Line data Source code
1 : /* Copyright (C) 2000 The PARI group.
2 :
3 : This file is part of the PARI/GP package.
4 :
5 : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
6 : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
7 : Foundation; either version 2 of the License, or (at your option) any later
8 : version. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
9 : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
10 :
11 : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
12 : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
13 : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
14 :
15 : /********************************************************************/
16 : /** **/
17 : /** ELLIPTIC and MODULAR FUNCTIONS **/
18 : /** (as complex or p-adic functions) **/
19 : /** **/
20 : /********************************************************************/
21 : #include "pari.h"
22 : #include "paripriv.h"
23 :
24 : #define DEBUGLEVEL DEBUGLEVEL_ell
25 :
26 : /* add3, add4, mul3, mul4 and these 2 should be exported as convenience
27 : * functions (cf dirichlet.c, lfunlarge.c, hypergeom.c) */
28 : static GEN
29 252 : gadd3(GEN a, GEN b, GEN c) { return gadd(gadd(a, b), c); }
30 : static GEN
31 2338 : gmul3(GEN a, GEN b, GEN c) { return gmul(gmul(a, b), c); }
32 : static GEN
33 1827 : gmul4(GEN a, GEN b, GEN c, GEN d) { return gmul(gmul(a, b), gmul(c,d)); }
34 :
35 : /********************************************************************/
36 : /** exp(I*Pi*x) with attention to rational arguments **/
37 : /********************************************************************/
38 :
39 : /* sqrt(3)/2 */
40 : static GEN
41 2079 : sqrt32(long prec) { GEN z = sqrtr_abs(utor(3,prec)); setexpo(z, -1); return z; }
42 : /* exp(i k pi/12) */
43 : static GEN
44 4489 : e12(ulong k, long prec)
45 : {
46 : int s, sPi, sPiov2;
47 : GEN z, t;
48 4489 : k %= 24;
49 4489 : if (!k) return gen_1;
50 4482 : if (k == 12) return gen_m1;
51 4482 : if (k >12) { s = 1; k = 24 - k; } else s = 0; /* x -> 2pi - x */
52 4482 : if (k > 6) { sPi = 1; k = 12 - k; } else sPi = 0; /* x -> pi - x */
53 4482 : if (k > 3) { sPiov2 = 1; k = 6 - k; } else sPiov2 = 0; /* x -> pi/2 - x */
54 4482 : z = cgetg(3, t_COMPLEX);
55 4482 : switch(k)
56 : {
57 1613 : case 0: gel(z,1) = icopy(gen_1); gel(z,2) = gen_0; break;
58 777 : case 1: t = gmul2n(addrs(sqrt32(prec), 1), -1);
59 777 : gel(z,1) = sqrtr(t);
60 777 : gel(z,2) = gmul2n(invr(gel(z,1)), -2); break;
61 :
62 1302 : case 2: gel(z,1) = sqrt32(prec);
63 1302 : gel(z,2) = real2n(-1, prec); break;
64 :
65 790 : case 3: gel(z,1) = sqrtr_abs(real2n(-1,prec));
66 790 : gel(z,2) = rcopy(gel(z,1)); break;
67 : }
68 4482 : if (sPiov2) swap(gel(z,1), gel(z,2));
69 4482 : if (sPi) togglesign(gel(z,1));
70 4482 : if (s) togglesign(gel(z,2));
71 4482 : return z;
72 : }
73 : /* z a t_FRAC */
74 : static GEN
75 15737 : expIPifrac(GEN z, long prec)
76 : {
77 15737 : GEN n = gel(z,1), d = gel(z,2);
78 15737 : ulong r, q = uabsdivui_rem(12, d, &r);
79 15737 : if (!r) return e12(q * umodiu(n, 24), prec); /* d | 12 */
80 11325 : n = centermodii(n, shifti(d,1), d);
81 11325 : return expIr(divri(mulri(mppi(prec), n), d));
82 : }
83 : /* exp(i Pi z), z a t_INT or t_FRAC */
84 : GEN
85 2170 : expIPiQ(GEN z, long prec)
86 : {
87 2170 : if (typ(z) == t_INT) return mpodd(z)? gen_m1: gen_1;
88 1974 : return expIPifrac(z, prec);
89 : }
90 :
91 : /* convert power of 2 t_REAL to rational */
92 : static GEN
93 9732 : real2nQ(GEN x)
94 : {
95 9732 : long e = expo(x);
96 : GEN z;
97 9732 : if (e < 0)
98 3928 : z = mkfrac(signe(x) < 0? gen_m1: gen_1, int2n(-e));
99 : else
100 : {
101 5804 : z = int2n(e);
102 5804 : if (signe(x) < 0) togglesign_safe(&z);
103 : }
104 9732 : return z;
105 : }
106 : /* x a real number */
107 : GEN
108 184612 : expIPiR(GEN x, long prec)
109 : {
110 184612 : if (typ(x) == t_REAL && absrnz_equal2n(x)) x = real2nQ(x);
111 184612 : switch(typ(x))
112 : {
113 3231 : case t_INT: return mpodd(x)? gen_m1: gen_1;
114 1763 : case t_FRAC: return expIPifrac(x, prec);
115 : }
116 179618 : return expIr(mulrr(mppi(prec), x));
117 : }
118 : /* z a t_COMPLEX */
119 : GEN
120 358943 : expIPiC(GEN z, long prec)
121 : {
122 : GEN pi, r, x, y;
123 358943 : if (typ(z) != t_COMPLEX) return expIPiR(z, prec);
124 175375 : x = gel(z,1);
125 175375 : y = gel(z,2); if (gequal0(y)) return expIPiR(x, prec);
126 174331 : pi = mppi(prec);
127 174331 : r = gmul(pi, y); togglesign(r); r = mpexp(r); /* exp(-pi y) */
128 174331 : if (typ(x) == t_REAL && absrnz_equal2n(x)) x = real2nQ(x);
129 174331 : switch(typ(x))
130 : {
131 31693 : case t_INT: if (mpodd(x)) togglesign(r);
132 31693 : return r;
133 12000 : case t_FRAC: return gmul(r, expIPifrac(x, prec));
134 : }
135 130638 : return gmul(r, expIr(mulrr(pi, x)));
136 : }
137 : /* exp(I x y), more efficient for x in R, y pure imaginary */
138 : GEN
139 596273 : expIxy(GEN x, GEN y, long prec) { return gexp(gmul(x, mulcxI(y)), prec); }
140 :
141 : /********************************************************************/
142 : /** PERIODS **/
143 : /********************************************************************/
144 : /* The complex AGM, periods of elliptic curves over C and complex elliptic
145 : * logarithms; John E. Cremona, Thotsaphon Thongjunthug, arXiv:1011.0914 */
146 :
147 : static GEN
148 52472 : ellomega_agm(GEN a, GEN b, GEN c, long prec)
149 : {
150 52472 : GEN pi = mppi(prec), mIpi = mkcomplex(gen_0, negr(pi));
151 52472 : GEN Mac = agm(a,c,prec), Mbc = agm(b,c,prec);
152 52472 : retmkvec2(gdiv(pi, Mac), gdiv(mIpi, Mbc));
153 : }
154 :
155 : static GEN
156 42829 : ellomega_cx(GEN E, long prec)
157 : {
158 42829 : pari_sp av = avma;
159 42829 : GEN roots = ellR_roots(E, prec + EXTRAPREC64);
160 42829 : GEN d1=gel(roots,4), d2=gel(roots,5), d3=gel(roots,6);
161 42829 : GEN a = gsqrt(d3,prec), b = gsqrt(d1,prec), c = gsqrt(d2,prec);
162 42829 : return gc_upto(av, ellomega_agm(a,b,c,prec));
163 : }
164 :
165 : /* return [w1,w2] for E / R; w1 > 0 is real.
166 : * If e.disc > 0, w2 = -I r; else w2 = w1/2 - I r, for some real r > 0.
167 : * => tau = w1/w2 is in upper half plane */
168 : static GEN
169 52472 : doellR_omega(GEN E, long prec)
170 : {
171 52472 : pari_sp av = avma;
172 : GEN roots, d2, z, a, b, c;
173 52472 : if (ellR_get_sign(E) >= 0) return ellomega_cx(E,prec);
174 9643 : roots = ellR_roots(E,prec + EXTRAPREC64);
175 9643 : d2 = gel(roots,5);
176 9643 : z = gsqrt(d2,prec); /* imag(e1-e3) > 0, so that b > 0*/
177 9643 : a = gel(z,1); /* >= 0 */
178 9643 : b = gel(z,2);
179 9643 : c = gabs(z, prec);
180 9643 : z = ellomega_agm(a,b,c,prec);
181 9643 : return gc_GEN(av, mkvec2(gel(z,1),gmul2n(gadd(gel(z,1),gel(z,2)),-1)));
182 : }
183 : static GEN
184 70 : doellR_eta(GEN E, long prec)
185 70 : { GEN w = ellR_omega(E, prec + EXTRAPREC64); return elleta(w, prec); }
186 :
187 : GEN
188 92820 : ellR_omega(GEN E, long prec)
189 92820 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_PERIODS, &doellR_omega, prec); }
190 : GEN
191 84 : ellR_eta(GEN E, long prec)
192 84 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_ETA, &doellR_eta, prec); }
193 :
194 : /* P = [x,0] is 2-torsion on y^2 = g(x). Return w1/2, (w1+w2)/2, or w2/2
195 : * depending on whether x is closest to e1,e2, or e3, the 3 complex root of g */
196 : static GEN
197 14 : zell_closest_0(GEN om, GEN x, GEN ro)
198 : {
199 14 : GEN e1 = gel(ro,1), e2 = gel(ro,2), e3 = gel(ro,3);
200 14 : GEN d1 = gnorm(gsub(x,e1));
201 14 : GEN d2 = gnorm(gsub(x,e2));
202 14 : GEN d3 = gnorm(gsub(x,e3));
203 14 : GEN z = gel(om,2);
204 14 : if (gcmp(d1, d2) <= 0)
205 0 : { if (gcmp(d1, d3) <= 0) z = gel(om,1); }
206 : else
207 14 : { if (gcmp(d2, d3)<=0) z = gadd(gel(om,1),gel(om,2)); }
208 14 : return gmul2n(z, -1);
209 : }
210 :
211 : static GEN
212 28735 : zellcx(GEN E, GEN P, long prec)
213 : {
214 28735 : GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPREC64);
215 28735 : GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
216 28735 : if (gequal0(y0))
217 0 : return zell_closest_0(ellomega_cx(E,prec),x0,R);
218 : else
219 : {
220 28735 : GEN e2 = gel(R,2), e3 = gel(R,3), d2 = gel(R,5), d3 = gel(R,6);
221 28735 : GEN a = gsqrt(d2,prec), b = gsqrt(d3,prec);
222 28735 : GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
223 28735 : GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
224 28735 : GEN ar = real_i(a), br = real_i(b), ai = imag_i(a), bi = imag_i(b);
225 : /* |a+b| < |a-b| */
226 28735 : if (gcmp(gmul(ar,br), gneg(gmul(ai,bi))) < 0) b = gneg(b);
227 28735 : return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
228 : }
229 : }
230 :
231 : /* Assume E/R, disc E < 0, and P \in E(R) ==> z \in R */
232 : static GEN
233 0 : zellrealneg(GEN E, GEN P, long prec)
234 : {
235 0 : GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
236 0 : if (gequal0(y0)) return gmul2n(gel(ellR_omega(E,prec),1),-1);
237 : else
238 : {
239 0 : GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPREC64);
240 0 : GEN d2 = gel(R,5), e3 = gel(R,3);
241 0 : GEN a = gsqrt(d2,prec);
242 0 : GEN z = gsqrt(gsub(x0,e3), prec);
243 0 : GEN ar = real_i(a), zr = real_i(z), ai = imag_i(a), zi = imag_i(z);
244 0 : GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gnorm(z),1));
245 0 : GEN r2 = ginv(gsqrt(gaddsg(1,gdiv(gmul(ai,zi),gmul(ar,zr))),prec));
246 0 : return zellagmcx(ar,gabs(a,prec),r2,gmul(t,r2),prec);
247 : }
248 : }
249 :
250 : /* Assume E/R, disc E > 0, and P \in E(R) */
251 : static GEN
252 28 : zellrealpos(GEN E, GEN P, long prec)
253 : {
254 28 : GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPREC64);
255 28 : GEN d2,d3,e1,e2,e3, a,b, x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
256 28 : if (gequal0(y0)) return zell_closest_0(ellR_omega(E,prec), x0,R);
257 14 : e1 = gel(R,1);
258 14 : e2 = gel(R,2);
259 14 : e3 = gel(R,3);
260 14 : d2 = gel(R,5);
261 14 : d3 = gel(R,6);
262 14 : a = gsqrt(d2,prec);
263 14 : b = gsqrt(d3,prec);
264 14 : if (gcmp(x0,e1)>0) {
265 7 : GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
266 7 : GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
267 7 : return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
268 : } else {
269 7 : GEN om = ellR_omega(E,prec);
270 7 : GEN r = gdiv(a,gsqrt(gsub(e1,x0),prec));
271 7 : GEN t = gdiv(gmul(r,y0),gmul2n(gsub(x0,e3),1));
272 7 : return gsub(zellagmcx(a,b,r,t,prec),gmul2n(gel(om,2),-1));
273 : }
274 : }
275 :
276 : static void
277 21 : ellQp_P2t_err(GEN E, GEN z)
278 : {
279 21 : if (typ(ellQp_u(E,1)) == t_POLMOD)
280 21 : pari_err_IMPL("ellpointtoz when u not in Qp");
281 0 : pari_err_DOMAIN("ellpointtoz", "point", "not on", strtoGENstr("E"),z);
282 0 : }
283 : static GEN
284 182 : get_r0(GEN E, long prec)
285 : {
286 182 : GEN b2 = ell_get_b2(E), e1 = ellQp_root(E, prec);
287 182 : return gadd(e1,gmul2n(b2,-2));
288 : }
289 : static GEN
290 133 : ellQp_P2t(GEN E, GEN P, long prec)
291 : {
292 133 : pari_sp av = avma;
293 : GEN a, b, ab, c0, r0, ar, r, x, delta, x1, y1, t, u, q;
294 : long vq, vt, Q, R;
295 133 : if (ell_is_inf(P)) return gen_1;
296 126 : ab = ellQp_ab(E, prec); a = gel(ab,1); b = gel(ab,2);
297 126 : u = ellQp_u(E, prec);
298 126 : q = ellQp_q(E, prec);
299 126 : x = gel(P,1);
300 126 : r0 = get_r0(E, prec);
301 126 : c0 = gadd(x, gmul2n(r0,-1));
302 126 : if (typ(c0) != t_PADIC || !is_scalar_t(typ(gel(P,2))))
303 7 : pari_err_TYPE("ellpointtoz",P);
304 119 : r = gsub(a,b);
305 119 : ar = gmul(a, r);
306 119 : if (gequal0(c0))
307 : {
308 7 : x1 = Qp_sqrt(gneg(ar));
309 7 : if (!x1) ellQp_P2t_err(E,P);
310 : }
311 : else
312 : {
313 112 : delta = gdiv(ar, gsqr(c0));
314 112 : t = Qp_sqrt(gsubsg(1,gmul2n(delta,2)));
315 112 : if (!t) ellQp_P2t_err(E,P);
316 105 : x1 = gmul(gmul2n(c0,-1), gaddsg(1,t));
317 : }
318 112 : y1 = gsubsg(1, gdiv(ar, gsqr(x1)));
319 112 : if (gequal0(y1))
320 : {
321 14 : y1 = Qp_sqrt(gmul(x1, gmul(gadd(x1, a), gadd(x1, r))));
322 14 : if (!y1) ellQp_P2t_err(E,P);
323 : }
324 : else
325 98 : y1 = gdiv(gmul2n(ec_dmFdy_evalQ(E,P), -1), y1);
326 98 : Qp_descending_Landen(ellQp_AGM(E,prec), &x1,&y1);
327 :
328 98 : t = gmul(u, gmul2n(y1,1)); /* 2u y_oo */
329 98 : t = gdiv(gsub(t, x1), gadd(t, x1));
330 : /* Reduce mod q^Z: we want 0 <= v(t) < v(q) */
331 98 : if (typ(t) == t_PADIC)
332 56 : vt = valp(t);
333 : else
334 42 : vt = valp(gnorm(t)) / 2; /* v(t) = v(Nt) / (e*f) */
335 98 : vq = valp(q); /* > 0 */
336 98 : Q = vt / vq; R = vt % vq; if (R < 0) Q--;
337 98 : if (Q) t = gdiv(t, gpowgs(q,Q));
338 98 : if (padicprec_relative(t) > prec) t = gprec(t, prec);
339 98 : return gc_upto(av, t);
340 : }
341 :
342 : static GEN
343 56 : ellQp_t2P(GEN E, GEN t, long prec)
344 : {
345 56 : pari_sp av = avma;
346 : GEN AB, A, R, x0,x1, y0,y1, u, u2, r0, s0, ar;
347 : long v;
348 56 : if (gequal1(t)) return ellinf();
349 :
350 56 : AB = ellQp_AGM(E,prec); A = gel(AB,1); R = gel(AB,3); v = itos(gel(AB,4));
351 56 : u = ellQp_u(E,prec);
352 56 : u2= ellQp_u2(E,prec);
353 56 : x1 = gdiv(t, gmul(u2, gsqr(gsubsg(1,t))));
354 56 : y1 = gdiv(gmul(x1,gaddsg(1,t)), gmul(gmul2n(u,1),gsubsg(1,t)));
355 56 : Qp_ascending_Landen(AB, &x1,&y1);
356 56 : r0 = get_r0(E, prec);
357 :
358 56 : ar = gmul(gel(A,1), gel(R,1)); setvalp(ar, valp(ar)+v);
359 56 : x0 = gsub(gadd(x1, gdiv(ar, x1)), gmul2n(r0,-1));
360 56 : s0 = gmul2n(ec_h_evalx(E, x0), -1);
361 56 : y0 = gsub(gmul(y1, gsubsg(1, gdiv(ar,gsqr(x1)))), s0);
362 56 : return gc_GEN(av, mkvec2(x0,y0));
363 : }
364 :
365 : static GEN
366 28763 : zell_i(GEN e, GEN z, long prec)
367 : {
368 : GEN t;
369 : long s;
370 28763 : (void)ellR_omega(e, prec); /* type checking */
371 28763 : if (ell_is_inf(z)) return gen_0;
372 28763 : s = ellR_get_sign(e);
373 28763 : if (s && typ(gel(z,1))!=t_COMPLEX && typ(gel(z,2))!=t_COMPLEX)
374 28 : t = (s < 0)? zellrealneg(e,z,prec): zellrealpos(e,z,prec);
375 : else
376 28735 : t = zellcx(e,z,prec);
377 28763 : return t;
378 : }
379 :
380 : GEN
381 28903 : zell(GEN E, GEN P, long prec)
382 : {
383 28903 : pari_sp av = avma;
384 28903 : checkell(E);
385 28903 : if (!checkellpt_i(P)) pari_err_TYPE("ellpointtoz", P);
386 28889 : switch(ell_get_type(E))
387 : {
388 133 : case t_ELL_Qp:
389 133 : prec = minss(ellQp_get_prec(E), padicprec_relative(P));
390 133 : return ellQp_P2t(E, P, prec);
391 7 : case t_ELL_NF:
392 : {
393 7 : GEN Ee = ellnfembed(E, prec), Pe = ellpointnfembed(E, P, prec);
394 7 : long i, l = lg(Pe);
395 21 : for (i = 1; i < l; i++) gel(Pe,i) = zell_i(gel(Ee,i), gel(Pe,i), prec);
396 7 : ellnfembed_free(Ee); return gc_GEN(av, Pe);
397 : }
398 14 : case t_ELL_Q: break;
399 28735 : case t_ELL_Rg: break;
400 0 : default: pari_err_TYPE("ellpointtoz", E);
401 : }
402 28749 : return gc_upto(av, zell_i(E, P, prec));
403 : }
404 :
405 : /********************************************************************/
406 : /** COMPLEX ELLIPTIC FUNCTIONS **/
407 : /********************************************************************/
408 :
409 : enum period_type { t_PER_W, t_PER_WETA, t_PER_ELL };
410 : /* normalization / argument reduction for elliptic functions */
411 : typedef struct {
412 : enum period_type type;
413 : GEN in; /* original input */
414 : GEN w1,w2,tau; /* original basis for L = <w1,w2> = w2 <1,tau> */
415 : GEN W1,W2,Tau; /* new basis for L = <W1,W2> = W2 <1,tau> */
416 : GEN a,b,c,d; /* t_INT; tau in F = h/Sl2, tau = g.t, g=[a,b;c,d] in SL(2,Z) */
417 : GEN z,Z; /* z/w2 defined mod <1,tau>, Z = z/w2 + x*tau+y reduced mod <1,tau>*/
418 : GEN x,y; /* t_INT */
419 : int swap; /* 1 if we swapped w1 and w2 */
420 : int some_q_is_real; /* exp(2iPi g.tau) for some g \in SL(2,Z) */
421 : int some_z_is_real; /* z + xw1 + yw2 is real for some x,y \in Z */
422 : int some_z_is_pure_imag; /* z + xw1 + yw2 in i*R */
423 : int q_is_real; /* exp(2iPi tau) \in R */
424 : int abs_u_is_1; /* |exp(2iPi Z)| = 1 */
425 : long prec; /* precision(Z) */
426 : long prec0; /* required precision for result */
427 : } ellred_t;
428 :
429 : /* compute g in SL_2(Z), g.t is in the usual
430 : fundamental domain. Internal function no check, no garbage. */
431 : static void
432 73395 : set_gamma(GEN *pt, GEN *pa, GEN *pb, GEN *pc, GEN *pd)
433 : {
434 73395 : GEN a, b, c, d, t, t0 = *pt, run = dbltor(1. - 1e-8);
435 73395 : long e = gexpo(gel(t0,2));
436 73395 : if (e < 0) t0 = gprec_wensure(t0, precision(t0)+nbits2extraprec(-e));
437 73395 : t = t0;
438 73395 : a = d = gen_1;
439 73395 : b = c = gen_0;
440 : for(;;)
441 37506 : {
442 110901 : GEN m, n = ground(gel(t,1));
443 110901 : if (signe(n))
444 : { /* apply T^n */
445 47754 : t = gsub(t,n);
446 47754 : a = subii(a, mulii(n,c));
447 47754 : b = subii(b, mulii(n,d));
448 : }
449 110901 : m = cxnorm(t); if (gcmp(m,run) > 0) break;
450 37506 : t = gneg_i(gdiv(conj_i(t), m)); /* apply S */
451 37506 : togglesign_safe(&c); swap(a,c);
452 37506 : togglesign_safe(&d); swap(b,d);
453 : }
454 73395 : if (e < 0 && (signe(b) || signe(c))) *pt = t0;
455 73395 : *pa = a; *pb = b; *pc = c; *pd = d;
456 73395 : }
457 : /* Im z > 0. Return U.z in PSl2(Z)'s standard fundamental domain.
458 : * Set *pU to U. */
459 : GEN
460 336 : cxredsl2_i(GEN z, GEN *pU, GEN *czd)
461 : {
462 : GEN a,b,c,d;
463 336 : set_gamma(&z, &a, &b, &c, &d);
464 336 : *pU = mkmat2(mkcol2(a,c), mkcol2(b,d));
465 336 : *czd = gadd(gmul(c,z), d);
466 336 : return gdiv(gadd(gmul(a,z), b), *czd);
467 : }
468 : GEN
469 294 : cxredsl2(GEN t, GEN *pU)
470 : {
471 294 : pari_sp av = avma;
472 : GEN czd;
473 294 : t = cxredsl2_i(t, pU, &czd);
474 294 : return gc_all(av, 2, &t, pU);
475 : }
476 :
477 : /* swap w1, w2 so that Im(t := w1/w2) > 0. Set tau = representative of t in
478 : * the standard fundamental domain, and g in Sl_2, such that tau = g.t */
479 : static void
480 73059 : red_modSL2(ellred_t *T, long prec)
481 : {
482 : long s, p;
483 73059 : T->tau = gdiv(T->w1,T->w2);
484 73059 : if (isintzero(real_i(T->tau))) T->some_q_is_real = 1;
485 73059 : s = gsigne(imag_i(T->tau));
486 73059 : if (!s) pari_err_DOMAIN("elliptic function", "det(w1,w2)", "=", gen_0,
487 : mkvec2(T->w1,T->w2));
488 73059 : T->swap = (s < 0);
489 73059 : if (T->swap) { swap(T->w1, T->w2); T->tau = ginv(T->tau); }
490 73059 : p = precision(T->tau); T->prec0 = p? p: prec;
491 73059 : set_gamma(&T->tau, &T->a, &T->b, &T->c, &T->d);
492 : /* update lattice */
493 73059 : p = precision(T->tau);
494 73059 : if (p)
495 : {
496 72555 : T->w1 = gprec_wensure(T->w1, p);
497 72555 : T->w2 = gprec_wensure(T->w2, p);
498 : }
499 73059 : T->W1 = gadd(gmul(T->a,T->w1), gmul(T->b,T->w2));
500 73059 : T->W2 = gadd(gmul(T->c,T->w1), gmul(T->d,T->w2));
501 73059 : T->Tau = gdiv(T->W1, T->W2);
502 73059 : if (isintzero(real_i(T->Tau))) T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
503 73059 : p = precision(T->Tau); T->prec = p? p: prec;
504 73059 : }
505 : /* is z real or pure imaginary ? */
506 : static void
507 79030 : check_complex(GEN z, int *real, int *imag)
508 : {
509 79030 : if (typ(z) != t_COMPLEX) { *real = 1; *imag = 0; }
510 65191 : else if (isintzero(gel(z,1))) { *real = 0; *imag = 1; }
511 59290 : else *real = *imag = 0;
512 79030 : }
513 : static void
514 39571 : reduce_z(GEN z, ellred_t *T)
515 : {
516 : GEN x, Z;
517 : long p, e;
518 39571 : switch(typ(z))
519 : {
520 39571 : case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_COMPLEX: break;
521 0 : case t_QUAD:
522 0 : z = isexactzero(gel(z,2))? gel(z,1): quadtofp(z, T->prec);
523 0 : break;
524 0 : default: pari_err_TYPE("reduction mod 2-dim lattice (reduce_z)", z);
525 : }
526 39571 : Z = gdiv(z, T->W2);
527 39571 : T->z = z;
528 39571 : x = gdiv(imag_i(Z), imag_i(T->Tau));
529 39571 : T->x = grndtoi(x, &e); /* |Im(Z - x*Tau)| <= Im(Tau)/2 */
530 : /* Avoid Im(Z) << 0; take 0 <= Im(Z - x*Tau) < Im(Tau) instead.
531 : * Leave round when Im(Z - x*Tau) ~ 0 to allow detecting Z in <1,Tau>
532 : * at the end */
533 39571 : if (e > -10) T->x = gfloor(x);
534 39571 : if (signe(T->x)) Z = gsub(Z, gmul(T->x,T->Tau));
535 39571 : T->y = ground(real_i(Z));/* |Re(Z - y)| <= 1/2 */
536 39571 : if (signe(T->y)) Z = gsub(Z, T->y);
537 39571 : T->abs_u_is_1 = (typ(Z) != t_COMPLEX);
538 : /* Z = - y - x tau + z/W2, x,y integers */
539 39571 : check_complex(z, &(T->some_z_is_real), &(T->some_z_is_pure_imag));
540 39571 : if (!T->some_z_is_real && !T->some_z_is_pure_imag)
541 : {
542 : int W2real, W2imag;
543 29638 : check_complex(T->W2,&W2real,&W2imag);
544 29638 : if (W2real)
545 3969 : check_complex(Z, &(T->some_z_is_real), &(T->some_z_is_pure_imag));
546 25669 : else if (W2imag)
547 5782 : check_complex(Z, &(T->some_z_is_pure_imag), &(T->some_z_is_real));
548 : }
549 39571 : p = precision(Z);
550 39571 : if (gequal0(Z) || (p && gexpo(Z) < 5 - p)) Z = NULL; /*z in L*/
551 39571 : if (p && p < T->prec) T->prec = p;
552 39571 : T->Z = Z;
553 39571 : }
554 : /* return x.eta1 + y.eta2 */
555 : static GEN
556 75201 : _period(ellred_t *T, GEN eta)
557 : {
558 75201 : GEN y1 = NULL, y2 = NULL;
559 75201 : if (signe(T->x)) y1 = gmul(T->x, gel(eta,1));
560 75201 : if (signe(T->y)) y2 = gmul(T->y, gel(eta,2));
561 75201 : if (!y1) return y2? y2: gen_0;
562 28181 : return y2? gadd(y1, y2): y1;
563 : }
564 : /* e is either
565 : * - [w1,w2]
566 : * - [[w1,w2],[eta1,eta2]]
567 : * - an ellinit structure */
568 : static void
569 73059 : compute_periods(ellred_t *T, GEN z, long prec)
570 : {
571 : GEN w, e;
572 73059 : T->q_is_real = 0;
573 73059 : T->some_q_is_real = 0;
574 73059 : switch(T->type)
575 : {
576 30688 : case t_PER_ELL:
577 : {
578 30688 : long pr, p = prec;
579 30688 : if (z && (pr = precision(z))) p = pr;
580 30688 : e = T->in;
581 30688 : w = ellR_omega(e, p);
582 30688 : T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
583 30688 : break;
584 : }
585 13489 : case t_PER_W:
586 13489 : w = T->in; break;
587 28882 : default: /*t_PER_WETA*/
588 28882 : w = gel(T->in,1); break;
589 : }
590 73059 : T->w1 = gel(w,1);
591 73059 : T->w2 = gel(w,2);
592 73059 : red_modSL2(T, prec);
593 73059 : if (z) reduce_z(z, T);
594 73059 : }
595 : static int
596 73066 : check_periods(GEN e, ellred_t *T)
597 : {
598 : GEN w1;
599 73066 : if (typ(e) != t_VEC) return 0;
600 73066 : T->in = e;
601 73066 : switch(lg(e))
602 : {
603 30695 : case 17:
604 30695 : T->type = t_PER_ELL;
605 30695 : break;
606 42371 : case 3:
607 42371 : w1 = gel(e,1);
608 42371 : if (typ(w1) != t_VEC)
609 13489 : T->type = t_PER_W;
610 : else
611 : {
612 28882 : if (lg(w1) != 3) return 0;
613 28882 : T->type = t_PER_WETA;
614 : }
615 42371 : break;
616 0 : default: return 0;
617 : }
618 73066 : return 1;
619 : }
620 : static int
621 72982 : get_periods(GEN e, GEN z, ellred_t *T, long prec)
622 : {
623 72982 : if (!check_periods(e, T)) return 0;
624 72982 : compute_periods(T, z, prec); return 1;
625 : }
626 :
627 : /* 2iPi/x, more efficient when x pure imaginary (rectangular lattice) */
628 : static GEN
629 70952 : PiI2div(GEN x, long prec) { return gdiv(Pi2n(1, prec), mulcxmI(x)); }
630 : /* (2iPi/W2)^k E_k(W1/W2), iW = 2iPi/W2 */
631 : static GEN
632 70847 : _elleisnum(ellred_t *T, GEN iW, long k)
633 70847 : { return cxtoreal( gmul(cxEk(T->Tau, k, T->prec), gpowgs(iW, k)) ); }
634 :
635 : /* Return (2iPi)^k E_k(L) = (2iPi/w2)^k E_k(tau), with L = <w1,w2>, k > 0 even
636 : * E_k(tau) = 1 + 2/zeta(1-k) * sum(n>=1, n^(k-1) q^n/(1-q^n)) */
637 : GEN
638 4543 : elleisnum(GEN om, long k, long prec)
639 : {
640 4543 : pari_sp av = avma;
641 : GEN y, iW;
642 : ellred_t T;
643 :
644 4543 : if (k<=0) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k", "<=", gen_0, stoi(k));
645 4543 : if (k&1) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k % 2", "!=", gen_0, stoi(k));
646 4543 : if (!get_periods(om, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("elleisnum",om);
647 4543 : iW = PiI2div(T.W2, T.prec); y = _elleisnum(&T, iW, k);
648 4543 : if (k==2 && signe(T.c))
649 4025 : y = gsub(y, gmul(mului(12, T.c), gdiv(iW, T.w2)));
650 4543 : return gc_GEN(av, gprec_wtrunc(y, T.prec0));
651 : }
652 :
653 : /* quasi-periods eta1, eta2 attached to [W1,W2] = W2 [Tau, 1] */
654 : static GEN
655 66304 : elleta_W(ellred_t *T)
656 : {
657 66304 : GEN y1, y2, iW = PiI2div(T->W2, T->prec);
658 66304 : GEN e = gdivgs(_elleisnum(T, iW, 2), -12); /* E2(Tau) pi^2 / (3 W2^2) */
659 66304 : y2 = gmul(T->W2, e);
660 66304 : y1 = gsub(gmul(T->W1, e), iW);
661 66304 : return mkvec2(y1, y2); /* y2 Tau - y1 = 2i pi/W2 => y2 W1 - y1 W2 = 2i pi */
662 : }
663 :
664 : /* quasi-periods eta1, eta2 attached to [w1, w2] = w2 [tau, 1] */
665 : static GEN
666 105 : elleta_w(ellred_t *T)
667 : {
668 105 : GEN y1, y2, E2, iw = PiI2div(T->w2, T->prec), pi = mppi(T->prec);
669 :
670 105 : E2 = cxEk(T->Tau, 2, T->prec); /* E_2(Tau) */
671 105 : if (signe(T->c))
672 : {
673 49 : GEN u = gdiv(T->w2, T->W2); /* E2(tau) = u^2 E2(Tau) + 6iuc/pi */
674 49 : E2 = gadd(gmul(gsqr(u), E2), mulcxI(gdiv(gmul(mului(6,T->c), u), pi)));
675 : }
676 105 : y2 = gdiv(gmul(E2, sqrr(pi)), gmulsg(3, T->w2)); /* E2(tau) pi^2 / (3 w2) */
677 105 : if (T->swap)
678 : {
679 7 : y1 = y2;
680 7 : y2 = gadd(gmul(T->tau,y1), iw);
681 : }
682 : else
683 98 : y1 = gsub(gmul(T->tau,y2), iw);
684 105 : if (is_real_t(typ(T->w1))) y1 = real_i(y1);
685 105 : return mkvec2(y1, y2);
686 : }
687 : /* compute eta1, eta2 */
688 : GEN
689 84 : elleta(GEN om, long prec)
690 : {
691 84 : pari_sp av = avma;
692 : ellred_t T;
693 :
694 84 : if (!check_periods(om, &T))
695 : {
696 0 : pari_err_TYPE("elleta",om);
697 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
698 : }
699 84 : if (T.type == t_PER_ELL) return ellR_eta(om, prec);
700 77 : compute_periods(&T, NULL, prec);
701 77 : return gc_GEN(av, elleta_w(&T));
702 : }
703 : GEN
704 28749 : ellperiods(GEN w, long flag, long prec)
705 : {
706 28749 : pari_sp av = avma;
707 : ellred_t T;
708 : GEN W;
709 28749 : if (!get_periods(w, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellperiods",w);
710 28749 : W = mkvec2(T.W1, T.W2);
711 28749 : switch(flag)
712 : {
713 28735 : case 1: W = mkvec2(W, elleta_W(&T)); /* fall through */
714 28749 : case 0: break;
715 0 : default: pari_err_FLAG("ellperiods");
716 : }
717 28749 : return gc_GEN(av, W);
718 : }
719 :
720 : /********************************************************************/
721 : /** Jacobi sine theta **/
722 : /********************************************************************/
723 :
724 : /* check |q| < 1 */
725 : static GEN
726 21 : check_unit_disc(const char *fun, GEN q, long prec)
727 : {
728 21 : GEN Q = gtofp(q, prec), Qlow;
729 21 : Qlow = (prec > LOWDEFAULTPREC)? gtofp(Q,LOWDEFAULTPREC): Q;
730 21 : if (gcmp(gnorm(Qlow), gen_1) >= 0)
731 0 : pari_err_DOMAIN(fun, "abs(q)", ">=", gen_1, q);
732 21 : return Q;
733 : }
734 :
735 : GEN
736 7 : thetanullk(GEN q, long k, long prec)
737 : {
738 : long l, n;
739 7 : pari_sp av = avma;
740 : GEN p1, ps, qn, y, ps2;
741 :
742 7 : if (k < 0)
743 0 : pari_err_DOMAIN("thetanullk", "k", "<", gen_0, stoi(k));
744 7 : l = precision(q);
745 7 : if (l) prec = l;
746 7 : q = check_unit_disc("thetanullk", q, prec);
747 :
748 7 : if (!odd(k)) { set_avma(av); return gen_0; }
749 7 : qn = gen_1;
750 7 : ps2 = gsqr(q);
751 7 : ps = gneg_i(ps2);
752 7 : y = gen_1;
753 7 : for (n = 3;; n += 2)
754 280 : {
755 : GEN t;
756 287 : qn = gmul(qn,ps);
757 287 : ps = gmul(ps,ps2);
758 287 : t = gmul(qn, powuu(n, k)); y = gadd(y, t);
759 287 : if (gexpo(t) < -prec2nbits(prec)) break;
760 : }
761 7 : p1 = gmul2n(gsqrt(gsqrt(q,prec),prec),1);
762 7 : if (k&2) y = gneg_i(y);
763 7 : return gc_upto(av, gmul(p1, y));
764 : }
765 :
766 : /* q2 = q^2 */
767 : static GEN
768 70865 : vecthetanullk_loop(GEN q2, long k, long prec)
769 : {
770 70865 : GEN ps, qn = gen_1, y = const_vec(k, gen_1);
771 70865 : pari_sp av = avma;
772 70865 : const long bit = prec2nbits(prec);
773 : long i, n;
774 :
775 70865 : if (gexpo(q2) < -2*bit) return y;
776 70865 : ps = gneg_i(q2);
777 70865 : for (n = 3;; n += 2)
778 359793 : {
779 430658 : GEN t = NULL/*-Wall*/, P = utoipos(n), N2 = sqru(n);
780 430658 : qn = gmul(qn,ps);
781 430658 : ps = gmul(ps,q2);
782 1291974 : for (i = 1; i <= k; i++)
783 : {
784 861316 : t = gmul(qn, P); gel(y,i) = gadd(gel(y,i), t);
785 861316 : P = mulii(P, N2);
786 : }
787 430658 : if (gexpo(t) < -bit) return y;
788 359793 : if (gc_needed(av,2))
789 : {
790 0 : if (DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"vecthetanullk_loop, n = %ld",n);
791 0 : (void)gc_all(av, 3, &qn, &ps, &y);
792 : }
793 : }
794 : }
795 : /* [d^i theta/dz^i(q, 0), i = 1, 3, .., 2*k - 1] */
796 : GEN
797 0 : vecthetanullk(GEN q, long k, long prec)
798 : {
799 0 : long i, l = precision(q);
800 0 : pari_sp av = avma;
801 : GEN p1, y;
802 :
803 0 : if (l) prec = l;
804 0 : q = check_unit_disc("vecthetanullk", q, prec);
805 0 : y = vecthetanullk_loop(gsqr(q), k, prec);
806 0 : p1 = gmul2n(gsqrt(gsqrt(q,prec),prec),1);
807 0 : for (i = 2; i <= k; i += 2) gel(y,i) = gneg_i(gel(y,i));
808 0 : return gc_upto(av, gmul(p1, y));
809 : }
810 :
811 : /* [d^i theta/dz^i(q, 0), i = 1, 3, .., 2*k - 1], q = exp(2iPi tau) */
812 : GEN
813 0 : vecthetanullk_tau(GEN tau, long k, long prec)
814 : {
815 0 : long i, l = precision(tau);
816 0 : pari_sp av = avma;
817 : GEN q4, y;
818 :
819 0 : if (l) prec = l;
820 0 : if (typ(tau) != t_COMPLEX || gsigne(gel(tau,2)) <= 0)
821 0 : pari_err_DOMAIN("vecthetanullk_tau", "imag(tau)", "<=", gen_0, tau);
822 0 : q4 = expIPiC(gmul2n(tau,-1), prec); /* q^(1/4) */
823 0 : y = vecthetanullk_loop(gpowgs(q4,8), k, prec);
824 0 : for (i = 2; i <= k; i += 2) gel(y,i) = gneg_i(gel(y,i));
825 0 : return gc_upto(av, gmul(gmul2n(q4,1), y));
826 : }
827 :
828 : /********************************************************************/
829 : /* Riemann-Jacobi 1-variable theta functions, does not use AGM */
830 : /********************************************************************/
831 : /* theta(z,tau,0) should be identical to riemann_theta([z]~, Mat(tau))
832 : * from Jean Kieffer. */
833 :
834 : static long
835 112 : equali01(GEN x)
836 : {
837 112 : if (!signe(x)) return 0;
838 84 : if (!equali1(x)) pari_err_FLAG("theta");
839 84 : return 1;
840 : }
841 :
842 : static long
843 210 : thetaflag(GEN v)
844 : {
845 : long v1, v2;
846 210 : if (!v) return 0;
847 210 : switch(typ(v))
848 : {
849 154 : case t_INT:
850 154 : if (signe(v) < 0 || cmpis(v, 4) > 0) pari_err_FLAG("theta");
851 154 : return itou(v);
852 56 : case t_VEC:
853 56 : if (RgV_is_ZV(v) && lg(v) == 3) break;
854 0 : default: pari_err_FLAG("theta");
855 : }
856 56 : v1 = equali01(gel(v,1));
857 56 : v2 = equali01(gel(v,2)); return v1? (v2? -1: 2): (v2? 4: 3);
858 : }
859 :
860 : /* Automorphy factor for bringing tau towards standard fundamental domain
861 : * (we stop when im(tau) >= 1/2, no need to go all the way to sqrt(3)/2).
862 : * At z = 0 if NULL */
863 : static GEN
864 39984 : autojtau(GEN *pz, GEN *ptau, long *psumr, long *pct, long prec)
865 : {
866 39984 : GEN S = gen_1, z = *pz, tau = *ptau;
867 39984 : long ct = 0, sumr = 0;
868 39984 : if (z && gequal0(z)) z = NULL;
869 40187 : while (gexpo(imag_i(tau)) < -1)
870 : {
871 203 : GEN r = ground(real_i(tau)), taup;
872 203 : tau = gsub(tau, r); taup = gneg(ginv(tau));
873 203 : S = gdiv(S, gsqrt(mulcxmI(tau), prec));
874 203 : if (z)
875 : {
876 147 : S = gmul(S, expIPiC(gmul(taup, gsqr(z)), prec));
877 147 : z = gneg(gmul(z, taup));
878 : }
879 203 : ct++; tau = taup; sumr = (sumr + Mod8(r)) & 7;
880 : }
881 39984 : if (pct) *pct = ct;
882 39984 : *psumr = sumr; *pz = z; *ptau = tau; return S;
883 : }
884 :
885 : /* At 0 if z = NULL. Real(tau) = n is an integer; 4 | n if fl = 1 or 2 */
886 : static void
887 123508 : clearim(GEN *v, GEN z, long fl)
888 : {
889 123508 : if (!z || gequal0(imag_i(z)) || (fl != 1 && gequal0(real_i(z))))
890 81543 : *v = real_i(*v);
891 123508 : }
892 :
893 : static GEN
894 30912 : clearimall(GEN z, GEN n, GEN VS)
895 : {
896 30912 : long nmod4 = Mod4(n);
897 30912 : clearim(&gel(VS,1), z, 3);
898 30912 : clearim(&gel(VS,2), z, 4);
899 30912 : if (!nmod4)
900 : {
901 30842 : clearim(&gel(VS,3), z, 2);
902 30842 : clearim(&gel(VS,4), z, 1);
903 : }
904 30912 : return VS;
905 : }
906 :
907 : /* Implementation of all 4 theta functions */
908 :
909 : /* If z = NULL, we are at 0 */
910 : static long
911 40075 : thetaprec(GEN z, GEN tau, long prec)
912 : {
913 40075 : long l = precision(tau);
914 40075 : if (z)
915 : {
916 39774 : long n = precision(z);
917 39774 : if (n && n < l) l = n;
918 : }
919 40075 : return l? l: prec;
920 : }
921 :
922 : static GEN
923 39767 : redmod2Z(GEN z)
924 : {
925 39767 : GEN k = ground(gmul2n(real_i(z), -1));
926 39767 : if (typ(k) != t_INT) pari_err_TYPE("theta", z);
927 39760 : if (signe(k)) z = gsub(z, shifti(k, 1));
928 39760 : return z;
929 : }
930 :
931 : /* Return theta[0,0], theta[0,1], theta[1,0] and theta[1,1] at (z,tau).
932 : * If pT0 != NULL, assume z != NULL and set *pT0 to
933 : * theta[0,0], theta[0,1], theta[1,0] and theta[1,1]' at (0,tau).
934 : * Note that theta[1,1](0, tau) is identically 0, hence the derivative.
935 : * If z = NULL, return theta[1,1]'(0) */
936 : static GEN
937 39984 : thetaall(GEN z, GEN tau, GEN *pT0, long prec)
938 : {
939 : pari_sp av;
940 : GEN zold, tauold, k, u, un, q, q2, qd, qn;
941 : GEN S, Skeep, S00, S01, S10, S11, u2, ui2, uin;
942 39984 : GEN Z00 = gen_1, Z01 = gen_1, Z10 = gen_0, Z11 = gen_0;
943 39984 : long n, ct, eS, B, sumr, precold = prec;
944 39984 : int theta1p = !z;
945 :
946 39984 : if (z) z = redmod2Z(z);
947 39977 : tau = upper_to_cx(tau, &prec);
948 39977 : prec = thetaprec(z, tau, prec);
949 39977 : z = zold = z? gtofp(z, prec): NULL;
950 39977 : tau = tauold = gtofp(tau, prec);
951 39977 : S = autojtau(&z, &tau, &sumr, &ct, prec);
952 39977 : Skeep = S;
953 39977 : k = gen_0; S00 = S01 = gen_1; S10 = S11 = gen_0;
954 39977 : if (z)
955 : {
956 39648 : GEN y = imag_i(z);
957 39648 : if (!gequal0(y)) k = roundr(divrr(y, gneg(imag_i(tau))));
958 39648 : if (signe(k))
959 : {
960 18697 : GEN Sz = expIPiC(gadd(gmul(sqri(k), tau), gmul(shifti(k,1), z)), prec);
961 18697 : S = gmul(S, Sz);
962 18697 : z = gadd(z, gmul(tau, k));
963 : }
964 : }
965 39977 : if ((eS = gexpo(S)) > 0)
966 : {
967 13445 : prec = nbits2prec(eS + prec2nbits(prec));
968 13445 : if (z) z = gprec_w(z, prec);
969 13445 : tau = gprec_w(tau, prec);
970 : }
971 39977 : q = expIPiC(gmul2n(tau,-2), prec); q2 = gsqr(q); qn = gen_1;
972 39977 : if (!z) u = u2 = ui2 = un = uin = NULL; /* constant, equal to 1 */
973 : else
974 : {
975 39648 : u = expIPiC(z, prec); u2 = gsqr(u); ui2 = ginv(u2);
976 39648 : un = uin = gen_1;
977 : }
978 39977 : qd = q; B = prec2nbits(prec);
979 39977 : av = avma;
980 39977 : for (n = 1;; n++)
981 230114 : { /* qd = q^(4n-3), qn = q^(4(n-1)^2), un = u^(2n-2), uin = 1/un */
982 270091 : long e = 0, eqn, prec2;
983 : GEN tmp;
984 270091 : if (u) uin = gmul(uin, ui2);
985 270091 : qn = gmul(qn, qd); /* q^((2n-1)^2) */
986 270091 : tmp = u? gmul(qn, gadd(un, uin)): gmul2n(qn, 1);
987 270091 : S10 = gadd(S10, tmp);
988 270091 : if (pT0) Z10 = gadd(Z10, gmul2n(qn, 1));
989 270091 : if (z)
990 : {
991 268580 : tmp = gmul(qn, gsub(un, uin));
992 268580 : S11 = odd(n)? gsub(S11, tmp): gadd(S11, tmp);
993 268580 : e = maxss(0, gexpo(un)); un = gmul(un, u2);
994 268580 : e = maxss(e, gexpo(un));
995 : }
996 1511 : else if (theta1p) /* theta'[1,1] at 0 */
997 : {
998 1322 : tmp = gmulsg(2*n-1, tmp);
999 1322 : S11 = odd(n)? gsub(S11, tmp): gadd(S11, tmp);
1000 : }
1001 270091 : if (pT0)
1002 : {
1003 267708 : tmp = gmulsg(4*n-2, qn);
1004 267708 : Z11 = odd(n)? gsub(Z11, tmp): gadd(Z11, tmp);
1005 : }
1006 270091 : qd = gmul(qd, q2); qn = gmul(qn, qd); /* q^(4n^2) */
1007 270091 : tmp = u? gmul(qn, gadd(un, uin)): gmul2n(qn, 1);
1008 270091 : S00 = gadd(S00, tmp);
1009 270091 : S01 = odd(n)? gsub(S01, tmp): gadd(S01, tmp);
1010 270091 : if (pT0)
1011 : {
1012 267708 : tmp = gmul2n(qn, 1); Z00 = gadd(Z00, tmp);
1013 267708 : Z01 = odd(n)? gsub(Z01, tmp): gadd(Z01, tmp);
1014 : }
1015 270091 : eqn = gexpo(qn) + e; if (eqn < -B) break;
1016 230114 : qd = gmul(qd, q2);
1017 230114 : prec2 = minss(prec, nbits2prec(eqn + B + 64));
1018 230114 : qn = gprec_w(qn, prec2); qd = gprec_w(qd, prec2);
1019 230114 : if (u) { un = gprec_w(un, prec2); uin = gprec_w(uin, prec2); }
1020 230114 : if (gc_needed(av, 1))
1021 : {
1022 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"theta");
1023 0 : gc_all(av, pT0? 12: (u? 8: 6), &qd, &qn, &S00,&S01,&S10,&S11, &un,&uin,
1024 : &Z00,&Z01,&Z10,&Z11);
1025 : }
1026 : }
1027 39977 : if (u)
1028 : {
1029 39648 : S10 = gmul(u, S10);
1030 39648 : S11 = gmul(u, S11);
1031 : }
1032 : /* automorphic factor
1033 : * theta[1,1]: I^ct
1034 : * theta[1,0]: exp(-I*Pi/4*sumr)
1035 : * theta[0,1]: (-1)^k
1036 : * theta[1,1]: (-1)^k exp(-I*Pi/4*sumr) */
1037 39977 : S11 = z? mulcxpowIs(S11, ct + 3): gmul(mppi(prec), S11);
1038 39977 : if (pT0) Z11 = gmul(mppi(prec), Z11);
1039 39977 : if (ct&1L) { swap(S10, S01); if (pT0) swap(Z10, Z01); }
1040 39977 : if (sumr & 7)
1041 : {
1042 70 : GEN zet = e12(sumr * 3, prec); /* exp(I Pi sumr / 4) */
1043 70 : if (odd(sumr)) { swap(S01, S00); if (pT0) swap(Z01, Z00); }
1044 70 : S10 = gmul(S10, zet); S11 = gmul(S11, zet);
1045 70 : if (pT0) { Z10 = gmul(Z10, zet); Z11 = gmul(Z11, zet); }
1046 : }
1047 39977 : if (theta1p) S11 = gmul(gsqr(S), S11);
1048 39676 : else if (mpodd(k)) { S01 = gneg(S01); S11 = gneg(S11); }
1049 39977 : if (pT0) Z11 = gmul(gsqr(Skeep), Z11);
1050 39977 : S = gmul(S, mkvec4(S00, S01, S10, S11));
1051 39977 : if (precold < prec) S = gprec_wtrunc(S, precold);
1052 39977 : if (pT0)
1053 : {
1054 39501 : *pT0 = gmul(Skeep, mkvec4(Z00, Z01, Z10, Z11));
1055 39501 : if (precold < prec) *pT0 = gprec_wtrunc(*pT0, precold);
1056 : }
1057 39977 : if (isint(real_i(tauold), &k))
1058 : {
1059 15624 : S = clearimall(zold, k, S);
1060 15624 : if (pT0) *pT0 = clearimall(NULL, k, *pT0);
1061 : }
1062 39977 : return S;
1063 : }
1064 :
1065 : static GEN
1066 301 : thetanull_i(GEN tau, long prec) { return thetaall(NULL, tau, NULL, prec); }
1067 :
1068 : GEN
1069 182 : theta(GEN z, GEN tau, GEN flag, long prec)
1070 : {
1071 182 : pari_sp av = avma;
1072 : GEN T;
1073 182 : if (!flag)
1074 : { /* backward compatibility: sine theta */
1075 14 : GEN pi = mppi(prec), q = z; z = tau; /* input (q = exp(i pi tau), Pi*z) */
1076 14 : prec = thetaprec(z, tau, prec);
1077 14 : q = check_unit_disc("theta", q, prec);
1078 14 : z = gdiv(gtofp(z, prec), pi);
1079 14 : tau = gdiv(mulcxmI(glog(q, prec)), pi);
1080 14 : flag = gen_1;
1081 : }
1082 182 : T = thetaall(z, tau, NULL, prec);
1083 175 : switch (thetaflag(flag))
1084 : {
1085 28 : case -1: T = gel(T,4); break;
1086 21 : case 0: break;
1087 84 : case 1: T = gneg(gel(T,4)); break;
1088 14 : case 2: T = gel(T,3); break;
1089 14 : case 3: T = gel(T,1); break;
1090 14 : case 4: T = gel(T,2); break;
1091 0 : default: pari_err_FLAG("theta");
1092 : }
1093 175 : return gc_GEN(av, T);
1094 : }
1095 :
1096 : /* Same as 2*Pi*eta(tau,1)^3 = - thetanull_i(tau)[4], faster than both. */
1097 : static GEN
1098 7 : thetanull11(GEN tau, long prec)
1099 : {
1100 7 : GEN z = NULL, tauold, q, q8, qd, qn, S, S11;
1101 7 : long n, eS, B, sumr, precold = prec;
1102 :
1103 7 : tau = upper_to_cx(tau, &prec);
1104 7 : tau = tauold = gtofp(tau, prec);
1105 7 : S = autojtau(&z, &tau, &sumr, NULL, prec);
1106 7 : S11 = gen_1; ;
1107 7 : if ((eS = gexpo(S)) > 0)
1108 : {
1109 0 : prec += nbits2extraprec(eS);
1110 0 : tau = gprec_w(tau, prec);
1111 : }
1112 7 : q8 = expIPiC(gmul2n(tau,-2), prec); q = gpowgs(q8, 8);
1113 7 : qn = gen_1; qd = q; B = prec2nbits(prec);
1114 7 : for (n = 1;; n++)
1115 42 : { /* qd = q^n, qn = q^((n^2-n)/2) */
1116 : long eqn, prec2;
1117 : GEN tmp;
1118 49 : qn = gmul(qn, qd); tmp = gmulsg(2*n+1, qn); eqn = gexpo(tmp);
1119 49 : S11 = odd(n)? gsub(S11, tmp): gadd(S11, tmp);
1120 49 : if (eqn < -B) break;
1121 42 : qd = gmul(qd, q);
1122 42 : prec2 = minss(prec, nbits2prec(eqn + B + 32));
1123 42 : qn = gprec_w(qn, prec2); qd = gprec_w(qd, prec2);
1124 : }
1125 7 : if (precold < prec) prec = precold;
1126 7 : S11 = gmul3(S11, q8, e12(3*sumr, prec));
1127 7 : S11 = gmul3(Pi2n(1, prec), gpowgs(S, 3), S11);
1128 7 : if (isint(real_i(tauold), &q) && !Mod4(q)) clearim(&S11, z, 1);
1129 7 : return S11;
1130 : }
1131 :
1132 : GEN
1133 35 : thetanull(GEN tau, GEN flag, long prec)
1134 : {
1135 35 : pari_sp av = avma;
1136 35 : long fl = thetaflag(flag);
1137 : GEN T0;
1138 35 : if (fl == 1) T0 = thetanull11(tau, prec);
1139 35 : else if (fl == -1) T0 = gneg(thetanull11(tau, prec));
1140 : else
1141 : {
1142 28 : T0 = thetanull_i(tau, prec);
1143 28 : switch (fl)
1144 : {
1145 7 : case 0: break;
1146 7 : case 2: T0 = gel(T0,3); break;
1147 7 : case 3: T0 = gel(T0,1); break;
1148 7 : case 4: T0 = gel(T0,2); break;
1149 0 : default: pari_err_FLAG("thetanull");
1150 : }
1151 : }
1152 35 : return gc_GEN(av, T0);
1153 : }
1154 :
1155 : static GEN
1156 84 : autojtauprime(GEN *pz, GEN *ptau, GEN *pmat, long *psumr, long *pct, long prec)
1157 : {
1158 84 : GEN S = gen_1, z = *pz, tau = *ptau, M = matid(2);
1159 84 : long ct = 0, sumr = 0;
1160 84 : while (gexpo(imag_i(tau)) < -1)
1161 : {
1162 0 : GEN r = ground(real_i(tau)), taup;
1163 0 : tau = gsub(tau, r); taup = gneg(ginv(tau));
1164 0 : S = gdiv(S, gsqrt(mulcxmI(tau), prec));
1165 0 : S = gmul(S, expIPiC(gmul(taup, gsqr(z)), prec));
1166 0 : M = gmul(mkmat22(gen_1, gen_0, gmul(z, PiI2n(1, prec)), tau), M);
1167 0 : z = gneg(gmul(z, taup));
1168 0 : ct++; tau = taup; sumr = (sumr + Mod8(r)) & 7;
1169 : }
1170 84 : if (pct) *pct = ct;
1171 84 : *pmat = M; *psumr = sumr; *pz = z; *ptau = tau; return S;
1172 : }
1173 :
1174 : /* computes theta_{1,1} and theta'_{1,1} together */
1175 :
1176 : static GEN
1177 84 : theta11prime(GEN z, GEN tau, long prec)
1178 : {
1179 84 : pari_sp av = avma;
1180 : GEN zold, tauold, k, u, un, q, q2, qd, qn;
1181 : GEN S, S11, S11prime, S11all, u2, ui2, uin;
1182 : GEN y, mat;
1183 84 : long n, ct, eS, B, sumr, precold = prec;
1184 :
1185 84 : if (z) z = redmod2Z(z);
1186 84 : if (!z || gequal0(z)) pari_err(e_MISC, "z even integer in theta11prime");
1187 84 : tau = upper_to_cx(tau, &prec);
1188 84 : prec = thetaprec(z, tau, prec);
1189 84 : z = zold = z? gtofp(z, prec): NULL;
1190 84 : tau = tauold = gtofp(tau, prec);
1191 84 : S = autojtauprime(&z, &tau, &mat, &sumr, &ct, prec);
1192 84 : k = gen_0; S11 = gen_0; S11prime = gen_0;
1193 84 : y = imag_i(z);
1194 84 : if (!gequal0(y)) k = roundr(divrr(y, gneg(imag_i(tau))));
1195 84 : if (signe(k))
1196 : {
1197 28 : GEN Sz = expIPiC(gadd(gmul(sqri(k), tau), gmul(shifti(k,1), z)), prec);
1198 28 : mat = gmul(mkmat22(gen_1, gen_0, gneg(gmul(k, PiI2n(1, prec))), gen_1), mat);
1199 28 : S = gmul(S, Sz);
1200 28 : z = gadd(z, gmul(tau, k));
1201 : }
1202 84 : if ((eS = gexpo(S)) > 0)
1203 : {
1204 28 : prec = nbits2prec(eS + prec2nbits(prec));
1205 28 : z = gprec_w(z, prec);
1206 28 : tau = gprec_w(tau, prec);
1207 : }
1208 84 : q = expIPiC(gmul2n(tau,-2), prec); q2 = gsqr(q); qn = gen_1;
1209 84 : u = expIPiC(z, prec); u2 = gsqr(u); ui2 = ginv(u2);
1210 84 : un = uin = gen_1;
1211 84 : qd = q; B = prec2nbits(prec);
1212 84 : for (n = 1;; n++)
1213 357 : { /* qd = q^(4n-3), qn = q^(4(n-1)^2), un = u^(2n-2), uin = 1/un */
1214 441 : long e = 0, eqn, prec2;
1215 : GEN tmp, tmpprime;
1216 441 : uin = gmul(uin, ui2);
1217 441 : qn = gmul(qn, qd); /* q^((2n-1)^2) */
1218 441 : tmp = gmul(qn, gsub(un, uin));
1219 441 : tmpprime = gmulsg(2*n - 1, gmul(qn, gadd(un, uin)));
1220 441 : S11 = odd(n)? gsub(S11, tmp): gadd(S11, tmp);
1221 441 : S11prime = odd(n)? gsub(S11prime, tmpprime): gadd(S11prime, tmpprime);
1222 441 : e = maxss(0, gexpo(un)); un = gmul(un, u2); e = maxss(e, gexpo(un));
1223 441 : qd = gmul(qd, q2); qn = gmul(qn, qd); /* q^(4n^2) */
1224 441 : eqn = gexpo(qn) + e; if (eqn < -B) break;
1225 357 : qd = gmul(qd, q2);
1226 357 : prec2 = minss(prec, nbits2prec(eqn + B + 64));
1227 357 : qn = gprec_w(qn, prec2); qd = gprec_w(qd, prec2);
1228 357 : un = gprec_w(un, prec2); uin = gprec_w(uin, prec2);
1229 : }
1230 84 : S11prime = gmul(S11prime, PiI2n(0, prec));
1231 84 : S11all = gmul(u, mkcol2(S11, S11prime));
1232 84 : S11all = mulcxpowIs(S11all, ct + 3);
1233 84 : if (sumr & 7) S11all = gmul(e12(sumr * 3, prec), S11all);
1234 84 : if (mpodd(k)) S11all = gneg(S11all);
1235 84 : if (precold < prec) S11all = gprec_w(S11all, precold);
1236 84 : return gc_upto(av, gmul(S, gmul(ginv(mat) , S11all)));
1237 : }
1238 :
1239 : static void
1240 273 : cxE4E6_init(GEN tau, GEN w2, GEN *pz2, GEN *pz3, GEN *pz4, long prec)
1241 : {
1242 273 : GEN z2, z3, z4, T0 = thetanull_i(tau, prec);
1243 273 : z3 = gpowgs(gel(T0, 1), 4);
1244 273 : z4 = gpowgs(gel(T0, 2), 4);
1245 273 : z2 = gpowgs(gel(T0, 3), 4);
1246 273 : if (w2)
1247 : {
1248 28 : GEN a = gdiv(divru(sqrr(mppi(prec + EXTRAPREC64)), 3), gsqr(w2));
1249 28 : z2 = gmul(a, z2);
1250 28 : z3 = gmul(a, z3);
1251 28 : z4 = gmul(a, z4);
1252 : }
1253 273 : *pz2 = z2;
1254 273 : *pz3 = z3;
1255 273 : *pz4 = z4;
1256 273 : }
1257 :
1258 : /* is q = exp(2ipi tau) a real number ? */
1259 : static int
1260 245 : isqreal(GEN tau)
1261 245 : { return gequal0(gfrac(gmul2n(real_i(tau), 1))); }
1262 : static void
1263 245 : cxE4E6(GEN tau, GEN *pE4, GEN *pE6, long prec)
1264 : {
1265 : GEN z2, z3, z4;
1266 245 : int fl = isqreal(tau);
1267 245 : cxE4E6_init(tau, NULL, &z2,&z3,&z4, prec);
1268 245 : if (pE4)
1269 : {
1270 224 : GEN e = gadd3(gsqr(z2), gsqr(z3), gsqr(z4));
1271 224 : *pE4 = gmul2n(fl? real_i(e): e, -1);
1272 : }
1273 245 : if (pE6)
1274 : {
1275 210 : GEN e = gmul3(gadd(z3, z4), gadd(z2, z3), gsub(z4, z2));
1276 210 : *pE6 = gmul2n(fl? real_i(e): e, -1);
1277 : }
1278 245 : }
1279 : /* variation on cxEk, tau = w1/w2 reduced, return [g2,g3] and set [e1,e2,e3] */
1280 : static GEN
1281 28 : cxg2g3(GEN tau, GEN w2, GEN *pe, long prec)
1282 : {
1283 : GEN z2, z3, z4, g2, g3, e1, e2, e3;
1284 28 : cxE4E6_init(tau, w2, &z2,&z3,&z4, prec);
1285 28 : e1 = gadd(z3, z4); e2 = gneg(gadd(z2, z3)); e3 = gsub(z2, z4);
1286 28 : g2 = gmulgs(gadd3(gsqr(z2), gsqr(z3), gsqr(z4)), 6);
1287 28 : g3 = gmul2n(gmul3(e1, e2, e3), 2);
1288 28 : *pe = mkvec3(e1, e2, e3); return mkvec2(g2, g3);
1289 : }
1290 :
1291 : /* Weierstrass elliptic data in terms of thetas */
1292 : GEN
1293 28 : ellweierstrass(GEN w, long prec)
1294 : {
1295 28 : pari_sp av = avma;
1296 : GEN e, g;
1297 : ellred_t T;
1298 28 : if (!get_periods(w, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellweierstrass",w);
1299 28 : g = cxg2g3(T.Tau, T.swap? T.W1: T.W2, &e, prec);
1300 28 : return gc_GEN(av, mkvec4(w, g, e, elleta_w(&T)));
1301 : }
1302 :
1303 : /* tau,z reduced */
1304 : static GEN
1305 1890 : ellwp_cx(GEN tau, GEN z, long flag, long prec)
1306 : {
1307 1890 : long prec2 = prec + EXTRAPREC64;
1308 1890 : GEN a, P, T0, T = thetaall(z, tau, &T0, prec);
1309 1890 : GEN z1 = gel(T0, 1), z3 = gel(T0, 3), t2 = gel(T, 2), t4 = gel(T, 4);
1310 1890 : a = divru(sqrr(mppi(prec2)), 3);
1311 1890 : P = gmul(a, gsub(gmulgs(gsqr(gdiv(gmul3(z1, z3, t2), t4)), 3),
1312 : gadd(gpowgs(z1, 4), gpowgs(z3, 4))));
1313 1890 : if (flag)
1314 : {
1315 1827 : GEN t1 = gel(T, 1), t3 = gel(T, 3);
1316 1827 : GEN c = gmul(Pi2n(1, prec), gsqr(gel(T0, 4)));
1317 1827 : P = mkvec2(P, gdiv(gmul4(c, t1, t2, t3), gpowgs(t4, 3)));
1318 : }
1319 1890 : return P;
1320 : }
1321 :
1322 : /* computes the numerical value of wp(z | L), L = om1 Z + om2 Z
1323 : * return NULL if z in L. If flall=1, compute also wp' */
1324 : static GEN
1325 1911 : ellwpnum_all(GEN e, GEN z, long flall, long prec)
1326 : {
1327 1911 : pari_sp av = avma;
1328 : GEN y, yp, u1, y2;
1329 : ellred_t T;
1330 :
1331 1911 : if (!get_periods(e, z, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellwp",e);
1332 1911 : if (!T.Z) return NULL;
1333 1890 : prec = T.prec;
1334 :
1335 : /* Now L,Z normalized to <1,tau>. Z in fund. domain of <1, tau> */
1336 1890 : y2 = ellwp_cx(T.Tau, T.Z, flall, prec);
1337 1890 : if (flall) { y = gel(y2, 1); yp = gel(y2, 2); }
1338 63 : else { y = y2; yp = NULL; }
1339 1890 : u1 = gsqr(T.W2); y = gdiv(y, u1);
1340 1890 : if (yp) yp = gdiv(yp, gmul(u1, T.W2));
1341 1890 : if (T.some_q_is_real && (T.some_z_is_real || T.some_z_is_pure_imag))
1342 1029 : y = real_i(y);
1343 1890 : if (yp)
1344 : {
1345 1827 : if (T.some_q_is_real)
1346 : {
1347 1827 : if (T.some_z_is_real) yp = real_i(yp);
1348 847 : else if (T.some_z_is_pure_imag) yp = mkcomplex(gen_0, imag_i(yp));
1349 : }
1350 1827 : y = mkvec2(y, yp);
1351 : }
1352 1890 : return gc_GEN(av, gprec_wtrunc(y, T.prec0));
1353 : }
1354 : static GEN
1355 357 : ellwpseries_aux(GEN c4, GEN c6, long v, long PRECDL)
1356 : {
1357 : long i, k, l;
1358 : pari_sp av;
1359 357 : GEN _1, t, res = cgetg(PRECDL+2,t_SER), *P = (GEN*)(res + 2);
1360 :
1361 357 : res[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(-2) | evalvarn(v);
1362 357 : if (!PRECDL) { setsigne(res,0); return res; }
1363 :
1364 3276 : for (i=1; i<PRECDL; i+=2) P[i]= gen_0;
1365 357 : _1 = Rg_get_1(c4);
1366 357 : switch(PRECDL)
1367 : {
1368 357 : default:P[6] = gdivgu(c6,6048);
1369 357 : case 6:
1370 357 : case 5: P[4] = gdivgu(c4, 240);
1371 357 : case 4:
1372 357 : case 3: P[2] = gmul(_1,gen_0);
1373 357 : case 2:
1374 357 : case 1: P[0] = _1;
1375 : }
1376 357 : if (PRECDL <= 8) return res;
1377 357 : av = avma;
1378 357 : P[8] = gc_upto(av, gdivgu(gsqr(P[4]), 3));
1379 1561 : for (k=5; (k<<1) < PRECDL; k++)
1380 : {
1381 1204 : av = avma;
1382 1204 : t = gmul(P[4], P[(k-2)<<1]);
1383 2317 : for (l=3; (l<<1) < k; l++) t = gadd(t, gmul(P[l<<1], P[(k-l)<<1]));
1384 1204 : t = gmul2n(t, 1);
1385 1204 : if ((k & 1) == 0) t = gadd(gsqr(P[k]), t);
1386 1204 : if (k % 3 == 2)
1387 434 : t = gdivgu(gmulsg(3, t), (k-3)*(2*k+1));
1388 : else /* same value, more efficient */
1389 770 : t = gdivgu(t, ((k-3)*(2*k+1)) / 3);
1390 1204 : P[k<<1] = gc_upto(av, t);
1391 : }
1392 357 : return res;
1393 : }
1394 :
1395 : static int
1396 294 : get_c4c6(GEN w, GEN *c4, GEN *c6, long prec)
1397 : {
1398 294 : if (typ(w) == t_VEC) switch(lg(w))
1399 : {
1400 203 : case 17:
1401 203 : *c4 = ell_get_c4(w);
1402 203 : *c6 = ell_get_c6(w); return 1;
1403 91 : case 3:
1404 : {
1405 : GEN E4, E6, a2, a;
1406 : ellred_t T;
1407 91 : if (!get_periods(w,NULL,&T, prec)) break;
1408 91 : a = gdiv(divru(sqrr(mppi(T.prec + EXTRAPREC64)), 3), gsqr(T.W2));
1409 91 : cxE4E6(T.Tau, &E4, &E6, prec); a2 = gsqr(a);
1410 91 : *c4 = gmul(gmulgs(E4, 144), a2);
1411 91 : *c6 = gmul(gmulgs(E6, 1728), gmul(a2,a)); return 1;
1412 : }
1413 : }
1414 0 : *c4 = *c6 = NULL;
1415 0 : return 0;
1416 : }
1417 :
1418 : GEN
1419 14 : ellwpseries(GEN e, long v, long PRECDL)
1420 : {
1421 : GEN c4, c6;
1422 14 : checkell(e);
1423 14 : c4 = ell_get_c4(e);
1424 14 : c6 = ell_get_c6(e); return ellwpseries_aux(c4,c6,v,PRECDL);
1425 : }
1426 :
1427 : GEN
1428 0 : ellwp(GEN w, GEN z, long prec)
1429 0 : { return ellwp0(w,z,0,prec); }
1430 :
1431 : GEN
1432 182 : ellwp0(GEN w, GEN z, long flag, long prec)
1433 : {
1434 182 : pari_sp av = avma;
1435 : GEN y;
1436 :
1437 182 : if (flag && flag != 1) pari_err_FLAG("ellwp");
1438 182 : if (!z) z = pol_x(0);
1439 182 : y = toser_i(z);
1440 182 : if (y)
1441 : {
1442 105 : long vy = varn(y), v = valser(y);
1443 : GEN P, Q, c4,c6;
1444 105 : if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec)) pari_err_TYPE("ellwp",w);
1445 105 : if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellwp(t_SER) away from 0");
1446 105 : if (gequal0(y)) {
1447 0 : set_avma(av);
1448 0 : if (!flag) return zeroser(vy, -2*v);
1449 0 : retmkvec2(zeroser(vy, -2*v), zeroser(vy, -3*v));
1450 : }
1451 105 : P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
1452 105 : Q = gsubst(P, varn(P), y);
1453 105 : if (!flag)
1454 105 : return gc_upto(av, Q);
1455 : else
1456 : {
1457 0 : GEN R = mkvec2(Q, gdiv(derivser(Q), derivser(y)));
1458 0 : return gc_GEN(av, R);
1459 : }
1460 : }
1461 77 : y = ellwpnum_all(w,z,flag,prec);
1462 77 : if (!y) pari_err_DOMAIN("ellwp", "argument","=", gen_0,z);
1463 70 : return gc_upto(av, y);
1464 : }
1465 :
1466 : /* tau,z reduced */
1467 : static GEN
1468 84 : ellzeta_cx(GEN tau, GEN z, long prec)
1469 : {
1470 84 : long prec2 = prec + EXTRAPREC64;
1471 84 : GEN e, R, TALL = theta11prime(z, tau, prec);
1472 84 : e = gmul(divru(sqrr(mppi(prec2)), 3), cxEk(tau, 2, prec2));
1473 84 : R = gadd(gmul(z, e), gdiv(gel(TALL, 2), gel(TALL, 1)));
1474 84 : return mkvec2(R, mkvec2(gsub(gmul(tau, e), PiI2n(1, prec)), e));
1475 : }
1476 :
1477 : GEN
1478 175 : ellzeta(GEN w, GEN z, long prec0)
1479 : {
1480 : long prec;
1481 175 : pari_sp av = avma;
1482 175 : GEN y, y2, et = NULL;
1483 : ellred_t T;
1484 :
1485 175 : if (!z) z = pol_x(0);
1486 175 : y = toser_i(z);
1487 175 : if (y)
1488 : {
1489 91 : long vy = varn(y), v = valser(y);
1490 : GEN P, Q, c4,c6;
1491 91 : if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta",w);
1492 91 : if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellzeta(t_SER) away from 0");
1493 91 : if (gequal0(y)) { set_avma(av); return zeroser(vy, -v); }
1494 91 : P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
1495 91 : P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
1496 91 : Q = gsubst(P, varn(P), y);
1497 91 : return gc_upto(av, Q);
1498 : }
1499 84 : if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta", w);
1500 84 : if (!T.Z) pari_err_DOMAIN("ellzeta", "z", "=", gen_0, z);
1501 84 : prec = T.prec;
1502 84 : y2 = ellzeta_cx(T.Tau, T.Z, prec);
1503 84 : y = gdiv(gel(y2,1), T.W2);
1504 84 : if (signe(T.x) || signe(T.y)) et = _period(&T, gdiv(gel(y2,2), T.W2));
1505 84 : if (T.some_q_is_real)
1506 : {
1507 84 : if (T.some_z_is_real)
1508 : {
1509 42 : if (!et || typ(et) != t_COMPLEX) y = real_i(y);
1510 : }
1511 42 : else if (T.some_z_is_pure_imag)
1512 : {
1513 21 : if (!et || (typ(et) == t_COMPLEX && isintzero(gel(et,1))))
1514 21 : gel(y,1) = gen_0;
1515 : }
1516 : }
1517 84 : if (et) y = gadd(y, et);
1518 84 : return gc_GEN(av, gprec_wtrunc(y, T.prec0));
1519 : }
1520 :
1521 : /* if flag=0, return ellsigma, otherwise return log(ellsigma) */
1522 : GEN
1523 37674 : ellsigma(GEN w, GEN z, long flag, long prec0)
1524 : {
1525 37674 : pari_sp av = avma;
1526 : long prec;
1527 : GEN y, y1, ETA;
1528 : ellred_t T;
1529 :
1530 37674 : if (flag < 0 || flag > 1) pari_err_FLAG("ellsigma");
1531 :
1532 37674 : if (!z) z = pol_x(0);
1533 37674 : y = toser_i(z);
1534 37674 : if (y)
1535 : {
1536 98 : long vy = varn(y), v = valser(y);
1537 : GEN P, Q, c4,c6;
1538 98 : if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
1539 98 : if (v <= 0) pari_err_IMPL("ellsigma(t_SER) away from 0");
1540 98 : if (flag) pari_err_TYPE("log(ellsigma)",y);
1541 91 : if (gequal0(y)) { set_avma(av); return zeroser(vy, -v); }
1542 91 : P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
1543 91 : P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
1544 : /* (log \sigma)' = \zeta; remove log-singularity first */
1545 91 : P = integser(serchop0(P));
1546 91 : P = gexp(P, prec0);
1547 91 : setvalser(P, valser(P)+1);
1548 91 : Q = gsubst(P, varn(P), y);
1549 91 : return gc_upto(av, Q);
1550 : }
1551 37576 : if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
1552 37576 : if (!T.Z)
1553 : {
1554 7 : if (!flag) return gen_0;
1555 7 : pari_err_DOMAIN("log(ellsigma)", "argument","=",gen_0,z);
1556 : }
1557 37569 : prec = T.prec; ETA = elleta_W(&T);
1558 : {
1559 37569 : GEN t0, t = thetaall(T.Z, T.Tau, &t0, prec);
1560 37569 : y = gmul(T. W2, gdiv(gel(t, 4), gel(t0, 4)));
1561 : }
1562 : /* y = W2 theta_1(q, Z) / theta_1'(q, 0)
1563 : * = sigma([W1, W2], W2 Z) * exp(-eta2 W2 Z^2/2)
1564 : * We have z/W2 = Z + x Tau + y, so
1565 : * sigma([W1,W2], z) = (-1)^(x+y+xy) sigma([W1,W2], W2 Z) exp(W2 y1) where
1566 : * y1 = eta2 Z^2/2 + (x eta1 + y eta2)(Z + (x Tau + y)/2) */
1567 :
1568 37569 : y1 = gadd(T.Z, gmul2n(_period(&T, mkvec2(T.Tau,gen_1)), -1));
1569 37569 : y1 = gadd(gmul(_period(&T, ETA), y1),
1570 37569 : gmul2n(gmul(gsqr(T.Z),gel(ETA,2)), -1));
1571 37569 : if (flag)
1572 : {
1573 37499 : y = gadd(gmul(T.W2,y1), glog(y,prec));
1574 37499 : if (mpodd(T.x) || mpodd(T.y)) y = gadd(y, PiI2n(0, prec));
1575 : /* log(real number): im(y) = 0 or Pi */
1576 37499 : if (T.some_q_is_real && isintzero(imag_i(z)) && gexpo(imag_i(y)) < 1)
1577 7 : y = real_i(y);
1578 : }
1579 : else
1580 : {
1581 70 : y = gmul(y, gexp(gmul(T.W2, y1), prec));
1582 70 : if (mpodd(T.x) || mpodd(T.y)) y = gneg_i(y);
1583 70 : if (T.some_q_is_real)
1584 : {
1585 : int re, cx;
1586 70 : check_complex(z,&re,&cx);
1587 70 : if (re) y = real_i(y);
1588 49 : else if (cx && typ(y) == t_COMPLEX) gel(y,1) = gen_0;
1589 : }
1590 : }
1591 37569 : return gc_GEN(av, gprec_wtrunc(y, T.prec0));
1592 : }
1593 :
1594 : GEN
1595 1890 : pointell(GEN e, GEN z, long prec)
1596 : {
1597 1890 : pari_sp av = avma;
1598 : GEN v;
1599 :
1600 1890 : checkell(e);
1601 1890 : if (ell_get_type(e) == t_ELL_Qp)
1602 : {
1603 56 : prec = minss(ellQp_get_prec(e), padicprec_relative(z));
1604 56 : return ellQp_t2P(e, z, prec);
1605 : }
1606 1834 : v = ellwpnum_all(e,z,1,prec);
1607 1834 : if (!v) { set_avma(av); return ellinf(); }
1608 1820 : gel(v,1) = gsub(gel(v,1), gdivgu(ell_get_b2(e),12));
1609 1820 : gel(v,2) = gmul2n(gsub(gel(v,2), ec_h_evalx(e,gel(v,1))),-1);
1610 1820 : return gc_GEN(av, v);
1611 : }
1612 :
1613 : /********************************************************************/
1614 : /** Eisenstein series of level 1 **/
1615 : /********************************************************************/
1616 :
1617 : GEN
1618 111045 : upper_to_cx(GEN x, long *prec)
1619 : {
1620 111045 : long tx = typ(x), l;
1621 111045 : if (tx == t_QUAD) { x = quadtofp(x, *prec); tx = typ(x); }
1622 111045 : switch(tx)
1623 : {
1624 111024 : case t_COMPLEX:
1625 111024 : if (gsigne(gel(x,2)) > 0) break; /*fall through*/
1626 : case t_REAL: case t_INT: case t_FRAC:
1627 14 : pari_err_DOMAIN("modular function", "Im(argument)", "<=", gen_0, x);
1628 7 : default:
1629 7 : pari_err_TYPE("modular function", x);
1630 : }
1631 111024 : l = precision(x); if (l) *prec = l;
1632 111024 : return x;
1633 : }
1634 :
1635 : static GEN
1636 70942 : qq(GEN x, long prec)
1637 : {
1638 70942 : long tx = typ(x);
1639 : GEN y;
1640 :
1641 70942 : if (is_scalar_t(tx))
1642 : {
1643 70900 : if (tx == t_PADIC) return x;
1644 70886 : x = upper_to_cx(x, &prec);
1645 70872 : return cxtoreal(expIPiC(gmul2n(x,1), prec)); /* e(x) */
1646 : }
1647 42 : if (! ( y = toser_i(x)) ) pari_err_TYPE("modular function", x);
1648 42 : return y;
1649 : }
1650 :
1651 : /* k > 0 even, tau reduced (im particular Im tau > 0). Return E_k(tau). */
1652 : GEN
1653 71036 : cxEk(GEN tau, long k, long prec)
1654 : {
1655 71036 : pari_sp av = avma;
1656 71036 : GEN P, y, E4 = NULL, E6 = NULL;
1657 : long b;
1658 :
1659 71036 : if ((b = precision(tau))) prec = b;
1660 71036 : if (gcmpgs(imag_i(tau), (M_LN2 / (2*M_PI)) * (prec2nbits(prec)+1+10)) > 0)
1661 17 : return real_1(prec);
1662 71019 : if (k == 2)
1663 : { /* -theta^(3)(tau/2) / theta^(1)(tau/2) */
1664 70865 : y = vecthetanullk_loop(qq(tau,prec), 2, prec);
1665 70865 : return gdiv(gel(y,2), gel(y,1));
1666 : }
1667 154 : if (k > 8) cxE4E6(tau, &E4, &E6, k < 16? prec: prec + EXTRAPREC64);
1668 154 : switch (k)
1669 : {
1670 28 : case 4: cxE4E6(tau, &E4, NULL, prec); return gc_GEN(av, E4);
1671 21 : case 6: cxE4E6(tau, NULL, &E6, prec); return gc_GEN(av, E6);
1672 7 : case 8: cxE4E6(tau, &E4, NULL, prec); return gc_upto(av, gsqr(E4));
1673 28 : case 10: return gc_upto(av, gmul(E4, E6));
1674 7 : case 12:
1675 : {
1676 : GEN e;
1677 7 : e = gadd(gmulsg(441, gpowgs(E4,3)), gmulsg(250, gsqr(E6)));
1678 7 : return gc_upto(av, gdivgs(e, 691));
1679 : }
1680 7 : case 14: return gc_upto(av, gmul(gsqr(E4), E6));
1681 : }
1682 56 : P = ellwpseries_aux(E4, E6, 0, k + 2);
1683 : /* P[k+2] = Ek * (k-1) * 2 zeta(k) / (2pi)^k
1684 : * now use 2 zeta(k) / (2pi)^k = |B_k| / k! */
1685 56 : P = gdiv(gmul(gel(P, k + 2), muliu(mpfact(k-2), k)),
1686 : absfrac_shallow(bernfrac(k)));
1687 56 : return gc_GEN(av, gprec_wtrunc(P, prec));
1688 : }
1689 :
1690 : /********************************************************************/
1691 : /** Eta function(s) and j-invariant **/
1692 : /********************************************************************/
1693 :
1694 : /* return (y * X^d) + x. Assume d > 0, x != 0, valser(x) = 0 */
1695 : static GEN
1696 21 : ser_addmulXn(GEN y, GEN x, long d)
1697 : {
1698 21 : long i, lx, ly, l = valser(y) + d; /* > 0 */
1699 : GEN z;
1700 :
1701 21 : lx = lg(x);
1702 21 : ly = lg(y) + l; if (lx < ly) ly = lx;
1703 21 : if (l > lx-2) return gcopy(x);
1704 21 : z = cgetg(ly,t_SER);
1705 77 : for (i=2; i<=l+1; i++) gel(z,i) = gel(x,i);
1706 70 : for ( ; i < ly; i++) gel(z,i) = gadd(gel(x,i),gel(y,i-l));
1707 21 : z[1] = x[1]; return z;
1708 : }
1709 :
1710 : /* q a t_POL s.t. q(0) != 0, v > 0, Q = x^v*q; return \prod_i (1-Q^i) */
1711 : static GEN
1712 28 : RgXn_eta(GEN q, long v, long lim)
1713 : {
1714 28 : pari_sp av = avma;
1715 : GEN qn, ps, y;
1716 : ulong vps, vqn, n;
1717 :
1718 28 : if (!degpol(q) && isint1(gel(q,2))) return eta_ZXn(v, lim+v);
1719 7 : y = qn = ps = pol_1(0);
1720 7 : vps = vqn = 0;
1721 7 : for(n = 0;; n++)
1722 7 : { /* qn = q^n, ps = (-1)^n q^(n(3n+1)/2),
1723 : * vps, vqn valuation of ps, qn HERE */
1724 14 : pari_sp av2 = avma;
1725 14 : ulong vt = vps + 2*vqn + v; /* valuation of t at END of loop body */
1726 : long k1, k2;
1727 : GEN t;
1728 14 : vqn += v; vps = vt + vqn; /* valuation of qn, ps at END of body */
1729 14 : k1 = lim + v - vt + 1;
1730 14 : k2 = k1 - vqn; /* = lim + v - vps + 1 */
1731 14 : if (k1 <= 0) break;
1732 14 : t = RgX_mul(q, RgX_sqr(qn));
1733 14 : t = RgXn_red_shallow(t, k1);
1734 14 : t = RgX_mul(ps,t);
1735 14 : t = RgXn_red_shallow(t, k1);
1736 14 : t = RgX_neg(t); /* t = (-1)^(n+1) q^(n(3n+1)/2 + 2n+1) */
1737 14 : t = gc_upto(av2, t);
1738 14 : y = RgX_addmulXn_shallow(t, y, vt);
1739 14 : if (k2 <= 0) break;
1740 :
1741 7 : qn = RgX_mul(qn,q);
1742 7 : ps = RgX_mul(t,qn);
1743 7 : ps = RgXn_red_shallow(ps, k2);
1744 7 : y = RgX_addmulXn_shallow(ps, y, vps);
1745 :
1746 7 : if (gc_needed(av,1))
1747 : {
1748 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"eta, n = %ld", n);
1749 0 : (void)gc_all(av, 3, &y, &qn, &ps);
1750 : }
1751 : }
1752 7 : return y;
1753 : }
1754 :
1755 : static GEN
1756 7639 : inteta(GEN q)
1757 : {
1758 7639 : long tx = typ(q);
1759 : GEN ps, qn, y;
1760 :
1761 7639 : y = gen_1; qn = gen_1; ps = gen_1;
1762 7639 : if (tx==t_PADIC)
1763 : {
1764 28 : if (valp(q) <= 0) pari_err_DOMAIN("eta", "v_p(q)", "<=",gen_0,q);
1765 : for(;;)
1766 56 : {
1767 77 : GEN t = gneg_i(gmul(ps,gmul(q,gsqr(qn))));
1768 77 : y = gadd(y,t); qn = gmul(qn,q); ps = gmul(t,qn);
1769 77 : t = y;
1770 77 : y = gadd(y,ps); if (gequal(t,y)) return y;
1771 : }
1772 : }
1773 :
1774 7611 : if (tx == t_SER)
1775 : {
1776 : ulong vps, vqn;
1777 42 : long l = lg(q), v, n;
1778 : pari_sp av;
1779 :
1780 42 : v = valser(q); /* handle valuation separately to avoid overflow */
1781 42 : if (v <= 0) pari_err_DOMAIN("eta", "v_p(q)", "<=",gen_0,q);
1782 35 : y = ser2pol_i(q, l); /* t_SER inefficient when input has low degree */
1783 35 : n = degpol(y);
1784 35 : if (n <= (l>>2))
1785 : {
1786 28 : GEN z = RgXn_eta(y, v, l-2);
1787 28 : setvarn(z, varn(y)); return RgX_to_ser(z, l+v);
1788 : }
1789 7 : q = leafcopy(q); av = avma;
1790 7 : setvalser(q, 0);
1791 7 : y = scalarser(gen_1, varn(q), l+v);
1792 7 : vps = vqn = 0;
1793 7 : for(n = 0;; n++)
1794 7 : { /* qn = q^n, ps = (-1)^n q^(n(3n+1)/2) */
1795 14 : ulong vt = vps + 2*vqn + v;
1796 : long k;
1797 : GEN t;
1798 14 : t = gneg_i(gmul(ps,gmul(q,gsqr(qn))));
1799 : /* t = (-1)^(n+1) q^(n(3n+1)/2 + 2n+1) */
1800 14 : y = ser_addmulXn(t, y, vt);
1801 14 : vqn += v; vps = vt + vqn;
1802 14 : k = l+v - vps; if (k <= 2) return y;
1803 :
1804 7 : qn = gmul(qn,q); ps = gmul(t,qn);
1805 7 : y = ser_addmulXn(ps, y, vps);
1806 7 : setlg(q, k);
1807 7 : setlg(qn, k);
1808 7 : setlg(ps, k);
1809 7 : if (gc_needed(av,3))
1810 : {
1811 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"eta");
1812 0 : (void)gc_all(av, 3, &y, &qn, &ps);
1813 : }
1814 : }
1815 : }
1816 : {
1817 7569 : long l = -prec2nbits(precision(q));
1818 7569 : pari_sp av = avma;
1819 :
1820 : for(;;)
1821 20750 : {
1822 28319 : GEN t = gneg_i(gmul(ps,gmul(q,gsqr(qn))));
1823 : /* qn = q^n
1824 : * ps = (-1)^n q^(n(3n+1)/2)
1825 : * t = (-1)^(n+1) q^(n(3n+1)/2 + 2n+1) */
1826 28319 : y = gadd(y,t); qn = gmul(qn,q); ps = gmul(t,qn);
1827 28319 : y = gadd(y,ps);
1828 28319 : if (gexpo(ps)-gexpo(y) < l) return y;
1829 20750 : if (gc_needed(av,3))
1830 : {
1831 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"eta");
1832 0 : (void)gc_all(av, 3, &y, &qn, &ps);
1833 : }
1834 : }
1835 : }
1836 : }
1837 :
1838 : GEN
1839 77 : eta(GEN x, long prec)
1840 : {
1841 77 : pari_sp av = avma;
1842 77 : GEN z = inteta( qq(x,prec) );
1843 49 : if (typ(z) == t_SER) return gc_GEN(av, z);
1844 14 : return gc_upto(av, z);
1845 : }
1846 :
1847 : /* s(h,k) = sum(n = 1, k-1, (n/k)*(frac(h*n/k) - 1/2))
1848 : * Knuth's algorithm. h integer, k integer > 0, (h,k) = 1 */
1849 : GEN
1850 6300 : sumdedekind_coprime(GEN h, GEN k)
1851 : {
1852 6300 : pari_sp av = avma;
1853 : GEN s2, s1, p, pp;
1854 : long s;
1855 6300 : if (lgefint(k) == 3 && uel(k,2) <= (2*(ulong)LONG_MAX) / 3)
1856 : {
1857 6293 : ulong kk = k[2], hh = umodiu(h, kk);
1858 : long s1, s2;
1859 : GEN v;
1860 6293 : if (signe(k) < 0) { k = negi(k); hh = Fl_neg(hh, kk); }
1861 6293 : v = u_sumdedekind_coprime(hh, kk);
1862 6293 : s1 = v[1]; s2 = v[2];
1863 6293 : return gc_upto(av, gdiv(addis(mulis(k,s1), s2), muluu(12, kk)));
1864 : }
1865 7 : s = 1;
1866 7 : s1 = gen_0; p = gen_1; pp = gen_0;
1867 7 : s2 = h = modii(h, k);
1868 35 : while (signe(h)) {
1869 28 : GEN r, nexth, a = dvmdii(k, h, &nexth);
1870 28 : if (is_pm1(h)) s2 = s == 1? addii(s2, p): subii(s2, p);
1871 28 : s1 = s == 1? addii(s1, a): subii(s1, a);
1872 28 : s = -s;
1873 28 : k = h; h = nexth;
1874 28 : r = addii(mulii(a,p), pp); pp = p; p = r;
1875 : }
1876 : /* at this point p = original k */
1877 7 : if (s == -1) s1 = subiu(s1, 3);
1878 7 : return gc_upto(av, gdiv(addii(mulii(p,s1), s2), muliu(p,12)));
1879 : }
1880 : /* as above, for ulong arguments.
1881 : * k integer > 0, 0 <= h < k, (h,k) = 1. Returns [s1,s2] such that
1882 : * s(h,k) = (s2 + k s1) / (12k). Requires max(h + k/2, k) < LONG_MAX
1883 : * to avoid overflow, in particular k <= LONG_MAX * 2/3 is fine */
1884 : GEN
1885 6293 : u_sumdedekind_coprime(long h, long k)
1886 : {
1887 6293 : long s = 1, s1 = 0, s2 = h, p = 1, pp = 0;
1888 11466 : while (h) {
1889 5173 : long r, nexth = k % h, a = k / h; /* a >= 1, a >= 2 if h = 1 */
1890 5173 : if (h == 1) s2 += p * s; /* occurs exactly once, last step */
1891 5173 : s1 += a * s;
1892 5173 : s = -s;
1893 5173 : k = h; h = nexth;
1894 5173 : r = a*p + pp; pp = p; p = r; /* p >= pp >= 0 */
1895 : }
1896 : /* in the above computation, p increases from 1 to original k,
1897 : * -k/2 <= s2 <= h + k/2, and |s1| <= k */
1898 6293 : if (s < 0) s1 -= 3; /* |s1| <= k+3 ? */
1899 : /* But in fact, |s2 + p s1| <= k^2 + 1/2 - 3k; if (s < 0), we have
1900 : * |s2| <= k/2 and it follows that |s1| < k here as well */
1901 : /* p = k; s(h,k) = (s2 + p s1)/12p. */
1902 6293 : return mkvecsmall2(s1, s2);
1903 : }
1904 : GEN
1905 28 : sumdedekind(GEN h, GEN k)
1906 : {
1907 28 : pari_sp av = avma;
1908 : GEN d;
1909 28 : if (typ(h) != t_INT) pari_err_TYPE("sumdedekind",h);
1910 28 : if (typ(k) != t_INT) pari_err_TYPE("sumdedekind",k);
1911 28 : d = gcdii(h,k);
1912 28 : if (!is_pm1(d))
1913 : {
1914 7 : h = diviiexact(h, d);
1915 7 : k = diviiexact(k, d);
1916 : }
1917 28 : return gc_upto(av, sumdedekind_coprime(h,k));
1918 : }
1919 :
1920 : /* eta(x); assume Im x >> 0 (e.g. x in SL2's standard fundamental domain) */
1921 : static GEN
1922 8477 : eta_reduced(GEN x, long prec)
1923 : {
1924 8477 : GEN z = expIPiC(gdivgu(x, 12), prec); /* e(x/24) */
1925 8477 : if (24 * gexpo(z) >= -prec2nbits(prec))
1926 7548 : z = gmul(z, inteta( gpowgs(z,24) ));
1927 8477 : return z;
1928 : }
1929 :
1930 : /* x = U.z (flag = 1), or x = U^(-1).z (flag = 0)
1931 : * Return [s,t] such that eta(z) = eta(x) * sqrt(s) * exp(I Pi t) */
1932 : static GEN
1933 8491 : eta_correction(GEN x, GEN U, long flag)
1934 : {
1935 : GEN a,b,c,d, s,t;
1936 : long sc;
1937 8491 : a = gcoeff(U,1,1);
1938 8491 : b = gcoeff(U,1,2);
1939 8491 : c = gcoeff(U,2,1);
1940 8491 : d = gcoeff(U,2,2);
1941 : /* replace U by U^(-1) */
1942 8491 : if (flag) {
1943 119 : swap(a,d);
1944 119 : togglesign_safe(&b);
1945 119 : togglesign_safe(&c);
1946 : }
1947 8491 : sc = signe(c);
1948 8491 : if (!sc) {
1949 2219 : if (signe(d) < 0) togglesign_safe(&b);
1950 2219 : s = gen_1;
1951 2219 : t = uutoQ(umodiu(b, 24), 12);
1952 : } else {
1953 6272 : if (sc < 0) {
1954 1764 : togglesign_safe(&a);
1955 1764 : togglesign_safe(&b);
1956 1764 : togglesign_safe(&c);
1957 1764 : togglesign_safe(&d);
1958 : } /* now c > 0 */
1959 6272 : s = mulcxmI(gadd(gmul(c,x), d));
1960 6272 : t = gadd(gdiv(addii(a,d),muliu(c,12)), sumdedekind_coprime(negi(d),c));
1961 : /* correction : exp(I Pi (((a+d)/12c) + s(-d,c)) ) sqrt(-i(cx+d)) */
1962 : }
1963 8491 : return mkvec2(s, t);
1964 : }
1965 :
1966 : /* returns the true value of eta(x) for Im(x) > 0, using reduction to
1967 : * standard fundamental domain */
1968 : GEN
1969 35 : trueeta(GEN x, long prec)
1970 : {
1971 35 : pari_sp av = avma;
1972 : GEN U, st, s, t;
1973 :
1974 35 : if (!is_scalar_t(typ(x))) pari_err_TYPE("trueeta",x);
1975 35 : x = upper_to_cx(x, &prec);
1976 35 : x = cxredsl2(x, &U);
1977 35 : st = eta_correction(x, U, 1);
1978 35 : x = eta_reduced(x, prec);
1979 35 : s = gel(st, 1);
1980 35 : t = gel(st, 2);
1981 35 : x = gmul(x, expIPiQ(t, prec));
1982 35 : if (s != gen_1) x = gmul(x, gsqrt(s, prec));
1983 35 : return gc_upto(av, x);
1984 : }
1985 :
1986 : GEN
1987 112 : eta0(GEN x, long flag,long prec)
1988 112 : { return flag? trueeta(x,prec): eta(x,prec); }
1989 :
1990 : /* eta(q) = 1 + \sum_{n>0} (-1)^n * (q^(n(3n-1)/2) + q^(n(3n+1)/2)) */
1991 : static GEN
1992 7 : ser_eta(long prec)
1993 : {
1994 7 : GEN e = cgetg(prec+2, t_SER), ed = e+2;
1995 : long n, j;
1996 7 : e[1] = evalsigne(1)|_evalvalser(0)|evalvarn(0);
1997 7 : gel(ed,0) = gen_1;
1998 483 : for (n = 1; n < prec; n++) gel(ed,n) = gen_0;
1999 49 : for (n = 1, j = 0; n < prec; n++)
2000 : {
2001 : GEN s;
2002 49 : j += 3*n-2; /* = n*(3*n-1) / 2 */;
2003 49 : if (j >= prec) break;
2004 42 : s = odd(n)? gen_m1: gen_1;
2005 42 : gel(ed, j) = s;
2006 42 : if (j+n >= prec) break;
2007 42 : gel(ed, j+n) = s;
2008 : }
2009 7 : return e;
2010 : }
2011 :
2012 : static GEN
2013 476 : coeffEu(GEN fa)
2014 : {
2015 476 : pari_sp av = avma;
2016 476 : return gc_INT(av, mului(65520, usumdivk_fact(fa,11)));
2017 : }
2018 : /* E12 = 1 + q*E/691 */
2019 : static GEN
2020 7 : ser_E(long prec)
2021 : {
2022 7 : GEN e = cgetg(prec+2, t_SER), ed = e+2;
2023 7 : GEN F = vecfactoru_i(2, prec); /* F[n] = factoru(n+1) */
2024 : long n;
2025 7 : e[1] = evalsigne(1)|_evalvalser(0)|evalvarn(0);
2026 7 : gel(ed,0) = utoipos(65520);
2027 483 : for (n = 1; n < prec; n++) gel(ed,n) = coeffEu(gel(F,n));
2028 7 : return e;
2029 : }
2030 : /* j = E12/Delta + 432000/691, E12 = 1 + q*E/691 */
2031 : static GEN
2032 7 : ser_j2(long prec, long v)
2033 : {
2034 7 : pari_sp av = avma;
2035 7 : GEN iD = gpowgs(ginv(ser_eta(prec)), 24); /* q/Delta */
2036 7 : GEN J = gmul(ser_E(prec), iD);
2037 7 : setvalser(iD,-1); /* now 1/Delta */
2038 7 : J = gadd(gdivgu(J, 691), iD);
2039 7 : J = gc_upto(av, J);
2040 7 : if (prec > 1) gel(J,3) = utoipos(744);
2041 7 : setvarn(J,v); return J;
2042 : }
2043 :
2044 : /* j(q) = \sum_{n >= -1} c(n)q^n,
2045 : * \sum_{n = -1}^{N-1} c(n) (-10n \sigma_3(N-n) + 21 \sigma_5(N-n))
2046 : * = c(N) (N+1)/24 */
2047 : static GEN
2048 14 : ser_j(long prec, long v)
2049 : {
2050 : GEN j, J, S3, S5, F;
2051 : long i, n;
2052 14 : if (prec > 64) return ser_j2(prec, v);
2053 7 : S3 = cgetg(prec+1, t_VEC);
2054 7 : S5 = cgetg(prec+1,t_VEC);
2055 7 : F = vecfactoru_i(1, prec);
2056 35 : for (n = 1; n <= prec; n++)
2057 : {
2058 28 : GEN fa = gel(F,n);
2059 28 : gel(S3,n) = mului(10, usumdivk_fact(fa,3));
2060 28 : gel(S5,n) = mului(21, usumdivk_fact(fa,5));
2061 : }
2062 7 : J = cgetg(prec+2, t_SER),
2063 7 : J[1] = evalvarn(v)|evalsigne(1)|evalvalser(-1);
2064 7 : j = J+3;
2065 7 : gel(j,-1) = gen_1;
2066 7 : gel(j,0) = utoipos(744);
2067 7 : gel(j,1) = utoipos(196884);
2068 21 : for (n = 2; n < prec; n++)
2069 : {
2070 14 : pari_sp av = avma;
2071 14 : GEN c, s3 = gel(S3,n+1), s5 = gel(S5,n+1);
2072 14 : c = addii(s3, s5);
2073 49 : for (i = 0; i < n; i++)
2074 : {
2075 35 : s3 = gel(S3,n-i); s5 = gel(S5,n-i);
2076 35 : c = addii(c, mulii(gel(j,i), subii(s5, mului(i,s3))));
2077 : }
2078 14 : gel(j,n) = gc_INT(av, diviuexact(muliu(c,24), n+1));
2079 : }
2080 7 : return J;
2081 : }
2082 :
2083 : GEN
2084 42 : jell(GEN x, long prec)
2085 : {
2086 42 : long tx = typ(x);
2087 42 : pari_sp av = avma;
2088 : GEN q, h, U;
2089 :
2090 42 : if (!is_scalar_t(tx))
2091 : {
2092 : long v;
2093 21 : if (gequalX(x)) return ser_j(precdl, varn(x));
2094 21 : q = toser_i(x); if (!q) pari_err_TYPE("ellj",x);
2095 14 : v = fetch_var_higher();
2096 14 : h = ser_j(lg(q)-2, v);
2097 14 : h = gsubst(h, v, q);
2098 14 : delete_var(); return gc_upto(av, h);
2099 : }
2100 21 : if (tx == t_PADIC)
2101 : {
2102 7 : GEN p2, p1 = gdiv(inteta(gsqr(x)), inteta(x));
2103 7 : p1 = gmul2n(gsqr(p1),1);
2104 7 : p1 = gmul(x,gpowgs(p1,12));
2105 7 : p2 = gaddsg(768,gadd(gsqr(p1),gdivsg(4096,p1)));
2106 7 : p1 = gmulsg(48,p1);
2107 7 : return gc_upto(av, gadd(p2,p1));
2108 : }
2109 : /* Let h = Delta(2x) / Delta(x), then j(x) = (1 + 256h)^3 / h */
2110 14 : x = upper_to_cx(x, &prec);
2111 7 : x = cxredsl2(x, &U); /* forget about Ua : j has weight 0 */
2112 : { /* cf eta_reduced, raised to power 24
2113 : * Compute
2114 : * t = (inteta(q(2x)) / inteta(q(x))) ^ 24;
2115 : * then
2116 : * h = t * (q(2x) / q(x) = t * q(x);
2117 : * but inteta(q) costly and useless if expo(q) << 1 => inteta(q) = 1.
2118 : * log_2 ( exp(-2Pi Im tau) ) < -prec2nbits(prec)
2119 : * <=> Im tau > prec2nbits(prec) * log(2) / 2Pi */
2120 7 : long C = (long)prec2nbits_mul(prec, M_LN2/(2*M_PI));
2121 7 : q = expIPiC(gmul2n(x,1), prec); /* e(x) */
2122 7 : if (gcmpgs(gel(x,2), C) > 0) /* eta(q(x)) = 1 : no need to compute q(2x) */
2123 0 : h = q;
2124 : else
2125 : {
2126 7 : GEN t = gdiv(inteta(gsqr(q)), inteta(q));
2127 7 : h = gmul(q, gpowgs(t, 24));
2128 : }
2129 : }
2130 : /* real_1 important ! gaddgs(, 1) could increase the accuracy ! */
2131 7 : return gc_upto(av, gdiv(gpowgs(gadd(gmul2n(h,8), real_1(prec)), 3), h));
2132 : }
2133 :
2134 : static GEN
2135 8372 : to_form(GEN a, GEN w, GEN C, GEN D)
2136 8372 : { return mkqfb(a, w, diviiexact(C, a), D); }
2137 : static GEN
2138 8372 : form_to_quad(GEN f, GEN sqrtD)
2139 : {
2140 8372 : long a = itos(gel(f,1)), a2 = a << 1;
2141 8372 : GEN b = gel(f,2);
2142 8372 : return mkcomplex(gdivgs(b, -a2), gdivgs(sqrtD, a2));
2143 : }
2144 : static GEN
2145 8372 : eta_form(GEN f, GEN sqrtD, GEN *s_t, long prec)
2146 : {
2147 8372 : GEN U, t = form_to_quad(redimagsl2(f, &U), sqrtD);
2148 8372 : *s_t = eta_correction(t, U, 0);
2149 8372 : return eta_reduced(t, prec);
2150 : }
2151 :
2152 : /* eta(t/p)eta(t/q) / (eta(t)eta(t/pq)), t = (-w + sqrt(D)) / 2a */
2153 : GEN
2154 2093 : double_eta_quotient(GEN a, GEN w, GEN D, long p, long q, GEN pq, GEN sqrtD)
2155 : {
2156 2093 : GEN C = shifti(subii(sqri(w), D), -2);
2157 : GEN d, t, z, zp, zq, zpq, s_t, s_tp, s_tpq, s, sp, spq;
2158 2093 : long prec = realprec(sqrtD);
2159 :
2160 2093 : z = eta_form(to_form(a, w, C, D), sqrtD, &s_t, prec);
2161 2093 : s = gel(s_t, 1);
2162 2093 : zp = eta_form(to_form(mului(p, a), w, C, D), sqrtD, &s_tp, prec);
2163 2093 : sp = gel(s_tp, 1);
2164 2093 : zpq = eta_form(to_form(mulii(pq, a), w, C, D), sqrtD, &s_tpq, prec);
2165 2093 : spq = gel(s_tpq, 1);
2166 2093 : if (p == q) {
2167 0 : z = gdiv(gsqr(zp), gmul(z, zpq));
2168 0 : t = gsub(gmul2n(gel(s_tp,2), 1),
2169 0 : gadd(gel(s_t,2), gel(s_tpq,2)));
2170 0 : if (sp != gen_1) z = gmul(z, sp);
2171 : } else {
2172 : GEN s_tq, sq;
2173 2093 : zq = eta_form(to_form(mului(q, a), w, C, D), sqrtD, &s_tq, prec);
2174 2093 : sq = gel(s_tq, 1);
2175 2093 : z = gdiv(gmul(zp, zq), gmul(z, zpq));
2176 2093 : t = gsub(gadd(gel(s_tp,2), gel(s_tq,2)),
2177 2093 : gadd(gel(s_t,2), gel(s_tpq,2)));
2178 2093 : if (sp != gen_1) z = gmul(z, gsqrt(sp, prec));
2179 2093 : if (sq != gen_1) z = gmul(z, gsqrt(sq, prec));
2180 : }
2181 2093 : d = NULL;
2182 2093 : if (s != gen_1) d = gsqrt(s, prec);
2183 2093 : if (spq != gen_1) {
2184 2065 : GEN x = gsqrt(spq, prec);
2185 2065 : d = d? gmul(d, x): x;
2186 : }
2187 2093 : if (d) z = gdiv(z, d);
2188 2093 : return gmul(z, expIPiQ(t, prec));
2189 : }
2190 :
2191 : typedef struct { GEN u; long v, t; } cxanalyze_t;
2192 :
2193 : /* Check whether a t_COMPLEX, t_REAL or t_INT z != 0 can be written as
2194 : * z = u * 2^(v/2) * exp(I Pi/4 t), u > 0, v = 0,1 and -3 <= t <= 4.
2195 : * Allow z t_INT/t_REAL to simplify handling of eta_correction() output */
2196 : static int
2197 84 : cxanalyze(cxanalyze_t *T, GEN z)
2198 : {
2199 : GEN a, b;
2200 : long ta, tb;
2201 :
2202 84 : T->u = z;
2203 84 : T->v = 0;
2204 84 : if (is_intreal_t(typ(z)))
2205 : {
2206 70 : T->u = mpabs_shallow(z);
2207 70 : T->t = signe(z) < 0? 4: 0;
2208 70 : return 1;
2209 : }
2210 14 : a = gel(z,1); ta = typ(a);
2211 14 : b = gel(z,2); tb = typ(b);
2212 :
2213 14 : T->t = 0;
2214 14 : if (ta == t_INT && !signe(a))
2215 : {
2216 0 : T->u = R_abs_shallow(b);
2217 0 : T->t = gsigne(b) < 0? -2: 2;
2218 0 : return 1;
2219 : }
2220 14 : if (tb == t_INT && !signe(b))
2221 : {
2222 0 : T->u = R_abs_shallow(a);
2223 0 : T->t = gsigne(a) < 0? 4: 0;
2224 0 : return 1;
2225 : }
2226 14 : if (ta != tb || ta == t_REAL) return 0;
2227 : /* a,b both non zero, both t_INT or t_FRAC */
2228 14 : if (ta == t_INT)
2229 : {
2230 7 : if (!absequalii(a, b)) return 0;
2231 7 : T->u = absi_shallow(a);
2232 7 : T->v = 1;
2233 7 : if (signe(a) == signe(b))
2234 0 : { T->t = signe(a) < 0? -3: 1; }
2235 : else
2236 7 : { T->t = signe(a) < 0? 3: -1; }
2237 : }
2238 : else
2239 : {
2240 7 : if (!absequalii(gel(a,2), gel(b,2)) || !absequalii(gel(a,1),gel(b,1)))
2241 7 : return 0;
2242 0 : T->u = absfrac_shallow(a);
2243 0 : T->v = 1;
2244 0 : a = gel(a,1);
2245 0 : b = gel(b,1);
2246 0 : if (signe(a) == signe(b))
2247 0 : { T->t = signe(a) < 0? -3: 1; }
2248 : else
2249 0 : { T->t = signe(a) < 0? 3: -1; }
2250 : }
2251 7 : return 1;
2252 : }
2253 :
2254 : /* z * sqrt(st_b) / sqrt(st_a) exp(I Pi (t + t0)). Assume that
2255 : * sqrt2 = gsqrt(gen_2, prec) or NULL */
2256 : static GEN
2257 42 : apply_eta_correction(GEN z, GEN st_a, GEN st_b, GEN t0, GEN sqrt2, long prec)
2258 : {
2259 42 : GEN t, s_a = gel(st_a, 1), s_b = gel(st_b, 1);
2260 : cxanalyze_t Ta, Tb;
2261 : int ca, cb;
2262 :
2263 42 : t = gsub(gel(st_b,2), gel(st_a,2));
2264 42 : if (t0 != gen_0) t = gadd(t, t0);
2265 42 : ca = cxanalyze(&Ta, s_a);
2266 42 : cb = cxanalyze(&Tb, s_b);
2267 42 : if (ca || cb)
2268 42 : { /* compute sqrt(s_b) / sqrt(s_a) in a more efficient way:
2269 : * sb = ub sqrt(2)^vb exp(i Pi/4 tb) */
2270 42 : GEN u = gdiv(Tb.u,Ta.u);
2271 42 : switch(Tb.v - Ta.v)
2272 : {
2273 0 : case -1: u = gmul2n(u,-1); /* fall through: write 1/sqrt2 = sqrt2/2 */
2274 7 : case 1: u = gmul(u, sqrt2? sqrt2: sqrtr_abs(real2n(1, prec)));
2275 : }
2276 42 : if (!isint1(u)) z = gmul(z, gsqrt(u, prec));
2277 42 : t = gadd(t, gmul2n(stoi(Tb.t - Ta.t), -3));
2278 : }
2279 : else
2280 : {
2281 0 : z = gmul(z, gsqrt(s_b, prec));
2282 0 : z = gdiv(z, gsqrt(s_a, prec));
2283 : }
2284 42 : return gmul(z, expIPiQ(t, prec));
2285 : }
2286 :
2287 : /* sqrt(2) eta(2x) / eta(x) */
2288 : GEN
2289 14 : weberf2(GEN x, long prec)
2290 : {
2291 14 : pari_sp av = avma;
2292 : GEN z, sqrt2, a,b, Ua,Ub, st_a,st_b;
2293 :
2294 14 : x = upper_to_cx(x, &prec);
2295 14 : a = cxredsl2(x, &Ua);
2296 14 : b = cxredsl2(gmul2n(x,1), &Ub);
2297 14 : if (gequal(a,b)) /* not infrequent */
2298 0 : z = gen_1;
2299 : else
2300 14 : z = gdiv(eta_reduced(b,prec), eta_reduced(a,prec));
2301 14 : st_a = eta_correction(a, Ua, 1);
2302 14 : st_b = eta_correction(b, Ub, 1);
2303 14 : sqrt2 = sqrtr_abs(real2n(1, prec));
2304 14 : z = apply_eta_correction(z, st_a, st_b, gen_0, sqrt2, prec);
2305 14 : return gc_upto(av, gmul(z, sqrt2));
2306 : }
2307 :
2308 : /* eta(x/2) / eta(x) */
2309 : GEN
2310 14 : weberf1(GEN x, long prec)
2311 : {
2312 14 : pari_sp av = avma;
2313 : GEN z, a,b, Ua,Ub, st_a,st_b;
2314 :
2315 14 : x = upper_to_cx(x, &prec);
2316 14 : a = cxredsl2(x, &Ua);
2317 14 : b = cxredsl2(gmul2n(x,-1), &Ub);
2318 14 : if (gequal(a,b)) /* not infrequent */
2319 0 : z = gen_1;
2320 : else
2321 14 : z = gdiv(eta_reduced(b,prec), eta_reduced(a,prec));
2322 14 : st_a = eta_correction(a, Ua, 1);
2323 14 : st_b = eta_correction(b, Ub, 1);
2324 14 : z = apply_eta_correction(z, st_a, st_b, gen_0, NULL, prec);
2325 14 : return gc_upto(av, z);
2326 : }
2327 : /* exp(-I*Pi/24) * eta((x+1)/2) / eta(x) */
2328 : GEN
2329 14 : weberf(GEN x, long prec)
2330 : {
2331 14 : pari_sp av = avma;
2332 : GEN z, t0, a,b, Ua,Ub, st_a,st_b;
2333 14 : x = upper_to_cx(x, &prec);
2334 14 : a = cxredsl2(x, &Ua);
2335 14 : b = cxredsl2(gmul2n(gaddgs(x,1),-1), &Ub);
2336 14 : if (gequal(a,b)) /* not infrequent */
2337 7 : z = gen_1;
2338 : else
2339 7 : z = gdiv(eta_reduced(b,prec), eta_reduced(a,prec));
2340 14 : st_a = eta_correction(a, Ua, 1);
2341 14 : st_b = eta_correction(b, Ub, 1);
2342 14 : t0 = mkfrac(gen_m1, utoipos(24));
2343 14 : z = apply_eta_correction(z, st_a, st_b, t0, NULL, prec);
2344 14 : if (typ(z) == t_COMPLEX && isexactzero(real_i(x)))
2345 0 : z = gc_GEN(av, gel(z,1));
2346 : else
2347 14 : z = gc_upto(av, z);
2348 14 : return z;
2349 : }
2350 : GEN
2351 42 : weber0(GEN x, long flag,long prec)
2352 : {
2353 42 : switch(flag)
2354 : {
2355 14 : case 0: return weberf(x,prec);
2356 14 : case 1: return weberf1(x,prec);
2357 14 : case 2: return weberf2(x,prec);
2358 0 : default: pari_err_FLAG("weber");
2359 : }
2360 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
2361 : }
2362 :
2363 : /********************************************************************/
2364 : /** Jacobi sn, cn, dn **/
2365 : /********************************************************************/
2366 :
2367 : static GEN
2368 42 : elljacobi_cx(GEN z, GEN k, long prec)
2369 : {
2370 42 : GEN K = ellK(k, prec), Kp = ellK(gsqrt(gsubsg(1, gsqr(k)), prec), prec);
2371 42 : GEN zet = gdiv(gmul2n(z, -1), K), tau = mulcxI(gdiv(Kp, K));
2372 42 : GEN T0, T = thetaall(zet, tau, &T0, prec);
2373 42 : GEN t1 = gneg(gel(T,4)), t2 = gel(T,3), t3 = gel(T,1), t4 = gel(T,2);
2374 42 : GEN z2 = gel(T0,3), z3 = gel(T0,1), z4 = gel(T0,2), z2t4 = gmul(z2, t4);
2375 : GEN SN, CN, DN;
2376 42 : SN = gdiv(gmul(z3, t1), z2t4);
2377 42 : CN = gdiv(gmul(z4, t2), z2t4);
2378 42 : DN = gdiv(gmul(z4, t3), gmul(z3, t4));
2379 42 : return mkvec3(SN, CN, DN);
2380 : }
2381 :
2382 : /* N >= 1 */
2383 : static GEN
2384 14 : elljacobi_pol(long N, GEN k)
2385 : {
2386 14 : GEN S = cgetg(N, t_VEC), C = cgetg(N+1, t_VEC), D = cgetg(N+1, t_VEC);
2387 14 : GEN SS, SC, SD, F, P, k2 = gsqr(k);
2388 : long n, j;
2389 14 : if (N == 1)
2390 : {
2391 7 : SS = cgetg(2, t_SER); SS[1] = evalsigne(0) | _evalvalser(1);
2392 7 : SC = cgetg(4, t_SER); SC[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(0);
2393 7 : SD = cgetg(4, t_SER); SD[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(0);
2394 7 : gel(SC, 2) = gel(SD, 2) = gen_1;
2395 7 : gel(SC, 3) = gel(SD, 3) = gen_0; return mkvec3(SS, SC, SD);
2396 : }
2397 : /* N > 1 */
2398 7 : gel(C,1) = gel(D,1) = gel(S,1) = gen_1;
2399 7 : P = matqpascal(2*N-1, NULL);
2400 63 : for (n = 1; n < N; n++)
2401 : {
2402 : GEN TD, TC, TS;
2403 63 : TC = gmulgs(gel(D, n), 2*n-1);
2404 63 : TD = gmulgs(gel(C, n), 2*n-1); /* j = 0 */
2405 315 : for (j = 1; j < n; j++)
2406 : {
2407 252 : GEN a = gmul(gcoeff(P, 1 + 2*n-1, 1 + 2*j+1), gel(S, j+1));
2408 252 : TC = gadd(TC, gmul(a, gel(D, n-j)));
2409 252 : TD = gadd(TD, gmul(a, gel(C, n-j)));
2410 : }
2411 63 : gel(C, n+1) = TC;
2412 63 : gel(D, n+1) = gmul(TD, k2);
2413 63 : if (n+1 == N) break;
2414 56 : TS = gadd(gel(C, n+1), gel(D, n+1)); /* j = 0 and n */
2415 252 : for (j = 1; j < n; j++)
2416 196 : TS = gadd(TS, gmul3(gcoeff(P, 1+2*n, 1+2*j), gel(C,j+1), gel(D,n+1-j)));
2417 56 : gel(S, n+1) = TS;
2418 : }
2419 7 : F = cgetg(2*N, t_VEC); gel(F,1) = gen_1;
2420 133 : for (j = 2; j < 2*N; j++) gel(F,j) = mulis(gel(F,j-1), odd(j)? j: -j);
2421 7 : SS = cgetg(2*N, t_SER); SS[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(1);
2422 7 : SC = cgetg(2*N+2, t_SER); SC[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(0);
2423 7 : SD = cgetg(2*N+2, t_SER); SD[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(0);
2424 7 : gel(SC, 2) = gel(SD, 2) = gel(SS, 2) = gen_1;
2425 7 : gel(SC, 3) = gel(SD, 3) = gel(SS, 3) = gen_0;
2426 70 : for (j = 2; j <= N; j++)
2427 : {
2428 63 : GEN q = gel(F, 2*j-2); /* (-1)^(j-1) (2j-2)! */
2429 63 : gel(SC, 2*j) = gdiv(gel(C,j), q);
2430 63 : gel(SD, 2*j) = gdiv(gel(D,j), q);
2431 63 : gel(SC, 2*j+1) = gen_0;
2432 63 : gel(SD, 2*j+1) = gen_0;
2433 63 : if (j < N)
2434 : {
2435 56 : q = gel(F, 2*j-1); /* (-1)^(j-1) (2j-1)! */
2436 56 : gel(SS, 2*j) = gdiv(gel(S,j), q);
2437 56 : gel(SS, 2*j+1) = gen_0;
2438 : }
2439 : }
2440 7 : return mkvec3(SS, SC, SD);
2441 : }
2442 :
2443 : GEN
2444 70 : elljacobi(GEN z, GEN k, long prec)
2445 : {
2446 70 : pari_sp av = avma;
2447 70 : long N = (precdl + 3) >> 1;
2448 70 : if (!z) z = pol_x(0);
2449 70 : switch (typ(z))
2450 : {
2451 0 : case t_QUAD: z = gtofp(z, prec); /* fall through */
2452 42 : case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_COMPLEX:
2453 42 : return gc_GEN(av, elljacobi_cx(z, k, prec)); break;
2454 7 : case t_POL:
2455 7 : if (lg(z) > 2 && !gequal0(gel(z,2)))
2456 7 : pari_err(e_IMPL, "elljacobi(t_SER) away from 0");
2457 0 : break;
2458 7 : case t_RFRAC:
2459 : {
2460 7 : GEN b = gel(z,2);
2461 7 : if (gequal0(gel(b,2)) || !gequal0(gsubst(gel(z,1), varn(b), gen_0)))
2462 7 : pari_err(e_IMPL, "elljacobi(t_SER) away from 0");
2463 0 : break;
2464 : }
2465 14 : case t_SER:
2466 14 : if (valser(z) <= 0)
2467 0 : pari_err(e_IMPL, "elljacobi(t_SER) away from 0");
2468 14 : N = lg(z) - 1; break;
2469 0 : default: pari_err_TYPE("elljacobi", z);
2470 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
2471 : }
2472 14 : return gc_upto(av, gsubst(elljacobi_pol(N, k), 0, z));
2473 : }
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