Line data Source code
1 : /* Copyright (C) 2000 The PARI group.
2 :
3 : This file is part of the PARI/GP package.
4 :
5 : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
6 : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
7 : Foundation; either version 2 of the License, or (at your option) any later
8 : version. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
9 : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
10 :
11 : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
12 : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
13 : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
14 :
15 : /*********************************************************************/
16 : /** ARITHMETIC FUNCTIONS **/
17 : /** (first part) **/
18 : /*********************************************************************/
19 : #include "pari.h"
20 : #include "paripriv.h"
21 :
22 : #define DEBUGLEVEL DEBUGLEVEL_arith
23 :
24 : /******************************************************************/
25 : /* GENERATOR of (Z/mZ)* */
26 : /******************************************************************/
27 : static GEN
28 1812 : remove2(GEN q) { long v = vali(q); return v? shifti(q, -v): q; }
29 : static ulong
30 464170 : u_remove2(ulong q) { return q >> vals(q); }
31 : GEN
32 1812 : odd_prime_divisors(GEN q) { return gel(Z_factor(remove2(q)), 1); }
33 : static GEN
34 464170 : u_odd_prime_divisors(ulong q) { return gel(factoru(u_remove2(q)), 1); }
35 : /* p odd prime, q=(p-1)/2; L0 list of (some) divisors of q = (p-1)/2 or NULL
36 : * (all prime divisors of q); return the q/l, l in L0 */
37 : static GEN
38 4909 : is_gener_expo(GEN p, GEN L0)
39 : {
40 4909 : GEN L, q = shifti(p,-1);
41 : long i, l;
42 4909 : if (L0) {
43 3134 : l = lg(L0);
44 3134 : L = cgetg(l, t_VEC);
45 : } else {
46 1775 : L0 = L = odd_prime_divisors(q);
47 1775 : l = lg(L);
48 : }
49 14199 : for (i=1; i<l; i++) gel(L,i) = diviiexact(q, gel(L0,i));
50 4909 : return L;
51 : }
52 : static GEN
53 531444 : u_is_gener_expo(ulong p, GEN L0)
54 : {
55 531444 : const ulong q = p >> 1;
56 : long i;
57 : GEN L;
58 531444 : if (!L0) L0 = u_odd_prime_divisors(q);
59 531445 : L = cgetg_copy(L0,&i);
60 1150384 : while (--i) L[i] = q / uel(L0,i);
61 531444 : return L;
62 : }
63 :
64 : int
65 1628778 : is_gener_Fl(ulong x, ulong p, ulong p_1, GEN L)
66 : {
67 : long i;
68 1628778 : if (krouu(x, p) >= 0) return 0;
69 1375489 : for (i=lg(L)-1; i; i--)
70 : {
71 839279 : ulong t = Fl_powu(x, uel(L,i), p);
72 839278 : if (t == p_1 || t == 1) return 0;
73 : }
74 536210 : return 1;
75 : }
76 : /* assume p prime */
77 : ulong
78 1051286 : pgener_Fl_local(ulong p, GEN L0)
79 : {
80 1051286 : const pari_sp av = avma;
81 1051286 : const ulong p_1 = p-1;
82 : long x;
83 : GEN L;
84 1051286 : if (p <= 19) switch(p)
85 : { /* quick trivial cases */
86 63 : case 2: return 1;
87 116199 : case 7:
88 116199 : case 17: return 3;
89 403627 : default: return 2;
90 : }
91 531397 : L = u_is_gener_expo(p,L0);
92 1621048 : for (x = 2;; x++)
93 1621048 : if (is_gener_Fl(x,p,p_1,L)) return gc_ulong(av, x);
94 : }
95 : ulong
96 575215 : pgener_Fl(ulong p) { return pgener_Fl_local(p, NULL); }
97 :
98 : /* L[i] = set of (p-1)/2l, l ODD prime divisor of p-1 (l=2 can be included,
99 : * but wasteful) */
100 : int
101 13955 : is_gener_Fp(GEN x, GEN p, GEN p_1, GEN L)
102 : {
103 13955 : long i, t = lgefint(x)==3? kroui(x[2], p): kronecker(x, p);
104 13955 : if (t >= 0) return 0;
105 21950 : for (i = lg(L)-1; i; i--)
106 : {
107 14449 : GEN t = Fp_pow(x, gel(L,i), p);
108 14449 : if (equalii(t, p_1) || equali1(t)) return 0;
109 : }
110 7501 : return 1;
111 : }
112 :
113 : /* assume p prime, return a generator of all L[i]-Sylows in F_p^*. */
114 : GEN
115 358170 : pgener_Fp_local(GEN p, GEN L0)
116 : {
117 358170 : pari_sp av0 = avma;
118 : GEN x, p_1, L;
119 358170 : if (lgefint(p) == 3)
120 : {
121 : ulong z;
122 353266 : if (p[2] == 2) return gen_1;
123 258278 : if (L0) L0 = ZV_to_nv(L0);
124 258272 : z = pgener_Fl_local(uel(p,2), L0);
125 258304 : return gc_utoipos(av0, z);
126 : }
127 4904 : p_1 = subiu(p,1); L = is_gener_expo(p, L0);
128 4904 : x = utoipos(2);
129 9927 : for (;; x[2]++) { if (is_gener_Fp(x, p, p_1, L)) break; }
130 4904 : return gc_utoipos(av0, uel(x,2));
131 : }
132 :
133 : GEN
134 44247 : pgener_Fp(GEN p) { return pgener_Fp_local(p, NULL); }
135 :
136 : ulong
137 205710 : pgener_Zl(ulong p)
138 : {
139 205710 : if (p == 2) pari_err_DOMAIN("pgener_Zl","p","=",gen_2,gen_2);
140 : /* only p < 2^32 such that znprimroot(p) != znprimroot(p^2) */
141 205710 : if (p == 40487) return 10;
142 : #ifndef LONG_IS_64BIT
143 29808 : return pgener_Fl(p);
144 : #else
145 175902 : if (p < (1UL<<32)) return pgener_Fl(p);
146 : else
147 : {
148 30 : const pari_sp av = avma;
149 30 : const ulong p_1 = p-1;
150 : long x ;
151 30 : GEN p2 = sqru(p), L = u_is_gener_expo(p, NULL);
152 102 : for (x=2;;x++)
153 102 : if (is_gener_Fl(x,p,p_1,L) && !is_pm1(Fp_powu(utoipos(x),p_1,p2)))
154 30 : return gc_ulong(av, x);
155 : }
156 : #endif
157 : }
158 :
159 : /* p prime. Return a primitive root modulo p^e, e > 1 */
160 : GEN
161 170954 : pgener_Zp(GEN p)
162 : {
163 170954 : if (lgefint(p) == 3) return utoipos(pgener_Zl(p[2]));
164 : else
165 : {
166 5 : const pari_sp av = avma;
167 5 : GEN p_1 = subiu(p,1), p2 = sqri(p), L = is_gener_expo(p,NULL);
168 5 : GEN x = utoipos(2);
169 12 : for (;; x[2]++)
170 17 : if (is_gener_Fp(x,p,p_1,L) && !equali1(Fp_pow(x,p_1,p2))) break;
171 5 : return gc_utoipos(av, uel(x,2));
172 : }
173 : }
174 :
175 : static GEN
176 259 : gener_Zp(GEN q, GEN F)
177 : {
178 259 : GEN p = NULL;
179 259 : long e = 0;
180 259 : if (F)
181 : {
182 14 : GEN P = gel(F,1), E = gel(F,2);
183 14 : long i, l = lg(P);
184 42 : for (i = 1; i < l; i++)
185 : {
186 28 : p = gel(P,i);
187 28 : if (absequaliu(p, 2)) continue;
188 14 : if (i < l-1) pari_err_DOMAIN("znprimroot", "n","=",F,F);
189 14 : e = itos(gel(E,i));
190 : }
191 14 : if (!p) pari_err_DOMAIN("znprimroot", "n","=",F,F);
192 : }
193 : else
194 245 : e = Z_isanypower(q, &p);
195 259 : if (!BPSW_psp(e? p: q)) pari_err_DOMAIN("znprimroot", "n","=", q,q);
196 245 : return e > 1? pgener_Zp(p): pgener_Fp(q);
197 : }
198 :
199 : GEN
200 329 : znprimroot(GEN N)
201 : {
202 329 : pari_sp av = avma;
203 : GEN x, n, F;
204 :
205 329 : if ((F = check_arith_non0(N,"znprimroot")))
206 : {
207 14 : F = clean_Z_factor(F);
208 14 : N = typ(N) == t_VEC? gel(N,1): factorback(F);
209 : }
210 322 : N = absi_shallow(N);
211 322 : if (abscmpiu(N, 4) <= 0) { set_avma(av); return mkintmodu(N[2]-1,N[2]); }
212 273 : switch(mod4(N))
213 : {
214 14 : case 0: /* N = 0 mod 4 */
215 14 : pari_err_DOMAIN("znprimroot", "n","=",N,N);
216 0 : x = NULL; break;
217 28 : case 2: /* N = 2 mod 4 */
218 28 : n = shifti(N,-1); /* becomes odd */
219 28 : x = gener_Zp(n,F); if (!mod2(x)) x = addii(x,n);
220 21 : break;
221 231 : default: /* N odd */
222 231 : x = gener_Zp(N,F);
223 224 : break;
224 : }
225 245 : return gerepilecopy(av, mkintmod(x, N));
226 : }
227 :
228 : /* n | (p-1), returns a primitive n-th root of 1 in F_p^* */
229 : GEN
230 0 : rootsof1_Fp(GEN n, GEN p)
231 : {
232 0 : pari_sp av = avma;
233 0 : GEN L = odd_prime_divisors(n); /* 2 implicit in pgener_Fp_local */
234 0 : GEN z = pgener_Fp_local(p, L);
235 0 : z = Fp_pow(z, diviiexact(subiu(p,1), n), p); /* prim. n-th root of 1 */
236 0 : return gerepileuptoint(av, z);
237 : }
238 :
239 : GEN
240 3033 : rootsof1u_Fp(ulong n, GEN p)
241 : {
242 3033 : pari_sp av = avma;
243 3033 : GEN z, L = u_odd_prime_divisors(n); /* 2 implicit in pgener_Fp_local */
244 3033 : z = pgener_Fp_local(p, Flv_to_ZV(L));
245 3033 : z = Fp_pow(z, diviuexact(subiu(p,1), n), p); /* prim. n-th root of 1 */
246 3033 : return gerepileuptoint(av, z);
247 : }
248 :
249 : ulong
250 215607 : rootsof1_Fl(ulong n, ulong p)
251 : {
252 215607 : pari_sp av = avma;
253 215607 : GEN L = u_odd_prime_divisors(n); /* 2 implicit in pgener_Fl_local */
254 215607 : ulong z = pgener_Fl_local(p, L);
255 215607 : z = Fl_powu(z, (p-1) / n, p); /* prim. n-th root of 1 */
256 215607 : return gc_ulong(av,z);
257 : }
258 :
259 : /*********************************************************************/
260 : /** INVERSE TOTIENT FUNCTION **/
261 : /*********************************************************************/
262 : /* N t_INT, L a ZV containing all prime divisors of N, and possibly other
263 : * primes. Return factor(N) */
264 : GEN
265 350651 : Z_factor_listP(GEN N, GEN L)
266 : {
267 350651 : long i, k, l = lg(L);
268 350651 : GEN P = cgetg(l, t_COL), E = cgetg(l, t_COL);
269 1346688 : for (i = k = 1; i < l; i++)
270 : {
271 996037 : GEN p = gel(L,i);
272 996037 : long v = Z_pvalrem(N, p, &N);
273 996037 : if (v)
274 : {
275 792176 : gel(P,k) = p;
276 792176 : gel(E,k) = utoipos(v);
277 792176 : k++;
278 : }
279 : }
280 350651 : setlg(P, k);
281 350651 : setlg(E, k); return mkmat2(P,E);
282 : }
283 :
284 : /* look for x such that phi(x) = n, p | x => p > m (if m = NULL: no condition).
285 : * L is a list of primes containing all prime divisors of n. */
286 : static long
287 621565 : istotient_i(GEN n, GEN m, GEN L, GEN *px)
288 : {
289 621565 : pari_sp av = avma, av2;
290 : GEN k, D;
291 : long i, v;
292 621565 : if (m && mod2(n))
293 : {
294 270914 : if (!equali1(n)) return 0;
295 69986 : if (px) *px = gen_1;
296 69986 : return 1;
297 : }
298 350651 : D = divisors(Z_factor_listP(shifti(n, -1), L));
299 : /* loop through primes p > m, d = p-1 | n */
300 350651 : av2 = avma;
301 350651 : if (!m)
302 : { /* special case p = 2, d = 1 */
303 69986 : k = n;
304 69986 : for (v = 1;; v++) {
305 69986 : if (istotient_i(k, gen_2, L, px)) {
306 69986 : if (px) *px = shifti(*px, v);
307 69986 : return 1;
308 : }
309 0 : if (mod2(k)) break;
310 0 : k = shifti(k,-1);
311 : }
312 0 : set_avma(av2);
313 : }
314 1099462 : for (i = 1; i < lg(D); ++i)
315 : {
316 1001588 : GEN p, d = shifti(gel(D, i), 1); /* even divisors of n */
317 1001588 : if (m && cmpii(d, m) < 0) continue;
318 677782 : p = addiu(d, 1);
319 677782 : if (!isprime(p)) continue;
320 442064 : k = diviiexact(n, d);
321 481593 : for (v = 1;; v++) {
322 : GEN r;
323 481593 : if (istotient_i(k, p, L, px)) {
324 182791 : if (px) *px = mulii(*px, powiu(p, v));
325 182791 : return 1;
326 : }
327 298802 : k = dvmdii(k, p, &r);
328 298802 : if (r != gen_0) break;
329 : }
330 259273 : set_avma(av2);
331 : }
332 97874 : return gc_long(av,0);
333 : }
334 :
335 : /* find x such that phi(x) = n */
336 : long
337 70000 : istotient(GEN n, GEN *px)
338 : {
339 70000 : pari_sp av = avma;
340 70000 : if (typ(n) != t_INT) pari_err_TYPE("istotient", n);
341 70000 : if (signe(n) < 1) return 0;
342 70000 : if (mod2(n))
343 : {
344 14 : if (!equali1(n)) return 0;
345 14 : if (px) *px = gen_1;
346 14 : return 1;
347 : }
348 69986 : if (istotient_i(n, NULL, gel(Z_factor(n), 1), px))
349 : {
350 69986 : if (!px) set_avma(av);
351 : else
352 69986 : *px = gerepileuptoint(av, *px);
353 69986 : return 1;
354 : }
355 0 : return gc_long(av,0);
356 : }
357 :
358 : /*********************************************************************/
359 : /** KRONECKER SYMBOL **/
360 : /*********************************************************************/
361 : /* t = 3,5 mod 8 ? (= 2 not a square mod t) */
362 : static int
363 321431372 : ome(long t)
364 : {
365 321431372 : switch(t & 7)
366 : {
367 182326012 : case 3:
368 182326012 : case 5: return 1;
369 139105360 : default: return 0;
370 : }
371 : }
372 : /* t a t_INT, is t = 3,5 mod 8 ? */
373 : static int
374 5588402 : gome(GEN t)
375 5588402 : { return signe(t)? ome( mod2BIL(t) ): 0; }
376 :
377 : /* assume y odd, return kronecker(x,y) * s */
378 : static long
379 228189879 : krouu_s(ulong x, ulong y, long s)
380 : {
381 228189879 : ulong x1 = x, y1 = y, z;
382 1033384531 : while (x1)
383 : {
384 805290980 : long r = vals(x1);
385 805259614 : if (r)
386 : {
387 428093021 : if (odd(r) && ome(y1)) s = -s;
388 428028059 : x1 >>= r;
389 : }
390 805194652 : if (x1 & y1 & 2) s = -s;
391 805194652 : z = y1 % x1; y1 = x1; x1 = z;
392 : }
393 228093551 : return (y1 == 1)? s: 0;
394 : }
395 :
396 : long
397 11958209 : kronecker(GEN x, GEN y)
398 : {
399 11958209 : pari_sp av = avma;
400 11958209 : long s = 1, r;
401 : ulong xu;
402 :
403 11958209 : if (typ(x) != t_INT) pari_err_TYPE("kronecker",x);
404 11958209 : if (typ(y) != t_INT) pari_err_TYPE("kronecker",y);
405 11958209 : switch (signe(y))
406 : {
407 63 : case -1: y = negi(y); if (signe(x) < 0) s = -1; break;
408 133 : case 0: return is_pm1(x);
409 : }
410 11958076 : r = vali(y);
411 11958073 : if (r)
412 : {
413 1348912 : if (!mpodd(x)) return gc_long(av,0);
414 321711 : if (odd(r) && gome(x)) s = -s;
415 321711 : y = shifti(y,-r);
416 : }
417 10930872 : x = modii(x,y);
418 13302771 : while (lgefint(x) > 3) /* x < y */
419 : {
420 : GEN z;
421 2371967 : r = vali(x);
422 2371569 : if (r)
423 : {
424 1295810 : if (odd(r) && gome(y)) s = -s;
425 1295703 : x = shifti(x,-r);
426 : }
427 : /* x=3 mod 4 && y=3 mod 4 ? (both are odd here) */
428 2371106 : if (mod2BIL(x) & mod2BIL(y) & 2) s = -s;
429 2370532 : z = remii(y,x); y = x; x = z;
430 2371859 : if (gc_needed(av,2))
431 : {
432 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"kronecker");
433 0 : gerepileall(av, 2, &x, &y);
434 : }
435 : }
436 10930804 : xu = itou(x);
437 10930804 : if (!xu) return is_pm1(y)? s: 0;
438 10833573 : r = vals(xu);
439 10833571 : if (r)
440 : {
441 5753778 : if (odd(r) && gome(y)) s = -s;
442 5753778 : xu >>= r;
443 : }
444 : /* x=3 mod 4 && y=3 mod 4 ? (both are odd here) */
445 10833571 : if (xu & mod2BIL(y) & 2) s = -s;
446 10833560 : return gc_long(av, krouu_s(umodiu(y,xu), xu, s));
447 : }
448 :
449 : long
450 39753 : krois(GEN x, long y)
451 : {
452 : ulong yu;
453 39753 : long s = 1;
454 :
455 39753 : if (y <= 0)
456 : {
457 28 : if (y == 0) return is_pm1(x);
458 0 : yu = (ulong)-y; if (signe(x) < 0) s = -1;
459 : }
460 : else
461 39725 : yu = (ulong)y;
462 39725 : if (!odd(yu))
463 : {
464 : long r;
465 18417 : if (!mpodd(x)) return 0;
466 12467 : r = vals(yu); yu >>= r;
467 12467 : if (odd(r) && gome(x)) s = -s;
468 : }
469 33775 : return krouu_s(umodiu(x, yu), yu, s);
470 : }
471 : /* assume y != 0 */
472 : long
473 27618632 : kroiu(GEN x, ulong y)
474 : {
475 : long r;
476 27618632 : if (odd(y)) return krouu_s(umodiu(x,y), y, 1);
477 303037 : if (!mpodd(x)) return 0;
478 208344 : r = vals(y); y >>= r;
479 208346 : return krouu_s(umodiu(x,y), y, (odd(r) && gome(x))? -1: 1);
480 : }
481 :
482 : /* assume y > 0, odd, return s * kronecker(x,y) */
483 : static long
484 178563 : krouodd(ulong x, GEN y, long s)
485 : {
486 : long r;
487 178563 : if (lgefint(y) == 3) return krouu_s(x, y[2], s);
488 27985 : if (!x) return 0; /* y != 1 */
489 27985 : r = vals(x);
490 27985 : if (r)
491 : {
492 14511 : if (odd(r) && gome(y)) s = -s;
493 14511 : x >>= r;
494 : }
495 : /* x=3 mod 4 && y=3 mod 4 ? (both are odd here) */
496 27985 : if (x & mod2BIL(y) & 2) s = -s;
497 27985 : return krouu_s(umodiu(y,x), x, s);
498 : }
499 :
500 : long
501 143239 : krosi(long x, GEN y)
502 : {
503 143239 : const pari_sp av = avma;
504 143239 : long s = 1, r;
505 143239 : switch (signe(y))
506 : {
507 0 : case -1: y = negi(y); if (x < 0) s = -1; break;
508 0 : case 0: return (x==1 || x==-1);
509 : }
510 143239 : r = vali(y);
511 143239 : if (r)
512 : {
513 16884 : if (!odd(x)) return gc_long(av,0);
514 16884 : if (odd(r) && ome(x)) s = -s;
515 16884 : y = shifti(y,-r);
516 : }
517 143239 : if (x < 0) { x = -x; if (mod4(y) == 3) s = -s; }
518 143239 : return gc_long(av, krouodd((ulong)x, y, s));
519 : }
520 :
521 : long
522 35324 : kroui(ulong x, GEN y)
523 : {
524 35324 : const pari_sp av = avma;
525 35324 : long s = 1, r;
526 35324 : switch (signe(y))
527 : {
528 0 : case -1: y = negi(y); break;
529 0 : case 0: return x==1UL;
530 : }
531 35324 : r = vali(y);
532 35324 : if (r)
533 : {
534 0 : if (!odd(x)) return gc_long(av,0);
535 0 : if (odd(r) && ome(x)) s = -s;
536 0 : y = shifti(y,-r);
537 : }
538 35324 : return gc_long(av, krouodd(x, y, s));
539 : }
540 :
541 : long
542 97777670 : kross(long x, long y)
543 : {
544 : ulong yu;
545 97777670 : long s = 1;
546 :
547 97777670 : if (y <= 0)
548 : {
549 68943 : if (y == 0) return (labs(x)==1);
550 68915 : yu = (ulong)-y; if (x < 0) s = -1;
551 : }
552 : else
553 97708727 : yu = (ulong)y;
554 97777642 : if (!odd(yu))
555 : {
556 : long r;
557 23582766 : if (!odd(x)) return 0;
558 16659928 : r = vals(yu); yu >>= r;
559 16659928 : if (odd(r) && ome(x)) s = -s;
560 : }
561 90854804 : x %= (long)yu; if (x < 0) x += yu;
562 90854804 : return krouu_s((ulong)x, yu, s);
563 : }
564 :
565 : long
566 98787771 : krouu(ulong x, ulong y)
567 : {
568 : long r;
569 98787771 : if (odd(y)) return krouu_s(x, y, 1);
570 16844 : if (!odd(x)) return 0;
571 17037 : r = vals(y); y >>= r;
572 17037 : return krouu_s(x, y, (odd(r) && ome(x))? -1: 1);
573 : }
574 :
575 : /*********************************************************************/
576 : /** HILBERT SYMBOL **/
577 : /*********************************************************************/
578 : /* x,y are t_INT or t_REAL */
579 : static long
580 7329 : mphilbertoo(GEN x, GEN y)
581 : {
582 7329 : long sx = signe(x), sy = signe(y);
583 7329 : if (!sx || !sy) return 0;
584 7329 : return (sx < 0 && sy < 0)? -1: 1;
585 : }
586 :
587 : long
588 140826 : hilbertii(GEN x, GEN y, GEN p)
589 : {
590 : pari_sp av;
591 : long oddvx, oddvy, z;
592 :
593 140826 : if (!p) return mphilbertoo(x,y);
594 133518 : if (is_pm1(p) || signe(p) < 0) pari_err_PRIME("hilbertii",p);
595 133518 : if (!signe(x) || !signe(y)) return 0;
596 133497 : av = avma;
597 133497 : oddvx = odd(Z_pvalrem(x,p,&x));
598 133497 : oddvy = odd(Z_pvalrem(y,p,&y));
599 : /* x, y are p-units, compute hilbert(x * p^oddvx, y * p^oddvy, p) */
600 133497 : if (absequaliu(p, 2))
601 : {
602 12355 : z = (Mod4(x) == 3 && Mod4(y) == 3)? -1: 1;
603 12355 : if (oddvx && gome(y)) z = -z;
604 12355 : if (oddvy && gome(x)) z = -z;
605 : }
606 : else
607 : {
608 121142 : z = (oddvx && oddvy && mod4(p) == 3)? -1: 1;
609 121142 : if (oddvx && kronecker(y,p) < 0) z = -z;
610 121142 : if (oddvy && kronecker(x,p) < 0) z = -z;
611 : }
612 133497 : return gc_long(av, z);
613 : }
614 :
615 : static void
616 196 : err_prec(void) { pari_err_PREC("hilbert"); }
617 : static void
618 161 : err_p(GEN p, GEN q) { pari_err_MODULUS("hilbert", p,q); }
619 : static void
620 56 : err_oo(GEN p) { pari_err_MODULUS("hilbert", p, strtoGENstr("oo")); }
621 :
622 : /* x t_INTMOD, *pp = prime or NULL [ unset, set it to x.mod ].
623 : * Return lift(x) provided it's p-adic accuracy is large enough to decide
624 : * hilbert()'s value [ problem at p = 2 ] */
625 : static GEN
626 420 : lift_intmod(GEN x, GEN *pp)
627 : {
628 420 : GEN p = *pp, N = gel(x,1);
629 420 : x = gel(x,2);
630 420 : if (!p)
631 : {
632 266 : *pp = p = N;
633 266 : switch(itos_or_0(p))
634 : {
635 126 : case 2:
636 126 : case 4: err_prec();
637 : }
638 140 : return x;
639 : }
640 154 : if (!signe(p)) err_oo(N);
641 112 : if (absequaliu(p,2))
642 42 : { if (vali(N) <= 2) err_prec(); }
643 : else
644 70 : { if (!dvdii(N,p)) err_p(N,p); }
645 28 : if (!signe(x)) err_prec();
646 21 : return x;
647 : }
648 : /* x t_PADIC, *pp = prime or NULL [ unset, set it to x.p ].
649 : * Return lift(x)*p^(v(x) mod 2) provided it's p-adic accuracy is large enough
650 : * to decide hilbert()'s value [ problem at p = 2 ]*/
651 : static GEN
652 210 : lift_padic(GEN x, GEN *pp)
653 : {
654 210 : GEN p = *pp, q = padic_p(x), u = padic_u(x);
655 210 : if (!p) *pp = p = q;
656 147 : else if (!equalii(p,q)) err_p(p, q);
657 105 : if (absequaliu(p,2) && precp(x) <= 2) err_prec();
658 70 : if (!signe(u)) err_prec();
659 70 : return odd(valp(x))? mulii(p,u): u;
660 : }
661 :
662 : long
663 62314 : hilbert(GEN x, GEN y, GEN p)
664 : {
665 62314 : pari_sp av = avma;
666 62314 : long tx = typ(x), ty = typ(y);
667 :
668 62314 : if (p && typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("hilbert",p);
669 62314 : if (tx == t_REAL)
670 : {
671 77 : if (p && signe(p)) err_oo(p);
672 63 : switch (ty)
673 : {
674 7 : case t_INT:
675 7 : case t_REAL: return mphilbertoo(x,y);
676 0 : case t_FRAC: return mphilbertoo(x,gel(y,1));
677 56 : default: pari_err_TYPE2("hilbert",x,y);
678 : }
679 : }
680 62237 : if (ty == t_REAL)
681 : {
682 14 : if (p && signe(p)) err_oo(p);
683 14 : switch (tx)
684 : {
685 14 : case t_INT:
686 14 : case t_REAL: return mphilbertoo(x,y);
687 0 : case t_FRAC: return mphilbertoo(gel(x,1),y);
688 0 : default: pari_err_TYPE2("hilbert",x,y);
689 : }
690 : }
691 62223 : if (tx == t_INTMOD) { x = lift_intmod(x, &p); tx = t_INT; }
692 62020 : if (ty == t_INTMOD) { y = lift_intmod(y, &p); ty = t_INT; }
693 :
694 61964 : if (tx == t_PADIC) { x = lift_padic(x, &p); tx = t_INT; }
695 61901 : if (ty == t_PADIC) { y = lift_padic(y, &p); ty = t_INT; }
696 :
697 61824 : if (tx == t_FRAC) { tx = t_INT; x = p? mulii(gel(x,1),gel(x,2)): gel(x,1); }
698 61824 : if (ty == t_FRAC) { ty = t_INT; y = p? mulii(gel(y,1),gel(y,2)): gel(y,1); }
699 :
700 61824 : if (tx != t_INT || ty != t_INT) pari_err_TYPE2("hilbert",x,y);
701 61824 : if (p && !signe(p)) p = NULL;
702 61824 : return gc_long(av, hilbertii(x,y,p));
703 : }
704 :
705 : /*******************************************************************/
706 : /* SQUARE ROOT MODULO p */
707 : /*******************************************************************/
708 : static void
709 2286736 : checkp(ulong q, ulong p)
710 2286736 : { if (!q) pari_err_PRIME("Fl_nonsquare",utoipos(p)); }
711 : /* p = 1 (mod 4) prime, return the first quadratic nonresidue, a prime */
712 : static ulong
713 11689897 : nonsquare1_Fl(ulong p)
714 : {
715 : forprime_t S;
716 : ulong q;
717 11689897 : if ((p & 7UL) != 1) return 2UL;
718 4379402 : q = p % 3; if (q == 2) return 3UL;
719 1420499 : checkp(q, p);
720 1427778 : q = p % 5; if (q == 2 || q == 3) return 5UL;
721 525976 : checkp(q, p);
722 525993 : q = p % 7; if (q != 4 && q >= 3) return 7UL;
723 201292 : checkp(q, p);
724 : /* log^2(2^64) < 1968 is enough under GRH (and p^(1/4)log(p) without it)*/
725 201325 : u_forprime_init(&S, 11, 1967);
726 333268 : while ((q = u_forprime_next(&S)))
727 : {
728 333262 : if (krouu(q, p) < 0) return q;
729 131932 : checkp(q, p);
730 : }
731 0 : checkp(0, p);
732 : return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
733 : }
734 : /* p > 2 a prime */
735 : ulong
736 7930 : nonsquare_Fl(ulong p)
737 7930 : { return ((p & 3UL) == 3)? p-1: nonsquare1_Fl(p); }
738 :
739 : /* allow pi = 0 */
740 : ulong
741 177409 : Fl_2gener_pre(ulong p, ulong pi)
742 : {
743 177409 : ulong p1 = p-1;
744 177409 : long e = vals(p1);
745 177394 : if (e == 1) return p1;
746 65818 : return Fl_powu_pre(nonsquare1_Fl(p), p1 >> e, p, pi);
747 : }
748 :
749 : ulong
750 65765 : Fl_2gener_pre_i(ulong ns, ulong p, ulong pi)
751 : {
752 65765 : ulong p1 = p-1;
753 65765 : long e = vals(p1);
754 65765 : if (e == 1) return p1;
755 25152 : return Fl_powu_pre(ns, p1 >> e, p, pi);
756 : }
757 :
758 : static ulong
759 12448957 : Fl_sqrt_i(ulong a, ulong y, ulong p)
760 : {
761 : long i, e, k;
762 : ulong p1, q, v, w;
763 :
764 12448957 : if (!a) return 0;
765 11169430 : p1 = p - 1; e = vals(p1);
766 11169914 : if (e == 0) /* p = 2 */
767 : {
768 650465 : if (p != 2) pari_err_PRIME("Fl_sqrt [modulus]",utoi(p));
769 651335 : return ((a & 1) == 0)? 0: 1;
770 : }
771 10519449 : if (e == 1)
772 : {
773 5003513 : v = Fl_powu(a, (p+1) >> 2, p);
774 5003553 : if (Fl_sqr(v, p) != a) return ~0UL;
775 4998652 : p1 = p - v; if (v > p1) v = p1;
776 4998652 : return v;
777 : }
778 5515936 : q = p1 >> e; /* q = (p-1)/2^oo is odd */
779 5515936 : p1 = Fl_powu(a, q >> 1, p); /* a ^ [(q-1)/2] */
780 5515939 : if (!p1) return 0;
781 5515939 : v = Fl_mul(a, p1, p);
782 5515910 : w = Fl_mul(v, p1, p);
783 5515892 : if (!y) y = Fl_powu(nonsquare1_Fl(p), q, p);
784 9365400 : while (w != 1)
785 : { /* a*w = v^2, y primitive 2^e-th root of 1
786 : a square --> w even power of y, hence w^(2^(e-1)) = 1 */
787 3851395 : p1 = Fl_sqr(w, p);
788 6376899 : for (k=1; p1 != 1 && k < e; k++) p1 = Fl_sqr(p1, p);
789 3851400 : if (k == e) return ~0UL;
790 : /* w ^ (2^k) = 1 --> w = y ^ (u * 2^(e-k)), u odd */
791 3849323 : p1 = y;
792 5123797 : for (i=1; i < e-k; i++) p1 = Fl_sqr(p1, p);
793 3849322 : y = Fl_sqr(p1, p); e = k;
794 3849360 : w = Fl_mul(y, w, p);
795 3849353 : v = Fl_mul(v, p1, p);
796 : }
797 5514005 : p1 = p - v; if (v > p1) v = p1;
798 5514005 : return v;
799 : }
800 :
801 : /* Tonelli-Shanks. Assume p is prime and (a,p) != -1. Allow pi = 0 */
802 : ulong
803 33733130 : Fl_sqrt_pre_i(ulong a, ulong y, ulong p, ulong pi)
804 : {
805 : long i, e, k;
806 : ulong p1, q, v, w;
807 :
808 33733130 : if (!pi) return Fl_sqrt_i(a, y, p);
809 21284223 : if (!a) return 0;
810 21158975 : p1 = p - 1; e = vals(p1);
811 21158023 : if (e == 0) /* p = 2 */
812 : {
813 0 : if (p != 2) pari_err_PRIME("Fl_sqrt [modulus]",utoi(p));
814 0 : return ((a & 1) == 0)? 0: 1;
815 : }
816 21172510 : if (e == 1)
817 : {
818 15013479 : v = Fl_powu_pre(a, (p+1) >> 2, p, pi);
819 14999579 : if (Fl_sqr_pre(v, p, pi) != a) return ~0UL;
820 15005387 : p1 = p - v; if (v > p1) v = p1;
821 15005387 : return v;
822 : }
823 6159031 : q = p1 >> e; /* q = (p-1)/2^oo is odd */
824 6159031 : p1 = Fl_powu_pre(a, q >> 1, p, pi); /* a ^ [(q-1)/2] */
825 6155611 : if (!p1) return 0;
826 6155611 : v = Fl_mul_pre(a, p1, p, pi);
827 6156482 : w = Fl_mul_pre(v, p1, p, pi);
828 6155601 : if (!y) y = Fl_powu_pre(nonsquare1_Fl(p), q, p, pi);
829 11742739 : while (w != 1)
830 : { /* a*w = v^2, y primitive 2^e-th root of 1
831 : a square --> w even power of y, hence w^(2^(e-1)) = 1 */
832 5586048 : p1 = Fl_sqr_pre(w,p,pi);
833 10509719 : for (k=1; p1 != 1 && k < e; k++) p1 = Fl_sqr_pre(p1,p,pi);
834 5586498 : if (k == e) return ~0UL;
835 : /* w ^ (2^k) = 1 --> w = y ^ (u * 2^(e-k)), u odd */
836 5586406 : p1 = y;
837 7352792 : for (i=1; i < e-k; i++) p1 = Fl_sqr_pre(p1, p, pi);
838 5586494 : y = Fl_sqr_pre(p1, p, pi); e = k;
839 5588299 : w = Fl_mul_pre(y, w, p, pi);
840 5586648 : v = Fl_mul_pre(v, p1, p, pi);
841 : }
842 6156691 : p1 = p - v; if (v > p1) v = p1;
843 6156691 : return v;
844 : }
845 :
846 : ulong
847 12328080 : Fl_sqrt(ulong a, ulong p)
848 12328080 : { ulong pi = (p & HIGHMASK)? get_Fl_red(p): 0; return Fl_sqrt_pre_i(a, 0, p, pi); }
849 :
850 : ulong
851 21215660 : Fl_sqrt_pre(ulong a, ulong p, ulong pi)
852 21215660 : { return Fl_sqrt_pre_i(a, 0, p, pi); }
853 :
854 : /* allow pi = 0 */
855 : static ulong
856 211164 : Fl_lgener_pre_all(ulong l, long e, ulong r, ulong p, ulong pi, ulong *pt_m)
857 : {
858 : ulong m, m1;
859 : long i;
860 : for (;;)
861 : {
862 211164 : m = m1 = Fl_powu_pre(random_Fl(p-1)+1UL, r, p, pi);
863 211165 : if (m==1) continue;
864 230682 : for (i=1; i<e; i++)
865 : {
866 88824 : m = Fl_powu_pre(m, l, p, pi);
867 88823 : if (m == 1) break;
868 : }
869 158892 : if (i==e) break;
870 : }
871 141861 : *pt_m = m; return m1;
872 : }
873 :
874 : /* Solve x^l = a in G = Fp^* of order p-1 = (l^e)*r; l prime, (r,l) = 1, e >= 1
875 : * y generates the l-Sylow of G, m = y^(l^(e-1)) != 1. Allow y = 0, in which
876 : * case m is ignored and (y,m) are computed from scratch */
877 : static ulong
878 226220 : Fl_sqrtl_raw(ulong a, ulong l, ulong e, ulong r, ulong p, ulong pi, ulong y, ulong m)
879 : {
880 : ulong u2, v, w, z, dl;
881 226220 : u2 = Fl_inv(l%r, r);
882 226223 : v = Fl_powu_pre(a, u2, p, pi);
883 226218 : w = Fl_powu_pre(v, l, p, pi); if (w == a) return v;
884 139239 : w = pi? Fl_mul_pre(w, Fl_inv(a, p), p, pi): Fl_div(w, a, p);
885 139226 : if (!y) y = Fl_lgener_pre_all(l, e, r, p, pi, &m);
886 165781 : while (w != 1)
887 : {
888 145741 : ulong k = 0, p1 = w;
889 : do
890 : {
891 188993 : z = p1; p1 = Fl_powu_pre(p1, l, p, pi);
892 188992 : if (++k == e) return ULONG_MAX;
893 69808 : } while (p1 != 1);
894 : /* z = w^(l^(k-1)) has order l */
895 26556 : dl = Fl_log_pre(z, m, l, p, pi);
896 26556 : dl = Fl_neg(dl, l);
897 26556 : p1 = Fl_powu_pre(y, dl*upowuu(l,e-k-1), p, pi);
898 26556 : m = Fl_powu_pre(m, dl, p, pi);
899 26556 : e = k;
900 26556 : v = pi? Fl_mul_pre(p1,v,p,pi): Fl_mul(p1,v,p);
901 26556 : y = Fl_powu_pre(p1,l,p,pi);
902 26556 : w = pi? Fl_mul_pre(y,w,p,pi): Fl_mul(y,w,p);
903 : }
904 20040 : return v;
905 : }
906 :
907 : /* allow pi = 0 */
908 : ulong
909 223381 : Fl_sqrtl_pre(ulong a, ulong l, ulong p, ulong pi)
910 : {
911 : ulong r, e;
912 223381 : if (!a) return 0;
913 223369 : e = u_lvalrem(p-1, l, &r);
914 223369 : return Fl_sqrtl_raw(a, l, e, r, p, pi, 0, 0);
915 : }
916 : ulong
917 0 : Fl_sqrtl(ulong a, ulong l, ulong p)
918 0 : { ulong pi = (p & HIGHMASK)? get_Fl_red(p): 0;
919 0 : return Fl_sqrtl_pre(a, l, p, pi); }
920 :
921 : /* allow pi = 0 */
922 : ulong
923 232522 : Fl_sqrtn_pre(ulong a, long n, ulong p, ulong pi, ulong *zetan)
924 : {
925 232522 : ulong m, q = p-1, z;
926 232522 : ulong nn = n >= 0 ? (ulong)n: -(ulong)n;
927 232522 : if (a==0)
928 : {
929 116389 : if (n < 0) pari_err_INV("Fl_sqrtn", mkintmod(gen_0,utoi(p)));
930 116382 : if (zetan) *zetan = 1UL;
931 116382 : return 0;
932 : }
933 : /* a != 0 */
934 116133 : if (n==1)
935 : {
936 420 : if (zetan) *zetan = 1;
937 420 : return n < 0? Fl_inv(a,p): a;
938 : }
939 115713 : if (n==2)
940 : {
941 42121 : if (zetan) *zetan = p-1;
942 42121 : return Fl_sqrt_pre_i(a, 0, p, pi);
943 : }
944 73592 : if (a == 1 && !zetan) return a;
945 44115 : m = ugcd(nn, q);
946 44115 : z = 1;
947 44115 : if (m!=1)
948 : {
949 2647 : GEN F = factoru(m);
950 : long i, j, e;
951 : ulong r, zeta, y, l;
952 5691 : for (i = nbrows(F); i; i--)
953 : {
954 3093 : l = ucoeff(F,i,1);
955 3093 : j = ucoeff(F,i,2);
956 3093 : e = u_lvalrem(q,l, &r);
957 3093 : y = Fl_lgener_pre_all(l, e, r, p, pi, &zeta);
958 3093 : if (zetan)
959 : {
960 1354 : ulong Y = Fl_powu_pre(y, upowuu(l,e-j), p, pi);
961 1354 : z = pi? Fl_mul_pre(z, Y, p, pi): Fl_mul(z, Y, p);
962 : }
963 3093 : if (a!=1)
964 : do
965 : {
966 2851 : a = Fl_sqrtl_raw(a, l, e, r, p, pi, y, zeta);
967 2837 : if (a==ULONG_MAX) return ULONG_MAX;
968 2802 : } while (--j);
969 : }
970 : }
971 44066 : if (m != nn)
972 : {
973 41489 : ulong qm = q/m, nm = (nn/m) % qm;
974 41489 : a = Fl_powu_pre(a, Fl_inv(nm, qm), p, pi);
975 : }
976 44066 : if (n < 0) a = Fl_inv(a, p);
977 44066 : if (zetan) *zetan = z;
978 44066 : return a;
979 : }
980 :
981 : ulong
982 232522 : Fl_sqrtn(ulong a, long n, ulong p, ulong *zetan)
983 : {
984 232522 : ulong pi = (p & HIGHMASK)? get_Fl_red(p): 0;
985 232522 : return Fl_sqrtn_pre(a, n, p, pi, zetan);
986 : }
987 :
988 : /* Cipolla is better than Tonelli-Shanks when e = v_2(p-1) is "too big".
989 : * Otherwise, is a constant times worse; for p = 3 (mod 4), is about 3 times worse,
990 : * and in average is about 2 or 2.5 times worse. But try both algorithms for
991 : * S(n) = (2^n+3)^2-8 with n = 750, 771, 779, 790, 874, 1176, 1728, 2604, etc.
992 : *
993 : * If X^2 := t^2 - a is not a square in F_p (so X is in F_p^2), then
994 : * (t+X)^(p+1) = (t-X)(t+X) = a, hence sqrt(a) = (t+X)^((p+1)/2) in F_p^2.
995 : * If (a|p)=1, then sqrt(a) is in F_p.
996 : * cf: LNCS 2286, pp 430-434 (2002) [Gonzalo Tornaria] */
997 :
998 : /* compute y^2, y = y[1] + y[2] X */
999 : static GEN
1000 0 : sqrt_Cipolla_sqr(void *data, GEN y)
1001 : {
1002 0 : GEN u = gel(y,1), v = gel(y,2), p = gel(data,2), n = gel(data,3);
1003 0 : GEN u2 = sqri(u), v2 = sqri(v);
1004 0 : v = subii(sqri(addii(v,u)), addii(u2,v2));
1005 0 : u = addii(u2, mulii(v2,n));
1006 0 : retmkvec2(modii(u,p), modii(v,p));
1007 : }
1008 : /* compute (t+X) y^2 */
1009 : static GEN
1010 0 : sqrt_Cipolla_msqr(void *data, GEN y)
1011 : {
1012 0 : GEN u = gel(y,1), v = gel(y,2), a = gel(data,1), p = gel(data,2);
1013 0 : ulong t = gel(data,4)[2];
1014 0 : GEN d = addii(u, mului(t,v)), d2 = sqri(d);
1015 0 : GEN b = remii(mulii(a,v), p);
1016 0 : u = subii(mului(t,d2), mulii(b,addii(u,d)));
1017 0 : v = subii(d2, mulii(b,v));
1018 0 : retmkvec2(modii(u,p), modii(v,p));
1019 : }
1020 : /* assume a reduced mod p [ otherwise correct but inefficient ] */
1021 : static GEN
1022 0 : sqrt_Cipolla(GEN a, GEN p)
1023 : {
1024 : pari_sp av;
1025 : GEN u, n, y, pov2;
1026 : ulong t;
1027 :
1028 0 : if (kronecker(a, p) < 0) return NULL;
1029 0 : pov2 = shifti(p,-1); /* center to avoid multiplying by huge base*/
1030 0 : if (cmpii(a,pov2) > 0) a = subii(a,p);
1031 0 : av = avma;
1032 0 : for (t=1; ; t++, set_avma(av))
1033 : {
1034 0 : n = subsi((long)(t*t), a);
1035 0 : if (kronecker(n, p) < 0) break;
1036 : }
1037 :
1038 : /* compute (t+X)^((p-1)/2) =: u+vX */
1039 0 : u = utoipos(t);
1040 0 : y = gen_pow_fold(mkvec2(u, gen_1), pov2, mkvec4(a,p,n,u),
1041 : sqrt_Cipolla_sqr, sqrt_Cipolla_msqr);
1042 : /* Now u+vX = (t+X)^((p-1)/2); thus
1043 : * (u+vX)(t+X) = sqrt(a) + 0 X
1044 : * Whence,
1045 : * sqrt(a) = (u+vt)t - v*a
1046 : * 0 = (u+vt)
1047 : * Thus a square root is v*a */
1048 0 : return Fp_mul(gel(y,2), a, p);
1049 : }
1050 :
1051 : /* Return NULL if p is found to be composite.
1052 : * p odd, q = (p-1)/2^oo is odd */
1053 : static GEN
1054 5958 : Fp_2gener_all(GEN q, GEN p)
1055 : {
1056 : long k;
1057 5958 : for (k = 2;; k++)
1058 11869 : {
1059 17827 : long i = kroui(k, p);
1060 17827 : if (i < 0) return Fp_pow(utoipos(k), q, p);
1061 11869 : if (i == 0) return NULL;
1062 : }
1063 : }
1064 :
1065 : /* Return NULL if p is found to be composite */
1066 : GEN
1067 3222 : Fp_2gener(GEN p)
1068 : {
1069 3222 : GEN q = subiu(p, 1);
1070 3222 : long e = Z_lvalrem(q, 2, &q);
1071 3222 : if (e == 0 && !equaliu(p,2)) return NULL;
1072 3222 : return Fp_2gener_all(q, p);
1073 : }
1074 :
1075 : GEN
1076 19392 : Fp_2gener_i(GEN ns, GEN p)
1077 : {
1078 19392 : GEN q = subiu(p,1);
1079 19392 : long e = vali(q);
1080 19392 : if (e == 1) return q;
1081 18129 : return Fp_pow(ns, shifti(q,-e), p);
1082 : }
1083 :
1084 : static GEN
1085 1472 : nonsquare_Fp(GEN p)
1086 : {
1087 : forprime_t T;
1088 : ulong a;
1089 1472 : if (mod4(p)==3) return gen_m1;
1090 1472 : if (mod8(p)==5) return gen_2;
1091 721 : u_forprime_init(&T, 3, ULONG_MAX);
1092 1382 : while((a = u_forprime_next(&T)))
1093 1382 : if (kroui(a,p) < 0) return utoi(a);
1094 0 : pari_err_PRIME("Fp_sqrt [modulus]",p);
1095 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
1096 : }
1097 :
1098 : static GEN
1099 796 : Fp_rootsof1(ulong l, GEN p)
1100 : {
1101 796 : GEN z, pl = diviuexact(subis(p,1),l);
1102 : ulong a;
1103 : forprime_t T;
1104 796 : u_forprime_init(&T, 3, ULONG_MAX);
1105 1062 : while((a = u_forprime_next(&T)))
1106 : {
1107 1062 : z = Fp_pow(utoi(a), pl, p);
1108 1062 : if (!equali1(z)) return z;
1109 : }
1110 0 : pari_err_PRIME("Fp_sqrt [modulus]",p);
1111 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
1112 : }
1113 :
1114 : static GEN
1115 334 : Fp_gausssum(long D, GEN p)
1116 : {
1117 334 : long i, l = labs(D);
1118 334 : GEN z = Fp_rootsof1(l, p);
1119 334 : GEN s = z, x = z;
1120 3020 : for(i = 2; i < l; i++)
1121 : {
1122 2686 : long k = kross(i,l);
1123 2686 : x = mulii(x, z);
1124 2686 : if (k==1) s = addii(s, x);
1125 1510 : else if (k==-1) s = subii(s, x);
1126 : }
1127 334 : return s;
1128 : }
1129 :
1130 : static GEN
1131 19569 : Fp_sqrts(long a, GEN p)
1132 : {
1133 19569 : long v = vals(a)>>1;
1134 19569 : GEN r = gen_0;
1135 19569 : a >>= v << 1;
1136 19569 : switch(a)
1137 : {
1138 1 : case 1:
1139 1 : r = gen_1;
1140 1 : break;
1141 1128 : case -1:
1142 1128 : if (mod4(p)==1)
1143 1128 : r = Fp_pow(nonsquare_Fp(p), shifti(p,-2),p);
1144 : else
1145 0 : r = NULL;
1146 1128 : break;
1147 140 : case 2:
1148 140 : if (mod8(p)==1)
1149 : {
1150 140 : GEN z = Fp_pow(nonsquare_Fp(p), shifti(p,-3),p);
1151 140 : r = Fp_mul(z,Fp_sub(gen_1,Fp_sqr(z,p),p),p);
1152 0 : } else if (mod8(p)==7)
1153 0 : r = Fp_pow(gen_2, shifti(addiu(p,1),-2),p);
1154 : else
1155 0 : return NULL;
1156 140 : break;
1157 204 : case -2:
1158 204 : if (mod8(p)==1)
1159 : {
1160 204 : GEN z = Fp_pow(nonsquare_Fp(p), shifti(p,-3),p);
1161 204 : r = Fp_mul(z,Fp_add(gen_1,Fp_sqr(z,p),p),p);
1162 0 : } else if (mod8(p)==3)
1163 0 : r = Fp_pow(gen_m2, shifti(addiu(p,1),-2),p);
1164 : else
1165 0 : return NULL;
1166 204 : break;
1167 462 : case -3:
1168 462 : if (umodiu(p,3)==1)
1169 : {
1170 462 : GEN z = Fp_rootsof1(3, p);
1171 462 : r = Fp_sub(z,Fp_sqr(z,p),p);
1172 : }
1173 : else
1174 0 : return NULL;
1175 462 : break;
1176 2214 : case 5: case 13: case 17: case 21: case 29: case 33:
1177 : case -7: case -11: case -15: case -19: case -23:
1178 2214 : if (umodiu(p,labs(a))==1)
1179 334 : r = Fp_gausssum(a,p);
1180 : else
1181 1880 : return gen_0;
1182 334 : break;
1183 15420 : default:
1184 15420 : return gen_0;
1185 : }
1186 2269 : return remii(shifti(r, v), p);
1187 : }
1188 :
1189 : static GEN
1190 77303 : Fp_sqrt_ii(GEN a, GEN y, GEN p)
1191 : {
1192 77303 : pari_sp av = avma;
1193 77303 : GEN q, v, w, p1 = subiu(p,1);
1194 77302 : long i, k, e = vali(p1), as;
1195 :
1196 : /* direct formulas more efficient */
1197 77304 : if (e == 0) pari_err_PRIME("Fp_sqrt [modulus]",p); /* p != 2 */
1198 77304 : if (e == 1)
1199 : {
1200 19192 : q = addiu(shifti(p1,-2),1); /* (p+1) / 4 */
1201 19191 : v = Fp_pow(a, q, p);
1202 : /* must check equality in case (a/p) = -1 or p not prime */
1203 19195 : av = avma; e = equalii(Fp_sqr(v,p), a); set_avma(av);
1204 19195 : return e? v: NULL;
1205 : }
1206 58112 : as = itos_or_0(a);
1207 58114 : if (!as) as = itos_or_0(subii(a,p));
1208 58117 : if (as)
1209 : {
1210 19569 : GEN res = Fp_sqrts(as, p);
1211 19569 : if (!res) return gc_NULL(av);
1212 19569 : if (signe(res)) return gerepileupto(av, res);
1213 : }
1214 55848 : if (e == 2)
1215 : { /* Atkin's formula */
1216 17869 : GEN I, a2 = shifti(a,1);
1217 17868 : if (cmpii(a2,p) >= 0) a2 = subii(a2,p);
1218 17867 : q = shifti(p1, -3); /* (p-5)/8 */
1219 17867 : v = Fp_pow(a2, q, p);
1220 17872 : I = Fp_mul(a2, Fp_sqr(v,p), p); /* I^2 = -1 */
1221 17872 : v = Fp_mul(a, Fp_mul(v, subiu(I,1), p), p);
1222 : /* must check equality in case (a/p) = -1 or p not prime */
1223 17872 : av = avma; e = equalii(Fp_sqr(v,p), a); set_avma(av);
1224 17871 : return e? v: NULL;
1225 : }
1226 : /* On average, Cipolla is better than Tonelli/Shanks if and only if
1227 : * e(e-1) > 8*log2(n)+20, see LNCS 2286 pp 430 [GTL] */
1228 37979 : if (e*(e-1) > 20 + 8 * expi(p)) return sqrt_Cipolla(a,p);
1229 : /* Tonelli-Shanks */
1230 37979 : av = avma; q = shifti(p1,-e); /* q = (p-1)/2^oo is odd */
1231 37979 : if (!y)
1232 : {
1233 2736 : y = Fp_2gener_all(q, p);
1234 2736 : if (!y) pari_err_PRIME("Fp_sqrt [modulus]",p);
1235 : }
1236 37979 : p1 = Fp_pow(a, shifti(q,-1), p); /* a ^ (q-1)/2 */
1237 37980 : v = Fp_mul(a, p1, p);
1238 37980 : w = Fp_mul(v, p1, p);
1239 90050 : while (!equali1(w))
1240 : { /* a*w = v^2, y primitive 2^e-th root of 1
1241 : a square --> w even power of y, hence w^(2^(e-1)) = 1 */
1242 52113 : p1 = Fp_sqr(w,p);
1243 107909 : for (k=1; !equali1(p1) && k < e; k++) p1 = Fp_sqr(p1,p);
1244 52112 : if (k == e) return NULL; /* p composite or (a/p) != 1 */
1245 : /* w ^ (2^k) = 1 --> w = y ^ (u * 2^(e-k)), u odd */
1246 52069 : p1 = y;
1247 74597 : for (i=1; i < e-k; i++) p1 = Fp_sqr(p1,p);
1248 52069 : y = Fp_sqr(p1, p); e = k;
1249 52070 : w = Fp_mul(y, w, p);
1250 52069 : v = Fp_mul(v, p1, p);
1251 52070 : if (gc_needed(av,1))
1252 : {
1253 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"Fp_sqrt");
1254 0 : gerepileall(av,3, &y,&w,&v);
1255 : }
1256 : }
1257 37937 : return v;
1258 : }
1259 :
1260 : /* Assume p is prime and return NULL if (a,p) = -1; y = NULL or generator
1261 : * of Fp^* 2-Sylow */
1262 : GEN
1263 4888545 : Fp_sqrt_i(GEN a, GEN y, GEN p)
1264 : {
1265 4888545 : pari_sp av = avma, av2;
1266 : GEN q;
1267 :
1268 4888545 : if (lgefint(p) == 3)
1269 : {
1270 4811124 : ulong pp = uel(p,2), u = umodiu(a, pp);
1271 4811128 : if (!u) return gen_0;
1272 3599278 : u = Fl_sqrt(u, pp);
1273 3599391 : return (u == ~0UL)? NULL: utoipos(u);
1274 : }
1275 77421 : a = modii(a, p); if (!signe(a)) return gen_0;
1276 77303 : a = Fp_sqrt_ii(a, y, p); if (!a) return gc_NULL(av);
1277 : /* smallest square root */
1278 76897 : av2 = avma; q = subii(p, a);
1279 76894 : if (cmpii(a, q) > 0) a = q; else set_avma(av2);
1280 76900 : return gerepileuptoint(av, a);
1281 : }
1282 : GEN
1283 4832608 : Fp_sqrt(GEN a, GEN p) { return Fp_sqrt_i(a, NULL, p); }
1284 :
1285 : /*********************************************************************/
1286 : /** GCD & BEZOUT **/
1287 : /*********************************************************************/
1288 :
1289 : GEN
1290 53351526 : lcmii(GEN x, GEN y)
1291 : {
1292 : pari_sp av;
1293 : GEN a, b;
1294 53351526 : if (!signe(x) || !signe(y)) return gen_0;
1295 53351534 : av = avma; a = gcdii(x,y);
1296 53350158 : if (absequalii(a,y)) { set_avma(av); return absi(x); }
1297 11689906 : if (!equali1(a)) y = diviiexact(y,a);
1298 11689882 : b = mulii(x,y); setabssign(b); return gerepileuptoint(av, b);
1299 : }
1300 :
1301 : /* given x in assume 0 < x < N; return u in (Z/NZ)^* such that u x = gcd(x,N) (mod N);
1302 : * set *pd = gcd(x,N) */
1303 : GEN
1304 5911402 : Fp_invgen(GEN x, GEN N, GEN *pd)
1305 : {
1306 : GEN d, d0, e, v;
1307 5911402 : if (lgefint(N) == 3)
1308 : {
1309 5129459 : ulong dd, NN = N[2], xx = umodiu(x,NN);
1310 5129499 : if (!xx) { *pd = N; return gen_0; }
1311 5129499 : xx = Fl_invgen(xx, NN, &dd);
1312 5131276 : *pd = utoi(dd); return utoi(xx);
1313 : }
1314 781943 : *pd = d = bezout(x, N, &v, NULL);
1315 781957 : if (equali1(d)) return v;
1316 : /* vx = gcd(x,N) (mod N), v coprime to N/d but need not be coprime to N */
1317 684979 : e = diviiexact(N,d);
1318 684979 : d0 = Z_ppo(d, e); /* d = d0 d1, d0 coprime to N/d, rad(d1) | N/d */
1319 684979 : if (equali1(d0)) return v;
1320 543032 : if (!equalii(d,d0)) e = lcmii(e, diviiexact(d,d0));
1321 543031 : return Z_chinese_coprime(v, gen_1, e, d0, mulii(e,d0));
1322 : }
1323 :
1324 : /*********************************************************************/
1325 : /** CHINESE REMAINDERS **/
1326 : /*********************************************************************/
1327 :
1328 : /* Chinese Remainder Theorem. x and y must have the same type (integermod,
1329 : * polymod, or polynomial/vector/matrix recursively constructed with these
1330 : * as coefficients). Creates (with the same type) a z in the same residue
1331 : * class as x and the same residue class as y, if it is possible.
1332 : *
1333 : * We also allow (during recursion) two identical objects even if they are
1334 : * not integermod or polymod. For example:
1335 : *
1336 : * ? x = [1, Mod(5, 11), Mod(X + Mod(2, 7), X^2 + 1)];
1337 : * ? y = [1, Mod(7, 17), Mod(X + Mod(0, 3), X^2 + 1)];
1338 : * ? chinese(x, y)
1339 : * %3 = [1, Mod(16, 187), Mod(X + mod(9, 21), X^2 + 1)] */
1340 :
1341 : static GEN
1342 2415822 : gen_chinese(GEN x, GEN(*f)(GEN,GEN))
1343 : {
1344 2415822 : GEN z = gassoc_proto(f,x,NULL);
1345 2415815 : if (z == gen_1) retmkintmod(gen_0,gen_1);
1346 2415780 : return z;
1347 : }
1348 :
1349 : GEN
1350 2415 : chinese1(GEN x) { return gen_chinese(x,chinese); }
1351 :
1352 : static GEN
1353 21 : padic2mod(GEN x)
1354 : {
1355 21 : pari_sp av = avma;
1356 21 : GEN pd = padic_pd(x), p = padic_p(x), u = padic_u(x);
1357 21 : long v = valp(x);
1358 21 : if (v < 0) pari_err_INV("chinese", mkintmod(gen_0, p));
1359 21 : if (v)
1360 : {
1361 0 : GEN pv = powiu(p, v);
1362 0 : pd = mulii(pd, pv);
1363 0 : u = mulii(u, pv);
1364 : }
1365 21 : return gerepilecopy(av, mkintmod(u, pd));
1366 :
1367 : }
1368 : /* x t_INTMOD, y t_POLMOD; promote x to t_POLMOD mod Pol(x.mod): makes Mod(0,1)
1369 : * a better "neutral" element */
1370 : static GEN
1371 21 : intmod2polmod(GEN x,GEN y)
1372 21 : { retmkpolmod(gel(x,2), scalarpol_shallow(gel(x,1), varn(gel(y,1)))); }
1373 :
1374 : GEN
1375 5495 : chinese(GEN x, GEN y)
1376 : {
1377 5495 : pari_sp av = avma;
1378 : long tx, ty;
1379 : GEN z;
1380 :
1381 5495 : if (!y) return chinese1(x);
1382 5446 : if (gidentical(x,y)) return gcopy(x);
1383 : /* allows GC optimization for this most frequent case */
1384 5439 : z = cgetg(3,t_INTMOD);
1385 5439 : tx = typ(x); if (tx == t_PADIC) { x = padic2mod(x); tx = t_INTMOD; }
1386 5439 : ty = typ(y); if (ty == t_PADIC) { y = padic2mod(y); ty = t_INTMOD; }
1387 5439 : if (tx == t_POLMOD && ty == t_INTMOD)
1388 14 : { y = intmod2polmod(y, x); ty = t_POLMOD; }
1389 5439 : if (ty == t_POLMOD && tx == t_INTMOD)
1390 7 : { x = intmod2polmod(x, y); tx = t_POLMOD; }
1391 5439 : if (tx == ty) switch(tx)
1392 : {
1393 3892 : case t_POLMOD:
1394 : {
1395 3892 : GEN A = gel(x,1), B = gel(y,1);
1396 3892 : GEN a = gel(x,2), b = gel(y,2), t, d, e, u, v;
1397 3892 : if (varn(A)!=varn(B)) pari_err_VAR("chinese",A,B);
1398 3892 : if (RgX_equal(A,B)) retmkpolmod(chinese(a,b), gcopy(A)); /*same modulus*/
1399 3892 : d = RgX_extgcd(A,B,&u,&v);
1400 3892 : e = gsub(b, a);
1401 3892 : if (!gequal0(gmod(e, d))) pari_err_OP("chinese",x,y);
1402 3892 : t = gdiv(A, d);
1403 3892 : e = gadd(a, gmul(gmul(u,t), e));
1404 :
1405 3892 : z = cgetg(3, t_POLMOD);
1406 3892 : gel(z,1) = RgX_mul(t, B);
1407 3892 : gel(z,2) = gmod(e, gel(z,1));
1408 3892 : return gerepileupto(av, z);
1409 : }
1410 1519 : case t_INTMOD:
1411 : {
1412 1519 : GEN A = gel(x,1), B = gel(y,1);
1413 1519 : GEN a = gel(x,2), b = gel(y,2), c, d, C, U;
1414 1519 : Z_chinese_pre(A, B, &C, &U, &d);
1415 1519 : c = Z_chinese_post(a, b, C, U, d);
1416 1519 : if (!c) pari_err_OP("chinese", x,y);
1417 1519 : set_avma((pari_sp)z); /* GC optimization */
1418 1519 : gel(z,1) = icopy(C);
1419 1519 : gel(z,2) = icopy(c); return z;
1420 : }
1421 14 : case t_POL:
1422 : {
1423 14 : long i, lx = lg(x), ly = lg(y);
1424 14 : if (varn(x) != varn(y)) pari_err_OP("chinese",x,y);
1425 14 : if (lx < ly) { swap(x,y); lswap(lx,ly); }
1426 14 : set_avma(av);
1427 14 : z = cgetg(lx, t_POL); z[1] = x[1];
1428 42 : for (i=2; i<ly; i++) gel(z,i) = chinese(gel(x,i),gel(y,i));
1429 14 : if (i < lx)
1430 : {
1431 14 : GEN _0 = Rg_get_0(y);
1432 28 : for ( ; i<lx; i++) gel(z,i) = chinese(gel(x,i),_0);
1433 : }
1434 14 : return z;
1435 : }
1436 14 : case t_VEC: case t_COL: case t_MAT:
1437 : {
1438 : long i, lx;
1439 14 : set_avma(av);
1440 14 : z = cgetg_copy(x, &lx); if (lx!=lg(y)) pari_err_OP("chinese",x,y);
1441 42 : for (i=1; i<lx; i++) gel(z,i) = chinese(gel(x,i),gel(y,i));
1442 14 : return z;
1443 : }
1444 : }
1445 0 : pari_err_OP("chinese",x,y);
1446 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
1447 : }
1448 :
1449 : /* init chinese(Mod(.,A), Mod(.,B)) */
1450 : void
1451 271337 : Z_chinese_pre(GEN A, GEN B, GEN *pC, GEN *pU, GEN *pd)
1452 : {
1453 271337 : GEN u, d = bezout(A,B,&u,NULL); /* U = u(A/d), u(A/d) + v(B/d) = 1 */
1454 271345 : GEN t = diviiexact(A,d);
1455 271329 : *pU = mulii(u, t);
1456 271320 : *pC = mulii(t, B); if (pd) *pd = d;
1457 271318 : }
1458 : /* Assume C = lcm(A, B), U = 0 mod (A/d), U = 1 mod (B/d), a = b mod d,
1459 : * where d = gcd(A,B) or NULL, return x = a (mod A), b (mod B).
1460 : * If d not NULL, check whether a = b mod d. */
1461 : GEN
1462 3007654 : Z_chinese_post(GEN a, GEN b, GEN C, GEN U, GEN d)
1463 : {
1464 : GEN e;
1465 3007654 : if (!signe(a))
1466 : {
1467 797074 : if (d && !dvdii(b, d)) return NULL;
1468 797074 : return Fp_mul(b, U, C);
1469 : }
1470 2210580 : e = subii(b,a);
1471 2210580 : if (d && !dvdii(e, d)) return NULL;
1472 2210580 : return modii(addii(a, mulii(U, e)), C);
1473 : }
1474 : static ulong
1475 1590727 : u_chinese_post(ulong a, ulong b, ulong C, ulong U)
1476 : {
1477 1590727 : if (!a) return Fl_mul(b, U, C);
1478 1590727 : return Fl_add(a, Fl_mul(U, Fl_sub(b,a,C), C), C);
1479 : }
1480 :
1481 : GEN
1482 2142 : Z_chinese(GEN a, GEN b, GEN A, GEN B)
1483 : {
1484 2142 : pari_sp av = avma;
1485 2142 : GEN C, U; Z_chinese_pre(A, B, &C, &U, NULL);
1486 2142 : return gerepileuptoint(av, Z_chinese_post(a,b, C, U, NULL));
1487 : }
1488 : GEN
1489 267619 : Z_chinese_all(GEN a, GEN b, GEN A, GEN B, GEN *pC)
1490 : {
1491 267619 : GEN U; Z_chinese_pre(A, B, pC, &U, NULL);
1492 267601 : return Z_chinese_post(a,b, *pC, U, NULL);
1493 : }
1494 :
1495 : /* return lift(chinese(a mod A, b mod B))
1496 : * assume(A,B)=1, a,b,A,B integers and C = A*B */
1497 : GEN
1498 544292 : Z_chinese_coprime(GEN a, GEN b, GEN A, GEN B, GEN C)
1499 : {
1500 544292 : pari_sp av = avma;
1501 544292 : GEN U = mulii(Fp_inv(A,B), A);
1502 544292 : return gerepileuptoint(av, Z_chinese_post(a,b,C,U, NULL));
1503 : }
1504 : ulong
1505 1590731 : u_chinese_coprime(ulong a, ulong b, ulong A, ulong B, ulong C)
1506 1590731 : { return u_chinese_post(a,b,C, A * Fl_inv(A % B,B)); }
1507 :
1508 : /* chinese1 for coprime moduli in Z */
1509 : static GEN
1510 2191779 : chinese1_coprime_Z_aux(GEN x, GEN y)
1511 : {
1512 2191779 : GEN z = cgetg(3, t_INTMOD);
1513 2191779 : GEN A = gel(x,1), a = gel(x, 2);
1514 2191779 : GEN B = gel(y,1), b = gel(y, 2), C = mulii(A,B);
1515 2191779 : pari_sp av = avma;
1516 2191779 : GEN U = mulii(Fp_inv(A,B), A);
1517 2191779 : gel(z,2) = gerepileuptoint(av, Z_chinese_post(a,b,C,U, NULL));
1518 2191779 : gel(z,1) = C; return z;
1519 : }
1520 : GEN
1521 2413407 : chinese1_coprime_Z(GEN x) {return gen_chinese(x,chinese1_coprime_Z_aux);}
1522 :
1523 : /*********************************************************************/
1524 : /** MODULAR EXPONENTIATION **/
1525 : /*********************************************************************/
1526 : /* xa ZV or nv */
1527 : GEN
1528 2598668 : ZV_producttree(GEN xa)
1529 : {
1530 2598668 : long n = lg(xa)-1;
1531 2598668 : long m = n==1 ? 1: expu(n-1)+1;
1532 2598668 : GEN T = cgetg(m+1, t_VEC), t;
1533 : long i, j, k;
1534 2598667 : t = cgetg(((n+1)>>1)+1, t_VEC);
1535 2598665 : if (typ(xa)==t_VECSMALL)
1536 : {
1537 3473345 : for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
1538 2238992 : gel(t, j) = muluu(xa[k], xa[k+1]);
1539 1234353 : if (k==n) gel(t, j) = utoi(xa[k]);
1540 : } else {
1541 2825532 : for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
1542 1461230 : gel(t, j) = mulii(gel(xa,k), gel(xa,k+1));
1543 1364302 : if (k==n) gel(t, j) = icopy(gel(xa,k));
1544 : }
1545 2598656 : gel(T,1) = t;
1546 4147021 : for (i=2; i<=m; i++)
1547 : {
1548 1548358 : GEN u = gel(T, i-1);
1549 1548358 : long n = lg(u)-1;
1550 1548358 : t = cgetg(((n+1)>>1)+1, t_VEC);
1551 3481099 : for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
1552 1932734 : gel(t, j) = mulii(gel(u, k), gel(u, k+1));
1553 1548365 : if (k==n) gel(t, j) = gel(u, k);
1554 1548365 : gel(T, i) = t;
1555 : }
1556 2598663 : return T;
1557 : }
1558 :
1559 : /* return [A mod P[i], i=1..#P], T = ZV_producttree(P) */
1560 : GEN
1561 57122567 : Z_ZV_mod_tree(GEN A, GEN P, GEN T)
1562 : {
1563 : long i,j,k;
1564 57122567 : long m = lg(T)-1, n = lg(P)-1;
1565 : GEN t;
1566 57122567 : GEN Tp = cgetg(m+1, t_VEC);
1567 57082117 : gel(Tp, m) = mkvec(modii(A, gmael(T,m,1)));
1568 119173191 : for (i=m-1; i>=1; i--)
1569 : {
1570 62159123 : GEN u = gel(T, i);
1571 62159123 : GEN v = gel(Tp, i+1);
1572 62159123 : long n = lg(u)-1;
1573 62159123 : t = cgetg(n+1, t_VEC);
1574 148664830 : for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
1575 : {
1576 86613760 : gel(t, k) = modii(gel(v, j), gel(u, k));
1577 86642237 : gel(t, k+1) = modii(gel(v, j), gel(u, k+1));
1578 : }
1579 62051070 : if (k==n) gel(t, k) = gel(v, j);
1580 62051070 : gel(Tp, i) = t;
1581 : }
1582 : {
1583 57014068 : GEN u = gel(T, i+1);
1584 57014068 : GEN v = gel(Tp, i+1);
1585 57014068 : long l = lg(u)-1;
1586 57014068 : if (typ(P)==t_VECSMALL)
1587 : {
1588 54419594 : GEN R = cgetg(n+1, t_VECSMALL);
1589 194952526 : for (j=1, k=1; j<=l; j++, k+=2)
1590 : {
1591 140211758 : uel(R,k) = umodiu(gel(v, j), P[k]);
1592 140528674 : if (k < n)
1593 110977692 : uel(R,k+1) = umodiu(gel(v, j), P[k+1]);
1594 : }
1595 54740768 : return R;
1596 : }
1597 : else
1598 : {
1599 2594474 : GEN R = cgetg(n+1, t_VEC);
1600 7126378 : for (j=1, k=1; j<=l; j++, k+=2)
1601 : {
1602 4528068 : gel(R,k) = modii(gel(v, j), gel(P,k));
1603 4528068 : if (k < n)
1604 3697003 : gel(R,k+1) = modii(gel(v, j), gel(P,k+1));
1605 : }
1606 2598310 : return R;
1607 : }
1608 : }
1609 : }
1610 :
1611 : /* T = ZV_producttree(P), R = ZV_chinesetree(P,T) */
1612 : GEN
1613 39640194 : ZV_chinese_tree(GEN A, GEN P, GEN T, GEN R)
1614 : {
1615 39640194 : long m = lg(T)-1, n = lg(A)-1;
1616 : long i,j,k;
1617 39640194 : GEN Tp = cgetg(m+1, t_VEC);
1618 39628418 : GEN M = gel(T, 1);
1619 39628418 : GEN t = cgetg(lg(M), t_VEC);
1620 39577959 : if (typ(P)==t_VECSMALL)
1621 : {
1622 83836337 : for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
1623 : {
1624 60852093 : pari_sp av = avma;
1625 60852093 : GEN a = mului(A[k], gel(R,k)), b = mului(A[k+1], gel(R,k+1));
1626 60743536 : GEN tj = modii(addii(mului(P[k],b), mului(P[k+1],a)), gel(M,j));
1627 60806054 : gel(t, j) = gerepileuptoint(av, tj);
1628 : }
1629 22984244 : if (k==n) gel(t, j) = modii(mului(A[k], gel(R,k)), gel(M, j));
1630 : } else
1631 : {
1632 35256697 : for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
1633 : {
1634 18627400 : pari_sp av = avma;
1635 18627400 : GEN a = mulii(gel(A,k), gel(R,k)), b = mulii(gel(A,k+1), gel(R,k+1));
1636 18625000 : GEN tj = modii(addii(mulii(gel(P,k),b), mulii(gel(P,k+1),a)), gel(M,j));
1637 18647773 : gel(t, j) = gerepileuptoint(av, tj);
1638 : }
1639 16629297 : if (k==n) gel(t, j) = modii(mulii(gel(A,k), gel(R,k)), gel(M, j));
1640 : }
1641 39605686 : gel(Tp, 1) = t;
1642 73880047 : for (i=2; i<=m; i++)
1643 : {
1644 34252125 : GEN u = gel(T, i-1), M = gel(T, i);
1645 34252125 : GEN t = cgetg(lg(M), t_VEC);
1646 34261238 : GEN v = gel(Tp, i-1);
1647 34261238 : long n = lg(v)-1;
1648 89777219 : for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
1649 : {
1650 55502858 : pari_sp av = avma;
1651 55452530 : gel(t, j) = gerepileuptoint(av, modii(addii(mulii(gel(u, k), gel(v, k+1)),
1652 55502858 : mulii(gel(u, k+1), gel(v, k))), gel(M, j)));
1653 : }
1654 34274361 : if (k==n) gel(t, j) = gel(v, k);
1655 34274361 : gel(Tp, i) = t;
1656 : }
1657 39627922 : return gmael(Tp,m,1);
1658 : }
1659 :
1660 : static GEN
1661 1526656 : ncV_polint_center_tree(GEN vA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
1662 : {
1663 1526656 : long i, l = lg(gel(vA,1)), n = lg(P);
1664 1526656 : GEN mod = gmael(T, lg(T)-1, 1), V = cgetg(l, t_COL);
1665 33862446 : for (i=1; i < l; i++)
1666 : {
1667 32336214 : pari_sp av = avma;
1668 32336214 : GEN c, A = cgetg(n, typ(P));
1669 : long j;
1670 186097137 : for (j=1; j < n; j++) A[j] = mael(vA,j,i);
1671 32299200 : c = Fp_center(ZV_chinese_tree(A, P, T, R), mod, m2);
1672 32322348 : gel(V,i) = gerepileuptoint(av, c);
1673 : }
1674 1526232 : return V;
1675 : }
1676 :
1677 : static GEN
1678 722624 : nxV_polint_center_tree(GEN vA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
1679 : {
1680 722624 : long i, j, l, n = lg(P);
1681 722624 : GEN mod = gmael(T, lg(T)-1, 1), V, w;
1682 722624 : w = cgetg(n, t_VECSMALL);
1683 2552741 : for(j=1; j<n; j++) w[j] = lg(gel(vA,j));
1684 722614 : l = vecsmall_max(w);
1685 722611 : V = cgetg(l, t_POL);
1686 722542 : V[1] = mael(vA,1,1);
1687 5309767 : for (i=2; i < l; i++)
1688 : {
1689 4587172 : pari_sp av = avma;
1690 4587172 : GEN c, A = cgetg(n, typ(P));
1691 4586689 : if (typ(P)==t_VECSMALL)
1692 12175230 : for (j=1; j < n; j++) A[j] = i < w[j] ? mael(vA,j,i): 0;
1693 : else
1694 5790107 : for (j=1; j < n; j++) gel(A,j) = i < w[j] ? gmael(vA,j,i): gen_0;
1695 4586689 : c = Fp_center(ZV_chinese_tree(A, P, T, R), mod, m2);
1696 4587118 : gel(V,i) = gerepileuptoint(av, c);
1697 : }
1698 722595 : return ZX_renormalize(V, l);
1699 : }
1700 :
1701 : static GEN
1702 4620 : nxCV_polint_center_tree(GEN vA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
1703 : {
1704 4620 : long i, j, l = lg(gel(vA,1)), n = lg(P);
1705 4620 : GEN A = cgetg(n, t_VEC);
1706 4620 : GEN V = cgetg(l, t_COL);
1707 90809 : for (i=1; i < l; i++)
1708 : {
1709 334814 : for (j=1; j < n; j++) gel(A,j) = gmael(vA,j,i);
1710 86189 : gel(V,i) = nxV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
1711 : }
1712 4620 : return V;
1713 : }
1714 :
1715 : static GEN
1716 420983 : polint_chinese(GEN worker, GEN mA, GEN P)
1717 : {
1718 420983 : long cnt, pending, n, i, j, l = lg(gel(mA,1));
1719 : struct pari_mt pt;
1720 : GEN done, va, M, A;
1721 : pari_timer ti;
1722 :
1723 420983 : if (l == 1) return cgetg(1, t_MAT);
1724 391931 : cnt = pending = 0;
1725 391931 : n = lg(P);
1726 391931 : A = cgetg(n, t_VEC);
1727 391931 : va = mkvec(A);
1728 391931 : M = cgetg(l, t_MAT);
1729 391931 : if (DEBUGLEVEL>4) timer_start(&ti);
1730 391931 : if (DEBUGLEVEL>5) err_printf("Start parallel Chinese remainder: ");
1731 391931 : mt_queue_start_lim(&pt, worker, l-1);
1732 1423516 : for (i=1; i<l || pending; i++)
1733 : {
1734 : long workid;
1735 3869222 : for(j=1; j < n; j++) gel(A,j) = gmael(mA,j,i);
1736 1031585 : mt_queue_submit(&pt, i, i<l? va: NULL);
1737 1031585 : done = mt_queue_get(&pt, &workid, &pending);
1738 1031585 : if (done)
1739 : {
1740 991658 : gel(M,workid) = done;
1741 991658 : if (DEBUGLEVEL>5) err_printf("%ld%% ",(++cnt)*100/(l-1));
1742 : }
1743 : }
1744 391931 : if (DEBUGLEVEL>5) err_printf("\n");
1745 391931 : if (DEBUGLEVEL>4) timer_printf(&ti, "nmV_chinese_center");
1746 391931 : mt_queue_end(&pt);
1747 391931 : return M;
1748 : }
1749 :
1750 : GEN
1751 840 : nxMV_polint_center_tree_worker(GEN vA, GEN T, GEN R, GEN P, GEN m2)
1752 : {
1753 840 : return nxCV_polint_center_tree(vA, P, T, R, m2);
1754 : }
1755 :
1756 : static GEN
1757 431 : nxMV_polint_center_tree_seq(GEN vA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
1758 : {
1759 431 : long i, j, l = lg(gel(vA,1)), n = lg(P);
1760 431 : GEN A = cgetg(n, t_VEC);
1761 431 : GEN V = cgetg(l, t_MAT);
1762 4211 : for (i=1; i < l; i++)
1763 : {
1764 15317 : for (j=1; j < n; j++) gel(A,j) = gmael(vA,j,i);
1765 3780 : gel(V,i) = nxCV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
1766 : }
1767 431 : return V;
1768 : }
1769 :
1770 : static GEN
1771 90 : nxMV_polint_center_tree(GEN mA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
1772 : {
1773 90 : GEN worker = snm_closure(is_entry("_nxMV_polint_worker"), mkvec4(T, R, P, m2));
1774 90 : return polint_chinese(worker, mA, P);
1775 : }
1776 :
1777 : static GEN
1778 142062 : nmV_polint_center_tree_seq(GEN vA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
1779 : {
1780 142062 : long i, j, l = lg(gel(vA,1)), n = lg(P);
1781 142062 : GEN A = cgetg(n, t_VEC);
1782 142060 : GEN V = cgetg(l, t_MAT);
1783 662202 : for (i=1; i < l; i++)
1784 : {
1785 2983088 : for (j=1; j < n; j++) gel(A,j) = gmael(vA,j,i);
1786 520141 : gel(V,i) = ncV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
1787 : }
1788 142061 : return V;
1789 : }
1790 :
1791 : GEN
1792 990793 : nmV_polint_center_tree_worker(GEN vA, GEN T, GEN R, GEN P, GEN m2)
1793 : {
1794 990793 : return ncV_polint_center_tree(vA, P, T, R, m2);
1795 : }
1796 :
1797 : static GEN
1798 420893 : nmV_polint_center_tree(GEN mA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
1799 : {
1800 420893 : GEN worker = snm_closure(is_entry("_polint_worker"), mkvec4(T, R, P, m2));
1801 420893 : return polint_chinese(worker, mA, P);
1802 : }
1803 :
1804 : /* return [A mod P[i], i=1..#P] */
1805 : GEN
1806 0 : Z_ZV_mod(GEN A, GEN P)
1807 : {
1808 0 : pari_sp av = avma;
1809 0 : return gerepilecopy(av, Z_ZV_mod_tree(A, P, ZV_producttree(P)));
1810 : }
1811 : /* P a t_VECSMALL */
1812 : GEN
1813 0 : Z_nv_mod(GEN A, GEN P)
1814 : {
1815 0 : pari_sp av = avma;
1816 0 : return gerepileuptoleaf(av, Z_ZV_mod_tree(A, P, ZV_producttree(P)));
1817 : }
1818 : /* B a ZX, T = ZV_producttree(P) */
1819 : GEN
1820 2401128 : ZX_nv_mod_tree(GEN B, GEN A, GEN T)
1821 : {
1822 : pari_sp av;
1823 2401128 : long i, j, l = lg(B), n = lg(A)-1;
1824 2401128 : GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
1825 11404059 : for (j=1; j <= n; j++)
1826 : {
1827 9003097 : gel(V, j) = cgetg(l, t_VECSMALL);
1828 9002959 : mael(V, j, 1) = B[1]&VARNBITS;
1829 : }
1830 2400962 : av = avma;
1831 15675846 : for (i=2; i < l; i++)
1832 : {
1833 13275797 : GEN v = Z_ZV_mod_tree(gel(B, i), A, T);
1834 87862896 : for (j=1; j <= n; j++)
1835 74593697 : mael(V, j, i) = v[j];
1836 13269199 : set_avma(av);
1837 : }
1838 11403455 : for (j=1; j <= n; j++)
1839 9003424 : (void) Flx_renormalize(gel(V, j), l);
1840 2400031 : return V;
1841 : }
1842 :
1843 : static GEN
1844 1191439 : to_ZX(GEN a, long v) { return typ(a)==t_INT? scalarpol(a,v): a; }
1845 :
1846 : GEN
1847 86825 : ZXX_nv_mod_tree(GEN P, GEN xa, GEN T, long w)
1848 : {
1849 86825 : pari_sp av = avma;
1850 86825 : long i, j, l = lg(P), n = lg(xa)-1;
1851 86825 : GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
1852 374774 : for (j=1; j <= n; j++)
1853 : {
1854 287949 : gel(V, j) = cgetg(l, t_POL);
1855 287949 : mael(V, j, 1) = P[1]&VARNBITS;
1856 : }
1857 1197044 : for (i=2; i < l; i++)
1858 : {
1859 1110219 : GEN v = ZX_nv_mod_tree(to_ZX(gel(P, i), w), xa, T);
1860 4841700 : for (j=1; j <= n; j++)
1861 3731481 : gmael(V, j, i) = gel(v,j);
1862 : }
1863 374774 : for (j=1; j <= n; j++)
1864 287949 : (void) FlxX_renormalize(gel(V, j), l);
1865 86825 : return gerepilecopy(av, V);
1866 : }
1867 :
1868 : GEN
1869 4054 : ZXC_nv_mod_tree(GEN C, GEN xa, GEN T, long w)
1870 : {
1871 4054 : pari_sp av = avma;
1872 4054 : long i, j, l = lg(C), n = lg(xa)-1;
1873 4054 : GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
1874 16967 : for (j = 1; j <= n; j++)
1875 12914 : gel(V, j) = cgetg(l, t_COL);
1876 85277 : for (i = 1; i < l; i++)
1877 : {
1878 81222 : GEN v = ZX_nv_mod_tree(to_ZX(gel(C, i), w), xa, T);
1879 359499 : for (j = 1; j <= n; j++)
1880 278275 : gmael(V, j, i) = gel(v,j);
1881 : }
1882 4055 : return gerepilecopy(av, V);
1883 : }
1884 :
1885 : GEN
1886 431 : ZXM_nv_mod_tree(GEN M, GEN xa, GEN T, long w)
1887 : {
1888 431 : pari_sp av = avma;
1889 431 : long i, j, l = lg(M), n = lg(xa)-1;
1890 431 : GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
1891 2086 : for (j=1; j <= n; j++)
1892 1655 : gel(V, j) = cgetg(l, t_MAT);
1893 4211 : for (i=1; i < l; i++)
1894 : {
1895 3780 : GEN v = ZXC_nv_mod_tree(gel(M, i), xa, T, w);
1896 15317 : for (j=1; j <= n; j++)
1897 11537 : gmael(V, j, i) = gel(v,j);
1898 : }
1899 431 : return gerepilecopy(av, V);
1900 : }
1901 :
1902 : GEN
1903 1273634 : ZV_nv_mod_tree(GEN B, GEN A, GEN T)
1904 : {
1905 : pari_sp av;
1906 1273634 : long i, j, l = lg(B), n = lg(A)-1;
1907 1273634 : GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
1908 6532245 : for (j=1; j <= n; j++) gel(V, j) = cgetg(l, t_VECSMALL);
1909 1273571 : av = avma;
1910 42456388 : for (i=1; i < l; i++)
1911 : {
1912 41188142 : GEN v = Z_ZV_mod_tree(gel(B, i), A, T);
1913 219035456 : for (j=1; j <= n; j++) mael(V, j, i) = v[j];
1914 41153740 : set_avma(av);
1915 : }
1916 1268246 : return V;
1917 : }
1918 :
1919 : static GEN
1920 242204 : ZM_nv_mod_tree_t(GEN M, GEN xa, GEN T, long t)
1921 : {
1922 242204 : pari_sp av = avma;
1923 242204 : long i, j, l = lg(M), n = lg(xa)-1;
1924 242204 : GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
1925 1324879 : for (j=1; j <= n; j++) gel(V, j) = cgetg(l, t);
1926 1515592 : for (i=1; i < l; i++)
1927 : {
1928 1273398 : GEN v = ZV_nv_mod_tree(gel(M, i), xa, T);
1929 6531497 : for (j=1; j <= n; j++) gmael(V, j, i) = gel(v,j);
1930 : }
1931 242194 : return gerepilecopy(av, V);
1932 : }
1933 :
1934 : GEN
1935 236747 : ZM_nv_mod_tree(GEN M, GEN xa, GEN T)
1936 236747 : { return ZM_nv_mod_tree_t(M, xa, T, t_MAT); }
1937 :
1938 : GEN
1939 5457 : ZVV_nv_mod_tree(GEN M, GEN xa, GEN T)
1940 5457 : { return ZM_nv_mod_tree_t(M, xa, T, t_VEC); }
1941 :
1942 : static GEN
1943 2594453 : ZV_sqr(GEN z)
1944 : {
1945 2594453 : long i,l = lg(z);
1946 2594453 : GEN x = cgetg(l, t_VEC);
1947 2594449 : if (typ(z)==t_VECSMALL)
1948 6164413 : for (i=1; i<l; i++) gel(x,i) = sqru(z[i]);
1949 : else
1950 4629506 : for (i=1; i<l; i++) gel(x,i) = sqri(gel(z,i));
1951 2594436 : return x;
1952 : }
1953 :
1954 : static GEN
1955 13417135 : ZT_sqr(GEN x)
1956 : {
1957 13417135 : if (typ(x) == t_INT) return sqri(x);
1958 17553510 : pari_APPLY_type(t_VEC, ZT_sqr(gel(x,i)))
1959 : }
1960 :
1961 : static GEN
1962 2594452 : ZV_invdivexact(GEN y, GEN x)
1963 : {
1964 2594452 : long i, l = lg(y);
1965 2594452 : GEN z = cgetg(l,t_VEC);
1966 2594453 : if (typ(x)==t_VECSMALL)
1967 6164259 : for (i=1; i<l; i++)
1968 : {
1969 4930243 : pari_sp av = avma;
1970 4930243 : ulong a = Fl_inv(umodiu(diviuexact(gel(y,i),x[i]), x[i]), x[i]);
1971 4930419 : set_avma(av); gel(z,i) = utoi(a);
1972 : }
1973 : else
1974 4629500 : for (i=1; i<l; i++)
1975 3269071 : gel(z,i) = Fp_inv(diviiexact(gel(y,i), gel(x,i)), gel(x,i));
1976 2594445 : return z;
1977 : }
1978 :
1979 : /* P t_VECSMALL or t_VEC of t_INT */
1980 : GEN
1981 2594452 : ZV_chinesetree(GEN P, GEN T)
1982 : {
1983 2594452 : GEN T2 = ZT_sqr(T), P2 = ZV_sqr(P);
1984 2594452 : GEN mod = gmael(T,lg(T)-1,1);
1985 2594452 : return ZV_invdivexact(Z_ZV_mod_tree(mod, P2, T2), P);
1986 : }
1987 :
1988 : static GEN
1989 1011144 : gc_chinese(pari_sp av, GEN T, GEN a, GEN *pt_mod)
1990 : {
1991 1011144 : if (!pt_mod)
1992 12377 : return gerepileupto(av, a);
1993 : else
1994 : {
1995 998767 : GEN mod = gmael(T, lg(T)-1, 1);
1996 998767 : gerepileall(av, 2, &a, &mod);
1997 998767 : *pt_mod = mod;
1998 998767 : return a;
1999 : }
2000 : }
2001 :
2002 : GEN
2003 157212 : ZV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
2004 : {
2005 157212 : pari_sp av = avma;
2006 157212 : GEN T = ZV_producttree(P);
2007 157212 : GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
2008 157212 : GEN a = ZV_chinese_tree(A, P, T, R);
2009 157212 : GEN mod = gmael(T, lg(T)-1, 1);
2010 157212 : GEN ca = Fp_center(a, mod, shifti(mod,-1));
2011 157212 : return gc_chinese(av, T, ca, pt_mod);
2012 : }
2013 :
2014 : GEN
2015 5141 : ZV_chinese(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
2016 : {
2017 5141 : pari_sp av = avma;
2018 5141 : GEN T = ZV_producttree(P);
2019 5141 : GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
2020 5141 : GEN a = ZV_chinese_tree(A, P, T, R);
2021 5141 : return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
2022 : }
2023 :
2024 : GEN
2025 218849 : nxV_chinese_center_tree(GEN A, GEN P, GEN T, GEN R)
2026 : {
2027 218849 : pari_sp av = avma;
2028 218849 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
2029 218849 : GEN a = nxV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
2030 218849 : return gerepileupto(av, a);
2031 : }
2032 :
2033 : GEN
2034 417545 : nxV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
2035 : {
2036 417545 : pari_sp av = avma;
2037 417545 : GEN T = ZV_producttree(P);
2038 417545 : GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
2039 417545 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
2040 417545 : GEN a = nxV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
2041 417545 : return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
2042 : }
2043 :
2044 : GEN
2045 10263 : ncV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
2046 : {
2047 10263 : pari_sp av = avma;
2048 10263 : GEN T = ZV_producttree(P);
2049 10263 : GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
2050 10263 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
2051 10263 : GEN a = ncV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
2052 10263 : return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
2053 : }
2054 :
2055 : GEN
2056 5457 : ncV_chinese_center_tree(GEN A, GEN P, GEN T, GEN R)
2057 : {
2058 5457 : pari_sp av = avma;
2059 5457 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
2060 5457 : GEN a = ncV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
2061 5457 : return gerepileupto(av, a);
2062 : }
2063 :
2064 : GEN
2065 0 : nmV_chinese_center_tree(GEN A, GEN P, GEN T, GEN R)
2066 : {
2067 0 : pari_sp av = avma;
2068 0 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
2069 0 : GEN a = nmV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
2070 0 : return gerepileupto(av, a);
2071 : }
2072 :
2073 : GEN
2074 142061 : nmV_chinese_center_tree_seq(GEN A, GEN P, GEN T, GEN R)
2075 : {
2076 142061 : pari_sp av = avma;
2077 142061 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
2078 142062 : GEN a = nmV_polint_center_tree_seq(A, P, T, R, m2);
2079 142061 : return gerepileupto(av, a);
2080 : }
2081 :
2082 : GEN
2083 420893 : nmV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
2084 : {
2085 420893 : pari_sp av = avma;
2086 420893 : GEN T = ZV_producttree(P);
2087 420893 : GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
2088 420892 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
2089 420893 : GEN a = nmV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
2090 420893 : return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
2091 : }
2092 :
2093 : GEN
2094 0 : nxCV_chinese_center_tree(GEN A, GEN P, GEN T, GEN R)
2095 : {
2096 0 : pari_sp av = avma;
2097 0 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
2098 0 : GEN a = nxCV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
2099 0 : return gerepileupto(av, a);
2100 : }
2101 :
2102 : GEN
2103 0 : nxCV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
2104 : {
2105 0 : pari_sp av = avma;
2106 0 : GEN T = ZV_producttree(P);
2107 0 : GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
2108 0 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
2109 0 : GEN a = nxCV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
2110 0 : return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
2111 : }
2112 :
2113 : GEN
2114 431 : nxMV_chinese_center_tree_seq(GEN A, GEN P, GEN T, GEN R)
2115 : {
2116 431 : pari_sp av = avma;
2117 431 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
2118 431 : GEN a = nxMV_polint_center_tree_seq(A, P, T, R, m2);
2119 431 : return gerepileupto(av, a);
2120 : }
2121 :
2122 : GEN
2123 90 : nxMV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
2124 : {
2125 90 : pari_sp av = avma;
2126 90 : GEN T = ZV_producttree(P);
2127 90 : GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
2128 90 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
2129 90 : GEN a = nxMV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
2130 90 : return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
2131 : }
2132 :
2133 : /**********************************************************************
2134 : ** Powering over (Z/NZ)^*, small N **
2135 : **********************************************************************/
2136 :
2137 : /* 2^n mod p; assume n > 1 */
2138 : static ulong
2139 12369939 : Fl_2powu_pre(ulong n, ulong p, ulong pi)
2140 : {
2141 12369939 : ulong y = 2;
2142 12369939 : int j = 1+bfffo(n);
2143 : /* normalize, i.e set highest bit to 1 (we know n != 0) */
2144 12369939 : n<<=j; j = BITS_IN_LONG-j; /* first bit is now implicit */
2145 559322432 : for (; j; n<<=1,j--)
2146 : {
2147 546997495 : y = Fl_sqr_pre(y,p,pi);
2148 547006172 : if (n & HIGHBIT) y = Fl_double(y, p);
2149 : }
2150 12324937 : return y;
2151 : }
2152 :
2153 : /* 2^n mod p; assume n > 1 and !(p & HIGHMASK) */
2154 : static ulong
2155 4305318 : Fl_2powu(ulong n, ulong p)
2156 : {
2157 4305318 : ulong y = 2;
2158 4305318 : int j = 1+bfffo(n);
2159 : /* normalize, i.e set highest bit to 1 (we know n != 0) */
2160 4305318 : n<<=j; j = BITS_IN_LONG-j; /* first bit is now implicit */
2161 25435496 : for (; j; n<<=1,j--)
2162 : {
2163 21130152 : y = (y*y) % p;
2164 21130152 : if (n & HIGHBIT) y = Fl_double(y, p);
2165 : }
2166 4305344 : return y;
2167 : }
2168 :
2169 : /* allow pi = 0 */
2170 : ulong
2171 151743049 : Fl_powu_pre(ulong x, ulong n0, ulong p, ulong pi)
2172 : {
2173 : ulong y, z, n;
2174 151743049 : if (!pi) return Fl_powu(x, n0, p);
2175 149297844 : if (n0 <= 1)
2176 : { /* frequent special cases */
2177 10087440 : if (n0 == 1) return x;
2178 104877 : if (n0 == 0) return 1;
2179 : }
2180 139210435 : if (x <= 2)
2181 : {
2182 12635644 : if (x == 2) return Fl_2powu_pre(n0, p, pi);
2183 265326 : return x; /* 0 or 1 */
2184 : }
2185 126574791 : y = 1; z = x; n = n0;
2186 : for(;;)
2187 : {
2188 647554508 : if (n&1) y = Fl_mul_pre(y,z,p,pi);
2189 647394873 : n>>=1; if (!n) return y;
2190 520561074 : z = Fl_sqr_pre(z,p,pi);
2191 : }
2192 : }
2193 :
2194 : ulong
2195 139787342 : Fl_powu(ulong x, ulong n0, ulong p)
2196 : {
2197 : ulong y, z, n;
2198 139787342 : if (n0 <= 2)
2199 : { /* frequent special cases */
2200 66017754 : if (n0 == 2) return Fl_sqr(x,p);
2201 32397428 : if (n0 == 1) return x;
2202 1967003 : if (n0 == 0) return 1;
2203 : }
2204 73740567 : if (x <= 1) return x; /* 0 or 1 */
2205 73302073 : if (p & HIGHMASK)
2206 7903942 : return Fl_powu_pre(x, n0, p, get_Fl_red(p));
2207 65398131 : if (x == 2) return Fl_2powu(n0, p);
2208 61092809 : y = 1; z = x; n = n0;
2209 : for(;;)
2210 : {
2211 261830245 : if (n&1) y = (y*z) % p;
2212 261830245 : n>>=1; if (!n) return y;
2213 200737436 : z = (z*z) % p;
2214 : }
2215 : }
2216 :
2217 : /* Reduce data dependency to maximize internal parallelism; allow pi = 0 */
2218 : GEN
2219 12770551 : Fl_powers_pre(ulong x, long n, ulong p, ulong pi)
2220 : {
2221 : long i, k;
2222 12770551 : GEN z = cgetg(n + 2, t_VECSMALL);
2223 12764879 : z[1] = 1; if (n == 0) return z;
2224 12764879 : z[2] = x;
2225 12764879 : if (pi)
2226 : {
2227 90052066 : for (i = 3, k=2; i <= n; i+=2, k++)
2228 : {
2229 77490869 : z[i] = Fl_sqr_pre(z[k], p, pi);
2230 77499991 : z[i+1] = Fl_mul_pre(z[k], z[k+1], p, pi);
2231 : }
2232 12561197 : if (i==n+1) z[i] = Fl_sqr_pre(z[k], p, pi);
2233 : }
2234 213069 : else if (p & HIGHMASK)
2235 : {
2236 0 : for (i = 3, k=2; i <= n; i+=2, k++)
2237 : {
2238 0 : z[i] = Fl_sqr(z[k], p);
2239 0 : z[i+1] = Fl_mul(z[k], z[k+1], p);
2240 : }
2241 0 : if (i==n+1) z[i] = Fl_sqr(z[k], p);
2242 : }
2243 : else
2244 400535963 : for (i = 2; i <= n; i++) z[i+1] = (z[i] * x) % p;
2245 12776400 : return z;
2246 : }
2247 :
2248 : GEN
2249 296078 : Fl_powers(ulong x, long n, ulong p)
2250 : {
2251 296078 : return Fl_powers_pre(x, n, p, (p & HIGHMASK)? get_Fl_red(p): 0);
2252 : }
2253 :
2254 : /**********************************************************************
2255 : ** Powering over (Z/NZ)^*, large N **
2256 : **********************************************************************/
2257 : typedef struct muldata {
2258 : GEN (*sqr)(void * E, GEN x);
2259 : GEN (*mul)(void * E, GEN x, GEN y);
2260 : GEN (*mul2)(void * E, GEN x);
2261 : } muldata;
2262 :
2263 : /* modified Barrett reduction with one fold */
2264 : /* See Fast Modular Reduction, W. Hasenplaugh, G. Gaubatz, V. Gopal, ARITH 18 */
2265 :
2266 : static GEN
2267 14427 : Fp_invmBarrett(GEN p, long s)
2268 : {
2269 14427 : GEN R, Q = dvmdii(int2n(3*s),p,&R);
2270 14427 : return mkvec2(Q,R);
2271 : }
2272 :
2273 : /* a <= (N-1)^2, 2^(2s-2) <= N < 2^(2s). Return 0 <= r < N such that
2274 : * a = r (mod N) */
2275 : static GEN
2276 8787447 : Fp_rem_mBarrett(GEN a, GEN B, long s, GEN N)
2277 : {
2278 8787447 : pari_sp av = avma;
2279 8787447 : GEN P = gel(B, 1), Q = gel(B, 2); /* 2^(3s) = P N + Q, 0 <= Q < N */
2280 8787447 : long t = expi(P)+1; /* 2^(t-1) <= P < 2^t */
2281 8787447 : GEN u = shifti(a, -3*s), v = remi2n(a, 3*s); /* a = 2^(3s)u + v */
2282 8787447 : GEN A = addii(v, mulii(Q,u)); /* 0 <= A < 2^(3s+1) */
2283 8787447 : GEN q = shifti(mulii(shifti(A, t-3*s), P), -t); /* A/N - 4 < q <= A/N */
2284 8787447 : GEN r = subii(A, mulii(q, N));
2285 8787447 : GEN sr= subii(r,N); /* 0 <= r < 4*N */
2286 8787447 : if (signe(sr)<0) return gerepileuptoint(av, r);
2287 4801667 : r=sr; sr = subii(r,N); /* 0 <= r < 3*N */
2288 4801667 : if (signe(sr)<0) return gerepileuptoint(av, r);
2289 174258 : r=sr; sr = subii(r,N); /* 0 <= r < 2*N */
2290 174258 : return gerepileuptoint(av, signe(sr)>=0 ? sr:r);
2291 : }
2292 :
2293 : /* Montgomery reduction */
2294 :
2295 : INLINE ulong
2296 665457 : init_montdata(GEN N) { return (ulong) -invmod2BIL(mod2BIL(N)); }
2297 :
2298 : struct montred
2299 : {
2300 : GEN N;
2301 : ulong inv;
2302 : };
2303 :
2304 : /* Montgomery reduction */
2305 : static GEN
2306 65377385 : _sqr_montred(void * E, GEN x)
2307 : {
2308 65377385 : struct montred * D = (struct montred *) E;
2309 65377385 : return red_montgomery(sqri(x), D->N, D->inv);
2310 : }
2311 :
2312 : /* Montgomery reduction */
2313 : static GEN
2314 6884238 : _mul_montred(void * E, GEN x, GEN y)
2315 : {
2316 6884238 : struct montred * D = (struct montred *) E;
2317 6884238 : return red_montgomery(mulii(x, y), D->N, D->inv);
2318 : }
2319 :
2320 : static GEN
2321 10017472 : _mul2_montred(void * E, GEN x)
2322 : {
2323 10017472 : struct montred * D = (struct montred *) E;
2324 10017472 : GEN z = shifti(_sqr_montred(E, x), 1);
2325 10016488 : long l = lgefint(D->N);
2326 10497478 : while (lgefint(z) > l) z = subii(z, D->N);
2327 10016828 : return z;
2328 : }
2329 :
2330 : static GEN
2331 23434952 : _sqr_remii(void* N, GEN x)
2332 23434952 : { return remii(sqri(x), (GEN) N); }
2333 :
2334 : static GEN
2335 1506846 : _mul_remii(void* N, GEN x, GEN y)
2336 1506846 : { return remii(mulii(x, y), (GEN) N); }
2337 :
2338 : static GEN
2339 3549373 : _mul2_remii(void* N, GEN x)
2340 3549373 : { return Fp_double(_sqr_remii(N, x), (GEN)N); }
2341 :
2342 : struct redbarrett
2343 : {
2344 : GEN iM, N;
2345 : long s;
2346 : };
2347 :
2348 : static GEN
2349 8027504 : _sqr_remiibar(void *E, GEN x)
2350 : {
2351 8027504 : struct redbarrett * D = (struct redbarrett *) E;
2352 8027504 : return Fp_rem_mBarrett(sqri(x), D->iM, D->s, D->N);
2353 : }
2354 :
2355 : static GEN
2356 759943 : _mul_remiibar(void *E, GEN x, GEN y)
2357 : {
2358 759943 : struct redbarrett * D = (struct redbarrett *) E;
2359 759943 : return Fp_rem_mBarrett(mulii(x, y), D->iM, D->s, D->N);
2360 : }
2361 :
2362 : static GEN
2363 1906794 : _mul2_remiibar(void *E, GEN x)
2364 : {
2365 1906794 : struct redbarrett * D = (struct redbarrett *) E;
2366 1906794 : return Fp_double(_sqr_remiibar(E, x), D->N);
2367 : }
2368 :
2369 : static long
2370 871844 : Fp_select_red(GEN *y, ulong k, GEN N, long lN, muldata *D, void **pt_E)
2371 : {
2372 871844 : if (lN >= Fp_POW_BARRETT_LIMIT && (k==0 || ((double)k)*expi(*y) > 2 + expi(N)))
2373 : {
2374 14427 : struct redbarrett * E = (struct redbarrett *) stack_malloc(sizeof(struct redbarrett));
2375 14427 : D->sqr = &_sqr_remiibar;
2376 14427 : D->mul = &_mul_remiibar;
2377 14427 : D->mul2 = &_mul2_remiibar;
2378 14427 : E->N = N;
2379 14427 : E->s = 1+(expi(N)>>1);
2380 14427 : E->iM = Fp_invmBarrett(N, E->s);
2381 14427 : *pt_E = (void*) E;
2382 14427 : return 0;
2383 : }
2384 857417 : else if (mod2(N) && lN < Fp_POW_REDC_LIMIT)
2385 : {
2386 665452 : struct montred * E = (struct montred *) stack_malloc(sizeof(struct montred));
2387 665451 : *y = remii(shifti(*y, bit_accuracy(lN)), N);
2388 665457 : D->sqr = &_sqr_montred;
2389 665457 : D->mul = &_mul_montred;
2390 665457 : D->mul2 = &_mul2_montred;
2391 665457 : E->N = N;
2392 665457 : E->inv = init_montdata(N);
2393 665457 : *pt_E = (void*) E;
2394 665457 : return 1;
2395 : }
2396 : else
2397 : {
2398 191970 : D->sqr = &_sqr_remii;
2399 191970 : D->mul = &_mul_remii;
2400 191970 : D->mul2 = &_mul2_remii;
2401 191970 : *pt_E = (void*) N;
2402 191970 : return 0;
2403 : }
2404 : }
2405 :
2406 : GEN
2407 1750076 : Fp_powu(GEN A, ulong k, GEN N)
2408 : {
2409 1750076 : long lN = lgefint(N);
2410 : int base_is_2, use_montgomery;
2411 : muldata D;
2412 : void *E;
2413 : pari_sp av;
2414 :
2415 1750076 : if (lN == 3) {
2416 309646 : ulong n = uel(N,2);
2417 309646 : return utoi( Fl_powu(umodiu(A, n), k, n) );
2418 : }
2419 1440430 : if (k <= 2)
2420 : { /* frequent special cases */
2421 844734 : if (k == 2) return Fp_sqr(A,N);
2422 293842 : if (k == 1) return A;
2423 0 : if (k == 0) return gen_1;
2424 : }
2425 595695 : av = avma; A = modii(A,N);
2426 595695 : base_is_2 = 0;
2427 595695 : if (lgefint(A) == 3) switch(A[2])
2428 : {
2429 1055 : case 1: set_avma(av); return gen_1;
2430 34219 : case 2: base_is_2 = 1; break;
2431 : }
2432 :
2433 : /* TODO: Move this out of here and use for general modular computations */
2434 594640 : use_montgomery = Fp_select_red(&A, k, N, lN, &D, &E);
2435 594640 : if (base_is_2)
2436 34219 : A = gen_powu_fold_i(A, k, E, D.sqr, D.mul2);
2437 : else
2438 560421 : A = gen_powu_i(A, k, E, D.sqr, D.mul);
2439 594640 : if (use_montgomery)
2440 : {
2441 498937 : A = red_montgomery(A, N, ((struct montred *) E)->inv);
2442 498937 : if (cmpii(A, N) >= 0) A = subii(A,N);
2443 : }
2444 594640 : return gerepileuptoint(av, A);
2445 : }
2446 :
2447 : GEN
2448 1346297 : Fp_pows(GEN A, long k, GEN N)
2449 : {
2450 1346297 : if (lgefint(N) == 3) {
2451 1322420 : ulong n = N[2];
2452 1322420 : ulong a = umodiu(A, n);
2453 1322420 : if (k < 0) {
2454 58634 : a = Fl_inv(a, n);
2455 58634 : k = -k;
2456 : }
2457 1322420 : return utoi( Fl_powu(a, (ulong)k, n) );
2458 : }
2459 23877 : if (k < 0) { A = Fp_inv(A, N); k = -k; };
2460 23877 : return Fp_powu(A, (ulong)k, N);
2461 : }
2462 :
2463 : /* A^K mod N */
2464 : GEN
2465 36210598 : Fp_pow(GEN A, GEN K, GEN N)
2466 : {
2467 : pari_sp av;
2468 36210598 : long s, lN = lgefint(N), sA, sy;
2469 : int base_is_2, use_montgomery;
2470 : GEN y;
2471 : muldata D;
2472 : void *E;
2473 :
2474 36210598 : s = signe(K);
2475 36210598 : if (!s) return dvdii(A,N)? gen_0: gen_1;
2476 35179801 : if (lN == 3 && lgefint(K) == 3)
2477 : {
2478 34457921 : ulong n = N[2], a = umodiu(A, n);
2479 34458282 : if (s < 0) a = Fl_inv(a, n);
2480 34458361 : if (a <= 1) return utoi(a); /* 0 or 1 */
2481 30924175 : return utoi(Fl_powu(a, uel(K,2), n));
2482 : }
2483 :
2484 721880 : av = avma;
2485 721880 : if (s < 0) y = Fp_inv(A,N);
2486 : else
2487 : {
2488 719932 : y = modii(A,N);
2489 720185 : if (!signe(y)) { set_avma(av); return gen_0; }
2490 : }
2491 722121 : if (lgefint(K) == 3) return gerepileuptoint(av, Fp_powu(y, K[2], N));
2492 :
2493 277399 : base_is_2 = 0;
2494 277399 : sy = abscmpii(y, shifti(N,-1)) > 0;
2495 277400 : if (sy) y = subii(N,y);
2496 277402 : sA = sy && mod2(K);
2497 277402 : if (lgefint(y) == 3) switch(y[2])
2498 : {
2499 206 : case 1: set_avma(av); return sA ? subis(N,1): gen_1;
2500 154803 : case 2: base_is_2 = 1; break;
2501 : }
2502 :
2503 : /* TODO: Move this out of here and use for general modular computations */
2504 277196 : use_montgomery = Fp_select_red(&y, 0UL, N, lN, &D, &E);
2505 277219 : if (base_is_2)
2506 154822 : y = gen_pow_fold_i(y, K, E, D.sqr, D.mul2);
2507 : else
2508 122397 : y = gen_pow_i(y, K, E, D.sqr, D.mul);
2509 277231 : if (use_montgomery)
2510 : {
2511 166522 : y = red_montgomery(y, N, ((struct montred *) E)->inv);
2512 166522 : if (cmpii(y,N) >= 0) y = subii(y,N);
2513 : }
2514 277231 : if (sA) y = subii(N, y);
2515 277231 : return gerepileuptoint(av,y);
2516 : }
2517 :
2518 : static GEN
2519 14129796 : _Fp_mul(void *E, GEN x, GEN y) { return Fp_mul(x,y,(GEN)E); }
2520 : static GEN
2521 8134253 : _Fp_sqr(void *E, GEN x) { return Fp_sqr(x,(GEN)E); }
2522 : static GEN
2523 47162 : _Fp_one(void *E) { (void) E; return gen_1; }
2524 :
2525 : GEN
2526 105 : Fp_pow_init(GEN x, GEN n, long k, GEN p)
2527 105 : { return gen_pow_init(x, n, k, (void*)p, &_Fp_sqr, &_Fp_mul); }
2528 :
2529 : GEN
2530 43694 : Fp_pow_table(GEN R, GEN n, GEN p)
2531 43694 : { return gen_pow_table(R, n, (void*)p, &_Fp_one, &_Fp_mul); }
2532 :
2533 : GEN
2534 5931 : Fp_powers(GEN x, long n, GEN p)
2535 : {
2536 5931 : if (lgefint(p) == 3)
2537 2463 : return Flv_to_ZV(Fl_powers(umodiu(x, uel(p, 2)), n, uel(p, 2)));
2538 3468 : return gen_powers(x, n, 1, (void*)p, _Fp_sqr, _Fp_mul, _Fp_one);
2539 : }
2540 :
2541 : GEN
2542 497 : FpV_prod(GEN V, GEN p) { return gen_product(V, (void *)p, &_Fp_mul); }
2543 :
2544 : static GEN
2545 27870640 : _Fp_pow(void *E, GEN x, GEN n) { return Fp_pow(x,n,(GEN)E); }
2546 : static GEN
2547 153 : _Fp_rand(void *E) { return addiu(randomi(subiu((GEN)E,1)),1); }
2548 :
2549 : static GEN Fp_easylog(void *E, GEN a, GEN g, GEN ord);
2550 : static const struct bb_group Fp_star={_Fp_mul,_Fp_pow,_Fp_rand,hash_GEN,
2551 : equalii,equali1,Fp_easylog};
2552 :
2553 : static GEN
2554 889818 : _Fp_red(void *E, GEN x) { return Fp_red(x, (GEN)E); }
2555 : static GEN
2556 1175498 : _Fp_add(void *E, GEN x, GEN y) { (void) E; return addii(x,y); }
2557 : static GEN
2558 1086813 : _Fp_neg(void *E, GEN x) { (void) E; return negi(x); }
2559 : static GEN
2560 575252 : _Fp_rmul(void *E, GEN x, GEN y) { (void) E; return mulii(x,y); }
2561 : static GEN
2562 34301 : _Fp_inv(void *E, GEN x) { return Fp_inv(x,(GEN)E); }
2563 : static int
2564 260711 : _Fp_equal0(GEN x) { return signe(x)==0; }
2565 : static GEN
2566 19073 : _Fp_s(void *E, long x) { (void) E; return stoi(x); }
2567 :
2568 : static const struct bb_field Fp_field={_Fp_red,_Fp_add,_Fp_rmul,_Fp_neg,
2569 : _Fp_inv,_Fp_equal0,_Fp_s};
2570 :
2571 6961 : const struct bb_field *get_Fp_field(void **E, GEN p)
2572 6961 : { *E = (void*)p; return &Fp_field; }
2573 :
2574 : /*********************************************************************/
2575 : /** ORDER of INTEGERMOD x in (Z/nZ)* **/
2576 : /*********************************************************************/
2577 : ulong
2578 542741 : Fl_order(ulong a, ulong o, ulong p)
2579 : {
2580 542741 : pari_sp av = avma;
2581 : GEN m, P, E;
2582 : long i;
2583 542741 : if (a==1) return 1;
2584 445075 : if (!o) o = p-1;
2585 445075 : m = factoru(o);
2586 445075 : P = gel(m,1);
2587 445075 : E = gel(m,2);
2588 1265106 : for (i = lg(P)-1; i; i--)
2589 : {
2590 820031 : ulong j, l = P[i], e = E[i], t = o / upowuu(l,e), y = Fl_powu(a, t, p);
2591 820031 : if (y == 1) o = t;
2592 780413 : else for (j = 1; j < e; j++)
2593 : {
2594 386772 : y = Fl_powu(y, l, p);
2595 386772 : if (y == 1) { o = t * upowuu(l, j); break; }
2596 : }
2597 : }
2598 445075 : return gc_ulong(av, o);
2599 : }
2600 :
2601 : /*Find the exact order of a assuming a^o==1*/
2602 : GEN
2603 132266 : Fp_order(GEN a, GEN o, GEN p) {
2604 132266 : if (lgefint(p) == 3 && (!o || typ(o) == t_INT))
2605 : {
2606 59275 : ulong pp = p[2], oo = (o && lgefint(o)==3)? uel(o,2): pp-1;
2607 59275 : return utoi( Fl_order(umodiu(a, pp), oo, pp) );
2608 : }
2609 72991 : return gen_order(a, o, (void*)p, &Fp_star);
2610 : }
2611 : GEN
2612 70 : Fp_factored_order(GEN a, GEN o, GEN p)
2613 70 : { return gen_factored_order(a, o, (void*)p, &Fp_star); }
2614 :
2615 : /* return order of a mod p^e, e > 0, pe = p^e */
2616 : static GEN
2617 70 : Zp_order(GEN a, GEN p, long e, GEN pe)
2618 : {
2619 : GEN ap, op;
2620 70 : if (absequaliu(p, 2))
2621 : {
2622 56 : if (e == 1) return gen_1;
2623 56 : if (e == 2) return mod4(a) == 1? gen_1: gen_2;
2624 49 : if (mod4(a) == 1) op = gen_1; else { op = gen_2; a = Fp_sqr(a, pe); }
2625 : } else {
2626 14 : ap = (e == 1)? a: remii(a,p);
2627 14 : op = Fp_order(ap, subiu(p,1), p);
2628 14 : if (e == 1) return op;
2629 0 : a = Fp_pow(a, op, pe); /* 1 mod p */
2630 : }
2631 49 : if (equali1(a)) return op;
2632 7 : return mulii(op, powiu(p, e - Z_pval(subiu(a,1), p)));
2633 : }
2634 :
2635 : GEN
2636 63 : znorder(GEN x, GEN o)
2637 : {
2638 63 : pari_sp av = avma;
2639 : GEN b, a;
2640 :
2641 63 : if (typ(x) != t_INTMOD) pari_err_TYPE("znorder [t_INTMOD expected]",x);
2642 56 : b = gel(x,1); a = gel(x,2);
2643 56 : if (!equali1(gcdii(a,b))) pari_err_COPRIME("znorder", a,b);
2644 49 : if (!o)
2645 : {
2646 35 : GEN fa = Z_factor(b), P = gel(fa,1), E = gel(fa,2);
2647 35 : long i, l = lg(P);
2648 35 : o = gen_1;
2649 70 : for (i = 1; i < l; i++)
2650 : {
2651 35 : GEN p = gel(P,i);
2652 35 : long e = itos(gel(E,i));
2653 :
2654 35 : if (l == 2)
2655 35 : o = Zp_order(a, p, e, b);
2656 : else {
2657 0 : GEN pe = powiu(p,e);
2658 0 : o = lcmii(o, Zp_order(remii(a,pe), p, e, pe));
2659 : }
2660 : }
2661 35 : return gerepileuptoint(av, o);
2662 : }
2663 14 : return Fp_order(a, o, b);
2664 : }
2665 :
2666 : /*********************************************************************/
2667 : /** DISCRETE LOGARITHM in (Z/nZ)* **/
2668 : /*********************************************************************/
2669 : static GEN
2670 56570 : Fp_log_halfgcd(ulong bnd, GEN C, GEN g, GEN p)
2671 : {
2672 56570 : pari_sp av = avma;
2673 : GEN h1, h2, F, G;
2674 56570 : if (!Fp_ratlift(g,p,C,shifti(C,-1),&h1,&h2)) return gc_NULL(av);
2675 34004 : if ((F = Z_issmooth_fact(h1, bnd)) && (G = Z_issmooth_fact(h2, bnd)))
2676 : {
2677 126 : GEN M = cgetg(3, t_MAT);
2678 126 : gel(M,1) = vecsmall_concat(gel(F, 1),gel(G, 1));
2679 126 : gel(M,2) = vecsmall_concat(gel(F, 2),zv_neg_inplace(gel(G, 2)));
2680 126 : return gerepileupto(av, M);
2681 : }
2682 33878 : return gc_NULL(av);
2683 : }
2684 :
2685 : static GEN
2686 56570 : Fp_log_find_rel(GEN b, ulong bnd, GEN C, GEN p, GEN *g, long *e)
2687 : {
2688 : GEN rel;
2689 56570 : do { (*e)++; *g = Fp_mul(*g, b, p); rel = Fp_log_halfgcd(bnd, C, *g, p); }
2690 56570 : while (!rel);
2691 126 : return rel;
2692 : }
2693 :
2694 : struct Fp_log_rel
2695 : {
2696 : GEN rel;
2697 : ulong prmax;
2698 : long nbrel, nbmax, nbgen;
2699 : };
2700 :
2701 : static long
2702 59731 : tr(long i) { return odd(i) ? (i+1)>>1: -(i>>1); }
2703 :
2704 : static long
2705 169813 : rt(long i) { return i>0 ? 2*i-1: -2*i; }
2706 :
2707 : /* add u^e */
2708 : static void
2709 2163 : addifsmooth1(struct Fp_log_rel *r, GEN z, long u, long e)
2710 : {
2711 2163 : pari_sp av = avma;
2712 2163 : long off = r->prmax+1;
2713 2163 : GEN F = cgetg(3, t_MAT);
2714 2163 : gel(F,1) = vecsmall_append(gel(z,1), off+rt(u));
2715 2163 : gel(F,2) = vecsmall_append(gel(z,2), e);
2716 2163 : gel(r->rel,++r->nbrel) = gerepileupto(av, F);
2717 2163 : }
2718 :
2719 : /* add u^-1 v^-1 */
2720 : static void
2721 83825 : addifsmooth2(struct Fp_log_rel *r, GEN z, long u, long v)
2722 : {
2723 83825 : pari_sp av = avma;
2724 83825 : long off = r->prmax+1;
2725 83825 : GEN P = mkvecsmall2(off+rt(u),off+rt(v)), E = mkvecsmall2(-1,-1);
2726 83825 : GEN F = cgetg(3, t_MAT);
2727 83825 : gel(F,1) = vecsmall_concat(gel(z,1), P);
2728 83825 : gel(F,2) = vecsmall_concat(gel(z,2), E);
2729 83825 : gel(r->rel,++r->nbrel) = gerepileupto(av, F);
2730 83825 : }
2731 :
2732 : /* Let p=C^2+c
2733 : * Solve h = (C+x)*(C+a)-p = 0 [mod l]
2734 : * h= -c+x*(C+a)+C*a = 0 [mod l]
2735 : * x = (c-C*a)/(C+a) [mod l]
2736 : * h = -c+C*(x+a)+a*x */
2737 : GEN
2738 30253 : Fp_log_sieve_worker(long a, long prmax, GEN C, GEN c, GEN Ci, GEN ci, GEN pi, GEN sz)
2739 : {
2740 30253 : pari_sp ltop = avma;
2741 30253 : long i, j, th, n = lg(pi)-1, rel = 1, ab = labs(a), ae;
2742 30253 : GEN sieve = zero_zv(2*ab+2)+1+ab;
2743 30257 : GEN L = cgetg(1+2*ab+2, t_VEC);
2744 30252 : pari_sp av = avma;
2745 30252 : GEN z, h = addis(C,a);
2746 30245 : if ((z = Z_issmooth_fact(h, prmax)))
2747 : {
2748 2169 : gel(L, rel++) = mkvec2(z, mkvecsmall3(1, a, -1));
2749 2167 : av = avma;
2750 : }
2751 12440029 : for (i=1; i<=n; i++)
2752 : {
2753 12411198 : ulong li = pi[i], s = sz[i], al = smodss(a,li);
2754 12395429 : ulong iv = Fl_invsafe(Fl_add(Ci[i],al,li),li);
2755 : long u;
2756 12655521 : if (!iv) continue;
2757 12341381 : u = Fl_add(Fl_mul(Fl_sub(ci[i],Fl_mul(Ci[i],al,li),li), iv ,li),ab%li,li)-ab;
2758 46085713 : for(j = u; j<=ab; j+=li) sieve[j] += s;
2759 : }
2760 28831 : if (a)
2761 : {
2762 30131 : long e = expi(mulis(C,a));
2763 30162 : th = e - expu(e) - 1;
2764 54 : } else th = -1;
2765 30245 : ae = a>=0 ? ab-1: ab;
2766 15522699 : for (j = 1-ab; j <= ae; j++)
2767 15492370 : if (sieve[j]>=th)
2768 : {
2769 108862 : GEN h = absi(addis(subii(mulis(C,a+j),c), a*j));
2770 108761 : if ((z = Z_issmooth_fact(h, prmax)))
2771 : {
2772 106512 : gel(L, rel++) = mkvec2(z, mkvecsmall3(2, a, j));
2773 106564 : av = avma;
2774 2295 : } else set_avma(av);
2775 : }
2776 : /* j = a */
2777 30329 : if (sieve[a]>=th)
2778 : {
2779 448 : GEN h = absi(addiu(subii(mulis(C,2*a),c), a*a));
2780 448 : if ((z = Z_issmooth_fact(h, prmax)))
2781 364 : gel(L, rel++) = mkvec2(z, mkvecsmall3(1, a, -2));
2782 : }
2783 30329 : setlg(L, rel); return gerepilecopy(ltop, L);
2784 : }
2785 :
2786 : static long
2787 63 : Fp_log_sieve(struct Fp_log_rel *r, GEN C, GEN c, GEN Ci, GEN ci, GEN pi, GEN sz)
2788 : {
2789 : struct pari_mt pt;
2790 63 : long i, j, nb = 0;
2791 63 : GEN worker = snm_closure(is_entry("_Fp_log_sieve_worker"),
2792 : mkvecn(7, utoi(r->prmax), C, c, Ci, ci, pi, sz));
2793 63 : long running, pending = 0;
2794 63 : GEN W = zerovec(r->nbgen);
2795 63 : mt_queue_start_lim(&pt, worker, r->nbgen);
2796 30459 : for (i = 0; (running = (i < r->nbgen)) || pending; i++)
2797 : {
2798 : GEN done;
2799 : long idx;
2800 30396 : mt_queue_submit(&pt, i, running ? mkvec(stoi(tr(i))): NULL);
2801 30396 : done = mt_queue_get(&pt, &idx, &pending);
2802 30396 : if (!done || lg(done)==1) continue;
2803 27636 : gel(W, idx+1) = done;
2804 27636 : nb += lg(done)-1;
2805 27636 : if (DEBUGLEVEL && (i&127)==0)
2806 0 : err_printf("%ld%% ",100*nb/r->nbmax);
2807 : }
2808 63 : mt_queue_end(&pt);
2809 26362 : for(j = 1; j <= r->nbgen && r->nbrel < r->nbmax; j++)
2810 : {
2811 : long ll, m;
2812 26299 : GEN L = gel(W,j);
2813 26299 : if (isintzero(L)) continue;
2814 23681 : ll = lg(L);
2815 109669 : for (m=1; m<ll && r->nbrel < r->nbmax ; m++)
2816 : {
2817 85988 : GEN Lm = gel(L,m), h = gel(Lm, 1), v = gel(Lm, 2);
2818 85988 : if (v[1] == 1)
2819 2163 : addifsmooth1(r, h, v[2], v[3]);
2820 : else
2821 83825 : addifsmooth2(r, h, v[2], v[3]);
2822 : }
2823 : }
2824 63 : return j;
2825 : }
2826 :
2827 : static GEN
2828 837 : ECP_psi(GEN x, GEN y)
2829 : {
2830 837 : long prec = realprec(x);
2831 837 : GEN lx = glog(x, prec), ly = glog(y, prec);
2832 837 : GEN u = gdiv(lx, ly);
2833 837 : return gpow(u, gneg(u),prec);
2834 : }
2835 :
2836 : struct computeG
2837 : {
2838 : GEN C;
2839 : long bnd, nbi;
2840 : };
2841 :
2842 : static GEN
2843 837 : _computeG(void *E, GEN gen)
2844 : {
2845 837 : struct computeG * d = (struct computeG *) E;
2846 837 : GEN ps = ECP_psi(gmul(gen,d->C), stoi(d->bnd));
2847 837 : return gsub(gmul(gsqr(gen),ps),gmulgs(gaddgs(gen,d->nbi),3));
2848 : }
2849 :
2850 : static long
2851 63 : compute_nbgen(GEN C, long bnd, long nbi)
2852 : {
2853 : struct computeG d;
2854 63 : d.C = shifti(C, 1);
2855 63 : d.bnd = bnd;
2856 63 : d.nbi = nbi;
2857 63 : return itos(ground(zbrent((void*)&d, _computeG, gen_2, stoi(bnd), DEFAULTPREC)));
2858 : }
2859 :
2860 : static GEN
2861 1714 : _psi(void*E, GEN y)
2862 : {
2863 1714 : GEN lx = (GEN) E;
2864 1714 : long prec = realprec(lx);
2865 1714 : GEN ly = glog(y, prec);
2866 1714 : GEN u = gdiv(lx, ly);
2867 1714 : return gsub(gdiv(y ,ly), gpow(u, u, prec));
2868 : }
2869 :
2870 : static GEN
2871 63 : opt_param(GEN x, long prec)
2872 : {
2873 63 : return zbrent((void*)glog(x,prec), _psi, gen_2, x, prec);
2874 : }
2875 :
2876 : static GEN
2877 63 : check_kernel(long nbg, long N, long prmax, GEN C, GEN M, GEN p, GEN m)
2878 : {
2879 63 : pari_sp av = avma;
2880 63 : long lM = lg(M)-1, nbcol = lM;
2881 63 : long tbs = maxss(1, expu(nbg/expi(m)));
2882 : for (;;)
2883 42 : {
2884 105 : GEN K = FpMs_leftkernel_elt_col(M, nbcol, N, m);
2885 : GEN tab;
2886 105 : long i, f=0;
2887 105 : long l = lg(K), lm = lgefint(m);
2888 105 : GEN idx = diviiexact(subiu(p,1),m), g;
2889 : pari_timer ti;
2890 105 : if (DEBUGLEVEL) timer_start(&ti);
2891 210 : for(i=1; i<l; i++)
2892 210 : if (signe(gel(K,i)))
2893 105 : break;
2894 105 : g = Fp_pow(utoi(i), idx, p);
2895 105 : tab = Fp_pow_init(g, p, tbs, p);
2896 105 : K = FpC_Fp_mul(K, Fp_inv(gel(K,i), m), m);
2897 121520 : for(i=1; i<l; i++)
2898 : {
2899 121415 : GEN k = gel(K,i);
2900 121415 : GEN j = i<=prmax ? utoi(i): addis(C,tr(i-(prmax+1)));
2901 121415 : if (signe(k)==0 || !equalii(Fp_pow_table(tab, k, p), Fp_pow(j, idx, p)))
2902 82369 : gel(K,i) = cgetineg(lm);
2903 : else
2904 39046 : f++;
2905 : }
2906 105 : if (DEBUGLEVEL) timer_printf(&ti,"found %ld/%ld logs", f, nbg);
2907 105 : if(f > (nbg>>1)) return gerepileupto(av, K);
2908 10024 : for(i=1; i<=nbcol; i++)
2909 : {
2910 9982 : long a = 1+random_Fl(lM);
2911 9982 : swap(gel(M,a),gel(M,i));
2912 : }
2913 42 : if (4*nbcol>5*nbg) nbcol = nbcol*9/10;
2914 : }
2915 : }
2916 :
2917 : static GEN
2918 126 : Fp_log_find_ind(GEN a, GEN K, long prmax, GEN C, GEN p, GEN m)
2919 : {
2920 126 : pari_sp av=avma;
2921 126 : GEN aa = gen_1;
2922 126 : long AV = 0;
2923 : for(;;)
2924 0 : {
2925 126 : GEN A = Fp_log_find_rel(a, prmax, C, p, &aa, &AV);
2926 126 : GEN F = gel(A,1), E = gel(A,2);
2927 126 : GEN Ao = gen_0;
2928 126 : long i, l = lg(F);
2929 805 : for(i=1; i<l; i++)
2930 : {
2931 679 : GEN Ki = gel(K,F[i]);
2932 679 : if (signe(Ki)<0) break;
2933 679 : Ao = addii(Ao, mulis(Ki, E[i]));
2934 : }
2935 126 : if (i==l) return Fp_divu(Ao, AV, m);
2936 0 : aa = gerepileuptoint(av, aa);
2937 : }
2938 : }
2939 :
2940 : static GEN
2941 63 : Fp_log_index(GEN a, GEN b, GEN m, GEN p)
2942 : {
2943 63 : pari_sp av = avma, av2;
2944 63 : long i, j, nbi, nbr = 0, nbrow, nbg;
2945 : GEN C, c, Ci, ci, pi, pr, sz, l, Ao, Bo, K, d, p_1;
2946 : pari_timer ti;
2947 : struct Fp_log_rel r;
2948 63 : ulong bnds = itou(roundr_safe(opt_param(sqrti(p),DEFAULTPREC)));
2949 63 : ulong bnd = 4*bnds;
2950 63 : if (!bnds || cmpii(sqru(bnds),m)>=0) return NULL;
2951 :
2952 63 : p_1 = subiu(p,1);
2953 63 : if (!is_pm1(gcdii(m,diviiexact(p_1,m))))
2954 0 : m = diviiexact(p_1, Z_ppo(p_1, m));
2955 63 : pr = primes_upto_zv(bnd);
2956 63 : nbi = lg(pr)-1;
2957 63 : C = sqrtremi(p, &c);
2958 63 : av2 = avma;
2959 12796 : for (i = 1; i <= nbi; ++i)
2960 : {
2961 12733 : ulong lp = pr[i];
2962 26894 : while (lp <= bnd)
2963 : {
2964 14161 : nbr++;
2965 14161 : lp *= pr[i];
2966 : }
2967 : }
2968 63 : pi = cgetg(nbr+1,t_VECSMALL);
2969 63 : Ci = cgetg(nbr+1,t_VECSMALL);
2970 63 : ci = cgetg(nbr+1,t_VECSMALL);
2971 63 : sz = cgetg(nbr+1,t_VECSMALL);
2972 12796 : for (i = 1, j = 1; i <= nbi; ++i)
2973 : {
2974 12733 : ulong lp = pr[i], sp = expu(2*lp-1);
2975 26894 : while (lp <= bnd)
2976 : {
2977 14161 : pi[j] = lp;
2978 14161 : Ci[j] = umodiu(C, lp);
2979 14161 : ci[j] = umodiu(c, lp);
2980 14161 : sz[j] = sp;
2981 14161 : lp *= pr[i];
2982 14161 : j++;
2983 : }
2984 : }
2985 63 : r.nbrel = 0;
2986 63 : r.nbgen = compute_nbgen(C, bnd, nbi);
2987 63 : r.nbmax = 2*(nbi+r.nbgen);
2988 63 : r.rel = cgetg(r.nbmax+1,t_VEC);
2989 63 : r.prmax = pr[nbi];
2990 63 : if (DEBUGLEVEL)
2991 : {
2992 0 : err_printf("bnd=%lu Size FB=%ld extra gen=%ld \n", bnd, nbi, r.nbgen);
2993 0 : timer_start(&ti);
2994 : }
2995 63 : nbg = Fp_log_sieve(&r, C, c, Ci, ci, pi, sz);
2996 63 : nbrow = r.prmax + nbg;
2997 63 : if (DEBUGLEVEL)
2998 : {
2999 0 : err_printf("\n");
3000 0 : timer_printf(&ti," %ld relations, %ld generators", r.nbrel, nbi+nbg);
3001 : }
3002 63 : setlg(r.rel,r.nbrel+1);
3003 63 : r.rel = gerepilecopy(av2, r.rel);
3004 63 : K = check_kernel(nbi+nbrow-r.prmax, nbrow, r.prmax, C, r.rel, p, m);
3005 63 : if (DEBUGLEVEL) timer_start(&ti);
3006 63 : Ao = Fp_log_find_ind(a, K, r.prmax, C, p, m);
3007 63 : if (DEBUGLEVEL) timer_printf(&ti," log element");
3008 63 : Bo = Fp_log_find_ind(b, K, r.prmax, C, p, m);
3009 63 : if (DEBUGLEVEL) timer_printf(&ti," log generator");
3010 63 : d = gcdii(Ao,Bo);
3011 63 : l = Fp_div(diviiexact(Ao, d) ,diviiexact(Bo, d), m);
3012 63 : if (!equalii(a,Fp_pow(b,l,p))) pari_err_BUG("Fp_log_index");
3013 63 : return gerepileuptoint(av, l);
3014 : }
3015 :
3016 : static int
3017 4664009 : Fp_log_use_index(long e, long p)
3018 : {
3019 4664009 : return (e >= 27 && 20*(p+6)<=e*e);
3020 : }
3021 :
3022 : /* Trivial cases a = 1, -1. Return x s.t. g^x = a or [] if no such x exist */
3023 : static GEN
3024 8464586 : Fp_easylog(void *E, GEN a, GEN g, GEN ord)
3025 : {
3026 8464586 : pari_sp av = avma;
3027 8464586 : GEN p = (GEN)E;
3028 : /* assume a reduced mod p, p not necessarily prime */
3029 8464586 : if (equali1(a)) return gen_0;
3030 : /* p > 2 */
3031 5440921 : if (equalii(subiu(p,1), a)) /* -1 */
3032 : {
3033 : pari_sp av2;
3034 : GEN t;
3035 1323526 : ord = get_arith_Z(ord);
3036 1323526 : if (mpodd(ord)) { set_avma(av); return cgetg(1, t_VEC); } /* no solution */
3037 1323512 : t = shifti(ord,-1); /* only possible solution */
3038 1323512 : av2 = avma;
3039 1323512 : if (!equalii(Fp_pow(g, t, p), a)) { set_avma(av); return cgetg(1, t_VEC); }
3040 1323484 : set_avma(av2); return gerepileuptoint(av, t);
3041 : }
3042 4117398 : if (typ(ord)==t_INT && BPSW_psp(p) && Fp_log_use_index(expi(ord),expi(p)))
3043 63 : return Fp_log_index(a, g, ord, p);
3044 4117335 : return gc_NULL(av); /* not easy */
3045 : }
3046 :
3047 : GEN
3048 3926354 : Fp_log(GEN a, GEN g, GEN ord, GEN p)
3049 : {
3050 3926354 : GEN v = get_arith_ZZM(ord);
3051 3926331 : GEN F = gmael(v,2,1);
3052 3926331 : long lF = lg(F)-1, lmax;
3053 3926331 : if (lF == 0) return equali1(a)? gen_0: cgetg(1, t_VEC);
3054 3926303 : lmax = expi(gel(F,lF));
3055 3926298 : if (BPSW_psp(p) && Fp_log_use_index(lmax,expi(p)))
3056 91 : v = mkvec2(gel(v,1),ZM_famat_limit(gel(v,2),int2n(27)));
3057 3926289 : return gen_PH_log(a,g,v,(void*)p,&Fp_star);
3058 : }
3059 :
3060 : /* assume !(p & HIGHMASK) */
3061 : static ulong
3062 132725 : Fl_log_naive(ulong a, ulong g, ulong ord, ulong p)
3063 : {
3064 132725 : ulong i, h=1;
3065 365055 : for (i = 0; i < ord; i++, h = (h * g) % p)
3066 365056 : if (a==h) return i;
3067 0 : return ~0UL;
3068 : }
3069 :
3070 : static ulong
3071 26158 : Fl_log_naive_pre(ulong a, ulong g, ulong ord, ulong p, ulong pi)
3072 : {
3073 26158 : ulong i, h=1;
3074 65466 : for (i = 0; i < ord; i++, h = Fl_mul_pre(h, g, p, pi))
3075 65466 : if (a==h) return i;
3076 0 : return ~0UL;
3077 : }
3078 :
3079 : static ulong
3080 0 : Fl_log_Fp(ulong a, ulong g, ulong ord, ulong p)
3081 : {
3082 0 : pari_sp av = avma;
3083 0 : GEN r = Fp_log(utoi(a),utoi(g),utoi(ord),utoi(p));
3084 0 : return gc_ulong(av, typ(r)==t_INT ? itou(r): ~0UL);
3085 : }
3086 :
3087 : /* allow pi = 0 */
3088 : ulong
3089 26556 : Fl_log_pre(ulong a, ulong g, ulong ord, ulong p, ulong pi)
3090 : {
3091 26556 : if (!pi) return Fl_log(a, g, ord, p);
3092 26158 : if (ord <= 200) return Fl_log_naive_pre(a, g, ord, p, pi);
3093 0 : return Fl_log_Fp(a, g, ord, p);
3094 : }
3095 :
3096 : ulong
3097 132725 : Fl_log(ulong a, ulong g, ulong ord, ulong p)
3098 : {
3099 132725 : if (ord <= 200)
3100 0 : return (p&HIGHMASK)? Fl_log_naive_pre(a, g, ord, p, get_Fl_red(p))
3101 132725 : : Fl_log_naive(a, g, ord, p);
3102 0 : return Fl_log_Fp(a, g, ord, p);
3103 : }
3104 :
3105 : /* find x such that h = g^x mod N > 1, N = prod_{i <= l} P[i]^E[i], P[i] prime.
3106 : * PHI[l] = eulerphi(N / P[l]^E[l]). Destroys P/E */
3107 : static GEN
3108 126 : znlog_rec(GEN h, GEN g, GEN N, GEN P, GEN E, GEN PHI)
3109 : {
3110 126 : long l = lg(P) - 1, e = E[l];
3111 126 : GEN p = gel(P, l), phi = gel(PHI,l), pe = e == 1? p: powiu(p, e);
3112 : GEN a,b, hp,gp, hpe,gpe, ogpe; /* = order(g mod p^e) | p^(e-1)(p-1) */
3113 :
3114 126 : if (l == 1) {
3115 98 : hpe = h;
3116 98 : gpe = g;
3117 : } else {
3118 28 : hpe = modii(h, pe);
3119 28 : gpe = modii(g, pe);
3120 : }
3121 126 : if (e == 1) {
3122 42 : hp = hpe;
3123 42 : gp = gpe;
3124 : } else {
3125 84 : hp = remii(hpe, p);
3126 84 : gp = remii(gpe, p);
3127 : }
3128 126 : if (hp == gen_0 || gp == gen_0) return NULL;
3129 105 : if (absequaliu(p, 2))
3130 : {
3131 35 : GEN n = int2n(e);
3132 35 : ogpe = Zp_order(gpe, gen_2, e, n);
3133 35 : a = Fp_log(hpe, gpe, ogpe, n);
3134 35 : if (typ(a) != t_INT) return NULL;
3135 : }
3136 : else
3137 : { /* Avoid black box groups: (Z/p^2)^* / (Z/p)^* ~ (Z/pZ, +), where DL
3138 : is trivial */
3139 : /* [order(gp), factor(order(gp))] */
3140 70 : GEN v = Fp_factored_order(gp, subiu(p,1), p);
3141 70 : GEN ogp = gel(v,1);
3142 70 : if (!equali1(Fp_pow(hp, ogp, p))) return NULL;
3143 70 : a = Fp_log(hp, gp, v, p);
3144 70 : if (typ(a) != t_INT) return NULL;
3145 70 : if (e == 1) ogpe = ogp;
3146 : else
3147 : { /* find a s.t. g^a = h (mod p^e), p odd prime, e > 0, (h,p) = 1 */
3148 : /* use p-adic log: O(log p + e) mul*/
3149 : long vpogpe, vpohpe;
3150 :
3151 28 : hpe = Fp_mul(hpe, Fp_pow(gpe, negi(a), pe), pe);
3152 28 : gpe = Fp_pow(gpe, ogp, pe);
3153 : /* g,h = 1 mod p; compute b s.t. h = g^b */
3154 :
3155 : /* v_p(order g mod pe) */
3156 28 : vpogpe = equali1(gpe)? 0: e - Z_pval(subiu(gpe,1), p);
3157 : /* v_p(order h mod pe) */
3158 28 : vpohpe = equali1(hpe)? 0: e - Z_pval(subiu(hpe,1), p);
3159 28 : if (vpohpe > vpogpe) return NULL;
3160 :
3161 28 : ogpe = mulii(ogp, powiu(p, vpogpe)); /* order g mod p^e */
3162 28 : if (is_pm1(gpe)) return is_pm1(hpe)? a: NULL;
3163 28 : b = gdiv(Qp_log(cvtop(hpe, p, e)), Qp_log(cvtop(gpe, p, e)));
3164 28 : a = addii(a, mulii(ogp, padic_to_Q(b)));
3165 : }
3166 : }
3167 : /* gp^a = hp => x = a mod ogpe => generalized Pohlig-Hellman strategy */
3168 91 : if (l == 1) return a;
3169 :
3170 28 : N = diviiexact(N, pe); /* make N coprime to p */
3171 28 : h = Fp_mul(h, Fp_pow(g, modii(negi(a), phi), N), N);
3172 28 : g = Fp_pow(g, modii(ogpe, phi), N);
3173 28 : setlg(P, l); /* remove last element */
3174 28 : setlg(E, l);
3175 28 : b = znlog_rec(h, g, N, P, E, PHI);
3176 28 : if (!b) return NULL;
3177 28 : return addmulii(a, b, ogpe);
3178 : }
3179 :
3180 : static GEN
3181 98 : get_PHI(GEN P, GEN E)
3182 : {
3183 98 : long i, l = lg(P);
3184 98 : GEN PHI = cgetg(l, t_VEC);
3185 98 : gel(PHI,1) = gen_1;
3186 126 : for (i=1; i<l-1; i++)
3187 : {
3188 28 : GEN t, p = gel(P,i);
3189 28 : long e = E[i];
3190 28 : t = mulii(powiu(p, e-1), subiu(p,1));
3191 28 : if (i > 1) t = mulii(t, gel(PHI,i));
3192 28 : gel(PHI,i+1) = t;
3193 : }
3194 98 : return PHI;
3195 : }
3196 :
3197 : GEN
3198 238 : znlog(GEN h, GEN g, GEN o)
3199 : {
3200 238 : pari_sp av = avma;
3201 : GEN N, fa, P, E, x;
3202 238 : switch (typ(g))
3203 : {
3204 28 : case t_PADIC:
3205 : {
3206 28 : GEN p = padic_p(g);
3207 28 : long v = valp(g);
3208 28 : if (v < 0) pari_err_DIM("znlog");
3209 28 : if (v > 0) {
3210 0 : long k = gvaluation(h, p);
3211 0 : if (k % v) return cgetg(1,t_VEC);
3212 0 : k /= v;
3213 0 : if (!gequal(h, gpowgs(g,k))) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
3214 0 : return gc_stoi(av, k);
3215 : }
3216 28 : N = padic_pd(g);
3217 28 : g = Rg_to_Fp(g, N);
3218 28 : break;
3219 : }
3220 203 : case t_INTMOD:
3221 203 : N = gel(g,1);
3222 203 : g = gel(g,2); break;
3223 7 : default: pari_err_TYPE("znlog", g);
3224 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
3225 : }
3226 231 : if (equali1(N)) { set_avma(av); return gen_0; }
3227 231 : h = Rg_to_Fp(h, N);
3228 224 : if (o) return gerepileupto(av, Fp_log(h, g, o, N));
3229 98 : fa = Z_factor(N);
3230 98 : P = gel(fa,1);
3231 98 : E = vec_to_vecsmall(gel(fa,2));
3232 98 : x = znlog_rec(h, g, N, P, E, get_PHI(P,E));
3233 98 : if (!x) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
3234 63 : return gerepileuptoint(av, x);
3235 : }
3236 :
3237 : GEN
3238 173541 : Fp_sqrtn(GEN a, GEN n, GEN p, GEN *zeta)
3239 : {
3240 173541 : if (lgefint(p)==3)
3241 : {
3242 172921 : long nn = itos_or_0(n);
3243 172921 : if (nn)
3244 : {
3245 172921 : ulong pp = p[2];
3246 : ulong uz;
3247 172921 : ulong r = Fl_sqrtn(umodiu(a,pp),nn,pp, zeta ? &uz:NULL);
3248 172900 : if (r==ULONG_MAX) return NULL;
3249 172858 : if (zeta) *zeta = utoi(uz);
3250 172858 : return utoi(r);
3251 : }
3252 : }
3253 620 : a = modii(a,p);
3254 620 : if (!signe(a))
3255 : {
3256 0 : if (zeta) *zeta = gen_1;
3257 0 : if (signe(n) < 0) pari_err_INV("Fp_sqrtn", mkintmod(gen_0,p));
3258 0 : return gen_0;
3259 : }
3260 620 : if (absequaliu(n,2))
3261 : {
3262 420 : if (zeta) *zeta = subiu(p,1);
3263 420 : return signe(n) > 0 ? Fp_sqrt(a,p): Fp_sqrt(Fp_inv(a, p),p);
3264 : }
3265 200 : return gen_Shanks_sqrtn(a,n,subiu(p,1),zeta,(void*)p,&Fp_star);
3266 : }
3267 :
3268 : /*********************************************************************/
3269 : /** FACTORIAL **/
3270 : /*********************************************************************/
3271 : GEN
3272 90703 : mulu_interval_step(ulong a, ulong b, ulong step)
3273 : {
3274 90703 : pari_sp av = avma;
3275 : ulong k, l, N, n;
3276 : long lx;
3277 : GEN x;
3278 :
3279 90703 : if (!a) return gen_0;
3280 90703 : if (step == 1) return mulu_interval(a, b);
3281 90703 : n = 1 + (b-a) / step;
3282 90703 : b -= (b-a) % step;
3283 90703 : if (n < 61)
3284 : {
3285 89317 : if (n == 1) return utoipos(a);
3286 68766 : x = muluu(a,a+step); if (n == 2) return x;
3287 539813 : for (k=a+2*step; k<=b; k+=step) x = mului(k,x);
3288 53974 : return gerepileuptoint(av, x);
3289 : }
3290 : /* step | b-a */
3291 1386 : lx = 1; x = cgetg(2 + n/2, t_VEC);
3292 1391 : N = b + a;
3293 1391 : for (k = a;; k += step)
3294 : {
3295 227679 : l = N - k; if (l <= k) break;
3296 226288 : gel(x,lx++) = muluu(k,l);
3297 : }
3298 1391 : if (l == k) gel(x,lx++) = utoipos(k);
3299 1391 : setlg(x, lx);
3300 1391 : return gerepileuptoint(av, ZV_prod(x));
3301 : }
3302 : /* return a * (a+1) * ... * b. Assume a <= b [ note: factoring out powers of 2
3303 : * first is slower ... ] */
3304 : GEN
3305 158949 : mulu_interval(ulong a, ulong b)
3306 : {
3307 158949 : pari_sp av = avma;
3308 : ulong k, l, N, n;
3309 : long lx;
3310 : GEN x;
3311 :
3312 158949 : if (!a) return gen_0;
3313 158949 : n = b - a + 1;
3314 158949 : if (n < 61)
3315 : {
3316 158219 : if (n == 1) return utoipos(a);
3317 107889 : x = muluu(a,a+1); if (n == 2) return x;
3318 403861 : for (k=a+2; k<b; k++) x = mului(k,x);
3319 : /* avoid k <= b: broken if b = ULONG_MAX */
3320 93801 : return gerepileuptoint(av, mului(b,x));
3321 : }
3322 730 : lx = 1; x = cgetg(2 + n/2, t_VEC);
3323 731 : N = b + a;
3324 731 : for (k = a;; k++)
3325 : {
3326 27209 : l = N - k; if (l <= k) break;
3327 26482 : gel(x,lx++) = muluu(k,l);
3328 : }
3329 727 : if (l == k) gel(x,lx++) = utoipos(k);
3330 728 : setlg(x, lx);
3331 731 : return gerepileuptoint(av, ZV_prod(x));
3332 : }
3333 : GEN
3334 560 : muls_interval(long a, long b)
3335 : {
3336 560 : pari_sp av = avma;
3337 560 : long lx, k, l, N, n = b - a + 1;
3338 : GEN x;
3339 :
3340 560 : if (a <= 0 && b >= 0) return gen_0;
3341 287 : if (n < 61)
3342 : {
3343 287 : x = stoi(a);
3344 511 : for (k=a+1; k<=b; k++) x = mulsi(k,x);
3345 287 : return gerepileuptoint(av, x);
3346 : }
3347 0 : lx = 1; x = cgetg(2 + n/2, t_VEC);
3348 0 : N = b + a;
3349 0 : for (k = a;; k++)
3350 : {
3351 0 : l = N - k; if (l <= k) break;
3352 0 : gel(x,lx++) = mulss(k,l);
3353 : }
3354 0 : if (l == k) gel(x,lx++) = stoi(k);
3355 0 : setlg(x, lx);
3356 0 : return gerepileuptoint(av, ZV_prod(x));
3357 : }
3358 :
3359 : GEN
3360 105 : mpprimorial(long n)
3361 : {
3362 105 : pari_sp av = avma;
3363 105 : if (n <= 12) switch(n)
3364 : {
3365 14 : case 0: case 1: return gen_1;
3366 7 : case 2: return gen_2;
3367 14 : case 3: case 4: return utoipos(6);
3368 14 : case 5: case 6: return utoipos(30);
3369 28 : case 7: case 8: case 9: case 10: return utoipos(210);
3370 14 : case 11: case 12: return utoipos(2310);
3371 7 : default: pari_err_DOMAIN("primorial", "argument","<",gen_0,stoi(n));
3372 : }
3373 7 : return gerepileuptoint(av, zv_prod_Z(primes_upto_zv(n)));
3374 : }
3375 :
3376 : GEN
3377 496589 : mpfact(long n)
3378 : {
3379 496589 : pari_sp av = avma;
3380 : GEN a, v;
3381 : long k;
3382 496589 : if (n <= 12) switch(n)
3383 : {
3384 428654 : case 0: case 1: return gen_1;
3385 24338 : case 2: return gen_2;
3386 3388 : case 3: return utoipos(6);
3387 4145 : case 4: return utoipos(24);
3388 2887 : case 5: return utoipos(120);
3389 2556 : case 6: return utoipos(720);
3390 2448 : case 7: return utoipos(5040);
3391 2437 : case 8: return utoipos(40320);
3392 2458 : case 9: return utoipos(362880);
3393 2694 : case 10:return utoipos(3628800);
3394 1409 : case 11:return utoipos(39916800);
3395 577 : case 12:return utoipos(479001600);
3396 0 : default: pari_err_DOMAIN("factorial", "argument","<",gen_0,stoi(n));
3397 : }
3398 18598 : v = cgetg(expu(n) + 2, t_VEC);
3399 18591 : for (k = 1;; k++)
3400 86899 : {
3401 105490 : long m = n >> (k-1), l;
3402 105490 : if (m <= 2) break;
3403 86894 : l = (1 + (n >> k)) | 1;
3404 : /* product of odd numbers in ]n / 2^k, n / 2^(k-1)] */
3405 86894 : a = mulu_interval_step(l, m, 2);
3406 86870 : gel(v,k) = k == 1? a: powiu(a, k);
3407 : }
3408 86943 : a = gel(v,--k); while (--k) a = mulii(a, gel(v,k));
3409 18595 : a = shifti(a, factorial_lval(n, 2));
3410 18595 : return gerepileuptoint(av, a);
3411 : }
3412 :
3413 : ulong
3414 56825 : factorial_Fl(long n, ulong p)
3415 : {
3416 : long k;
3417 : ulong v;
3418 56825 : if (p <= (ulong)n) return 0;
3419 56825 : v = Fl_powu(2, factorial_lval(n, 2), p);
3420 56906 : for (k = 1;; k++)
3421 142668 : {
3422 199574 : long m = n >> (k-1), l, i;
3423 199574 : ulong a = 1;
3424 199574 : if (m <= 2) break;
3425 142698 : l = (1 + (n >> k)) | 1;
3426 : /* product of odd numbers in ]n / 2^k, 2 / 2^(k-1)] */
3427 782852 : for (i=l; i<=m; i+=2)
3428 640167 : a = Fl_mul(a, i, p);
3429 142685 : v = Fl_mul(v, k == 1? a: Fl_powu(a, k, p), p);
3430 : }
3431 56876 : return v;
3432 : }
3433 :
3434 : GEN
3435 382 : factorial_Fp(long n, GEN p)
3436 : {
3437 382 : pari_sp av = avma;
3438 : long k;
3439 382 : GEN v = Fp_powu(gen_2, factorial_lval(n, 2), p);
3440 382 : for (k = 1;; k++)
3441 1240 : {
3442 1622 : long m = n >> (k-1), l, i;
3443 1622 : GEN a = gen_1;
3444 1622 : if (m <= 2) break;
3445 1240 : l = (1 + (n >> k)) | 1;
3446 : /* product of odd numbers in ]n / 2^k, 2 / 2^(k-1)] */
3447 7570 : for (i=l; i<=m; i+=2)
3448 6330 : a = Fp_mulu(a, i, p);
3449 1240 : v = Fp_mul(v, k == 1? a: Fp_powu(a, k, p), p);
3450 1240 : v = gerepileuptoint(av, v);
3451 : }
3452 382 : return v;
3453 : }
3454 :
3455 : /*******************************************************************/
3456 : /** LUCAS & FIBONACCI **/
3457 : /*******************************************************************/
3458 : static void
3459 56 : lucas(ulong n, GEN *a, GEN *b)
3460 : {
3461 : GEN z, t, zt;
3462 56 : if (!n) { *a = gen_2; *b = gen_1; return; }
3463 49 : lucas(n >> 1, &z, &t); zt = mulii(z, t);
3464 49 : switch(n & 3) {
3465 14 : case 0: *a = subiu(sqri(z),2); *b = subiu(zt,1); break;
3466 14 : case 1: *a = subiu(zt,1); *b = addiu(sqri(t),2); break;
3467 7 : case 2: *a = addiu(sqri(z),2); *b = addiu(zt,1); break;
3468 14 : case 3: *a = addiu(zt,1); *b = subiu(sqri(t),2);
3469 : }
3470 : }
3471 :
3472 : GEN
3473 7 : fibo(long n)
3474 : {
3475 7 : pari_sp av = avma;
3476 : GEN a, b;
3477 7 : if (!n) return gen_0;
3478 7 : lucas((ulong)(labs(n)-1), &a, &b);
3479 7 : a = diviuexact(addii(shifti(a,1),b), 5);
3480 7 : if (n < 0 && !odd(n)) setsigne(a, -1);
3481 7 : return gerepileuptoint(av, a);
3482 : }
3483 :
3484 : /*******************************************************************/
3485 : /* CONTINUED FRACTIONS */
3486 : /*******************************************************************/
3487 : static GEN
3488 3136994 : icopy_lg(GEN x, long l)
3489 : {
3490 3136994 : long lx = lgefint(x);
3491 : GEN y;
3492 :
3493 3136994 : if (lx >= l) return icopy(x);
3494 49 : y = cgeti(l); affii(x, y); return y;
3495 : }
3496 :
3497 : /* continued fraction of a/b. If y != NULL, stop when partial quotients
3498 : * differ from y */
3499 : static GEN
3500 3137344 : Qsfcont(GEN a, GEN b, GEN y, ulong k)
3501 : {
3502 : GEN z, c;
3503 3137344 : ulong i, l, ly = lgefint(b);
3504 :
3505 : /* times 1 / log2( (1+sqrt(5)) / 2 ) */
3506 3137344 : l = (ulong)(3 + bit_accuracy_mul(ly, 1.44042009041256));
3507 3137344 : if (k > 0 && k+1 > 0 && l > k+1) l = k+1; /* beware overflow */
3508 3137344 : if (l > LGBITS) l = LGBITS;
3509 :
3510 3137344 : z = cgetg(l,t_VEC);
3511 3137344 : l--;
3512 3137344 : if (y) {
3513 350 : pari_sp av = avma;
3514 350 : if (l >= (ulong)lg(y)) l = lg(y)-1;
3515 25209 : for (i = 1; i <= l; i++)
3516 : {
3517 24985 : GEN q = gel(y,i);
3518 24985 : gel(z,i) = q;
3519 24985 : c = b; if (!gequal1(q)) c = mulii(q, b);
3520 24985 : c = subii(a, c);
3521 24985 : if (signe(c) < 0)
3522 : { /* partial quotient too large */
3523 96 : c = addii(c, b);
3524 96 : if (signe(c) >= 0) i++; /* by 1 */
3525 96 : break;
3526 : }
3527 24889 : if (cmpii(c, b) >= 0)
3528 : { /* partial quotient too small */
3529 30 : c = subii(c, b);
3530 30 : if (cmpii(c, b) < 0) {
3531 : /* by 1. If next quotient is 1 in y, add 1 */
3532 12 : if (i < l && equali1(gel(y,i+1))) gel(z,i) = addiu(q,1);
3533 12 : i++;
3534 : }
3535 30 : break;
3536 : }
3537 24859 : if ((i & 0xff) == 0) gerepileall(av, 2, &b, &c);
3538 24859 : a = b; b = c;
3539 : }
3540 : } else {
3541 3136994 : a = icopy_lg(a, ly);
3542 3136994 : b = icopy(b);
3543 24524282 : for (i = 1; i <= l; i++)
3544 : {
3545 24523964 : gel(z,i) = truedvmdii(a,b,&c);
3546 24523964 : if (c == gen_0) { i++; break; }
3547 21387288 : affii(c, a); cgiv(c); c = a;
3548 21387288 : a = b; b = c;
3549 : }
3550 : }
3551 3137344 : i--;
3552 3137344 : if (i > 1 && gequal1(gel(z,i)))
3553 : {
3554 101 : cgiv(gel(z,i)); --i;
3555 101 : gel(z,i) = addui(1, gel(z,i)); /* unclean: leave old z[i] on stack */
3556 : }
3557 3137344 : setlg(z,i+1); return z;
3558 : }
3559 :
3560 : static GEN
3561 0 : sersfcont(GEN a, GEN b, long k)
3562 : {
3563 0 : long i, l = typ(a) == t_POL? lg(a): 3;
3564 : GEN y, c;
3565 0 : if (lg(b) > l) l = lg(b);
3566 0 : if (k > 0 && l > k+1) l = k+1;
3567 0 : y = cgetg(l,t_VEC);
3568 0 : for (i=1; i<l; i++)
3569 : {
3570 0 : gel(y,i) = poldivrem(a,b,&c);
3571 0 : if (gequal0(c)) { i++; break; }
3572 0 : a = b; b = c;
3573 : }
3574 0 : setlg(y, i); return y;
3575 : }
3576 :
3577 : GEN
3578 3142307 : gboundcf(GEN x, long k)
3579 : {
3580 : pari_sp av;
3581 3142307 : long tx = typ(x), e;
3582 : GEN y, a, b, c;
3583 :
3584 3142307 : if (k < 0) pari_err_DOMAIN("gboundcf","nmax","<",gen_0,stoi(k));
3585 3142300 : if (is_scalar_t(tx))
3586 : {
3587 3142300 : if (gequal0(x)) return mkvec(gen_0);
3588 3142181 : switch(tx)
3589 : {
3590 5180 : case t_INT: return mkveccopy(x);
3591 357 : case t_REAL:
3592 357 : av = avma;
3593 357 : c = mantissa_real(x,&e);
3594 357 : if (e < 0) pari_err_PREC("gboundcf");
3595 350 : y = int2n(e);
3596 350 : a = Qsfcont(c,y, NULL, k);
3597 350 : b = addsi(signe(x), c);
3598 350 : return gerepilecopy(av, Qsfcont(b,y, a, k));
3599 :
3600 3136644 : case t_FRAC:
3601 3136644 : av = avma;
3602 3136644 : return gerepileupto(av, Qsfcont(gel(x,1),gel(x,2), NULL, k));
3603 : }
3604 0 : pari_err_TYPE("gboundcf",x);
3605 : }
3606 :
3607 0 : switch(tx)
3608 : {
3609 0 : case t_POL: return mkveccopy(x);
3610 0 : case t_SER:
3611 0 : av = avma;
3612 0 : return gerepileupto(av, gboundcf(ser2rfrac_i(x), k));
3613 0 : case t_RFRAC:
3614 0 : av = avma;
3615 0 : return gerepilecopy(av, sersfcont(gel(x,1), gel(x,2), k));
3616 : }
3617 0 : pari_err_TYPE("gboundcf",x);
3618 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
3619 : }
3620 :
3621 : static GEN
3622 14 : sfcont2(GEN b, GEN x, long k)
3623 : {
3624 14 : pari_sp av = avma;
3625 14 : long lb = lg(b), tx = typ(x), i;
3626 : GEN y,p1;
3627 :
3628 14 : if (k)
3629 : {
3630 7 : if (k >= lb) pari_err_DIM("contfrac [too few denominators]");
3631 0 : lb = k+1;
3632 : }
3633 7 : y = cgetg(lb,t_VEC);
3634 7 : if (lb==1) return y;
3635 7 : if (is_scalar_t(tx))
3636 : {
3637 7 : if (!is_intreal_t(tx) && tx != t_FRAC) pari_err_TYPE("sfcont2",x);
3638 : }
3639 0 : else if (tx == t_SER) x = ser2rfrac_i(x);
3640 :
3641 7 : if (!gequal1(gel(b,1))) x = gmul(gel(b,1),x);
3642 7 : for (i = 1;;)
3643 : {
3644 35 : if (tx == t_REAL)
3645 : {
3646 35 : long e = expo(x);
3647 35 : if (e > 0 && nbits2prec(e+1) > realprec(x)) break;
3648 35 : gel(y,i) = floorr(x);
3649 35 : p1 = subri(x, gel(y,i));
3650 : }
3651 : else
3652 : {
3653 0 : gel(y,i) = gfloor(x);
3654 0 : p1 = gsub(x, gel(y,i));
3655 : }
3656 35 : if (++i >= lb) break;
3657 28 : if (gequal0(p1)) break;
3658 28 : x = gdiv(gel(b,i),p1);
3659 : }
3660 7 : setlg(y,i);
3661 7 : return gerepilecopy(av,y);
3662 : }
3663 :
3664 : GEN
3665 126 : gcf(GEN x) { return gboundcf(x,0); }
3666 : GEN
3667 0 : gcf2(GEN b, GEN x) { return contfrac0(x,b,0); }
3668 : GEN
3669 49 : contfrac0(GEN x, GEN b, long nmax)
3670 : {
3671 : long tb;
3672 :
3673 49 : if (!b) return gboundcf(x,nmax);
3674 28 : tb = typ(b);
3675 28 : if (tb == t_INT) return gboundcf(x,itos(b));
3676 21 : if (! is_vec_t(tb)) pari_err_TYPE("contfrac0",b);
3677 21 : if (nmax < 0) pari_err_DOMAIN("contfrac","nmax","<",gen_0,stoi(nmax));
3678 14 : return sfcont2(b,x,nmax);
3679 : }
3680 :
3681 : GEN
3682 266 : contfracpnqn(GEN x, long n)
3683 : {
3684 266 : pari_sp av = avma;
3685 266 : long i, lx = lg(x);
3686 : GEN M,A,B, p0,p1, q0,q1;
3687 :
3688 266 : if (lx == 1)
3689 : {
3690 28 : if (! is_matvec_t(typ(x))) pari_err_TYPE("pnqn",x);
3691 21 : if (n >= 0) return cgetg(1,t_MAT);
3692 7 : return matid(2);
3693 : }
3694 238 : switch(typ(x))
3695 : {
3696 196 : case t_VEC: case t_COL: A = x; B = NULL; break;
3697 42 : case t_MAT:
3698 42 : switch(lgcols(x))
3699 : {
3700 0 : case 2: A = row(x,1); B = NULL; break;
3701 35 : case 3: A = row(x,2); B = row(x,1); break;
3702 7 : default: pari_err_DIM("pnqn [ nbrows != 1,2 ]");
3703 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
3704 : }
3705 35 : break;
3706 0 : default: pari_err_TYPE("pnqn",x);
3707 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
3708 : }
3709 231 : p1 = gel(A,1);
3710 231 : q1 = B? gel(B,1): gen_1; /* p[0], q[0] */
3711 231 : if (n >= 0)
3712 : {
3713 196 : lx = minss(lx, n+2);
3714 196 : if (lx == 2) return gerepilecopy(av, mkmat(mkcol2(p1,q1)));
3715 : }
3716 35 : else if (lx == 2)
3717 7 : return gerepilecopy(av, mkmat2(mkcol2(p1,q1), mkcol2(gen_1,gen_0)));
3718 : /* lx >= 3 */
3719 119 : p0 = gen_1;
3720 119 : q0 = gen_0; /* p[-1], q[-1] */
3721 119 : M = cgetg(lx, t_MAT);
3722 119 : gel(M,1) = mkcol2(p1,q1);
3723 399 : for (i=2; i<lx; i++)
3724 : {
3725 280 : GEN a = gel(A,i), p2,q2;
3726 280 : if (B) {
3727 84 : GEN b = gel(B,i);
3728 84 : p0 = gmul(b,p0);
3729 84 : q0 = gmul(b,q0);
3730 : }
3731 280 : p2 = gadd(gmul(a,p1),p0); p0=p1; p1=p2;
3732 280 : q2 = gadd(gmul(a,q1),q0); q0=q1; q1=q2;
3733 280 : gel(M,i) = mkcol2(p1,q1);
3734 : }
3735 119 : if (n < 0) M = mkmat2(gel(M,lx-1), gel(M,lx-2));
3736 119 : return gerepilecopy(av, M);
3737 : }
3738 : GEN
3739 0 : pnqn(GEN x) { return contfracpnqn(x,-1); }
3740 : /* x = [a0, ..., an] from gboundcf, n >= 0;
3741 : * return [[p0, ..., pn], [q0,...,qn]] */
3742 : GEN
3743 894782 : ZV_allpnqn(GEN x)
3744 : {
3745 894782 : long i, lx = lg(x);
3746 894782 : GEN p0, p1, q0, q1, p2, q2, P,Q, v = cgetg(3,t_VEC);
3747 :
3748 894782 : gel(v,1) = P = cgetg(lx, t_VEC);
3749 894782 : gel(v,2) = Q = cgetg(lx, t_VEC);
3750 894782 : p0 = gen_1; q0 = gen_0;
3751 894782 : gel(P, 1) = p1 = gel(x,1); gel(Q, 1) = q1 = gen_1;
3752 3106138 : for (i=2; i<lx; i++)
3753 : {
3754 2211356 : GEN a = gel(x,i);
3755 2211356 : gel(P, i) = p2 = addmulii(p0, a, p1); p0 = p1; p1 = p2;
3756 2211356 : gel(Q, i) = q2 = addmulii(q0, a, q1); q0 = q1; q1 = q2;
3757 : }
3758 894782 : return v;
3759 : }
3760 :
3761 : /* write Mod(x,N) as a/b, gcd(a,b) = 1, b <= B (no condition if B = NULL) */
3762 : static GEN
3763 42 : mod_to_frac(GEN x, GEN N, GEN B)
3764 : {
3765 : GEN a, b, A;
3766 42 : if (B) A = divii(shifti(N, -1), B);
3767 : else
3768 : {
3769 14 : A = sqrti(shifti(N, -1));
3770 14 : B = A;
3771 : }
3772 42 : if (!Fp_ratlift(x, N, A,B,&a,&b) || !equali1( gcdii(a,b) )) return NULL;
3773 28 : return equali1(b)? a: mkfrac(a,b);
3774 : }
3775 :
3776 : static GEN
3777 112 : mod_to_rfrac(GEN x, GEN N, long B)
3778 : {
3779 : GEN a, b;
3780 112 : long A, d = degpol(N);
3781 112 : if (B >= 0) A = d-1 - B;
3782 : else
3783 : {
3784 42 : B = d >> 1;
3785 42 : A = odd(d)? B : B-1;
3786 : }
3787 112 : if (varn(N) != varn(x)) x = scalarpol(x, varn(N));
3788 112 : if (!RgXQ_ratlift(x, N, A, B, &a,&b) || degpol(RgX_gcd(a,b)) > 0) return NULL;
3789 91 : return gdiv(a,b);
3790 : }
3791 :
3792 : /* k > 0 t_INT, x a t_FRAC, returns the convergent a/b
3793 : * of the continued fraction of x with b <= k maximal */
3794 : static GEN
3795 7 : bestappr_frac(GEN x, GEN k)
3796 : {
3797 : pari_sp av;
3798 : GEN p0, p1, p, q0, q1, q, a, y;
3799 :
3800 7 : if (cmpii(gel(x,2),k) <= 0) return gcopy(x);
3801 0 : av = avma; y = x;
3802 0 : p1 = gen_1; p0 = truedvmdii(gel(x,1), gel(x,2), &a); /* = floor(x) */
3803 0 : q1 = gen_0; q0 = gen_1;
3804 0 : x = mkfrac(a, gel(x,2)); /* = frac(x); now 0<= x < 1 */
3805 : for(;;)
3806 : {
3807 0 : x = ginv(x); /* > 1 */
3808 0 : a = typ(x)==t_INT? x: divii(gel(x,1), gel(x,2));
3809 0 : if (cmpii(a,k) > 0)
3810 : { /* next partial quotient will overflow limits */
3811 : GEN n, d;
3812 0 : a = divii(subii(k, q1), q0);
3813 0 : p = addii(mulii(a,p0), p1); p1=p0; p0=p;
3814 0 : q = addii(mulii(a,q0), q1); q1=q0; q0=q;
3815 : /* compare |y-p0/q0|, |y-p1/q1| */
3816 0 : n = gel(y,1);
3817 0 : d = gel(y,2);
3818 0 : if (abscmpii(mulii(q1, subii(mulii(q0,n), mulii(d,p0))),
3819 : mulii(q0, subii(mulii(q1,n), mulii(d,p1)))) < 0)
3820 0 : { p1 = p0; q1 = q0; }
3821 0 : break;
3822 : }
3823 0 : p = addii(mulii(a,p0), p1); p1=p0; p0=p;
3824 0 : q = addii(mulii(a,q0), q1); q1=q0; q0=q;
3825 :
3826 0 : if (cmpii(q0,k) > 0) break;
3827 0 : x = gsub(x,a); /* 0 <= x < 1 */
3828 0 : if (typ(x) == t_INT) { p1 = p0; q1 = q0; break; } /* x = 0 */
3829 :
3830 : }
3831 0 : return gerepileupto(av, gdiv(p1,q1));
3832 : }
3833 : /* k > 0 t_INT, x != 0 a t_REAL, returns the convergent a/b
3834 : * of the continued fraction of x with b <= k maximal */
3835 : static GEN
3836 1249026 : bestappr_real(GEN x, GEN k)
3837 : {
3838 1249026 : pari_sp av = avma;
3839 1249026 : GEN kr, p0, p1, p, q0, q1, q, a, y = x;
3840 :
3841 1249026 : p1 = gen_1; a = p0 = floorr(x);
3842 1248949 : q1 = gen_0; q0 = gen_1;
3843 1248949 : x = subri(x,a); /* 0 <= x < 1 */
3844 1248979 : if (!signe(x)) { cgiv(x); return a; }
3845 1131582 : kr = itor(k, realprec(x));
3846 : for(;;)
3847 1213883 : {
3848 : long d;
3849 2345483 : x = invr(x); /* > 1 */
3850 2345210 : if (cmprr(x,kr) > 0)
3851 : { /* next partial quotient will overflow limits */
3852 1109837 : a = divii(subii(k, q1), q0);
3853 1109818 : p = addii(mulii(a,p0), p1); p1=p0; p0=p;
3854 1109848 : q = addii(mulii(a,q0), q1); q1=q0; q0=q;
3855 : /* compare |y-p0/q0|, |y-p1/q1| */
3856 1109821 : if (abscmprr(mulir(q1, subri(mulir(q0,y), p0)),
3857 : mulir(q0, subri(mulir(q1,y), p1))) < 0)
3858 125448 : { p1 = p0; q1 = q0; }
3859 1109890 : break;
3860 : }
3861 1235526 : d = nbits2prec(expo(x) + 1);
3862 1235527 : if (d > realprec(x)) { p1 = p0; q1 = q0; break; } /* original x was ~ 0 */
3863 :
3864 1235337 : a = truncr(x); /* truncr(x) will NOT raise e_PREC */
3865 1235307 : p = addii(mulii(a,p0), p1); p1=p0; p0=p;
3866 1235325 : q = addii(mulii(a,q0), q1); q1=q0; q0=q;
3867 :
3868 1235326 : if (cmpii(q0,k) > 0) break;
3869 1229074 : x = subri(x,a); /* 0 <= x < 1 */
3870 1229082 : if (!signe(x)) { p1 = p0; q1 = q0; break; }
3871 : }
3872 1131534 : if (signe(q1) < 0) { togglesign_safe(&p1); togglesign_safe(&q1); }
3873 1131534 : return gerepilecopy(av, equali1(q1)? p1: mkfrac(p1,q1));
3874 : }
3875 :
3876 : /* k t_INT or NULL */
3877 : static GEN
3878 2247143 : bestappr_Q(GEN x, GEN k)
3879 : {
3880 2247143 : long lx, tx = typ(x), i;
3881 : GEN a, y;
3882 :
3883 2247143 : switch(tx)
3884 : {
3885 154 : case t_INT: return icopy(x);
3886 7 : case t_FRAC: return k? bestappr_frac(x, k): gcopy(x);
3887 1501469 : case t_REAL:
3888 1501469 : if (!signe(x)) return gen_0;
3889 : /* i <= e iff nbits2lg(e+1) > lg(x) iff floorr(x) fails */
3890 1249010 : i = bit_prec(x); if (i <= expo(x)) return NULL;
3891 1249025 : return bestappr_real(x, k? k: int2n(i));
3892 :
3893 28 : case t_INTMOD: {
3894 28 : pari_sp av = avma;
3895 28 : a = mod_to_frac(gel(x,2), gel(x,1), k); if (!a) return NULL;
3896 21 : return gerepilecopy(av, a);
3897 : }
3898 14 : case t_PADIC: {
3899 14 : pari_sp av = avma;
3900 14 : long v = valp(x);
3901 14 : a = mod_to_frac(padic_u(x), padic_pd(x), k); if (!a) return NULL;
3902 7 : if (v) a = gmul(a, powis(padic_p(x), v));
3903 7 : return gerepilecopy(av, a);
3904 : }
3905 :
3906 5453 : case t_COMPLEX: {
3907 5453 : pari_sp av = avma;
3908 5453 : y = cgetg(3, t_COMPLEX);
3909 5453 : gel(y,2) = bestappr(gel(x,2), k);
3910 5453 : gel(y,1) = bestappr(gel(x,1), k);
3911 5453 : if (gequal0(gel(y,2))) return gerepileupto(av, gel(y,1));
3912 91 : return y;
3913 : }
3914 0 : case t_SER:
3915 0 : if (ser_isexactzero(x)) return gcopy(x);
3916 : /* fall through */
3917 : case t_POLMOD: case t_POL: case t_RFRAC:
3918 : case t_VEC: case t_COL: case t_MAT:
3919 740018 : y = cgetg_copy(x, &lx);
3920 740072 : for(i = 1; i < lontyp[tx]; i++) y[i] = x[i];
3921 2882264 : for (; i < lx; i++)
3922 : {
3923 2142237 : a = bestappr_Q(gel(x,i),k); if (!a) return NULL;
3924 2142206 : gel(y,i) = a;
3925 : }
3926 740027 : if (tx == t_POL) return normalizepol(y);
3927 740013 : if (tx == t_SER) return normalizeser(y);
3928 740013 : return y;
3929 : }
3930 0 : pari_err_TYPE("bestappr_Q",x);
3931 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
3932 : }
3933 :
3934 : static GEN
3935 98 : bestappr_ser(GEN x, long B)
3936 : {
3937 98 : long dN, v = valser(x), lx = lg(x);
3938 : GEN t;
3939 98 : x = normalizepol(ser2pol_i(x, lx));
3940 98 : dN = lx-2;
3941 98 : if (v > 0)
3942 : {
3943 21 : x = RgX_shift_shallow(x, v);
3944 21 : dN += v;
3945 : }
3946 77 : else if (v < 0)
3947 : {
3948 14 : if (B >= 0) B = maxss(B+v, 0);
3949 : }
3950 98 : t = mod_to_rfrac(x, pol_xn(dN, varn(x)), B);
3951 98 : if (!t) return NULL;
3952 77 : if (v < 0)
3953 : {
3954 : GEN a, b;
3955 : long vx;
3956 14 : if (typ(t) == t_POL) return RgX_mulXn(t, v);
3957 : /* t_RFRAC */
3958 14 : vx = varn(x);
3959 14 : a = gel(t,1);
3960 14 : b = gel(t,2);
3961 14 : v -= RgX_valrem(b, &b);
3962 14 : if (typ(a) == t_POL && varn(a) == vx) v += RgX_valrem(a, &a);
3963 14 : if (v < 0) b = RgX_shift_shallow(b, -v);
3964 0 : else if (v > 0) {
3965 0 : if (typ(a) != t_POL || varn(a) != vx) a = scalarpol_shallow(a, vx);
3966 0 : a = RgX_shift_shallow(a, v);
3967 : }
3968 14 : t = mkrfraccopy(a, b);
3969 : }
3970 77 : return t;
3971 : }
3972 : static GEN
3973 42 : gc_empty(pari_sp av) { set_avma(av); return cgetg(1, t_VEC); }
3974 : static GEN
3975 112 : _gc_upto(pari_sp av, GEN x) { return x? gerepileupto(av, x): NULL; }
3976 :
3977 : static GEN bestappr_RgX(GEN x, long B);
3978 : /* B >= 0 or < 0 [omit condition on B].
3979 : * Look for coprime t_POL a,b, deg(b)<=B, such that a/b ~ x */
3980 : static GEN
3981 119 : bestappr_RgX(GEN x, long B)
3982 : {
3983 : pari_sp av;
3984 119 : switch(typ(x))
3985 : {
3986 0 : case t_INT: case t_REAL: case t_INTMOD: case t_FRAC: case t_FFELT:
3987 : case t_COMPLEX: case t_PADIC: case t_QUAD: case t_POL:
3988 0 : return gcopy(x);
3989 14 : case t_RFRAC:
3990 14 : if (B < 0 || degpol(gel(x,2)) <= B) return gcopy(x);
3991 7 : av = avma; return _gc_upto(av, bestappr_ser(rfrac_to_ser_i(x, 2*B+1), B));
3992 14 : case t_POLMOD:
3993 14 : av = avma; return _gc_upto(av, mod_to_rfrac(gel(x,2), gel(x,1), B));
3994 91 : case t_SER:
3995 91 : av = avma; return _gc_upto(av, bestappr_ser(x, B));
3996 0 : case t_VEC: case t_COL: case t_MAT: {
3997 : long i, lx;
3998 0 : GEN y = cgetg_copy(x, &lx);
3999 0 : for (i = 1; i < lx; i++)
4000 : {
4001 0 : GEN t = bestappr_RgX(gel(x,i),B); if (!t) return NULL;
4002 0 : gel(y,i) = t;
4003 : }
4004 0 : return y;
4005 : }
4006 : }
4007 0 : pari_err_TYPE("bestappr_RgX",x);
4008 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
4009 : }
4010 :
4011 : /* allow k = NULL: maximal accuracy */
4012 : GEN
4013 104901 : bestappr(GEN x, GEN k)
4014 : {
4015 104901 : pari_sp av = avma;
4016 104901 : if (k) { /* replace by floor(k) */
4017 104579 : switch(typ(k))
4018 : {
4019 33026 : case t_INT:
4020 33026 : break;
4021 71553 : case t_REAL: case t_FRAC:
4022 71553 : k = floor_safe(k); /* left on stack for efficiency */
4023 71551 : if (!signe(k)) k = gen_1;
4024 71551 : break;
4025 0 : default:
4026 0 : pari_err_TYPE("bestappr [bound type]", k);
4027 0 : break;
4028 : }
4029 : }
4030 104899 : x = bestappr_Q(x, k);
4031 104898 : return x? x: gc_empty(av);
4032 : }
4033 : GEN
4034 119 : bestapprPade(GEN x, long B)
4035 : {
4036 119 : pari_sp av = avma;
4037 119 : GEN t = bestappr_RgX(x, B);
4038 119 : return t? t: gc_empty(av);
4039 : }
4040 :
4041 : static GEN
4042 49 : serPade(GEN S, long p, long q)
4043 : {
4044 49 : pari_sp av = avma;
4045 49 : long va, v, t = typ(S);
4046 49 : if (t!=t_SER && t!=t_POL && t!=t_RFRAC) pari_err_TYPE("bestapprPade", S);
4047 49 : va = gvar(S); v = gvaluation(S, pol_x(va));
4048 49 : if (p < 0) pari_err_DOMAIN("bestapprPade", "p", "<", gen_0, stoi(p));
4049 49 : if (q < 0) pari_err_DOMAIN("bestapprPade", "q", "<", gen_0, stoi(q));
4050 49 : if (v == LONG_MAX) return gc_empty(av);
4051 42 : S = gadd(S, zeroser(va, p + q + 1 + v));
4052 42 : return gerepileupto(av, bestapprPade(S, q));
4053 : }
4054 :
4055 : GEN
4056 126 : bestapprPade0(GEN x, long p, long q)
4057 : {
4058 77 : return (p >= 0 && q >= 0)? serPade(x, p, q)
4059 203 : : bestapprPade(x, p >= 0? p: q);
4060 : }
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