Line data Source code
1 : /* Copyright (C) 2022 The PARI group.
2 :
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4 :
5 : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
6 : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
7 : Foundation; either version 2 of the License, or (at your option) any later
8 : version. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
9 : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
10 :
11 : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
12 : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
13 : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
14 :
15 : #include "pari.h"
16 : #include "paripriv.h"
17 :
18 : #define DEBUGLEVEL DEBUGLEVEL_trans
19 :
20 : /********************************************************/
21 : /* Hurwitz zeta function */
22 : /********************************************************/
23 : struct Qp_zetahurwitz_t { GEN B, _1, s1; };
24 : static void
25 215 : Qp_zetahurwitz_init(struct Qp_zetahurwitz_t *S, long prec, GEN s)
26 : {
27 215 : GEN B, C = gen_1, s1 = gsubgs(s, 1), p = padic_p(s);
28 215 : long j, J = ((equaliu(p,2)? (prec >> 1): prec) + 2) >> 1;
29 215 : if (gequal0(s1)) s1 = NULL;
30 215 : B = bernvec(J);
31 2390 : for (j = 1; j <= J; j++)
32 : {
33 2175 : GEN t = (j == 1 && !s1)? s: gmul(gaddgs(s, 2*j-3), gaddgs(s, 2*j-2));
34 2175 : C = gdivgunextu(gmul(C, t), 2*j-1);
35 2175 : gel(B, j+1) = gmul(gel(B, j+1), C); /* B_{2j} * binomial(1-s, 2j) */
36 : }
37 215 : S->_1 = cvtop(gen_1, p, prec);
38 215 : S->s1 = s1;
39 215 : S->B = B;
40 215 : }
41 :
42 : /* v_p(x) < (p==2)?-1: 0; s1 = s-1 or NULL (if s=1) */
43 : static GEN
44 870 : Qp_zetahurwitz_0(struct Qp_zetahurwitz_t *S, GEN x)
45 : {
46 870 : GEN z, x2, x2j, s1 = S->s1;
47 870 : long j, J = lg(S->B) - 2;
48 :
49 870 : x = cvtop2(ginv(x), S->_1); z = gmul2n(x, -1);
50 870 : z = s1? gmul(s1, z): gadd(Qp_log(x), z);
51 870 : x2j = x2 = gsqr(x); z = gaddgs(z, 1);
52 870 : for (j = 1;; j++)
53 : {
54 15375 : z = gadd(z, gmul(gel(S->B, j + 1), x2j));
55 15375 : if (j == J) break;
56 14505 : x2j = gmul(x2, x2j);
57 : }
58 870 : if (s1) z = gmul(gdiv(z, s1), Qp_exp(gmul(s1, Qp_log(x))));
59 870 : return z;
60 : }
61 : /* private (absolute) padicprec */
62 : static long
63 390 : pprec(GEN x) { return maxss(valp(x) + precp(x), 1); }
64 :
65 : /* L_p(s, (D, .)); assume s != 1 if D = 1 */
66 : static GEN
67 10 : Qp_zeta_i(GEN s, long D)
68 : {
69 10 : pari_sp av = avma;
70 10 : GEN z, va, gp = padic_p(s);
71 10 : ulong a, p = itou(gp), m;
72 10 : long prec = pprec(s);
73 : struct Qp_zetahurwitz_t S;
74 :
75 10 : if (D <= 0) pari_err_DOMAIN("p-adic L-function", "D", "<=", gen_0, stoi(D));
76 10 : if (!uposisfundamental(D))
77 0 : pari_err_TYPE("p-adic L-function [D not fundamental]", stoi(D));
78 10 : Qp_zetahurwitz_init(&S, prec, s);
79 10 : m = ulcm(D, p == 2? 4: p); va = coprimes_zv(m);
80 30 : for (a = 1, z = gen_0; a <= (m >> 1); a++)
81 20 : if (va[a])
82 : {
83 15 : GEN h = Qp_zetahurwitz_0(&S, uutoQ(a, m));
84 15 : if (D != 1 && kross(D, a) < 0) h = gneg(h);
85 15 : z = gadd(z, h);
86 : }
87 10 : z = gdivgs(gmul2n(z, 1), m);
88 10 : if (D != 1) z = gmul(z, Qp_exp(gmul(gsubsg(1, s), Qp_log(cvstop2(m, s)))));
89 10 : return gc_upto(av, z);
90 : }
91 : GEN
92 10 : Qp_zeta(GEN s) { return Qp_zeta_i(s, 1); }
93 :
94 : /* s a t_PADIC; gc_upto-safe. Could be exported */
95 : static GEN
96 205 : Qp_zetahurwitz_ii(GEN s, GEN x, long k)
97 : {
98 205 : GEN gp = padic_p(s);
99 205 : long p = itou(gp), prec = pprec(s);
100 : struct Qp_zetahurwitz_t S;
101 205 : Qp_zetahurwitz_init(&S, prec, s);
102 205 : if (typ(x) != t_PADIC) x = gadd(x, zeropadic_shallow(gp, prec));
103 205 : if (valp(x) >= ((p==2)? -1: 0))
104 : {
105 200 : GEN z = gen_0;
106 200 : long j, M = (p==2)? 4: p;
107 1335 : for (j = 0; j < M; j++)
108 : {
109 1135 : GEN y = gaddsg(j, x);
110 1135 : if (valp(y) <= 0)
111 : {
112 850 : GEN tmp = Qp_zetahurwitz_0(&S, gdivgu(y, M));
113 850 : if (k) tmp = gmul(tmp, gpowgs(teich(y), k));
114 850 : z = gadd(z, tmp);
115 : }
116 : }
117 200 : return gdivgu(z, M);
118 : }
119 5 : if (valp(s) < 0) pari_err_DOMAIN("Qp_zetahurwitz", "v(s)", "<", gen_0, s);
120 5 : return Qp_zetahurwitz_0(&S, x);
121 : }
122 :
123 : /* x or s must be p-adic */
124 : static GEN
125 205 : Qp_zetahurwitz_i(GEN s, GEN x, long k)
126 : {
127 205 : if (typ(x) == t_PADIC)
128 : {
129 175 : pari_sp av = avma;
130 175 : GEN p = padic_p(x);
131 175 : long e = pprec(x);
132 175 : e += sdivsi(e, subis(p, 1));
133 175 : s = gadd(s, zeropadic_shallow(p, e));
134 175 : return gc_upto(av, Qp_zetahurwitz_ii(s, x, k));
135 : }
136 30 : return Qp_zetahurwitz_ii(s, x, k);
137 : }
138 :
139 : GEN
140 170 : Qp_zetahurwitz(GEN s, GEN x, long k)
141 : {
142 170 : pari_sp av = avma;
143 170 : return gc_upto(av, Qp_zetahurwitz_i(s, x, k));
144 : }
145 :
146 : static void
147 6140 : binsplit(GEN *pP, GEN *pR, GEN aN2, GEN isqaN, GEN s, long j, long k, long prec)
148 : {
149 6140 : if (j + 1 == k)
150 : {
151 3105 : long j2 = j << 1;
152 : GEN P;
153 3105 : if (!j) P = gdiv(s, aN2);
154 : else
155 : {
156 3035 : P = gmul(gaddgs(s, j2-1), gaddgs(s, j2));
157 3035 : P = gdivgunextu(gmul(P, isqaN), j2+1);
158 : }
159 3105 : if (pP) *pP = P;
160 3105 : if (pR) *pR = gmul(bernreal(j2+2, prec), P);
161 : }
162 : else
163 : {
164 : GEN P1, R1, P2, R2;
165 3035 : binsplit(&P1,pR? &R1: NULL, aN2, isqaN, s, j, (j+k) >> 1, prec);
166 3035 : binsplit(pP? &P2: NULL, pR? &R2: NULL, aN2, isqaN, s, (j+k) >> 1, k, prec);
167 3035 : if (pP) *pP = gmul(P1,P2);
168 3035 : if (pR) *pR = gadd(R1, gmul(P1, R2));
169 : }
170 6140 : }
171 :
172 : /* a0 + a1 x + O(x^e), e >= 0 */
173 : static GEN
174 55 : deg1ser_shallow(GEN a1, GEN a0, long v, long e)
175 55 : { return RgX_to_ser(deg1pol_shallow(a1, a0, v), e+2); }
176 :
177 : static long
178 434 : hurwitz_cutoff(GEN s, long bit)
179 : {
180 471 : return typ(s) == t_COMPLEX &&
181 37 : fabs(gtodouble(gel(s,2))) > 5.37 * pow(bit, 1.4) / mt_nbthreads();
182 : }
183 :
184 : /* New zetahurwitz, from Fredrik Johansson. */
185 : GEN
186 527 : zetahurwitz(GEN s, GEN x, long der, long bitprec)
187 : {
188 527 : pari_sp av = avma, av2;
189 527 : GEN a, ra, ra0, Nx, S1, S2, S3, N2, rx, sch = NULL, s0 = s, x0 = x, y;
190 527 : long j, k, m, N, prec0 = nbits2prec(bitprec), prec = prec0, fli = 0;
191 : pari_timer T;
192 :
193 527 : if (typ(s) == t_PADIC || typ(x) == t_PADIC)
194 35 : return gc_upto(av, Qp_zetahurwitz_i(s, x, der));
195 492 : if (der < 0) pari_err_DOMAIN("zetahurwitz", "der", "<", gen_0, stoi(der));
196 492 : if (der)
197 : {
198 : GEN z;
199 15 : if (!is_scalar_t(typ(s)))
200 : {
201 5 : z = deriv(zetahurwitz(s, x, der - 1, bitprec), -1);
202 5 : z = gdiv(z, deriv(s, -1));
203 : }
204 : else
205 : {
206 10 : if (gequal1(s)) pari_err_DOMAIN("zetahurwitz", "s", "=", gen_1, s0);
207 10 : s = deg1ser_shallow(gen_1, s, 0, der+2);
208 10 : z = zetahurwitz(s, x, 0, bitprec + der * log2(der));
209 10 : z = gmul(mpfact(der), polcoef_i(z, der, -1));
210 : }
211 15 : return gc_upto(av,z);
212 : }
213 477 : switch(typ(x))
214 : {
215 341 : case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_COMPLEX: break;
216 136 : default:
217 136 : if (!(y = toser_i(x))) pari_err_TYPE("zetahurwitz", x);
218 131 : x = y; x0 = polcoef_i(x, 0, -1); break;
219 : }
220 472 : rx = real_i(x0);
221 472 : if (typ(x) != t_SER && typ(rx) == t_INT && signe(rx) <= 0
222 69 : && gequal0(imag_i(x0)))
223 0 : pari_err_DOMAIN("zetahurwitz","x", "=",
224 : strtoGENstr("nonpositive integer"), x0);
225 472 : rx = grndtoi(rx, NULL);
226 472 : if (typ(rx) != t_INT) pari_err_TYPE("zetahurwitz", x);
227 472 : switch (typ(s))
228 : {
229 : long v, pr;
230 422 : case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_COMPLEX:
231 422 : if (!der && hurwitz_cutoff(s, bitprec))
232 5 : return zetahurwitzlarge(s, x, prec);
233 417 : break;
234 50 : default:
235 50 : if (!(y = toser_i(s))) pari_err_TYPE("zetahurwitz", s);
236 50 : if (valser(y) < 0) pari_err_DOMAIN("zetahurwitz", "val(s)", "<", gen_0, s);
237 50 : s0 = polcoef_i(y, 0, -1);
238 50 : switch(typ(s0))
239 : {
240 45 : case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_COMPLEX: break;
241 0 : case t_PADIC: pari_err_IMPL("zetahurwitz(t_SER of t_PADIC)");
242 5 : default: pari_err_TYPE("zetahurwitz", s0);
243 : }
244 45 : sch = gequal0(s0)? y: serchop0(y);
245 45 : v = valser(sch);
246 45 : pr = (lg(y) + v + 1) / v;
247 45 : if (gequal1(s0)) pr += v;
248 45 : s = deg1ser_shallow(gen_1, s0, 0, pr);
249 : }
250 462 : a = gneg(s0); ra = real_i(a); ra0 = ground(ra);
251 462 : if (gequal1(s0) && (!sch || gequal0(sch)))
252 10 : pari_err_DOMAIN("zetahurwitz", "s", "=", gen_1, s0);
253 452 : fli = (gsigne(ra0) >= 0 && gexpo(gsub(a, ra0)) < 17 - bitprec);
254 452 : if (!sch && fli)
255 : { /* a ~ non negative integer */
256 10 : k = itos(gceil(ra)) + 1;
257 10 : if (odd(k)) k++;
258 10 : N = 1;
259 : }
260 : else
261 : {
262 442 : GEN C, ix = imag_i(x0);
263 442 : double c = (typ(s) == t_INT)? 1: 20 * log((double)bitprec);
264 442 : double rs = gtodouble(ra) + 1;
265 : long k0;
266 442 : if (fli) a = gadd(a, ghalf); /* hack */
267 442 : if (rs > 0)
268 : {
269 35 : bitprec += (long)ceil(rs * expu(bitprec));
270 35 : prec = nbits2prec(bitprec);
271 35 : x = gprec_w(x, prec);
272 35 : s = gprec_w(s, prec);
273 35 : if (sch) sch = gprec_w(sch, prec);
274 : }
275 442 : k = bitprec * M_LN2 / (1 + dbllambertW0(M_PI / c));
276 442 : k0 = itos(gceil(gadd(ra, ghalf))) + 1;
277 442 : k = maxss(k0, k);
278 442 : if (odd(k)) k++;
279 : /* R_k < 2 |binom(a,k+1) B_{k+2}/(k+2)| */
280 442 : C = binomial(a, k+1); C = polcoef_i(C, 0, -1);
281 442 : C = gmul(C, gdivgu(bernfrac(k+2), k+2));
282 442 : C = gmul2n(gabs(C,LOWDEFAULTPREC), bitprec + 1);
283 442 : C = gpow(C, ginv(gsubsg(k+1, ra)), LOWDEFAULTPREC);
284 : /* need |N + x - 1|^2 > C^2 */
285 442 : if (!gequal0(ix))
286 : {
287 108 : GEN tmp = gsub(gsqr(C), gsqr(ix));
288 108 : if (gsigne(tmp) >= 0) C = gsqrt(tmp, LOWDEFAULTPREC);
289 : }
290 : /* need |N + re(x) - 1| > C */
291 442 : C = gceil(gadd(C, gsubsg(1, rx)));
292 442 : if (typ(C) != t_INT) pari_err_TYPE("zetahurwitz",s);
293 442 : N = signe(C) > 0? itos(C) : 1;
294 442 : if (N == 1 && signe(a) > 0)
295 : { /* May reduce k if 2Pix > a */
296 : /* Need 2 |x^(-K) (B_K/K) binom(a, K-1)| < 2^-bit |x|^-rs |zeta(s,x)|
297 : * with K = k+2; N = 1; |zeta(s,x)| ~ |x|^(rs-1);
298 : * if a > 0, (B_K/K) binom(a, K-1) < 2 |a / 2Pi|^K */
299 0 : double dx = dbllog2(x0), d = 1 + dx + log2(M_PI) - dbllog2(s0);
300 0 : if (d > 0)
301 : { /* d ~ log2 |2Pi x / a| */
302 0 : long K = (long)ceil((bitprec + 1 + dx) / d);
303 0 : K = maxss(k0, K);
304 0 : if (odd(K)) K++;
305 0 : if (K < k) k = K;
306 : }
307 : }
308 : }
309 452 : if (gsigne(rx) < 0) N = maxss(N, 1 - itos(rx));
310 452 : a = gneg(s);
311 452 : if (DEBUGLEVEL>2) timer_start(&T);
312 452 : incrprec(prec);
313 452 : Nx = gaddsg(N - 1, x);
314 452 : Nx = typ(Nx) == t_SER? RgX_gtofp(Nx, prec): gtofp(Nx, prec);
315 452 : S1 = S3 = gpow(Nx, a, prec);
316 452 : av2 = avma;
317 452 : if (gequal1(x)) S1 = dirpowerssum(N, a, 0, prec);
318 : else
319 6473 : for (m = N - 2; m >= 0; m--)
320 : {
321 6062 : S1 = gadd(S1, gpow(gaddsg(m,x), a, prec));
322 6062 : if ((m & 0xff) == 0) S1 = gc_upto(av2, S1);
323 : }
324 452 : if (DEBUGLEVEL>2) timer_printf(&T,"sum from 0 to N - 1");
325 452 : constbern(k >> 1);
326 452 : N2 = ginv(gsqr(Nx));
327 452 : if (typ(s0) == t_INT)
328 : {
329 382 : S2 = divru(bernreal(k, prec), k);
330 8787 : for (j = k - 2; j >= 2; j -= 2)
331 : {
332 8405 : GEN t = gsubgs(a, j), u = gmul(t, gaddgs(t, 1));
333 8405 : u = gmul(gdivgunextu(u, j), gmul(S2, N2));
334 8405 : S2 = gadd(divru(bernreal(j, prec), j), u);
335 : }
336 382 : S2 = gmul(S2, gdiv(a, Nx));
337 : }
338 : else
339 : {
340 70 : binsplit(NULL,&S2, gmul2n(Nx,1), N2, s, 0, k >> 1, prec);
341 70 : S2 = gneg(S2);
342 : }
343 452 : S2 = gadd(ghalf, S2);
344 452 : if (DEBUGLEVEL>2) timer_printf(&T,"Bernoulli sum");
345 452 : S2 = gmul(S3, gadd(gdiv(Nx, gaddsg(1, a)), S2));
346 452 : S1 = gprec_wtrunc(gsub(S1, S2), prec0);
347 452 : if (sch) return gc_upto(av, gsubst(S1, 0, sch));
348 412 : return gc_GEN(av, S1);
349 : }
350 :
351 : /* New Lerch, inspired by Fredrik Johansson. */
352 :
353 : GEN
354 131756 : lerch_worker(GEN t, GEN E)
355 : {
356 131756 : GEN n, d, T, s = gel(E,1), a = gmul(gel(E,2), t), z = gel(E,3);
357 131756 : long p = itos(gel(E,4)), prec = labs(p);
358 131756 : d = gadd(gexp(t, prec), z);
359 131756 : T = p > 0? t: gneg(t);
360 131756 : if (typ(s) == t_INT)
361 50208 : n = gmul(gpow(T, s, prec), gexp(a, prec));
362 : else /* save one exp */
363 81548 : n = gexp(gadd(gmul(s, glog(T, prec)), a), prec);
364 131756 : return gdiv(n, d);
365 : }
366 :
367 : /* tab already computed with N = #tab[1] even */
368 : static GEN
369 378 : parintnumgauss(GEN f, GEN a, GEN b, GEN tab, long prec)
370 : {
371 378 : GEN R = gel(tab, 1), W = gel(tab, 2), bma, bpa, S = gen_0, VP, VM, V;
372 378 : long n = lg(R) - 1, i, prec2 = prec + EXTRAPREC64;
373 378 : a = gprec_wensure(a, prec2);
374 378 : b = gprec_wensure(b, prec2);
375 378 : VP = cgetg(n + 1, t_VEC); bma = gmul2n(gsub(b, a), -1);
376 378 : VM = cgetg(n + 1, t_VEC); bpa = gadd(bma, a);
377 24174 : for (i = 1; i <= n; i++)
378 : {
379 23796 : GEN h = gmul(bma, gel(R, i));
380 23796 : gel(VP, i) = gadd(bpa, h);
381 23796 : gel(VM, i) = gsub(bpa, h);
382 : }
383 378 : V = gadd(parapply(f, VP), parapply(f, VM));
384 24174 : for (i = 1; i <= n; i++)
385 : {
386 23796 : S = gadd(S, gmul(gel(W, i), gel(V, i)));
387 23796 : S = gprec_wensure(S, prec2);
388 : }
389 378 : return gprec_wtrunc(gmul(bma, S), prec);
390 : }
391 :
392 : /* Assume tab computed and a >= 0 */
393 : static GEN
394 102 : parintnum(GEN f, GEN a, GEN tab)
395 : {
396 : pari_sp av;
397 102 : GEN tabx0 = gel(tab, 2), tabw0 = gel(tab, 3), tabxm = gel(tab, 6);
398 102 : GEN tabxp = gel(tab, 4), tabwp = gel(tab, 5), tabwm = gel(tab, 7);
399 102 : GEN VP = tabxp, VM = tabxm, x0 = tabx0, S;
400 102 : long prec = gprecision(tabw0), L = lg(tabxp), i, fla = 0;
401 102 : if (!gequal0(a))
402 : {
403 78 : if (gexpo(a) <= 0)
404 : {
405 54 : x0 = gadd(a, x0);
406 25933 : for (i = 1; i < L; i++)
407 : {
408 25879 : gel(VP, i) = gadd(a, gel(VP, i));
409 25879 : gel(VM, i) = gadd(a, gel(VM, i));
410 : }
411 : }
412 : else
413 : {
414 24 : x0 = gmul(a, gaddsg(1, x0)); fla = 1;
415 4632 : for (i = 1; i < L; i++)
416 : {
417 4608 : gel(VP, i) = gmul(a, gaddsg(1, gel(VP, i)));
418 4608 : gel(VM, i) = gmul(a, gaddsg(1, gel(VM, i)));
419 : }
420 : }
421 : }
422 102 : VP = parapply(f, VP);
423 102 : VM = parapply(f, VM); av = avma;
424 102 : S = gmul(tabw0, closure_callgen1(f, x0));
425 42133 : for (i = 1; i < L; i++)
426 : {
427 42031 : S = gadd(S, gadd(gmul(gel(tabwp, i), gel(VP, i)),
428 42031 : gmul(gel(tabwm, i), gel(VM, i))));
429 42031 : if ((i & 0x7f) == 1) S = gc_upto(av, S);
430 42031 : S = gprec_wensure(S, prec);
431 : }
432 102 : if (fla) S = gmul(S, a);
433 102 : return gmul(S, gel(tab, 1));
434 : }
435 :
436 : static GEN
437 72 : refine(GEN A)
438 : {
439 72 : long n = lg(A) - 1, i;
440 72 : GEN B = cgetg(2 * n, t_VEC);
441 198 : for (i = 1; i < n; i++)
442 : {
443 126 : gel(B, 2 * i - 1) = gel(A, i);
444 126 : gel(B, 2 * i) = gmul2n(gadd(gel(A, i), gel(A, i + 1)), -1);
445 : }
446 72 : gel(B, 2 * n - 1) = gel(A, n); return B;
447 : }
448 :
449 : /* Here L = [a1, a2, a3,...] integration vertices. Refine by splitting
450 : * intervals. */
451 : static GEN
452 72 : parintnumgaussadapt(GEN f, GEN L, GEN tab, long bit)
453 : {
454 72 : GEN Rold = gen_0, Rnew;
455 72 : long i, ct = 0, prec = nbits2prec(bit);
456 144 : while (ct <= 5)
457 : {
458 144 : Rnew = gen_0;
459 522 : for (i = 1; i < lg(L) - 1; i++)
460 378 : Rnew = gadd(Rnew, parintnumgauss(f, gel(L, i), gel(L, i + 1), tab, prec));
461 144 : if (ct && gexpo(gsub(Rnew, Rold)) - gexpo(Rnew) < 10 - bit) return Rnew;
462 72 : ct++; Rold = Rnew; L = refine(L);
463 : }
464 0 : if (DEBUGLEVEL) err_printf("intnumgaussadapt: possible accuracy loss");
465 0 : return Rnew; /* Possible accuracy loss */
466 : }
467 :
468 : /* Here b = [oo, r], so refine by increasing integration step m */
469 : static GEN
470 36 : parintnumadapt(GEN f, GEN a, GEN b, GEN tab, long bit)
471 : {
472 36 : GEN Rold = gen_0, Rnew;
473 36 : long m = 0, prec = nbits2prec(bit);
474 36 : if (!tab) tab = intnuminit(gen_0, b, 0, prec);
475 102 : while (m <= 5)
476 : {
477 102 : Rnew = parintnum(f, a, tab);
478 102 : if (m && gexpo(gsub(Rnew, Rold)) - gexpo(Rnew) < 10 - bit) return Rnew;
479 66 : m++; Rold = Rnew; tab = intnuminit(gen_0, b, m, prec);
480 : }
481 0 : if (DEBUGLEVEL) err_printf("intnumadapt: possible accuracy loss");
482 0 : return Rnew; /* Possible accuracy loss */
483 : }
484 :
485 : static int
486 180 : iscplx(GEN z) { long t = typ(z); return is_real_t(t) || t == t_COMPLEX; }
487 :
488 : static GEN
489 12 : lerch_easy(GEN z, GEN s, GEN a, long B)
490 : {
491 12 : long n, prec = nbits2prec(B + 32);
492 12 : GEN zn, ms = gneg(s), S = gpow(a, ms, prec);
493 12 : zn = z = gtofp(z, prec);
494 3264 : for (n = 1;; n++, zn = gmul(zn, z))
495 : {
496 3264 : S = gadd(S, gmul(zn, gpow(gaddgs(a, n), ms, prec)));
497 3264 : if (gexpo(zn) <= - B - 5) return S;
498 : }
499 : }
500 :
501 : static GEN
502 96 : _lerchphi(GEN z, GEN s, GEN a, long prec)
503 : {
504 96 : GEN res = NULL, L, LT, J, rs, mleft, left, right, top, w, Linf, tabg;
505 : GEN E, f, fm;
506 96 : long B = prec2nbits(prec), MB = 3 - B, NB, prec2;
507 : entree *ep;
508 :
509 96 : if (gexpo(z) < MB) return gpow(a, gneg(s), prec);
510 96 : if (gexpo(gsubgs(z, 1)) < MB) return zetahurwitz(s, a, 0, B); /* z ~ 1 */
511 96 : if (gexpo(gaddgs(z, 1)) < MB) /* z ~ -1 */
512 : {
513 6 : GEN tmp = gsub(zetahurwitz(s, gmul2n(a, -1), 0, B),
514 : zetahurwitz(s, gmul2n(gaddgs(a, 1), -1), 0, B));
515 6 : return gmul(gpow(gen_2, gneg(s), prec), tmp);
516 : }
517 90 : if (gcmpgs(gmulsg(10, gabs(z, prec)), 9) <= 0) /* |z| <= 9/10 */
518 12 : return lerch_easy(z, s, a, B);
519 78 : if (gcmpgs(real_i(a), 2) < 0)
520 42 : return gadd(gpow(a, gneg(s), prec),
521 : gmul(z, _lerchphi(z, s, gaddgs(a, 1), prec)));
522 36 : NB = (long)ceil(B + M_PI * fabs(gtodouble(imag_i(s))));
523 36 : prec2 = nbits2prec(NB);
524 36 : z = gprec_w(z, prec2); /* |z| > 9/10 */
525 36 : s = gprec_w(s, prec2);
526 36 : a = gprec_w(a, prec2); /* Re(a) >= 2 */
527 36 : rs = ground(real_i(s)); L = glog(z, prec2); /* Re(L) > -0.11 */
528 36 : ep = is_entry("_lerch_worker");
529 36 : E = mkvec4(gsubgs(s, 1), gsubsg(1, a), gneg(z), stoi(prec2));
530 36 : f = snm_closure(ep, mkvec(E));
531 36 : E = shallowcopy(E); gel(E,4) = stoi(-prec2);
532 36 : fm = snm_closure(ep, mkvec(E));
533 36 : Linf = mkvec2(mkoo(), real_i(a));
534 36 : if (gexpo(gsub(s, rs)) < MB && gcmpgs(rs, 1) >= 0)
535 : { /* s ~ positive integer */
536 12 : if (gcmp(gabs(imag_i(L), prec2), sstoQ(1, 4)) < 0 && gsigne(real_i(L)) >= 0)
537 6 : { /* Re(L) >= 0, |Im(L)| < 1/4 */
538 6 : GEN t = gsigne(imag_i(z)) > 0 ? gen_m1: gen_1;
539 6 : GEN LT1 = gaddgs(gabs(L, prec2), 1);
540 6 : LT = mkvec4(gen_0, mkcomplex(gen_0, t), mkcomplex(LT1, t), LT1);
541 6 : tabg = intnumgaussinit(2*(NB >> 2) + 60, prec2);
542 6 : J = parintnumgaussadapt(f, LT, tabg, NB);
543 6 : J = gadd(J, parintnumadapt(f, LT1, Linf, NULL, NB));
544 : }
545 6 : else J = parintnumadapt(f, gen_0, Linf, NULL, NB);
546 12 : return gdiv(J, ggamma(s, prec2));
547 : }
548 24 : tabg = intnumgaussinit(2*(NB >> 2) + 60, prec2);
549 24 : if (gcmp(gabs(imag_i(L), prec2), ghalf) > 0) /* |Im(L)| > 1/2 */
550 12 : left = right = top = gmin(gmul2n(gabs(imag_i(L), prec2), -1), gen_1);
551 : else
552 : {
553 12 : res = gdiv(gpow(gneg(L), s, prec2), gmul(L, gpow(z, a, prec2)));
554 12 : left = gaddgs(gmax(gen_0, gneg(real_i(L))), 1);
555 12 : top = gaddgs(gabs(imag_i(L), prec2), 1);
556 12 : right = gaddgs(gabs(L, prec2), 1);
557 : }
558 24 : w = expIPiC(gsubgs(s, 1), prec2);
559 24 : mleft = gneg(left);
560 24 : if (gexpo(imag_i(z)) < MB && gexpo(imag_i(a)) < MB && gexpo(imag_i(s)) < MB
561 6 : && gcmpgs(real_i(z), 1) < 0)
562 : { /* (z, s, a) real, z < 1 */
563 6 : LT = mkvec3(right, mkcomplex(right, top), mkcomplex(mleft, top));
564 6 : J = imag_i(gdiv(parintnumgaussadapt(f, LT, tabg, NB), w));
565 6 : LT = mkvec2(mkcomplex(mleft, top), mleft);
566 6 : J = gmul2n(gadd(J, imag_i(parintnumgaussadapt(fm, LT, tabg, NB))), 1);
567 6 : J = mulcxI(J);
568 : }
569 : else
570 : {
571 18 : GEN mtop = gneg(top);
572 18 : LT = mkvec3(right, mkcomplex(right, top), mkcomplex(mleft, top));
573 18 : J = gdiv(parintnumgaussadapt(f, LT, tabg, NB), w);
574 18 : LT = mkvec2(mkcomplex(mleft, top), mkcomplex(mleft, mtop));
575 18 : J = gadd(J, parintnumgaussadapt(fm, LT, tabg, NB));
576 18 : LT = mkvec3(mkcomplex(mleft, mtop), mkcomplex(right, mtop), right);
577 18 : J = gadd(J, gmul(parintnumgaussadapt(f, LT, tabg, NB), w));
578 : }
579 24 : J = gadd(J, gmul(gsub(w, ginv(w)), parintnumadapt(f, right, Linf, NULL, NB)));
580 24 : J = gdiv(J, PiI2(prec2)); if (res) J = gadd(J, res);
581 24 : return gneg(gmul(ggamma(gsubsg(1, s), prec2), J));
582 : }
583 : /* lerchphi(z,-k,a)=
584 : * -1/(z-1)*sum(q=0,k,(z/(z-1))^q*sum(j=0,q,(-1)^j*(j+a)^k*binomial(q,j)))
585 : * zetahurwitz(-k,a)=-B(k+1,a)/(k+1) */
586 : GEN
587 48 : lerchphi(GEN z, GEN s, GEN a, long prec)
588 : {
589 48 : pari_sp av = avma;
590 48 : if (!iscplx(z)) pari_err_TYPE("lerchphi", z);
591 48 : if (!iscplx(s)) pari_err_TYPE("lerchphi", s);
592 48 : if (!iscplx(a)) pari_err_TYPE("lerchphi", a);
593 48 : return gc_upto(av, _lerchphi(z, s, a, prec));
594 : }
595 :
596 : GEN
597 12 : lerchzeta(GEN s, GEN a, GEN lam, long prec)
598 : {
599 12 : pari_sp av = avma;
600 12 : GEN z = gexp(gmul(PiI2(prec), lam), prec);
601 12 : if (!iscplx(z)) pari_err_TYPE("lerchzeta", z);
602 12 : if (!iscplx(s)) pari_err_TYPE("lerchzeta", s);
603 12 : if (!iscplx(a)) pari_err_TYPE("lerchzeta", a);
604 12 : if (hurwitz_cutoff(s, prec)) return lerchzetalarge(s, a, lam, prec);
605 6 : return gc_upto(av, _lerchphi(z, s, a, prec));
606 : }
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