GEN cc = ellnf_reladelicvolume(E, gel(cp,1), C, gmul2n(gel(cp,2),-2), prec);
5192 119 : GEN cF = gel(cc,1), cFt = gel(cc,2);
5193 119 : GEN rnf = rnfinit0(nf,mkvec2(D,C),1);
5194 119 : GEN Et = ellrnfup(rnf, E, prec);
5195 119 : GEN cKv = ellnf_adelicvolume(Et, prec);
5196 119 : long v2 = rootnovalp(divrr(gmul(cL,cF),gmul(cLt,cFt)), 2, prec);
5197 119 : long v3 = rootnovalp(divrr(gmul(cF,gsqr(cK)),gmul(cKv,gsqr(cL))), 3, prec);
5198 119 : obj_free(rnf); obj_free(Et);
5199 119 : v = odd(v2+v3);
5200 : }
5201 : }
5202 168 : delete_var();
5203 168 : return gc_long(av, v? -1: 1);
5204 : }
5205 :
5206 : static GEN
5207 168 : doellnfrootno(GEN e)
5208 168 : { return stoi(ellnf_rootno_global(e)); }
5209 :
5210 : long
5211 4599 : ellrootno_global(GEN e)
5212 : {
5213 4599 : pari_sp av = avma;
5214 : GEN S;
5215 4599 : switch(ell_get_type(e))
5216 : {
5217 4277 : case t_ELL_Q:
5218 4277 : S = gel(obj_checkbuild(e, Q_ROOTNO, &doellrootno),1);
5219 4277 : break;
5220 322 : case t_ELL_NF:
5221 322 : S = obj_checkbuild(e, NF_ROOTNO, &doellnfrootno);
5222 322 : break;
5223 0 : default:
5224 : pari_err_TYPE("ellrootno", e); return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
5225 : }
5226 4599 : return gc_long(av, itos(S));
5227 : }
5228 :
5229 : long
5230 210 : ellrootno(GEN e, GEN p)
5231 : {
5232 210 : checkell(e);
5233 210 : if (p && typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("ellrootno", p);
5234 210 : if (p && signe(p) < 0) pari_err_PRIME("ellrootno",p);
5235 210 : switch(ell_get_type(e))
5236 : {
5237 91 : case t_ELL_Q:
5238 91 : return ellQ_rootno(e, p);
5239 0 : default: pari_err_TYPE("ellrootno", e);
5240 119 : case t_ELL_NF:
5241 119 : if (p) pari_err_IMPL("local root number for number fields");
5242 119 : return ellrootno_global(e);
5243 : }
5244 : }
5245 :
5246 : /********************************************************************/
5247 : /** **/
5248 : /** TRACE OF FROBENIUS **/
5249 : /** **/
5250 : /********************************************************************/
5251 :
5252 : /* assume p does not divide disc E */
5253 : long
5254 1133337 : ellap_CM_fast(GEN E, ulong p, long CM)
5255 : {
5256 : ulong a4, a6;
5257 1133337 : if (p == 2) return 3 - cardmod2(E);
5258 1129928 : if (p == 3) return 4 - cardmod3(E);
5259 1125350 : Fl_ell_to_a4a6(E, p, &a4, &a6);
5260 1125561 : return Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
5261 : }
5262 :
5263 : static void
5264 693 : checkell_int(GEN e)
5265 : {
5266 693 : checkell_Q(e);
5267 693 : if (typ(ell_get_a1(e)) != t_INT ||
5268 693 : typ(ell_get_a2(e)) != t_INT ||
5269 693 : typ(ell_get_a3(e)) != t_INT ||
5270 693 : typ(ell_get_a4(e)) != t_INT ||
5271 693 : typ(ell_get_a6(e)) != t_INT) pari_err_TYPE("ellanQ [not an integral model]",e);
5272 693 : }
5273 :
5274 : long
5275 20410 : ellQ_get_CM(GEN e)
5276 : {
5277 20410 : GEN j = ell_get_j(e);
5278 20410 : if (typ(j) != t_INT) return 0;
5279 1226 : if (is_bigint(j))
5280 : {
5281 : #ifndef LONG_IS_64BIT
5282 4 : if (signe(j) < 0)
5283 : {
5284 4 : pari_sp av = avma;
5285 4 : if (absequalii(j, uu32toi(0x22UL,0x45ae8000UL))) return gc_long(av,-67);
5286 2 : if (absequalii(j, uu32toi(0x03a4b862,0xc4b40000UL))) return gc_long(av,-163);
5287 : }
5288 : #endif
5289 0 : return 0;
5290 : }
5291 1222 : switch(signe(j))
5292 : {
5293 372 : default: return -3; /* j = 0 */
5294 567 : case 1:
5295 567 : switch(j[2])
5296 : {
5297 266 : case 1728: return -4;
5298 28 : case 8000: return -8;
5299 70 : case 54000: return -12;
5300 112 : case 287496: return -16;
5301 70 : case 16581375: return -28;
5302 21 : default: return 0;
5303 : }
5304 283 : case -1:
5305 283 : switch(j[2]) {
5306 84 : case 3375: return -7;
5307 28 : case 32768: return -11;
5308 14 : case 884736: return -19;
5309 77 : case 12288000: return -27;
5310 14 : case 884736000: return -43;
5311 : #ifdef LONG_IS_64BIT
5312 12 : case 147197952000L: return -67;
5313 12 : case 262537412640768000L: return -163;
5314 : #endif
5315 42 : default: return 0;
5316 : }
5317 : }
5318 : }
5319 :
5320 : static long
5321 98 : ellnf_get_CM(GEN E)
5322 : {
5323 98 : long av = avma;
5324 98 : GEN j = ell_get_j(E), nf = ellnf_get_nf(E);
5325 98 : GEN P = minpoly(nftoalg(nf, j), 0);
5326 98 : return gc_long(av, polisclass(P));
5327 : }
5328 :
5329 : long
5330 196 : elliscm(GEN E)
5331 : {
5332 196 : checkell(E);
5333 196 : switch(ell_get_type(E))
5334 : {
5335 98 : case t_ELL_Q: return ellQ_get_CM(E);
5336 98 : case t_ELL_NF: return ellnf_get_CM(E);
5337 0 : default: pari_err_TYPE("elliscm", E);
5338 : return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
5339 : }
5340 : }
5341 :
5342 : /* E/Q or Qp, return cardinality including the (possible) ramified point */
5343 : static GEN
5344 2421993 : ellcard_ram(GEN E, GEN p, int *good_red)
5345 : {
5346 2421993 : GEN a4, a6, D = Rg_to_Fp(ell_get_disc(E), p);
5347 2421958 : if (!signe(D))
5348 : {
5349 98000 : pari_sp av = avma;
5350 98000 : GEN ap = ellQap(E, p, good_red);
5351 98000 : return gc_INT(av, subii(addiu(p,1), ap));
5352 : }
5353 2323958 : *good_red = 1;
5354 2323958 : if (absequaliu(p,2)) return utoi(cardmod2(E));
5355 2322203 : if (absequaliu(p,3)) return utoi(cardmod3(E));
5356 2320572 : ell_to_a4a6(E,p,&a4,&a6);
5357 2320503 : return Fp_ellcard(a4, a6, p);
5358 : }
5359 :
5360 :
5361 : /* bad reduction at p */
5362 : static void
5363 12572 : sievep_bad(ulong p, GEN an, ulong n)
5364 : {
5365 : ulong m, N;
5366 12572 : switch (an[p]) /* (-c6/p) */
5367 : {
5368 4438 : case -1: /* nonsplit */
5369 4438 : N = n/p;
5370 662298 : for (m=2; m<=N; m++)
5371 657860 : if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = -an[m];
5372 4438 : break;
5373 3794 : case 0: /* additive */
5374 7819392 : for (m=2*p; m<=n; m+=p) an[m] = 0;
5375 3794 : break;
5376 4340 : case 1: /* split */
5377 4340 : N = n/p;
5378 386652 : for (m=2; m<=N; m++)
5379 382312 : if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = an[m];
5380 4340 : break;
5381 : }
5382 12572 : }
5383 : /* good reduction at p */
5384 : static void
5385 1070041 : sievep_good(ulong p, GEN an, ulong n, ulong SQRTn)
5386 : {
5387 1070041 : const long ap = an[p];
5388 : ulong m;
5389 1070041 : if (p <= SQRTn) {
5390 32865 : ulong pk, oldpk = 1;
5391 129066 : for (pk=p; pk <= n; oldpk=pk, pk *= p)
5392 : {
5393 96201 : if (pk != p) an[pk] = ap * an[oldpk] - p * an[oldpk/p];
5394 12320273 : for (m = n/pk; m > 1; m--)
5395 12224072 : if (an[m] != LONG_MAX && m%p) an[m*pk] = an[m] * an[pk];
5396 : }
5397 : } else {
5398 6170780 : for (m = n/p; m > 1; m--)
5399 5133604 : if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = ap * an[m];
5400 : }
5401 1070041 : }
5402 : static void
5403 1082613 : sievep(ulong p, GEN an, ulong n, ulong SQRTn, int good_red)
5404 : {
5405 1082613 : if (good_red)
5406 1070041 : sievep_good(p, an, n, SQRTn);
5407 : else
5408 12572 : sievep_bad(p, an, n);
5409 1082613 : }
5410 :
5411 : static long
5412 1078812 : ellan_get_ap(GEN e, long CM, ulong p)
5413 : {
5414 1078812 : if (!umodiu(ell_get_disc(e),p)) return 0;
5415 1067633 : return ellap_CM_fast(e, p, CM);
5416 : }
5417 :
5418 : GEN
5419 20241 : ellapQ_zv_worker(GEN x, long CM, GEN e)
5420 1098778 : { pari_APPLY_long(ellan_get_ap(e, CM, uel(x,i))) }
5421 :
5422 : static GEN
5423 6713 : ellapQ_zv(GEN e, GEN P)
5424 : {
5425 6713 : pari_sp av = avma;
5426 6713 : long CM = ellQ_get_CM(e);
5427 6713 : GEN worker = snm_closure(is_entry("_ellapQ_zv_worker"), mkvec2(stoi(CM),e));
5428 6713 : GEN V = gen_parapply_slice_zv(worker, P, mt_nbthreads());
5429 6713 : return gc_leaf(av, V);
5430 : }
5431 :
5432 : GEN
5433 6713 : ellanQ_zv(GEN e, long n0)
5434 : {
5435 : pari_sp av;
5436 6713 : ulong SQRTn, n = (ulong)n0;
5437 : GEN P, ap, an;
5438 : long k, l;
5439 :
5440 6713 : if (n0 <= 0) return cgetg(1,t_VEC);
5441 6713 : if (n >= LGBITS)
5442 0 : pari_err_IMPL( stack_sprintf("ellan for n >= %lu", LGBITS) );
5443 6713 : an = const_vecsmall(n, LONG_MAX); av = avma;
5444 6713 : e = ellintegralmodel_i(e,NULL);
5445 6713 : SQRTn = usqrt(n);
5446 6713 : P = primes_upto_zv(n); l = lg(P);
5447 6713 : ap = ellapQ_zv(e, P);
5448 6713 : an[1] = 1;
5449 1089326 : for (k = 1; k < l; k++)
5450 : {
5451 1082613 : ulong p = uel(P,k);
5452 1082613 : int good_red = 1;
5453 1082613 : an[p] = ap[k];
5454 1082613 : if (an[p] == 0)
5455 305753 : an[p] = ellQap_u(e, p, &good_red);
5456 1082613 : sievep(p, an, n, SQRTn, good_red);
5457 : }
5458 6713 : set_avma(av); return an;
5459 : }
5460 :
5461 : static GEN
5462 77 : ellQ_charpoly(GEN e, GEN p)
5463 : {
5464 77 : pari_sp av = avma;
5465 : int good_red;
5466 77 : GEN card = ellcard_ram(e, p, &good_red);
5467 77 : GEN ap = subii(addiu(p, 1), card), T;
5468 77 : if (good_red)
5469 63 : T = deg2pol_shallow(gen_1, gneg(ap), p, 0);
5470 14 : else if (!signe(ap)) { set_avma(av); return pol_1(0); }
5471 7 : else T = deg1pol_shallow(gen_1, negi(ap), 0);
5472 70 : return gc_GEN(av, T);
5473 : }
5474 :
5475 : static GEN
5476 49 : ellnf_charpoly(GEN e, GEN pr)
5477 : {
5478 49 : pari_sp av = avma;
5479 : int good_red;
5480 49 : GEN T, ap = ellnfap(e, pr, &good_red);
5481 49 : if (good_red)
5482 35 : T = deg2pol_shallow(gen_1, gneg(ap), pr_norm(pr), 0);
5483 14 : else if (!signe(ap)) { set_avma(av); return pol_1(0); }
5484 14 : else T = deg1pol_shallow(gen_1, negi(ap), 0);
5485 49 : return gc_GEN(av, T);
5486 : }
5487 :
5488 : static GEN
5489 637 : ellff_charpoly(GEN E)
5490 : {
5491 637 : pari_sp av = avma;
5492 637 : GEN f = ellff_get_field(E), q = typ(f)==t_INT ? f : FF_q(f);
5493 637 : GEN mt = subii(ellff_get_card(E), addiu(q,1));
5494 637 : return gc_GEN(av, deg2pol_shallow(gen_1, mt, q, 0));
5495 : }
5496 :
5497 : GEN
5498 707 : ellcharpoly(GEN E, GEN p)
5499 : {
5500 707 : p = checkellp(&E, p, NULL, "ellcharpoly");
5501 707 : switch(ell_get_type(E))
5502 : {
5503 637 : case t_ELL_Fp:
5504 637 : case t_ELL_Fq: return ellff_charpoly(E);
5505 21 : case t_ELL_Q: return ellQ_charpoly(E, p);
5506 49 : case t_ELL_NF: return ellnf_charpoly(E, p);
5507 0 : default:
5508 0 : pari_err_TYPE("ellcharpoly",E);
5509 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
5510 : }
5511 : }
5512 :
5513 : static GEN
5514 83771 : ellnflocal(GEN E, GEN p, long n)
5515 : {
5516 83771 : pari_sp av = avma;
5517 83771 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
5518 83772 : GEN LP = idealprimedec_limit_f(nf, p, n ? n-1: nf_get_degree(nf)), T = NULL;
5519 83778 : long l = lg(LP), i;
5520 167536 : for (i = 1; i < l; i++)
5521 : {
5522 : int goodred;
5523 83752 : GEN P = gel(LP,i), T2;
5524 83752 : GEN ap = ellnfap(E, P, &goodred);
5525 83738 : long f = pr_get_f(P);
5526 83734 : if (goodred)
5527 83552 : T2 = mkpoln(3, pr_norm(P), negi(ap), gen_1);
5528 : else
5529 : {
5530 182 : if (!signe(ap)) continue;
5531 168 : T2 = deg1pol_shallow(negi(ap), gen_1, 0);
5532 : }
5533 83741 : if (f > 1) T2 = RgX_inflate(T2, f);
5534 83753 : T = T? ZX_mul(T, T2): T2;
5535 : }
5536 83784 : if (!T) { set_avma(av); return pol_1(0); }
5537 46360 : if (n==0) return gc_GEN(av, mkrfrac(gen_1,T));
5538 46346 : return gc_upto(av, RgXn_inv_i(T, n));
5539 : }
5540 :
5541 :
5542 : GEN
5543 70 : elleulerf(GEN E, GEN p)
5544 : {
5545 70 : checkell(E);
5546 70 : switch(ell_get_type(E))
5547 : {
5548 56 : case t_ELL_Q: return ginv(RgX_recip(ellQ_charpoly(E, p)));
5549 14 : case t_ELL_NF: return ellnflocal(E, p, 0);
5550 0 : default:
5551 0 : pari_err_TYPE("elleulerf",E);
5552 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
5553 : }
5554 : }
5555 :
5556 : static GEN
5557 329 : ellanQ(GEN e, long N)
5558 329 : { return vecsmall_to_vec_inplace(ellanQ_zv(e,N)); }
5559 :
5560 : GEN
5561 4959 : direllnf_worker(GEN P, ulong X, GEN E)
5562 : {
5563 4959 : pari_sp av = avma;
5564 4959 : long i, l = lg(P);
5565 4959 : GEN W = cgetg(l, t_VEC);
5566 88713 : for(i = 1; i < l; i++)
5567 : {
5568 83750 : ulong p = uel(P,i);
5569 83750 : long d = ulogint(X, p) + 1; /* minimal d such that p^d > X */
5570 83755 : gel(W,i) = ellnflocal(E, utoi(uel(P,i)), d);
5571 : }
5572 4963 : return gc_GEN(av, mkvec2(P,W));
5573 : }
5574 :
5575 : static GEN
5576 203 : ellnfan(GEN E, long N)
5577 : {
5578 203 : GEN worker = snm_closure(is_entry("_direllnf_worker"), mkvec(E));
5579 203 : return pardireuler(worker, gen_2, stoi(N), NULL, NULL);
5580 : }
5581 :
5582 : GEN
5583 525 : ellan(GEN E, long N)
5584 : {
5585 525 : checkell(E);
5586 525 : switch(ell_get_type(E))
5587 : {
5588 322 : case t_ELL_Q: return ellanQ(E, N);
5589 203 : case t_ELL_NF: return ellnfan(E, N);
5590 0 : default:
5591 0 : pari_err_TYPE("ellan",E);
5592 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
5593 : }
5594 : }
5595 :
5596 : static GEN
5597 735 : apk_good(GEN ap, GEN p, long e)
5598 : {
5599 : GEN u, v, w;
5600 : long j;
5601 735 : if (e == 1) return ap;
5602 112 : u = ap;
5603 112 : w = subii(sqri(ap), p);
5604 126 : for (j=3; j<=e; j++)
5605 : {
5606 14 : v = u; u = w;
5607 14 : w = subii(mulii(ap,u), mulii(p,v));
5608 : }
5609 112 : return w;
5610 : }
5611 :
5612 : GEN
5613 693 : akell(GEN e, GEN n)
5614 : {
5615 : long i, j, s;
5616 693 : pari_sp av = avma;
5617 : GEN fa, P, E, D, u, y;
5618 :
5619 693 : checkell_int(e);
5620 693 : if (typ(n) != t_INT) pari_err_TYPE("akell",n);
5621 693 : if (signe(n)<= 0) return gen_0;
5622 693 : if (gequal1(n)) return gen_1;
5623 693 : D = ell_get_disc(e);
5624 693 : u = Z_ppo(n, D);
5625 693 : y = gen_1;
5626 693 : s = 1;
5627 693 : if (!equalii(u, n))
5628 : { /* bad reduction at primes dividing n/u */
5629 441 : fa = Z_factor(diviiexact(n, u));
5630 441 : P = gel(fa,1);
5631 441 : E = gel(fa,2);
5632 1022 : for (i=1; i<lg(P); i++)
5633 : {
5634 581 : GEN p = gel(P,i);
5635 581 : long ex = itos(gel(E,i));
5636 : int good_red;
5637 581 : GEN ap = ellQap(e,p,&good_red);
5638 581 : if (good_red) { y = mulii(y, apk_good(ap, p, ex)); continue; }
5639 350 : j = signe(ap);
5640 350 : if (!j) { set_avma(av); return gen_0; }
5641 350 : if (odd(ex) && j < 0) s = -s;
5642 : }
5643 : }
5644 693 : if (s < 0) y = negi(y);
5645 693 : fa = Z_factor(u);
5646 693 : P = gel(fa,1);
5647 693 : E = gel(fa,2);
5648 1197 : for (i=1; i<lg(P); i++)
5649 : { /* good reduction */
5650 504 : GEN p = gel(P,i);
5651 504 : GEN ap = ellap(e,p);
5652 504 : y = mulii(y, apk_good(ap, p, itos(gel(E,i))));
5653 : }
5654 693 : return gc_INT(av,y);
5655 : }
5656 :
5657 : GEN
5658 8071 : ellQ_get_N(GEN e)
5659 8071 : { GEN v = ellglobalred_i(e); return gel(v,1); }
5660 : void
5661 917 : ellQ_get_Nfa(GEN e, GEN *N, GEN *faN)
5662 917 : { GEN v = ellglobalred_i(e); *N = gel(v,1); *faN = gel(v,3); }
5663 :
5664 : GEN
5665 14 : elllseries(GEN e, GEN s, GEN A, long prec)
5666 : {
5667 14 : pari_sp av = avma, av1;
5668 : ulong l, n;
5669 : long eps, flun;
5670 : GEN z, cg, v, cga, cgb, s2, K, gs, N;
5671 :
5672 14 : if (!A) A = gen_1;
5673 : else
5674 : {
5675 7 : if (gsigne(A)<=0)
5676 0 : pari_err_DOMAIN("elllseries", "cut-off point", "<=", gen_0,A);
5677 7 : if (gcmpgs(A,1) < 0) A = ginv(A);
5678 : }
5679 14 : if (isint(s, &s) && signe(s) <= 0) { set_avma(av); return gen_0; }
5680 14 : flun = gequal1(A) && gequal1(s);
5681 14 : checkell_Q(e);
5682 14 : e = ellanal_globalred(e, NULL);
5683 14 : N = ellQ_get_N(e);
5684 14 : eps = ellrootno_global(e);
5685 14 : if (flun && eps < 0) { set_avma(av); return real_0(prec); }
5686 :
5687 14 : gs = ggamma(s, prec);
5688 14 : cg = divrr(Pi2n(1, prec), gsqrt(N,prec));
5689 14 : cga = gmul(cg, A);
5690 14 : cgb = gdiv(cg, A);
5691 14 : l = (ulong)((prec2nbits_mul(prec, M_LN2) +
5692 14 : fabs(gtodouble(real_i(s))-1.) * log(rtodbl(cga)))
5693 14 : / rtodbl(cgb) + 1);
5694 14 : if ((long)l < 1) l = 1;
5695 14 : v = ellanQ_zv(e, minss(l,LGBITS-1));
5696 14 : s2 = K = NULL; /* gcc -Wall */
5697 14 : if (!flun) { s2 = gsubsg(2,s); K = gpow(cg, gsubgs(gmul2n(s,1),2),prec); }
5698 14 : z = gen_0;
5699 14 : av1 = avma;
5700 1344 : for (n = 1; n <= l; n++)
5701 : {
5702 1330 : GEN p1, an, gn = utoipos(n), ns;
5703 1330 : an = ((ulong)n<LGBITS)? stoi(v[n]): akell(e,gn);
5704 1330 : if (!signe(an)) continue;
5705 :
5706 1106 : ns = gpow(gn,s,prec);
5707 1106 : p1 = gdiv(incgam0(s,mulur(n,cga),gs,prec), ns);
5708 1106 : if (flun)
5709 0 : p1 = gmul2n(p1, 1);
5710 : else
5711 : {
5712 1106 : GEN p2 = gdiv(gmul(gmul(K,ns), incgam(s2,mulur(n,cgb),prec)), sqru(n));
5713 1106 : if (eps < 0) p2 = gneg_i(p2);
5714 1106 : p1 = gadd(p1, p2);
5715 : }
5716 1106 : z = gadd(z, gmul(p1, an));
5717 1106 : if (gc_needed(av1,1))
5718 : {
5719 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"lseriesell");
5720 0 : z = gc_GEN(av1,z);
5721 : }
5722 : }
5723 14 : return gc_upto(av, gdiv(z,gs));
5724 : }
5725 :
5726 : /********************************************************************/
5727 : /** **/
5728 : /** CANONICAL HEIGHT **/
5729 : /** **/
5730 : /********************************************************************/
5731 :
5732 : static GEN
5733 56 : ellnf_volume(GEN e, long prec)
5734 : {
5735 56 : GEN V = ellnf_vecarea(e,prec);
5736 56 : long i, r1 = nf_get_r1(ellnf_get_nf(e)), l = lg(V);
5737 56 : GEN r = gen_1;
5738 133 : for(i=1; i <= r1; i++) r = gmul(r, gel(V,i));
5739 63 : for( ; i < l ; i++) r = gmul(r, gsqr(gel(V,i)));
5740 56 : return r;
5741 : }
5742 :
5743 : /* The function follows
5744 : <https://publications.ias.edu/sites/default/files/Number52.pdf>
5745 : <https://resnumtheor.springeropen.com/track/pdf/10.1007/s40993-017-0077-7>
5746 : */
5747 :
5748 : static GEN
5749 70 : ellheightfaltings(GEN e, long prec)
5750 : {
5751 : GEN h;
5752 : long d;
5753 70 : pari_sp av = avma;
5754 70 : checkell(e);
5755 70 : switch(ell_get_type(e))
5756 : {
5757 14 : case t_ELL_Q:
5758 14 : d = 1; e = ellintegralmodel_i(e,NULL);
5759 14 : h = gmul(gsqr(ellQ_minimalu(e,NULL)), ellR_area(e, prec));
5760 14 : break;
5761 56 : case t_ELL_NF:
5762 56 : d = nf_get_degree(ellnf_get_nf(e));
5763 56 : h = gmul(gsqr(ellnf_minimalnormu(e)), ellnf_volume(e, prec));
5764 56 : break;
5765 0 : default:
5766 0 : pari_err_TYPE("ellheight", e);
5767 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
5768 : }
5769 70 : return gc_upto(av, gdivgs(logr_abs(h), -2*d));
5770 : }
5771 :
5772 : static GEN
5773 157580 : Q_numer(GEN x) { return typ(x) == t_INT? x: gel(x,1); }
5774 :
5775 : /* one root of X^2 - t X + c */
5776 : static GEN
5777 83056 : quad_root(GEN t, GEN c, long prec)
5778 : {
5779 83056 : return gmul2n(gadd(t, gsqrt(gsub(gsqr(t), gmul2n(c,2)),prec)), -1);
5780 : }
5781 :
5782 : /* exp( h_oo(z) ), assume z on neutral component.
5783 : * If flag, return exp(4 h_oo(z)) instead */
5784 : static GEN
5785 83056 : exphellagm(GEN e, GEN z, int flag, long prec)
5786 : {
5787 83056 : GEN x_a, ab, a, b, e1, r, V = cgetg(1, t_VEC), x = gel(z,1);
5788 83056 : long n, ex = 5-prec, p = prec+EXTRAPREC64;
5789 :
5790 83056 : if (typ(x) == t_REAL && realprec(x) < p) x = gprec_w(x, p);
5791 83056 : ab = ellR_ab(e, p);
5792 83056 : a = gel(ab, 1);
5793 83056 : b = gel(ab, 2);
5794 83056 : e1= gel(obj_check(e,R_ROOTS), 1); /* use maximal accuracy, don't truncate */
5795 83056 : x = gsub(x, e1);
5796 83056 : x = quad_root(gadd(x,b), gmul(a,x), prec);
5797 :
5798 83056 : x_a = gsub(x, a);
5799 83056 : if (gsigne(a) > 0) { GEN a0=a; x = gsub(x, b); a = gneg(b); b = gsub(a0, b); }
5800 83056 : a = gsqrt(gneg(a), prec);
5801 83056 : b = gsqrt(gneg(b), prec);
5802 : /* compute height on isogenous curve E1 ~ E0 */
5803 83056 : for(n=0;; n++)
5804 442740 : {
5805 525796 : GEN p1, p2, ab, a0 = a;
5806 525796 : a = gmul2n(gadd(a0,b), -1);
5807 525796 : r = gsub(a, a0);
5808 525796 : if (gequal0(r) || gexpo(r) < ex) break;
5809 442740 : ab = gmul(a0, b);
5810 442740 : b = gsqrt(ab, prec);
5811 :
5812 442740 : p1 = gmul2n(gsub(x, ab), -1);
5813 442740 : p2 = gsqr(a);
5814 442740 : x = gadd(p1, gsqrt(gadd(gsqr(p1), gmul(x, p2)), prec));
5815 442740 : V = shallowconcat(V, gadd(x, p2));
5816 : }
5817 83056 : if (n) {
5818 83056 : x = gel(V,n);
5819 442740 : while (--n > 0) x = gdiv(gsqr(x), gel(V,n));
5820 : } else
5821 0 : x = gadd(x, gsqr(a));
5822 : /* height on E1 is log(x)/2. Go back to E0 */
5823 83056 : return flag? gsqr(gdiv(gsqr(x), x_a)): gdiv(x, sqrtr(mpabs_shallow(x_a)));
5824 : }
5825 : /* is P \in E(R)^0, the neutral component ? */
5826 : static int
5827 83056 : ellR_on_neutral(GEN E, GEN P, long prec)
5828 : {
5829 83056 : GEN x = gel(P,1), e1 = ellR_root(E, prec);
5830 83056 : return gcmp(x, e1) >= 0;
5831 : }
5832 :
5833 : /* hoo + 1/2 log(den(x)) */
5834 : static GEN
5835 83056 : hoo_aux(GEN E, GEN z, GEN d, long prec)
5836 : {
5837 83056 : pari_sp av = avma;
5838 : GEN h;
5839 83056 : if (!ellR_on_neutral(E, z, prec))
5840 : {
5841 23794 : GEN eh = exphellagm(E, elladd(E, z,z), 0, prec);
5842 : /* h_oo(2P) = 4h_oo(P) - log |2y + a1x + a3| */
5843 23794 : h = gmul(eh, gabs(ec_dmFdy_evalQ(E, z), prec));
5844 : }
5845 : else
5846 59262 : h = exphellagm(E, z, 1, prec);
5847 83056 : if (!is_pm1(d)) h = gmul(h, sqri(d));
5848 83056 : return gc_leaf(av, gmul2n(mplog(h), -2));
5849 : }
5850 : GEN
5851 30660 : ellheightoo(GEN E, GEN z, long prec) { return hoo_aux(E, z, gen_1, prec); }
5852 :
5853 : /* Formula from Silverman GTM 151 Theorem 3.2 page 466 */
5854 : static GEN
5855 28728 : ellheight_C(GEN E, GEN P, long prec)
5856 : {
5857 28728 : pari_sp av = avma;
5858 28728 : GEN z = zell(E, P, prec);
5859 28728 : GEN per = ellperiods(E, 1, prec);
5860 28728 : GEN w = gel(per,1), w1 = gel(w,1), cw2 = conj_i(gel(w,2));
5861 28728 : GEN e = gel(per,2), e1 = gel(e,1), e2 = gel(e, 2);
5862 28728 : GEN d = mulimag(w1, cw2);
5863 28728 : GEN b = gdiv(mulimag(w1, conj_i(z)), d);
5864 28728 : GEN a = gdiv(mulimag(cw2, z), d); /* write z = a w1 + b w2, a,b real */
5865 28728 : GEN eta = gadd(gmul(a, e1), gmul(b, e2)); /* eta(z) */
5866 28728 : GEN r = gmul2n(mulreal(z, eta), -1);
5867 28728 : GEN l = real_i(ellsigma(per, z, 1, prec));
5868 28728 : return gc_upto(av, gsub(r, l));
5869 : }
5870 :
5871 : static GEN
5872 20468 : _hell(GEN E, GEN p, long n, GEN P)
5873 20468 : { return p? ellpadicheight(E,p,n, P): ellheight(E,P,n); }
5874 : static GEN
5875 35 : ellheightpairing(GEN E, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
5876 : {
5877 35 : pari_sp av = avma;
5878 35 : GEN a = _hell(E,p,n, elladd(E,P,Q));
5879 35 : GEN b = _hell(E,p,n, ellsub(E,P,Q));
5880 35 : return gc_upto(av, gmul2n(gsub(a,b), -2));
5881 : }
5882 : GEN
5883 57659 : ellheight0(GEN e, GEN a, GEN b, long n)
5884 : {
5885 57659 : if (!a)
5886 : {
5887 77 : if (b) pari_err(e_MISC, "cannot omit P and set Q");
5888 70 : return ellheightfaltings(e,n);
5889 : }
5890 57582 : return b? ellheightpairing(e,NULL,n, a,b): ellheight(e,a,n);
5891 : }
5892 : GEN
5893 70 : ellpadicheight0(GEN e, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
5894 70 : { return Q? ellheightpairing(e,p,n, P,Q): ellpadicheight(e,p,n, P); }
5895 :
5896 : /* Based on J.H. Silverman, Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic
5897 : * Curves, GTM 151, chap VI, p 478, exercise 6.7
5898 : * Note that we use BSD normalization not Silverman's. */
5899 : /* P an affine point on e */
5900 : static GEN
5901 85211 : ellnf_localheight(GEN e, GEN P, GEN pr)
5902 : {
5903 : long v2, vD, vu, vP, vQ;
5904 85211 : GEN lr = nflocalred(e,pr), k = gel(lr, 2), urst = gel(lr, 3);
5905 85211 : GEN E = ellchangecurve(e, urst);
5906 85211 : GEN Q = ellchangepoint(P, urst), nf = ellnf_get_nf(e), v;
5907 :
5908 85211 : vP = minss(0, nfval(nf, gel(P,1), pr)); /* v_p(den(x_P)) */
5909 85211 : vQ = minss(0, nfval(nf, gel(Q,1), pr)); /* v_p(den(x_Q)) */
5910 85211 : v2 = nfval(nf, ec_dmFdy_evalQ(E, Q), pr);
5911 85211 : vD = nfval(nf, ell_get_disc(E), pr); /* >= 0 */
5912 85211 : vu = (vQ-vP) >> 1;
5913 85211 : if (v2 <= 0 || nfval(nf, ec_dFdx_evalQ(E, Q), pr) <= 0)
5914 46018 : v = gen_0;
5915 39193 : else if (cmpis(k,5) >= 0)
5916 : {
5917 26733 : GEN a = uutoQ(minss(2*v2,vD), 2*vD);
5918 26733 : v = gmul(gsub(gsqr(a),a), uutoQ(vD,2));
5919 : }
5920 : else
5921 : {
5922 12460 : long v3 = nfval(nf, ec_3divpol_evalx(E, gel(Q,1)), pr);
5923 12460 : v = (v2 < LONG_MAX && v3 >= 3*v2)? sstoQ(-v2,3): sstoQ(-v3,8);
5924 : }
5925 85211 : return gsubgs(v,vu);
5926 : }
5927 :
5928 : /* L list of prime ideals, merge with prime ideals dividing integral ideal A
5929 : * in HNF (use elements of L as hints, which may or may not divide A).
5930 : * Return sorted list, without duplicates */
5931 : static GEN
5932 28812 : prV_merge_factors(GEN nf, GEN L, GEN A)
5933 : {
5934 28812 : if (lg(L) > 1)
5935 : {
5936 20104 : GEN LQ = prV_primes(L); /* rational primes */
5937 20104 : GEN p, e, N = Z_smoothen(gcoeff(A,1,1), LQ, &p, &e);
5938 20104 : L = shallowconcat(L, gel(idealfactor_partial(nf, A, LQ), 1));
5939 : /* L = primes in original L or dividing (A, vecprod(LQ)) */
5940 20104 : A = N? ZM_hnfmodid(A, N): NULL;
5941 : }
5942 : /* A made coprime to vecprod(LQ), add remaining primes if not trivial */
5943 28812 : if (A) L = shallowconcat(L, gel(idealfactor(nf, A), 1));
5944 28812 : return gen_sort_uniq(L, (void*)cmp_prime_ideal, &cmp_nodata);
5945 : }
5946 : /* assume E is an ell and P an ellpt */
5947 : static GEN
5948 28833 : ellnf_height(GEN E, GEN P, long prec)
5949 : {
5950 28833 : pari_sp av = avma;
5951 : GEN logp, oldp, x, nf, d, F, Ee, Pe, s, v, phi2, psi2;
5952 : long i, l, r1;
5953 28833 : E = ellintegralmodel_i(E, &v); if (v) P = ellchangepoint(P, v);
5954 28833 : if (!ellisoncurve_i(E,P))
5955 0 : pari_err_DOMAIN("ellheight", "point", "not on", strtoGENstr("E"), P);
5956 28833 : if (signe(ellorder(E, P, NULL))) return gc_const(av, gen_0);
5957 28812 : x = gel(P,1);
5958 28812 : if (gequal0(ec_2divpol_evalx(E, x))) return gc_const(av, gen_0);
5959 28812 : nf = ellnf_get_nf(E);
5960 28812 : phi2 = gel(idealnumden(nf, ec_dFdx_evalQ(E, P)), 1);
5961 28812 : psi2 = gel(idealnumden(nf, ec_dmFdy_evalQ(E, P)),1);
5962 28812 : d = idealnorm(nf, gel(idealnumden(nf, x), 2));
5963 28812 : F = gel(ellminimalprimes(E), 1); /* prime ideals dividing (c4,c6) */
5964 28812 : F = prV_merge_factors(nf, F, idealadd(nf, phi2, psi2));
5965 28812 : Ee = ellnfembed(E, prec); Pe = ellpointnfembed(E, P, prec);
5966 28812 : l = lg(Ee); r1 = nf_get_r1(nf);
5967 28812 : s = gsub(gmul2n(glog(d, prec), -1), glog(ellnf_minimalnormu(E), prec));
5968 57687 : for (i=1; i <= r1; i++)
5969 28875 : s = gadd(s, ellheightoo(gel(Ee, i), gel(Pe, i), prec));
5970 57540 : for ( ; i < l; i++)
5971 28728 : s = gadd(s, gmul2n(ellheight_C(gel(Ee, i), gel(Pe, i), prec), 1));
5972 28812 : l = lg(F); oldp = logp = NULL;
5973 114023 : for (i = 1; i < l; i++)
5974 : { /* F = primes dividing (c4,c6) or (phi2,psi2) */
5975 85211 : GEN pr = gel(F,i), p = pr_get_p(pr), lam = ellnf_localheight(E, P, pr);
5976 85211 : if (!oldp || !equalii(p, oldp)) { oldp = p; logp = glog(p, prec); }
5977 85211 : s = gadd(s, gmul(lam, mulru(logp, pr_get_f(pr))));
5978 : }
5979 28812 : return gc_upto(av, gmul2n(s, 1));
5980 : }
5981 :
5982 : /* assume e is an ell and a an ellpt */
5983 : static GEN
5984 52410 : ellQ_height(GEN e, GEN a, long prec)
5985 : {
5986 52410 : long i, lx, newell = 0;
5987 : pari_sp av;
5988 : GEN Lp, x, z, phi2, psi2, psi3;
5989 : GEN v, S, c4, D;
5990 :
5991 52410 : if (!RgV_is_QV(a)) pari_err_TYPE("ellheight [not a rational point]",a);
5992 52403 : if (!ellisoncurve_i(e,a))
5993 7 : pari_err_DOMAIN("ellheight", "point", "not on", strtoGENstr("E"),a);
5994 52396 : if (ellorder_Q(e, a)) return gen_0;
5995 52396 : av = avma;
5996 52396 : if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
5997 : { /* switch to minimal model if needed */
5998 23339 : if (lg(S) != 2)
5999 : {
6000 17872 : v = gel(S,2);
6001 17872 : e = gel(S,3);
6002 17872 : a = ellchangepoint(a, v);
6003 : }
6004 : }
6005 : else
6006 : {
6007 29057 : newell = 1;
6008 29057 : e = ellminimalmodel_i(e, &v, NULL);
6009 29057 : a = ellchangepoint(a, v);
6010 : }
6011 52396 : psi2 = Q_numer(ec_dmFdy_evalQ(e,a));
6012 52396 : if (!signe(psi2)) { set_avma(av); return gen_0; }
6013 52396 : x = gel(a,1);
6014 52396 : psi3 = Q_numer( ec_3divpol_evalx(e, x) );
6015 52396 : if (!signe(psi3)) { set_avma(av); return gen_0; }
6016 52396 : phi2 = Q_numer(ec_dFdx_evalQ(e, a));
6017 52396 : c4 = ell_get_c4(e);
6018 52396 : D = ell_get_disc(e);
6019 52396 : z = hoo_aux(e,a,Q_denom(x),prec); /* hoo(a) + log(den(x))/2 */
6020 52396 : Lp = gel(Z_factor(gcdii(psi2,phi2)),1);
6021 52396 : lx = lg(Lp);
6022 222862 : for (i=1; i<lx; i++)
6023 : {
6024 170466 : GEN p = gel(Lp,i);
6025 : long u, v, n, n2;
6026 170466 : if (!dvdii(c4,p))
6027 : { /* p \nmid c4 */
6028 146704 : long N = Z_pval(D,p);
6029 146704 : if (!N) continue;
6030 146704 : n2 = Z_pval(psi2,p); n = n2<<1;
6031 146704 : if (n > N) n = N;
6032 146704 : u = n * ((N<<1) - n);
6033 146704 : v = N << 3;
6034 : }
6035 : else
6036 : {
6037 23762 : n2 = Z_pval(psi2, p);
6038 23762 : n = Z_pval(psi3, p);
6039 23762 : if (n >= 3*n2) { u = n2; v = 3; } else { u = n; v = 8; }
6040 : }
6041 : /* z -= u log(p) / v */
6042 170466 : z = gsub(z, divru(mulur(u, logr_abs(itor(p,prec))), v));
6043 : }
6044 52396 : if (newell) obj_free(e);
6045 52396 : return gc_upto(av, gmul2n(z, 1));
6046 : }
6047 :
6048 : GEN
6049 81243 : ellheight(GEN e, GEN a, long prec)
6050 : {
6051 81243 : checkell(e);
6052 81243 : if (!checkellpt_i(a)) pari_err_TYPE("ellheight", a);
6053 81243 : switch(ell_get_type(e))
6054 : {
6055 52410 : case t_ELL_Q:
6056 52410 : return ellQ_height(e, a, prec);
6057 0 : default: pari_err_TYPE("ellheight", e);
6058 28833 : case t_ELL_NF:
6059 28833 : return ellnf_height(e, a, prec);
6060 : }
6061 : }
6062 :
6063 : GEN
6064 875 : ellpadicheightmatrix(GEN e, GEN p, long n, GEN x)
6065 : {
6066 : GEN D, A, B;
6067 875 : long lx = lg(x), i, j;
6068 875 : pari_sp av = avma;
6069 :
6070 875 : if (!is_vec_t(typ(x))) pari_err_TYPE("ellheightmatrix",x);
6071 875 : D = cgetg(lx,t_VEC);
6072 875 : A = cgetg(lx,t_MAT);
6073 875 : B = cgetg(lx,t_MAT);
6074 5124 : for (i=1; i<lx; i++)
6075 : {
6076 4249 : gel(D,i) = _hell(e,p,n, gel(x,i));
6077 4249 : gel(A,i) = cgetg(lx,t_COL);
6078 4249 : gel(B,i) = cgetg(lx,t_COL); /*unused if p = NULL */
6079 : }
6080 5124 : for (i=1; i<lx; i++)
6081 : {
6082 4249 : GEN h = gel(D,i);
6083 4249 : if (p)
6084 : {
6085 28 : gcoeff(A,i,i) = gel(h,1);
6086 28 : gcoeff(B,i,i) = gel(h,2);
6087 : }
6088 : else
6089 4221 : gcoeff(A,i,i) = h;
6090 20398 : for (j=i+1; j<lx; j++)
6091 : {
6092 16149 : h = _hell(e,p,n, elladd(e,gel(x,i),gel(x,j)));
6093 16149 : h = gmul2n(gsub(h, gadd(gel(D,i),gel(D,j))), -1);
6094 16149 : if (p)
6095 : {
6096 21 : gcoeff(A,j,i) = gcoeff(A,i,j) = gel(h,1);
6097 21 : gcoeff(B,j,i) = gcoeff(B,i,j) = gel(h,2);
6098 : }
6099 : else
6100 16128 : gcoeff(A,j,i) = gcoeff(A,i,j) = h;
6101 : }
6102 : }
6103 875 : return gc_GEN(av, p? mkvec2(A,B): A);
6104 : }
6105 : GEN
6106 861 : ellheightmatrix(GEN E, GEN x, long n)
6107 861 : { return ellpadicheightmatrix(E,NULL,n, x); }
6108 :
6109 : /* Q an actual point, P a point or vector/matrix of points */
6110 : static GEN
6111 21 : bilhell_i(GEN E, GEN P, GEN Q, long n)
6112 : {
6113 : GEN y;
6114 21 : long i, l = lg(P);
6115 21 : if (l==1) return cgetg(1,typ(P));
6116 21 : if (!is_matvec_t( typ(gel(P,1)) )) return ellheight0(E,P,Q,n);
6117 7 : y = cgetg(l, typ(P));
6118 21 : for (i=1; i<l; i++) gel(y,i) = bilhell_i(E,gel(P,i),Q,n);
6119 7 : return y;
6120 : }
6121 : GEN
6122 7 : bilhell(GEN E, GEN P, GEN Q, long n)
6123 : {
6124 7 : long t1 = typ(P), t2 = typ(Q);
6125 7 : if (!is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("ellbil",P);
6126 7 : if (!is_matvec_t(t2)) pari_err_TYPE("ellbil",Q);
6127 7 : if (lg(P)==1) return cgetg(1,t1);
6128 7 : if (lg(Q)==1) return cgetg(1,t2);
6129 7 : t2 = typ(gel(Q,1));
6130 7 : if (is_matvec_t(t2))
6131 : {
6132 0 : t1 = typ(gel(P,1));
6133 0 : if (is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("bilhell",P);
6134 0 : return bilhell_i(E,Q,P,n);
6135 : }
6136 7 : return bilhell_i(E,P,Q,n);
6137 : }
6138 : /********************************************************************/
6139 : /** **/
6140 : /** Modular Parametrization **/
6141 : /** **/
6142 : /********************************************************************/
6143 : /* t*x^v (1 + O(x)), t != 0 */
6144 : static GEN
6145 0 : triv_ser(GEN t, long v)
6146 : {
6147 0 : GEN s = cgetg(3,t_SER);
6148 0 : s[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(v) | evalvarn(0);
6149 0 : gel(s,2) = t; return s;
6150 : }
6151 :
6152 : GEN
6153 14 : elltaniyama(GEN e, long prec)
6154 : {
6155 : GEN x, w, c, d, X, C, b2, b4;
6156 : long n, m;
6157 14 : pari_sp av = avma;
6158 :
6159 14 : checkell_Q(e);
6160 14 : if (prec < 0) pari_err_DOMAIN("elltaniyama","precision","<",gen_0,stoi(prec));
6161 7 : if (!prec) retmkvec2(triv_ser(gen_1,-2), triv_ser(gen_m1,-3));
6162 :
6163 7 : x = cgetg(prec+3,t_SER);
6164 7 : x[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(-2) | evalvarn(0);
6165 7 : d = ginv(RgV_to_ser(ellanQ(e,prec+1), 0, prec+3)); setvalser(d,-1);
6166 : /* 2y(q) + a1x + a3 = d qx'(q). Solve for x(q),y(q):
6167 : * 4y^2 = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 */
6168 7 : c = gsqr(d);
6169 : /* solve 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 = c (q x'(q))^2; c = 1/q^2 + O(1/q)
6170 : * Take derivative then divide by 2x':
6171 : * b2 x + b4 = (1/2) (q c')(q x') + c q (q x')' - 6x^2.
6172 : * Write X[i] = coeff(x, q^i), C[i] = coeff(c, q^i), we obtain for all n
6173 : * ((n+1)(n+2)-12) X[n+2] = b2 X[n] + b4 delta_{n = 0}
6174 : * + 6 \sum_{m = -1}^{n+1} X[m] X[n-m]
6175 : * - (1/2)\sum_{m = -2}^{n+1} (n+m) m C[n-m]X[m].
6176 : * */
6177 7 : C = c+4;
6178 7 : X = x+4;
6179 7 : gel(X,-2) = gen_1;
6180 7 : gel(X,-1) = gmul2n(gel(C,-1), -1); /* n = -3, X[-1] = C[-1] / 2 */
6181 7 : b2 = ell_get_b2(e);
6182 7 : b4 = ell_get_b4(e);
6183 112 : for (n=-2; n <= prec-4; n++)
6184 : {
6185 105 : pari_sp av2 = avma;
6186 : GEN s1, s2, s3;
6187 105 : if (n != 2)
6188 : {
6189 98 : s3 = gmul(b2, gel(X,n));
6190 98 : if (!n) s3 = gadd(s3, b4);
6191 98 : s2 = gen_0;
6192 1001 : for (m=-2; m<=n+1; m++)
6193 903 : if (m) s2 = gadd(s2, gmulsg(m*(n+m), gmul(gel(X,m),gel(C,n-m))));
6194 98 : s2 = gmul2n(s2,-1);
6195 98 : s1 = gen_0;
6196 476 : for (m=-1; m+m < n; m++) s1 = gadd(s1, gmul(gel(X,m),gel(X,n-m)));
6197 98 : s1 = gmul2n(s1, 1);
6198 98 : if (m+m==n) s1 = gadd(s1, gsqr(gel(X,m)));
6199 : /* ( (n+1)(n+2) - 12 ) X[n+2] = (6 s1 + s3 - s2) */
6200 98 : s1 = gdivgs(gsub(gadd(gmulsg(6,s1),s3),s2), (n+2)*(n+1)-12);
6201 : }
6202 : else
6203 : {
6204 7 : GEN b6 = ell_get_b6(e);
6205 7 : GEN U = cgetg(9, t_SER);
6206 7 : U[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(-2) | evalvarn(0);
6207 7 : gel(U,2) = gel(x,2);
6208 7 : gel(U,3) = gel(x,3);
6209 7 : gel(U,4) = gel(x,4);
6210 7 : gel(U,5) = gel(x,5);
6211 7 : gel(U,6) = gel(x,6);
6212 7 : gel(U,7) = gel(x,7);
6213 7 : gel(U,8) = gen_0; /* defined mod q^5 */
6214 : /* write x = U + x_4 q^4 + O(q^5) and expand original equation */
6215 7 : w = derivser(U); setvalser(w,-2); /* q X' */
6216 : /* 4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6 */
6217 7 : s1 = gadd(b6, gmul(U, gadd(gmul2n(b4,1), gmul(U,gadd(b2,gmul2n(U,2))))));
6218 : /* s2 = (qX')^2 - (4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6) = 28 x_4 + O(q) */
6219 7 : s2 = gsub(gmul(c,gsqr(w)), s1);
6220 7 : s1 = signe(s2)? gdivgu(gel(s2,2), 28): gen_0; /* = x_4 */
6221 : }
6222 105 : gel(X,n+2) = gc_upto(av2, s1);
6223 : }
6224 7 : w = gmul(d,derivser(x)); setvalser(w, valser(w)+1);
6225 7 : w = gsub(w, ec_h_evalx(e,x));
6226 7 : c = cgetg(3,t_VEC);
6227 7 : gel(c,1) = gcopy(x);
6228 7 : gel(c,2) = gmul2n(w,-1); return gc_upto(av, c);
6229 : }
6230 :
6231 : /********************************************************************/
6232 : /** **/
6233 : /** TORSION POINTS (over Q) **/
6234 : /** **/
6235 : /********************************************************************/
6236 : static GEN
6237 19292 : doellff_get_o(GEN E)
6238 : {
6239 19292 : GEN G = ellff_get_group(E), d = (lg(G) == 1)? gen_1: gel(G,1);
6240 19292 : return mkvec2(d, Z_factor(d));
6241 : }
6242 : GEN
6243 19845 : ellff_get_o(GEN E)
6244 19845 : { return obj_checkbuild(E, FF_O, &doellff_get_o); }
6245 :
6246 : static void
6247 497 : RgE2_Fp_init(GEN E, GEN *pP, GEN *pQ, GEN *a4, GEN p)
6248 : {
6249 497 : GEN e = ellff_get_a4a6(E);
6250 497 : *a4 = gel(e, 1);
6251 497 : *pP = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(*pP,p), gel(e,3), p);
6252 497 : *pQ = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(*pQ,p), gel(e,3), p);
6253 497 : }
6254 : GEN
6255 140 : elllog(GEN E, GEN a, GEN g, GEN o)
6256 : {
6257 140 : pari_sp av = avma;
6258 : GEN p;
6259 140 : checkell_Fq(E);
6260 140 : if (!checkellpt_i(a)) pari_err_TYPE("elllog", a);
6261 140 : if (!checkellpt_i(g)) pari_err_TYPE("elllog", g);
6262 140 : p = ellff_get_field(E);
6263 140 : if (!o) o = ellff_get_o(E);
6264 140 : if (typ(p)==t_FFELT) return FF_elllog(E, a, g, o);
6265 : else
6266 : {
6267 : GEN a4;
6268 49 : RgE2_Fp_init(E, &a, &g, &a4, p);
6269 49 : return gc_INT(av, FpE_log(a, g, o, a4, p));
6270 : }
6271 : }
6272 :
6273 : GEN
6274 5250 : ellweilpairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
6275 : {
6276 : GEN p;
6277 5250 : checkell_Fq(E);
6278 5243 : if (!checkellpt_i(P)) pari_err_TYPE("ellweilpairing", P);
6279 5243 : if (!checkellpt_i(Q)) pari_err_TYPE("ellweilpairing", Q);
6280 5243 : p = ellff_get_field(E);
6281 5243 : if (typ(p)==t_FFELT) return FF_ellweilpairing(E, P, Q, m);
6282 : else
6283 : {
6284 245 : pari_sp av = avma;
6285 : GEN w, a4;
6286 245 : RgE2_Fp_init(E, &P, &Q, &a4, p);
6287 245 : w = FpE_weilpairing(P, Q, m, a4, p);
6288 245 : return gc_upto(av, Fp_to_mod(w, p));
6289 : }
6290 : }
6291 :
6292 : GEN
6293 301 : elltatepairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
6294 : {
6295 : GEN p;
6296 301 : checkell_Fq(E);
6297 301 : if (!checkellpt_i(P)) pari_err_TYPE("elltatepairing", P);
6298 301 : if (!checkellpt_i(Q)) pari_err_TYPE("elltatepairing", Q);
6299 301 : if (typ(m)!=t_INT) pari_err_TYPE("elltatepairing",m);
6300 301 : p = ellff_get_field(E);
6301 301 : if (typ(p)==t_FFELT) return FF_elltatepairing(E, P, Q, m);
6302 : else
6303 : {
6304 203 : pari_sp av = avma;
6305 : GEN t, a4;
6306 203 : RgE2_Fp_init(E, &P, &Q, &a4, p);
6307 203 : t = FpE_tatepairing(P, Q, m, a4, p);
6308 203 : return gc_upto(av, Fp_to_mod(t, p));
6309 : }
6310 : }
6311 :
6312 : GEN
6313 2583869 : ellap(GEN E, GEN p)
6314 : {
6315 2583869 : pari_sp av = avma;
6316 : GEN q, card;
6317 : int goodred;
6318 2583869 : p = checkellp(&E, p, NULL, "ellap");
6319 2583817 : switch(ell_get_type(E))
6320 : {
6321 98 : case t_ELL_Fp:
6322 98 : q = p; card = ellff_get_card(E);
6323 98 : break;
6324 54467 : case t_ELL_Fq:
6325 54467 : q = FF_q(ellff_get_field(E)); card = ellff_get_card(E);
6326 54467 : break;
6327 2421497 : case t_ELL_Qp:
6328 : case t_ELL_Q:
6329 2421497 : q = p; card = ellcard_ram(E, p, &goodred);
6330 2421502 : break;
6331 107751 : case t_ELL_NF:
6332 107751 : return ellnfap(E, p, &goodred);
6333 0 : default:
6334 0 : pari_err_TYPE("ellap",E);
6335 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
6336 : }
6337 2476067 : return gc_INT(av, subii(addiu(q,1), card));
6338 : }
6339 :
6340 : /* N.B. q > minq, then the list of potential orders in ellsea will not contain
6341 : * an ambiguity => oo-loop. E.g. ellsea(ellinit([1,519],523)) */
6342 : GEN
6343 126 : ellsea(GEN E, long smallfact)
6344 : {
6345 126 : const ulong minq = 523;
6346 126 : checkell_Fq(E);
6347 126 : switch(ell_get_type(E))
6348 : {
6349 112 : case t_ELL_Fp:
6350 : {
6351 112 : GEN p = ellff_get_field(E), e = ellff_get_a4a6(E);
6352 112 : if (abscmpiu(p, minq) <= 0) return Fp_ellcard(gel(e,1), gel(e,2), p);
6353 105 : return Fp_ellcard_SEA(gel(e,1), gel(e,2), p, smallfact);
6354 : }
6355 14 : case t_ELL_Fq:
6356 : {
6357 14 : GEN fg = ellff_get_field(E);
6358 14 : if (abscmpiu(FF_p_i(fg), 7) <= 0 || abscmpiu(FF_q(fg), minq) <= 0)
6359 0 : return FF_ellcard(E);
6360 14 : return FF_ellcard_SEA(E, smallfact);
6361 : }
6362 : }
6363 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
6364 : }
6365 :
6366 : GEN
6367 269777 : ellff_get_card(GEN E)
6368 269777 : { return obj_checkbuild(E, FF_CARD, &doellcard); }
6369 :
6370 : GEN
6371 186988 : ellcard(GEN E, GEN p)
6372 : {
6373 186988 : p = checkellp(&E, p, NULL, "ellcard");
6374 186981 : switch(ell_get_type(E))
6375 : {
6376 186526 : case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
6377 186526 : return icopy(ellff_get_card(E));
6378 420 : case t_ELL_Qp:
6379 : case t_ELL_Q:
6380 : {
6381 420 : pari_sp av = avma;
6382 : int goodred;
6383 420 : GEN N = ellcard_ram(E, p, &goodred);
6384 420 : if (!goodred) N = subiu(N, 1); /* remove singular point */
6385 420 : return gc_INT(av, N);
6386 : }
6387 35 : case t_ELL_NF:
6388 : {
6389 35 : pari_sp av = avma;
6390 : int goodred;
6391 35 : GEN N = subii(pr_norm(p), ellnfap(E, p, &goodred));
6392 35 : if (goodred) N = addiu(N, 1);
6393 35 : return gc_INT(av, N);
6394 : }
6395 0 : default:
6396 0 : pari_err_TYPE("ellcard",E);
6397 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
6398 : }
6399 : }
6400 :
6401 : /* assume model is p-minimal */
6402 : static GEN
6403 120715 : ellgroup_m(GEN E, GEN p, GEN *pm)
6404 : {
6405 120715 : GEN a4, a6, N = ellcard(E, p); /* #E^ns(Fp) */
6406 120715 : *pm = gen_1;
6407 120715 : if (equali1(N)) return cgetg(1,t_VEC);
6408 120715 : if (absequaliu(p, 2)) return mkvec(N);
6409 120715 : if (absequaliu(p, 3))
6410 : { /* The only possible noncyclic group is [2,2] which happens 9 times */
6411 : ulong b2, b4, b6;
6412 0 : if (!absequaliu(N, 4)) return mkvec(N);
6413 : /* If the group is not cyclic, T = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6
6414 : * must have 3 roots else 1 root. Test T(0) = T(1) = 0 mod 3 */
6415 0 : b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(E), 3);
6416 0 : if (b6) return mkvec(N);
6417 : /* b6 = T(0) = 0 mod 3. Test T(1) */
6418 0 : b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E), 3);
6419 0 : b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(E), 3);
6420 0 : if ((1 + b2 + (b4<<1)) % 3) return mkvec(N);
6421 0 : return mkvec2s(2, 2);
6422 : } /* Now assume p > 3 */
6423 120715 : ell_to_a4a6(E, p, &a4,&a6);
6424 120715 : return Fp_ellgroup(a4,a6,N,p, pm);
6425 : }
6426 :
6427 : static GEN
6428 146454 : doellGm(GEN E)
6429 : {
6430 146454 : GEN fg = ellff_get_field(E);
6431 146454 : GEN m, G = (typ(fg) == t_FFELT)? FF_ellgroup(E, &m): ellgroup_m(E, fg, &m);
6432 146454 : return mkvec2(G, m);
6433 : }
6434 : static GEN
6435 185997 : ellff_Gm(GEN E)
6436 185997 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUP, &doellGm); }
6437 : GEN
6438 167307 : ellff_get_group(GEN E) { return gel(ellff_Gm(E), 1); }
6439 : GEN
6440 18690 : ellff_get_m(GEN E) { return gel(ellff_Gm(E), 2); }
6441 : GEN
6442 18690 : ellff_get_D(GEN E)
6443 : {
6444 18690 : GEN G = ellff_get_group(E), o = ellff_get_o(E);
6445 18690 : switch(lg(G))
6446 : {
6447 91 : case 1: return G;
6448 15883 : case 2: return mkvec(o);
6449 2716 : default: return mkvec2(o, gel(G,2));
6450 : }
6451 : }
6452 :
6453 : /* E / Fp */
6454 : static GEN
6455 18690 : doellgens(GEN E)
6456 : {
6457 18690 : GEN fg = ellff_get_field(E);
6458 18690 : if (typ(fg)==t_FFELT)
6459 18116 : return FF_ellgens(E);
6460 : else
6461 : {
6462 574 : GEN F, p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
6463 574 : F = Fp_ellgens(gel(e,1),gel(e,2),gel(e,3), ellff_get_D(E),ellff_get_m(E),p);
6464 574 : return FpVV_to_mod(F,p);
6465 : }
6466 : }
6467 :
6468 : GEN
6469 18767 : ellff_get_gens(GEN E)
6470 18767 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUPGEN, &doellgens); }
6471 :
6472 : GEN
6473 127806 : ellgroup(GEN E, GEN p)
6474 : {
6475 127806 : pari_sp av = avma;
6476 : GEN m, G;
6477 127806 : p = checkellp(&E,p, NULL, "ellgroup");
6478 127799 : switch(ell_get_type(E))
6479 : {
6480 127365 : case t_ELL_Fp:
6481 127365 : case t_ELL_Fq: G = ellff_get_group(E); break;
6482 392 : case t_ELL_Qp:
6483 : case t_ELL_Q:
6484 392 : if (Z_pval(Q_numer(ell_get_disc(E)), p))
6485 : {
6486 14 : GEN Q = localred(E,p), kod = gel(Q,2);
6487 14 : E = ellchangecurve(E, gel(Q,3));
6488 14 : if (!equali1(kod)) { G = mkvec(ellcard(E,p)); break; }
6489 : }
6490 378 : G = ellgroup_m(E,p,&m); break;
6491 42 : case t_ELL_NF:
6492 42 : if (nfval(ellnf_get_nf(E), ell_get_disc(E), p))
6493 : {
6494 21 : GEN Q = nflocalred(E,p), kod = gel(Q,2);
6495 21 : E = ellchangecurve(E, gel(Q,3));
6496 21 : if (!equali1(kod)) { G = mkvec(ellcard(E,p)); break; }
6497 : }
6498 28 : E = ellinit(E, p, 0);
6499 28 : G = ellff_get_group(E);
6500 28 : G = gcopy(G); obj_free(E); break;
6501 0 : default:
6502 0 : pari_err_TYPE("ellgroup", E);
6503 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
6504 : }
6505 127799 : return gc_GEN(av, G);
6506 : }
6507 :
6508 : GEN
6509 21490 : ellgroup0(GEN E, GEN p, long flag)
6510 : {
6511 21490 : pari_sp av = avma;
6512 21490 : long tE, freeE = 0;
6513 : GEN G;
6514 21490 : if (flag==0) return ellgroup(E, p);
6515 1946 : if (flag!=1) pari_err_FLAG("ellgroup");
6516 1946 : checkell(E); tE = ell_get_type(E);
6517 1946 : if (tE != t_ELL_Fp && tE != t_ELL_Fq)
6518 : {
6519 1869 : GEN Q = elllocalred(E, p), v = gel(Q,3), u = gel(v,1), kod = gel(Q,2);
6520 : long vu;
6521 1862 : switch(tE)
6522 : {
6523 70 : case t_ELL_Qp: p = ellQp_get_p(E);/*fall through*/
6524 1841 : case t_ELL_Q: vu = Q_pval(u, p); break;
6525 21 : case t_ELL_NF: vu = nfval(ellnf_get_nf(E), u, p); break;
6526 0 : default: pari_err_TYPE("ellgroup", E); vu = 0;
6527 : }
6528 1862 : if (vu) pari_err_TYPE("ellgroup [not a p-minimal curve]",E);
6529 1855 : if (!equali1(kod)) /* bad reduction */
6530 : {
6531 91 : GEN Ep, T = NULL, q = p, ap = ellap(E,p);
6532 91 : if (typ(p) == t_INT)
6533 : {
6534 : long i;
6535 70 : Ep = obj_init(15, 4);
6536 910 : for (i = 1; i <= 12; i++) gel(Ep,i) = gel(E,i);
6537 : }
6538 : else
6539 : {
6540 21 : q = pr_norm(p);
6541 21 : Ep = initsmall5(ellnf_to_Fq(ellnf_get_nf(E), E, p, &p, &T), 4);
6542 : }
6543 91 : E = FF_ellinit(Ep, Tp_to_FF(T, p)); /* singular curve */
6544 91 : gel(E,14) = mkvecsmall(t_ELL_Fq);
6545 91 : obj_insert(E, FF_CARD, subii(q, ap));
6546 : }
6547 : else
6548 1764 : E = ellinit(E, p, 0);
6549 1855 : freeE = 1;
6550 : }
6551 1932 : G = mkvec3(ellff_get_card(E), ellff_get_group(E), ellff_get_gens(E));
6552 1932 : if (!freeE) return gc_GEN(av, G);
6553 1855 : G = gcopy(G); obj_free(E); return gc_upto(av, G);
6554 : }
6555 :
6556 : GEN
6557 16849 : ellgenerators(GEN E)
6558 : {
6559 16849 : checkell(E);
6560 16849 : switch(ell_get_type(E))
6561 : {
6562 7 : case t_ELL_Q:
6563 7 : return obj_checkbuild(E, Q_GROUPGEN, &elldatagenerators);
6564 16835 : case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
6565 16835 : return gcopy(ellff_get_gens(E));
6566 7 : default:
6567 7 : pari_err_TYPE("ellgenerators",E);
6568 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
6569 : }
6570 : }
6571 :
6572 : /* char != 2,3, j != 0, 1728 */
6573 : static GEN
6574 22715 : ellfromj_simple(GEN j)
6575 : {
6576 22715 : pari_sp av = avma;
6577 22715 : GEN k = gsubsg(1728,j), kj = gmul(k, j), k2j = gmul(kj, k);
6578 22715 : GEN E = zerovec(5);
6579 22715 : gel(E,4) = gmulsg(3,kj);
6580 22715 : gel(E,5) = gmulsg(2,k2j); return gc_upto(av, E);
6581 : }
6582 : GEN
6583 34020 : ellfromj(GEN j)
6584 : {
6585 34020 : GEN T = NULL, p = typ(j)==t_FFELT? FF_p_i(j): NULL;
6586 : /* trick: use j^0 to get 1 in the proper base field */
6587 34020 : if ((p || (Rg_is_FpXQ(j,&T,&p) && p)) && lgefint(p) == 3) switch(p[2])
6588 : {
6589 3549 : case 2:
6590 3549 : if (gequal0(j))
6591 7 : retmkvec5(gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0,gen_0);
6592 : else
6593 3542 : retmkvec5(gpowgs(j,0),gen_0,gen_0, gen_0,ginv(j));
6594 7651 : case 3:
6595 7651 : if (gequal0(j))
6596 21 : retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
6597 : else
6598 : {
6599 7630 : GEN E = zerovec(5);
6600 7630 : pari_sp av = avma;
6601 7630 : gel(E,5) = gc_upto(av, gneg(gsqr(j)));
6602 7630 : gel(E,2) = gcopy(j);
6603 7630 : return E;
6604 : }
6605 : }
6606 22820 : if (gequal0(j)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0));
6607 22785 : if (gequalgs(j,1728)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
6608 22715 : return ellfromj_simple(j);
6609 : }
6610 :
6611 : /********************************************************************/
6612 : /** **/
6613 : /** IS SUPERSINGULAR **/
6614 : /** **/
6615 : /********************************************************************/
6616 :
6617 : int
6618 165907 : elljissupersingular(GEN x)
6619 : {
6620 165907 : pari_sp av = avma;
6621 : int res;
6622 :
6623 165907 : if (typ(x) == t_INTMOD) {
6624 504 : GEN p = gel(x, 1);
6625 504 : GEN j = gel(x, 2);
6626 504 : res = Fp_elljissupersingular(j, p);
6627 165403 : } else if (typ(x) == t_FFELT) {
6628 165396 : GEN j = FF_to_FpXQ_i(x);
6629 165396 : GEN p = FF_p_i(x);
6630 165396 : GEN T = FF_mod(x);
6631 165396 : res = FpXQ_elljissupersingular(j, T, p);
6632 : } else {
6633 7 : pari_err_TYPE("elljissupersingular", x);
6634 : return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
6635 : }
6636 165900 : set_avma(av);
6637 165900 : return res;
6638 : }
6639 :
6640 : int
6641 166117 : ellissupersingular(GEN E, GEN p)
6642 : {
6643 : pari_sp av;
6644 : GEN j;
6645 166117 : if (typ(E)!=t_VEC && !p) return elljissupersingular(E);
6646 17017 : p = checkellp(&E, p, NULL, "ellissupersingular");
6647 17003 : j = ell_get_j(E);
6648 17003 : switch(ell_get_type(E))
6649 : {
6650 16807 : case t_ELL_Fp:
6651 : case t_ELL_Fq:
6652 16807 : return elljissupersingular(j);
6653 56 : case t_ELL_Qp:
6654 : case t_ELL_Q:
6655 56 : if (typ(j)==t_FRAC && dvdii(gel(j,2), p)) return 0;
6656 21 : av = avma;
6657 21 : return gc_bool(av, Fp_elljissupersingular(Rg_to_Fp(j,p), p));
6658 140 : case t_ELL_NF:
6659 : {
6660 140 : GEN modP, T, nf = ellnf_get_nf(E), pr = p;
6661 : int res;
6662 140 : av = avma;
6663 140 : j = nf_to_scalar_or_basis(nf, j);
6664 140 : if (dvdii(Q_denom(j), pr_get_p(pr)))
6665 : {
6666 14 : if (typ(j) == t_FRAC || nfval(nf, j, pr) < 0) return 0;
6667 0 : modP = nf_to_Fq_init(nf,&pr,&T,&p);
6668 : }
6669 : else
6670 126 : modP = zk_to_Fq_init(nf,&pr,&T,&p);
6671 126 : j = nf_to_Fq(nf, j, modP);
6672 126 : if (typ(j) == t_INT)
6673 98 : res = Fp_elljissupersingular(j, p);
6674 : else
6675 28 : res = FpXQ_elljissupersingular(j, T, p);
6676 126 : return gc_bool(av, res);
6677 : }
6678 0 : default:
6679 0 : pari_err_TYPE("ellissupersingular",E);
6680 : }
6681 : return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
6682 : }
6683 :
6684 : GEN
6685 1204 : ellsupersingularj(GEN a)
6686 : {
6687 1204 : pari_sp av = avma;
6688 : GEN r, T, p;
6689 : long d;
6690 1204 : switch(typ(a))
6691 : {
6692 1190 : case t_INT:
6693 1190 : p = a;
6694 1190 : if (Z_issquare(p)) pari_err_PRIME("ellsupersingularj", p);
6695 1190 : T = init_Fq(p, 2, fetch_user_var("w"));
6696 1190 : d = 2;
6697 1190 : break;
6698 14 : case t_FFELT:
6699 14 : p = FF_p_i(a); T = FF_mod(a); d = degpol(T);
6700 14 : if (!odd(d))
6701 : {
6702 14 : if (d != 2)
6703 7 : T = init_Fq(p, 2, varn(T));
6704 14 : break;
6705 : }
6706 : default: /* FALL THROUGH */
6707 0 : pari_err_TYPE("ellsupersingular", a);
6708 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
6709 : }
6710 1204 : r = Fq_to_FF(ellsupersingularj_FpXQ(T, p), Tp_to_FF(T, p));
6711 1204 : if (d != 2)
6712 7 : r = ffmap(ffembed(r, a), r);
6713 1204 : return gc_GEN(av, r);
6714 : }
6715 :
6716 : /* n <= 4, N is the characteristic of the base ring or NULL (char 0) */
6717 : static GEN
6718 15211 : elldivpol4(GEN e, GEN N, long n, long v)
6719 : {
6720 : GEN b2,b4,b6,b8, res;
6721 15211 : if (n==0) return pol_0(v);
6722 15211 : if (n<=2) return N? scalarpol_shallow(mkintmod(gen_1,N),v): pol_1(v);
6723 1799 : b2 = ell_get_b2(e); b4 = ell_get_b4(e);
6724 1799 : b6 = ell_get_b6(e); b8 = ell_get_b8(e);
6725 1799 : if (n==3)
6726 833 : res = mkpoln(5, N? modsi(3,N): utoi(3),b2,gmulsg(3,b4),gmulsg(3,b6),b8);
6727 : else
6728 : {
6729 966 : GEN b10 = gsub(gmul(b2, b8), gmul(b4, b6));
6730 966 : GEN b12 = gsub(gmul(b8, b4), gsqr(b6));
6731 966 : res = mkpoln(7, N? modsi(2,N): gen_2,b2,gmulsg(5,b4),gmulsg(10,b6),gmulsg(10,b8),b10,b12);
6732 : }
6733 1799 : setvarn(res, v); return res;
6734 : }
6735 :
6736 : /* T = (2y + a1x + a3)^4 modulo the curve equation. Store elldivpol(e,n,v)
6737 : * in t[n]. N is the caracteristic of the base ring or NULL (char 0) */
6738 : static GEN
6739 5075 : elldivpol0(GEN e, GEN t, GEN N, GEN T, long n, long v)
6740 : {
6741 : GEN ret;
6742 5075 : long m = n/2;
6743 5075 : if (gel(t,n)) return gel(t,n);
6744 3150 : if (n<=4) ret = elldivpol4(e, N, n, v);
6745 882 : else if (odd(n))
6746 : {
6747 525 : GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
6748 : gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m,v),3));
6749 525 : GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v),
6750 : gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v),3));
6751 525 : if (odd(m))/*f_{4l+3} = f_{2l+3}f_{2l+1}^3 - T f_{2l}f_{2l+2}^3, m=2l+1*/
6752 91 : ret = RgX_sub(t1, RgX_mul(T,t2));
6753 : else /*f_{4l+1} = T f_{2l+2}f_{2l}^3 - f_{2l-1}f_{2l+1}^3, m=2l*/
6754 434 : ret = RgX_sub(RgX_mul(T,t1), t2);
6755 : }
6756 : else
6757 : { /* f_2m = f_m(f_{m+2}f_{m-1}^2 - f_{m-2}f_{m+1}^2) */
6758 357 : GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
6759 : RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v)));
6760 357 : GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-2,v),
6761 : RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v)));
6762 357 : ret = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m,v), RgX_sub(t1,t2));
6763 : }
6764 3150 : gel(t,n) = ret;
6765 3150 : return ret;
6766 : }
6767 :
6768 : GEN
6769 13272 : elldivpol(GEN e, long n0, long v)
6770 : {
6771 13272 : pari_sp av = avma;
6772 : GEN f, D, N;
6773 13272 : long n = labs(n0);
6774 :
6775 13272 : checkell(e); D = ell_get_disc(e);
6776 13272 : if (v < 0) v = 0;
6777 13272 : if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
6778 13272 : N = characteristic(D); if (!signe(N)) N = NULL;
6779 13272 : if (n==1 || n==3)
6780 231 : f = elldivpol4(e, N, n, v);
6781 : else
6782 : {
6783 13041 : GEN d2 = ec_bmodel(e,v); /* (2y + a1x + a3)^2 mod E */
6784 13041 : if (N && !mod2(N)) { gel(d2,5) = modsi(4,N); d2 = normalizepol(d2); }
6785 13041 : if (n <= 4)
6786 12712 : f = elldivpol4(e, N, n, v);
6787 : else
6788 329 : f = elldivpol0(e, const_vec(n,NULL), N,RgX_sqr(d2), n, v);
6789 13041 : if (n%2==0) f = RgX_mul(f, d2);
6790 : }
6791 13272 : if (n0 < 0) return gc_upto(av, RgX_neg(f));
6792 13251 : return gc_GEN(av, f);
6793 : }
6794 :
6795 : /* return [phi_n, (psi_n)^2] such that x[nP] = phi_n / (psi_n)^2 */
6796 : GEN
6797 406 : ellxn(GEN e, long n, long v)
6798 : {
6799 406 : pari_sp av = avma;
6800 : GEN d2, D, N, A, B;
6801 406 : checkell(e); D = ell_get_disc(e);
6802 406 : if (v==-1) v = 0;
6803 406 : if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
6804 406 : N = characteristic(D);
6805 406 : if (!signe(N)) N = NULL;
6806 406 : if (n < 0) n = -n;
6807 406 : d2 = ec_bmodel(e,v); /* (2y + a1x + 3)^2 mod E */
6808 406 : if (N && !mod2(N)) { gel(d2,5) = modsi(4,N); d2 = normalizepol(d2); }
6809 406 : if (n == 0)
6810 : {
6811 7 : A = pol_0(v);
6812 7 : B = pol_0(v);
6813 : }
6814 399 : else if (n == 1)
6815 : {
6816 7 : A = pol_1(v);
6817 7 : B = pol_x(v);
6818 : }
6819 392 : else if (n == 2)
6820 : {
6821 105 : A = d2;
6822 105 : B = ec_phi2(e, v);
6823 : }
6824 : else
6825 : {
6826 287 : GEN t = const_vec(n+1,NULL), T = RgX_sqr(d2);
6827 287 : GEN f = elldivpol0(e, t, N, T, n, v); /* f_n / d2^(n odd)*/
6828 287 : GEN g = elldivpol0(e, t, N, T, n-1, v); /* f_{n-1} / d2^(n even) */
6829 287 : GEN h = elldivpol0(e, t, N, T, n+1, v); /* f_{n+1} / d2^(n even) */
6830 287 : GEN f2 = RgX_sqr(f), u = RgX_mul(g,h);
6831 287 : if (!odd(n))
6832 14 : A = RgX_mul(f2, d2);
6833 : else
6834 273 : { A = f2; u = RgX_mul(u,d2); }
6835 : /* A = psi_n^2, u = psi_{n-1} psi_{n+1} */
6836 287 : B = RgX_sub(RgX_shift(A,1), u);
6837 : }
6838 406 : return gc_GEN(av, mkvec2(B,A));
6839 : }
6840 :
6841 : /* l and p primes; p = 1 mod l; return an element of order l in (Z/pZ)^* */
6842 : static ulong
6843 2807 : ltors_Fl(ulong l, ulong p)
6844 : {
6845 2807 : ulong x, y, r = (p-1)/l;
6846 4389 : for (x = 2;; x++) { y = Fl_powu(x, r, p); if (y != 1) return y; }
6847 : }
6848 :
6849 : /* Assume that l|o but p!=1 [l] so r_l E(F_p) = 1 */
6850 : static void
6851 8631 : FljV_vecsat_Siksek(GEN E, GEN P, ulong o, ulong l, ulong a4, ulong a6, ulong p,
6852 : GEN S, long *m)
6853 : {
6854 8631 : long i, n = lg(P)-1;
6855 8631 : GEN a4a6, g, F, v = zero_zv(n);
6856 8631 : pari_sp av = avma;
6857 8631 : ulong q = o / l;
6858 :
6859 8631 : F = mkmat2(mkcols(l), mkcols(1));
6860 8631 : a4a6 = a4a6_ch_Fl(E, p);
6861 8631 : g = gel(Fl_ellptors(l, o, a4, a6, p), 1);
6862 63238 : for (i=1; i <= n; i++)
6863 : {
6864 54607 : GEN Q = Fle_changepointinv(Flj_to_Fle(gel(P,i), p), a4a6, p);
6865 54607 : if (!ell_is_inf(Q))
6866 54278 : v[i] = itou(Fle_log(Fle_mulu(Q, q, a4, p), g, F, a4, p));
6867 : }
6868 8631 : gel(S,(*m)++) = v;
6869 8631 : set_avma(av);
6870 8631 : }
6871 :
6872 : /* Assume that l|o and p=1 [l] so r_l E(F_p) = 1 or 2 */
6873 : static void
6874 2807 : FljV_vecsat_Prickett(GEN E, GEN P, ulong o, ulong l, ulong a4, ulong a6,
6875 : ulong p, GEN S, long *m)
6876 : {
6877 2807 : long i, n = lg(P)-1;
6878 2807 : GEN a4a6, G, G1, G2, v = zero_zv(n), w = zero_zv(n);
6879 2807 : ulong g = ltors_Fl(l, p), q = (p-1)/l;
6880 2807 : pari_sp av = avma;
6881 :
6882 2807 : a4a6 = a4a6_ch_Fl(E, p);
6883 2807 : G = Fl_ellptors(l, o, a4, a6, p);
6884 2807 : G1 = gel(G,1);
6885 2807 : G2 = lg(G)==3 ? gel(G, 2): NULL;
6886 16457 : for (i = 1; i <= n; i++)
6887 : {
6888 13650 : GEN Q = Fle_changepointinv(Flj_to_Fle(gel(P,i), p), a4a6, p);
6889 13650 : if (!ell_is_inf(Q))
6890 : {
6891 13279 : ulong u = Fl_powu(Fle_tatepairing(G1, Q, l, a4, p), q, p);
6892 13279 : v[i] = Fl_log(u, g, l, p);
6893 13279 : if (G2)
6894 : {
6895 3395 : ulong u = Fl_powu(Fle_tatepairing(G2, Q, l, a4, p), q, p);
6896 3395 : w[i] = Fl_log(u, g, l, p);
6897 : }
6898 : }
6899 : }
6900 2807 : gel(S,(*m)++) = v;
6901 2807 : if (G2 && *m < lg(S)) gel(S,(*m)++) = w;
6902 2807 : set_avma(av);
6903 2807 : }
6904 :
6905 : static void
6906 11438 : FljV_vecsat(GEN E, GEN P, ulong o, ulong l, ulong a4, ulong a6, ulong p,
6907 : GEN S, long *m)
6908 : {
6909 11438 : P = ZVV_to_FlvV(P, p);
6910 11438 : if (p % l == 1)
6911 2807 : FljV_vecsat_Prickett(E, P, o, l, a4, a6, p, S, m);
6912 : else
6913 8631 : FljV_vecsat_Siksek(E, P, o, l, a4, a6, p, S, m);
6914 11438 : }
6915 :
6916 : /* P a vector of points in E(Q), return a linear map M from the abelian group
6917 : * they generate to Z/lZ; sum x[i] P[i] is l-divisible => x M = 0 */
6918 : static GEN
6919 1204 : ellsatp_mat(hashtable *h, GEN E, long CM, GEN P, ulong l, long nb)
6920 : {
6921 1204 : long m = 1;
6922 1204 : GEN D = ell_get_disc(E), M = cgetg(nb+1, t_MAT);
6923 : forprime_t S;
6924 :
6925 1204 : P = QEV_to_ZJV(P);
6926 1204 : (void)u_forprime_init(&S, 5, ULONG_MAX);
6927 326459 : while (m <= nb)
6928 : {
6929 325255 : ulong a4, a6, p = u_forprime_next(&S);
6930 : long o;
6931 325255 : if (dvdiu(D, p)) continue;
6932 320075 : Fl_ell_to_a4a6(E, p, &a4, &a6);
6933 320075 : if (!hash_haskey_long(h, (void*)p, &o))
6934 : {
6935 34979 : o = p+1 - Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
6936 34979 : hash_insert_long(h,(void*)p, o);
6937 : }
6938 320075 : if (o % l == 0) FljV_vecsat(E, P, o, l, a4, a6, p, M, &m);
6939 : }
6940 1204 : return M;
6941 : }
6942 :
6943 : INLINE long
6944 147 : Flv_firstnonzero(GEN v)
6945 : {
6946 147 : long i, l = lg(v);
6947 154 : for (i = 1; i < l; i++)
6948 154 : if (v[i]) break;
6949 147 : return i;
6950 : }
6951 :
6952 : /* update M in place */
6953 : static GEN
6954 1204 : ellsatp(hashtable *hh, GEN E, long CM, GEN T, GEN H, GEN M, ulong l, GEN *xl,
6955 : long vxl, long nb, long prec)
6956 : {
6957 1204 : GEN P = T ? shallowconcat(H, T): H;
6958 1204 : GEN S = ellsatp_mat(hh, E, CM, P, l, nb); /* fill hh */
6959 1204 : pari_sp av = avma;
6960 1204 : GEN K = Flm_ker(Flm_transpose(S), l);
6961 1204 : long i, lK = lg(K), nH = lg(H)-1;
6962 :
6963 1204 : if (lK==1) return gc_NULL(av);
6964 147 : if (DEBUGLEVEL >= 3)
6965 0 : err_printf("ellsat: potential factor %lu, dim Ker = %ld\n",l,lK-1);
6966 : /* Mazur bound for torsion of isogenous curves */
6967 147 : if (!*xl && l <= 7) *xl = ellxn(E, l, vxl);
6968 147 : for (i = 1; i < lK; i++)
6969 : {
6970 147 : GEN ki = gel(K,i), Ki, h, R;
6971 147 : long f = Flv_firstnonzero(ki);
6972 :
6973 : /* for T != NULL: avoid solving for [p]Q = R when R is p-torsion */
6974 147 : if (f > nH) continue;
6975 147 : if (ki[f] != 1) ki = Flv_Fl_div(ki, ki[f], l);
6976 147 : Ki = zv_to_ZV(Flv_center(ki, l, l >> 1));
6977 147 : h = qfeval(M, T? vecslice(Ki, 1, nH): Ki);
6978 147 : if (*xl)
6979 : {
6980 133 : GEN Q = ellQ_factorback(E, P, Ki, 1, h, prec);
6981 133 : if (ellisdivisible(E, Q, *xl, &R)) h = gdiv(h, sqru(l)); else R = NULL;
6982 : }
6983 : else
6984 : {
6985 14 : h = gdiv(h, sqru(l));
6986 14 : R = ellQ_factorback(E, P, Ki, l, h, prec);
6987 : }
6988 147 : if (DEBUGLEVEL >= 2)
6989 0 : err_printf("ellsat: %s divisible by %lu\n", R? "": "not", l);
6990 147 : if (!R)
6991 : {
6992 28 : if (lK == 2) break;
6993 140 : return l > 7? gc_const(av,H): H; /* fail: return and retry */
6994 : }
6995 119 : gcoeff(M, f, f) = h;
6996 490 : for (i = 1; i <= nH; i++)
6997 371 : if (i != f) gcoeff(M, f, i) = gdivgu(RgV_dotproduct(gel(M,i), Ki), l);
6998 490 : for (i = 1; i <= nH; i++) gcoeff(M, i, f) = gcoeff(M, f, i);
6999 119 : gel(H,f) = R; return H; /* found l-divisible point: return new lattice */
7000 : }
7001 7 : return gc_NULL(av); /* l-saturated */
7002 : }
7003 :
7004 : static GEN
7005 49 : ellQ_saturation(GEN E, GEN P, long B, long prec)
7006 : {
7007 : forprime_t S;
7008 49 : GEN M = ellheightmatrix(E, P, prec);
7009 49 : long CM = ellQ_get_CM(E), w = fetch_var_higher();
7010 : hashtable h;
7011 : ulong p;
7012 :
7013 49 : hash_init_ulong(&h, 16, 1);
7014 49 : (void)u_forprime_init(&S, 2, B);
7015 49 : P = leafcopy(P); /* modified in place by ellsatp */
7016 1113 : while((p = u_forprime_next(&S)))
7017 : {
7018 1064 : long nb = lg(P)-1 + 25 / log2(p) - 1; /* error ~ 2^{-25} */
7019 1064 : GEN xp = NULL, T = gel(elltors_psylow(E, p), 3);
7020 1064 : if (lg(T)==1) T = NULL;
7021 : while (1)
7022 140 : {
7023 1204 : GEN Q = ellsatp(&h, E, CM, T, P, M, p, &xp, w, nb, prec);
7024 1204 : if (!Q) break;
7025 140 : nb += lg(P)-1;
7026 140 : P = Q;
7027 : }
7028 : }
7029 49 : (void)delete_var(); return ellQ_genreduce(E, P, M, prec);
7030 : }
7031 :
7032 : GEN
7033 49 : ellsaturation(GEN E, GEN P, long B, long prec)
7034 : {
7035 49 : pari_sp av = avma;
7036 : GEN urst;
7037 :
7038 49 : if (lg(P) == 1) return cgetg(1, t_VEC);
7039 49 : E = ellminimalmodel(E, &urst);
7040 49 : if (is_trivial_change(urst, NULL)) urst = NULL;
7041 7 : else P = ellchangepoint(P, urst);
7042 49 : P = ellQ_saturation(E, P, B, prec);
7043 49 : if (urst) P = ellchangepoint(P, ellchangeinvert_i(urst));
7044 49 : obj_free(E); return gc_GEN(av, P);
7045 : }
7046 :
7047 : static GEN
7048 126 : to_RgX(GEN P, long vx)
7049 126 : { return typ(P)==t_POL && varn(P) == vx ? P: scalarpol_shallow(P, vx); }
7050 : GEN
7051 70 : elltrace(GEN E, GEN P)
7052 : {
7053 70 : pari_sp av = avma;
7054 70 : GEN xP, yP, T = NULL, Q, LP, M, K, U,V,R, xQ,yQ;
7055 : long v, n, i, j, d;
7056 :
7057 70 : checkell(E);
7058 70 : if (!checkellpt_i(P)) pari_err_TYPE("elltrace", P);
7059 70 : if (ell_is_inf(P)) return gcopy(P); /* P == oo */
7060 63 : if (!ellisoncurve_i(E,P))
7061 0 : pari_err_DOMAIN("elltrace", "point", "not on", strtoGENstr("E"), P);
7062 : /* More checks */
7063 :
7064 63 : xP = gel(P,1); yP = gel(P,2);
7065 63 : if (typ(xP)==t_POLMOD) { T = gel(xP,1); xP = gel(xP,2); }
7066 63 : if (typ(yP)==t_POLMOD)
7067 : {
7068 63 : if (T)
7069 : {
7070 56 : if (!gequal(gel(yP,1),T)) pari_err_MODULUS("elltrace",xP,yP);
7071 : }
7072 : else
7073 7 : T = gel(yP,1);
7074 63 : yP = gel(yP,2);
7075 : }
7076 63 : if (!T) pari_err_TYPE("elltrace",yP);
7077 63 : v = varn(T); n = degpol(T);
7078 : /* Trivial cases */
7079 63 : if (n == 1) { return gc_GEN(av, mkvec2(xP,yP)); }
7080 63 : xP = to_RgX(xP, v);
7081 63 : yP = to_RgX(yP, v);
7082 63 : if (degpol(xP) <= 0)
7083 : {
7084 28 : if (degpol(yP) > 0) { set_avma(av); retmkvec(gen_0); }
7085 14 : P = mkvec2(constant_coeff(xP), constant_coeff(yP));
7086 14 : return gc_upto(av, ellmul(E, P, utoipos(n)));
7087 : }
7088 : /* Strategy: look for a function with divisor equal to
7089 : * [P_1] + ... + [P_n] + [-Tr(P)] - (n+1)[0]. */
7090 35 : LP = cgetg(n+2,t_VEC); /* basis of the Riemann-Roch space evaluated at P */
7091 35 : gel(LP,1) = pol_1(v);
7092 35 : gel(LP,2) = xP;
7093 35 : gel(LP,3) = yP;
7094 84 : for (i = 4; i <= n+1; i++) gel(LP,i) = RgXQ_mul(gel(LP,i-2), xP, T);
7095 35 : M = cgetg(n+2,t_MAT); /* functions defined over K vanishing at P */
7096 189 : for (j = 1; j <= n+1; j++)
7097 714 : for (i = 1; i <= n; i++) gel(M,j) = RgX_to_RgC(gel(LP,j), n);
7098 35 : K = gel(ker(M),1);
7099 : /* Coords on 1,x,y,x^2,xy,.. of function f of smallest degree vanishing at P
7100 : * div f = [P_1] + ... + [P_d] + [-Tr(P)] - (d+1)[0]
7101 : * with deg(K(P)) = d+1 if Tr(P) != 0; = d otherwise; f = U(x) + y*V(x) */
7102 35 : U = cgetg((n+1)/2+3,t_POL);
7103 35 : V = cgetg((n-2)/2+3,t_POL); U[1] = V[1] = evalvarn(0);
7104 35 : gel(U,2) = gel(K,1); /* Coef of 1 */
7105 105 : for(i = 1; 2*i <= n+1; i++) gel(U,i+2) = gel(K,2*i); /* Coef of x^i */
7106 84 : for(i = 0; 2*i+3 <= n+1; i++) gel(V,i+2) = gel(K,2*i+3); /* Coef of x^i*y */
7107 35 : U = normalizepol(U); V = normalizepol(V);
7108 : /* f does not depend on y, so trace = oo */
7109 35 : if (signe(V)==0) { set_avma(av); retmkvec(gen_0); }
7110 : /* Plug y = -U(x)/V(x) into Weierstrass equation:
7111 : * 0 = ((x^3+a2x^2+a4x+a6)*V + (a1x+a3)*U)*V - U^2 */
7112 35 : R = mkpoln(4, gen_1, ell_get_a2(E), ell_get_a4(E), ell_get_a6(E));
7113 35 : R = gmul(R, V);
7114 35 : R = gadd(R, gmul(U, mkpoln(2,ell_get_a1(E),ell_get_a3(E))));
7115 35 : R = gmul(R, V);
7116 35 : R = gsub(R, gsqr(U));
7117 : /* Discard Galois orbit of P */
7118 35 : R = RgX_div(R, RgXQ_minpoly(xP,T, 0));
7119 : /* What is left is either constant -> return 0, or deg 1 -> nontrivial trace. */
7120 35 : if(degpol(R)<=0) { set_avma(av); retmkvec(gen_0); }
7121 : /* Recover the trace */
7122 28 : xQ = gneg(gdiv(gel(R,2), gel(R,3)));
7123 28 : yQ = gneg(gdiv(poleval(U, xQ), poleval(V, xQ)));
7124 28 : Q = mkvec2(xQ, yQ);
7125 : /* So far, we have computed -Tr(P) over the extension K(P)/K
7126 : * we still need to compute [L:K(P)] */
7127 28 : d = 0;
7128 42 : for (i = n+1; i > 0; i--) if (!gequal0(gel(K,i))) { d = i; break; }
7129 28 : return gc_upto(av, ellmul(E, Q, stoi(-n / (d-1))));
7130 : }
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